（全卷3個(gè)大題，共27個(gè)小題；滿分100分，考試用時(shí)120分鐘）
注意事項(xiàng)：
1、本卷為試題卷，考生解題作答必須在答題卡上；答案書寫在答題卡相應(yīng)位置上；在試題卷、草稿紙上作答無效．
2、考試結(jié)束后，請將答題卡交回．
一、選擇題（本大題共15小題，每小題2分，共30分）
1. 的倒數(shù)是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：根據(jù)倒數(shù)的定義知道的倒數(shù)是．
故選：A．
2. 2024年3月份，低空經(jīng)濟(jì)首次被寫入《政府工作投告》．截止2023年底，全國注冊通航企業(yè)690家、無人機(jī)萬架，運(yùn)營無人機(jī)的企業(yè)達(dá)萬家．將萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義表示出來即可.
【詳解】萬,
故選：B.
3. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】A．根據(jù)同類項(xiàng)的定義判斷即可；
B．根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可；
C．根據(jù)同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則計(jì)算即可；
D．根據(jù)冪的乘方與積的乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【詳解】解：與不是同類項(xiàng)，無法合并，
∴A不正確，不符合題意；
，∴B不正確；
，
∴C不正確，不符合題意．
，∴D正確，符合題意；
故選：D．
4. 若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．構(gòu)建不等式求解．
【詳解】解：∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，∴，∴．
故選：B．
5. 不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【詳解】由，得，
所以不等式組的解集在數(shù)軸上表示為：
．
故選：B．
6. 用配方法解一元二次方程，將它轉(zhuǎn)化為的形式，則的值為（ ）
A. B. 2024C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)配方法對所給一元二次方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解決問題．
【詳解】由題知，，
，
，
，
所以，.
所以.
故選：D
7. 函數(shù)自變量的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)列出不等式，解不等式得到答案．
【詳解】由題意得：，解得：，
所以函數(shù)自變量的取值范圍是.
故選：C．
8. 已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，在每一象限，y隨x的增大而增大，結(jié)合三點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的圖象分布在第二、四象限，
在每一象限，y隨x的增大而增大，因?yàn)?，所以?br>所以.
故選：C.
9. 若正多邊形的一個(gè)外角是45°，則這個(gè)正多邊形是（ ）
A. 正六邊形B. 正七邊形C. 正八邊形D. 正九邊形
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)多邊形的外角和列式計(jì)算即可．
【詳解】解：由題意得，即這個(gè)正多邊形是正八邊形，
故選：C．
10. 在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解．
【詳解】A．軸對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
B．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
C．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
D．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意．
故選：A．
11. 某班24名學(xué)生參加一分鐘跳繩測試，成績（單位：次）如表：
次測試成績的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（ ）
A. 172和172B. 172和173C. 173和172D. 173和173
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解可得．
【詳解】從小到大排序，中位數(shù)是第12，13個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
所以中位數(shù)．這組數(shù)據(jù)中172出現(xiàn)次數(shù)最多，所以眾數(shù)為172，
故選：C．
12. 已知，直線，把一塊含有角的直角三角板如圖放置，，三角板的斜邊所在直線交于點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”求解即可．
【詳解】，
，
直線，
，
故選：B．
13. 如圖，是的直徑，，是⊙O上兩點(diǎn)，平分，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用圓周角定理可得：，然后利用平角定義得，根據(jù)圓周角定理得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】，，
平分，，
是的直徑，，
．
故選：A．
14. 如圖，一次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用待定系數(shù)法求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)軸對稱變換的性質(zhì)解決問題．
【詳解】對于一次函數(shù)，令，可得，
，
點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故選：A．
15. 楊輝三角是一個(gè)由數(shù)字排列成的三角形數(shù)表，一般形式如圖所示，其中每一橫行都表示（此處n＝0，1，2，3，4，5，…）的計(jì)算結(jié)果中的各項(xiàng)系數(shù)：
則各項(xiàng)系數(shù)的和為（ ）
A. 32B. 48C. 64D. 128
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，可以得出規(guī)律：的各項(xiàng)系數(shù)和.
【詳解】根據(jù)題目可知：的各項(xiàng)系數(shù)和為：，
的各項(xiàng)系數(shù)和為：，
的各項(xiàng)系數(shù)和為：,
的各項(xiàng)系數(shù)和為： ,
所以的各項(xiàng)系數(shù)和為：，
故選：C．
二、填空題（本大題共4小題，每小題2分，共8分）
16. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】觀察原式，找到公因式，提出公因式后發(fā)現(xiàn)符合平方差公式的形式，利用平方差公式繼續(xù)分解即可得求得答案．
【詳解】=2aa+2a-2.
故答案：2aa+2a-2
17. 某跳遠(yuǎn)隊(duì)準(zhǔn)備從甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員中選取一名成績穩(wěn)定的參加比賽．這兩名運(yùn)動(dòng)員10次測試成績（單位：m）的平均數(shù)是，，方差是，
，那么應(yīng)選____去參加比賽．（填“甲”或“乙”）
【答案】甲
【解析】
【分析】根據(jù)方差的定義，方差越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．
【詳解】∵兩名運(yùn)動(dòng)員10次測試成績（單位：m）的平均數(shù)是，，
方差是，，∴，
∴這10次測試成績比較穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)員是甲；
故答案為：甲．
18. 如圖，，與相交于點(diǎn)，且與的面積比是，若，則的長為______．
【答案】12
【解析】
【分析】根據(jù)，得出與相似，從而得出，由此得出的長．
【詳解】，
，
，
，
，
，
，
故答案為：12．
19. 若圓錐的底面半徑是，它的側(cè)面展開圖的圓心角是直角，則該圓錐的高為_______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)弧長公式求出圓錐的母線長，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．
【詳解】設(shè)扇形的母線長為，
圓錐的底面半徑是，
圓錐的底面周長是，即側(cè)面展開圖扇形的弧長是，
則，
解得：，
由勾股定理得：圓錐的高．
故答案為：．
三、解答題（本大題共8小題，共62分）
20. 計(jì)算：．
【答案】6
【解析】
【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行化簡，然后根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】
21. 如圖，，．
（1）求證：；
（2），求的度數(shù).
【答案】（1）證明見解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)可證明；
（2）由全等三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可得出答案．
【小問1詳解】
證明：∵，∴，
在和中，
，
∴（）.
【小問2詳解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
22. 在全民健身運(yùn)動(dòng)中，騎行運(yùn)動(dòng)頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛好者約定從A地沿相同路線騎行去距A地30千米的B地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍．若乙先騎行20分鐘，甲才開始從A地出發(fā)，則甲、乙恰好同時(shí)到達(dá)B地，求甲騎行的速度．
【答案】甲騎行的速度是18千米/時(shí)．
【解析】
【分析】設(shè)乙騎行的速度是千米/時(shí)，則甲騎行的速度是千米/時(shí).利用時(shí)間路程÷速度，結(jié)合乙比甲多用20分鐘，可列出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，可得出乙騎行的速度，再將其代入中，即可求出甲騎行的速度．
【詳解】設(shè)乙騎行的速度是千米/時(shí)，則甲騎行的速度是千米/時(shí)．
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，且符合題意，
．
答：甲騎行的速度是18千米/時(shí)．
23. 我市某中學(xué)舉行“中國夢?我的夢”的演講比賽，賽后整理參賽學(xué)生的成績，將學(xué)生的成績分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí)，并將結(jié)果繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，但均不完整，請你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題．
（1）參加比賽的學(xué)生人數(shù)共有 名，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，表示“D等級(jí)”的扇形的圓心角為 度，圖中m的值為 ；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）組委會(huì)決定從本次比賽中獲得A等級(jí)的學(xué)生中，選出兩名去參加市中學(xué)生演講比賽，已知A等級(jí)中男生只有1名，請用畫樹狀圖或列表的方法求出所選學(xué)生恰是一男一女的概率．
【答案】（1）20，72，40
（2）作圖見解析 （3）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等級(jí)為A人數(shù)除以所占的百分比求出總?cè)藬?shù)，用360°乘以D等級(jí)對應(yīng)比例可得其圓心角度數(shù)，根據(jù)百分比的概念可得m的值；
（2）求出等級(jí)B的人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；
（3）列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出符合條件的情況數(shù)，即可求出所求的概率．
【小問1詳解】
根據(jù)題意得：總?cè)藬?shù)為：3÷15%＝20（人），
表示“D等級(jí)”的扇形的圓心角為；
C等級(jí)所占的百分比為，所以m＝40，
故答案為：20，72，40．
【小問2詳解】
等級(jí)B的人數(shù)為（人），
補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示：
【小問3詳解】
根據(jù)題意，列出表格，如下：
共有6種等可能結(jié)果，其中恰是一男一女的有4種，
所以恰是一男一女概率為．
24. 如圖，中，點(diǎn)E、F分別是的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）如果四邊形的周長為12，兩條對角線的和等于7，求四邊形的面積S．
【答案】（1）證明見解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)點(diǎn)E、F分別是的中點(diǎn)，即可得到進(jìn)而判定四邊形是菱形；
（2）設(shè)則，進(jìn)而得到，再根據(jù)，，得到據(jù)此可得xy，進(jìn)而得到菱形的面積．
【小問1詳解】
點(diǎn)E、F分別是的中點(diǎn)，
∴分別是斜邊上的中線，
∴
∴四邊形AEDF是菱形；
【小問2詳解】
如圖，連接EF交AD于點(diǎn)O，由（1）知，四邊形是菱形．
∴，
∵四邊形AEDF的周長為12，
∴，∴，即，
∴．
25. 近年來，中國傳統(tǒng)服飾備受大家的青睞，走上國際時(shí)裝周舞臺(tái)，大放異彩.某服裝店直接從工廠購進(jìn)長、短兩款傳統(tǒng)服飾進(jìn)行銷售，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如表：
（1）該服裝店第一次用4300元購進(jìn)長、短兩款服裝共50件，求兩款服裝分別購進(jìn)的件數(shù)；
（2）第一次購進(jìn)的兩款服裝售完后，該服裝店計(jì)劃再次購進(jìn)長、短兩款服裝共200件（進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)都不變），且第二次進(jìn)貨總價(jià)不高于16800元.服裝店這次應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？
【答案】（1）長款服裝購進(jìn)30件，短款服裝購進(jìn)20件；
（2）當(dāng)購進(jìn)120件短款服裝，80件長款服裝時(shí)有最大利潤，最大利潤是4800元.
【解析】
【分析】（1）依據(jù)題意，設(shè)購進(jìn)短款服裝x件，購進(jìn)長款服裝y件，則可得，計(jì)算即可得解.
（2）依據(jù)題意，設(shè)第二次購進(jìn)m件短款服裝，則購進(jìn)件長款服裝，從而，故，又設(shè)利潤為元，則，再結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷得解.
【小問1詳解】
依題意，設(shè)購進(jìn)短款服裝x件，購進(jìn)長款服裝y件，
因此，解得，
所以長款服裝購進(jìn)30件，短款服裝購進(jìn)20件.
【小問2詳解】
依題意，設(shè)第二次購進(jìn)m件短款服裝，則購進(jìn)件長款服裝，
因此，解得，
又設(shè)利潤為元，則，
顯然隨m的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，利潤取得最大值（元）.
所以當(dāng)購進(jìn)120件短款服裝，80件長款服裝時(shí)有最大利潤，最大利潤是4800元.
26. 許多數(shù)學(xué)問題源于生活．雨傘是生活中的常用物品，我們用數(shù)學(xué)的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖①、可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的對象——拋物線．在如圖②所示的直角坐標(biāo)系中，傘柄在y軸上，坐標(biāo)原點(diǎn)O為傘骨OA，OB的交點(diǎn)．點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)A，B在拋物線上，OA、OB關(guān)于y軸對稱．OC＝1分米，點(diǎn)A到x軸的距離是0.6分米，A，B兩點(diǎn)之間的距離是4分米．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）分別延長AO，BO交拋物線于點(diǎn)F，E，求E，F(xiàn)兩點(diǎn)之間的距離；
（3）以拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為，將拋物線向右平移m（m＞0）個(gè)單位，得到一條新拋物線，以新拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為S2．若，求m的值．
【答案】（1）
（2）10 （3）2或4．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意得到設(shè)拋物線的解析式為，代入求解即可得到答案；
（2）分別求出AO，BO所在直線的解析式，求出與拋物線的交點(diǎn)F，E即可得到答案；
（3）求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)得到S1，表示出新拋物線找到交點(diǎn)得到S2，根據(jù)面積公式列方程求解即可得到答案．
【小問1詳解】
設(shè)拋物線的解析式為，
由題意可得∴，
把點(diǎn)A坐標(biāo)代入所設(shè)解析式中得解得則.
【小問2詳解】
設(shè)AO的解析式為，BO的解析式為，
分別將代入，，
得解得
∴AO的解析式為，BO的解析式為.
聯(lián)立直線解析式與拋物線，得解得（舍去）；
得解得（舍去），
∴E，F(xiàn)兩點(diǎn)之間的距離為.
【小問3詳解】
當(dāng)，即時(shí)，解得，
∴，
∵拋物線向右平移m（m＞0）個(gè)單位，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
解得，
∴，
∵，∴，
解得（不符合題意舍去），（不符合題意舍去），
綜上所述：或4．
27. 如圖，已知是半圓的直徑，是的切線，點(diǎn)在上，．
（1）求證：是的切線；
（2）若，求的正弦值；
（3）若，，是直徑上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、在直線上，記，，，當(dāng)、均為最小值時(shí)，求的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）連接，證明，可得，即是圓的切線；
（2）連接，，因?yàn)椋稍O(shè)，，，，證明，可得，在中，即可求得的值；
（3）當(dāng)，時(shí)，、均取得最小值，由，可得，只要求出的取值范圍即可得出的取值范圍．
【小問1詳解】
如圖1，連接
是圓的切線，是半圓的直徑，
，
，，又
，，
在與中
，
，是圓的切線；
【小問2詳解】
連接，
，
設(shè)，則，，則
是直徑，，
由（1）得，
，，
，，
在中，；
【小問3詳解】
如圖3，當(dāng)，時(shí)，、均取得最小值，
，，，，
，，，
作于，
則的最小值為，的最大值為，
．成績
171及以下
172
173
174
175及以上
人數(shù)
3
8
6
5
2
男
女1
女2
男
女1、男
女2、男
女1
男、女1
女2、女1
女2
男、女2
女1、女2
價(jià)格/類別
短款
長款
進(jìn)貨價(jià)（元/件）
80
90
銷售價(jià)（元/件）
100
120

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這是一份長郡中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期綜合能力檢測（入學(xué)分班考試）數(shù)學(xué)試卷（解析版），共28頁。

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