注意事項(xiàng)：
1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息
2．請將答案正確填寫在答題卡上
第I卷（選擇題）
選擇題使用2B涂卡筆將答案標(biāo)在答題卡上
一、單選題（共8題，每題5分，共40分）
1. 已知向量，滿足，且，則，夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量的點(diǎn)乘關(guān)系，求出，即可求出，夾角.
詳解】解：由題意，
在向量，中，，
解得：
∴
故選：C.
2. 在中，角對邊為，且，則的形狀為（ ）
A. 等邊三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)二倍角公式化簡，根據(jù)余弦定理化簡得到即可得到答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，即，
所以，
在中，由余弦定理：，
代入得，，即，
所以.
所以直角三角形.
故選：B
3. 設(shè)復(fù)數(shù)，，則復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
計(jì)算出的值，即可找出虛部.
【詳解】，
則其虛部是。
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.
4. 袋中裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的球各個(gè)，無放回的從中任取個(gè)球，則恰有兩個(gè)球同色的概率為
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)古典概型的計(jì)算公式即可求解.
【詳解】解：從紅、黃、藍(lán)三種顏色的球各2個(gè)，無放回的從中任取3個(gè)球，共有種，其中恰有兩個(gè)球同色有種，故恰有兩個(gè)球同色的概率為.
故選：C．
5. 若雙曲線的一條漸近線方程為，該雙曲線的離心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由雙曲線方程求出漸近線方程，再結(jié)合已知可得，從而可求出雙曲線的離心率.
【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)位于軸，則雙曲線的漸近線為，
因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，
所以，
所以雙曲線的離心率為，
故選：C
6. 在四面體中，，，平面，四面體的體積為.若四面體的頂點(diǎn)均在球的表面上，則球的表面積是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由題中條件，求出，，設(shè)的外接圓半徑為，記外接圓圓心為，連接，由正弦定理，求出，設(shè)外接球的半徑為，連接，得到，延長到，使得，連接，連接，，
根據(jù)三角形全等，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，則，
則，
因?yàn)槠矫?，四面體的體積為，
所以，則；
設(shè)的外接圓半徑為，記外接圓圓心為，連接，
由正弦定理可得， ，則
設(shè)外接球的半徑為，連接，
根據(jù)球的性質(zhì)可得，平面，
又平面，所以，
延長到，使得，連接，
則四邊形為矩形；所以
連接，，則，
所以，所以，
因此，
因此球的表面積是.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查求幾何體外接球的表面積，熟記幾何體結(jié)構(gòu)特征，以及球的表面積公式即可，屬于?？碱}型.
7. 已知圓：，：，動(dòng)圓滿足與外切且與內(nèi)切，若為上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】
∵圓：，圓：，
動(dòng)圓滿足與外切且與內(nèi)切，設(shè)圓的半徑為 ，
由題意得 ∴則的軌跡是以（ 為焦點(diǎn)，長軸長為16的橢圓，
∴其方程為 因?yàn)?，即為圓 的切線，要的最小，只要最小，設(shè)，則
，選A.
8. 已知E，F(xiàn)分別是棱長為2的正四面體的對棱的中點(diǎn).過的平面與正四面體相截，得到一個(gè)截面多邊形，則下列說法正確的是（ ）
A. 截面多邊形不可能是平行四邊形B. 截面多邊形的周長是定值
C. 截面多邊形的周長的最小值是D. 截面多邊形的面積的取值范圍是
【答案】D
【解析】
【分析】將平面從平面開始旋轉(zhuǎn)，結(jié)合對稱性可判斷A；設(shè)，利用余弦定理表示出，利用幾何意義求最小值，利用二次函數(shù)單調(diào)性求最大值可判斷BC；先判斷，然后利用向量方法求出，可得截面面積的范圍，可判斷D.
【詳解】對于A，當(dāng)平面過或時(shí)，截面為三角形.
易知正四面體關(guān)于平面對稱，將平面從平面開始旋轉(zhuǎn)與交于點(diǎn)時(shí)，
由對稱性可知，此時(shí)平面與交于點(diǎn)，且，
此時(shí)截面為四邊形，且注意到當(dāng)分別為的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)滿足，
且，即此時(shí)截面四邊形是平行四邊形，故A錯(cuò)誤；

對于BC，設(shè)，由余弦定理得，
，
由兩點(diǎn)間距離公式知，表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離之和，
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，
由二次函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)或時(shí)，取得最大值，
所以截面多邊形周長的取值范圍是，故BC錯(cuò)誤；
對于D，記與的交點(diǎn)為，由對稱性，，
所以，，
因?yàn)椋?br>所以，所以，
記，
則，
因?yàn)椋?br>所以
，
由二次函數(shù)性質(zhì)可知，，即，
所以，故D正確；
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是找到正四面體的對稱性，根據(jù)對稱性判斷截面形狀，利用余弦定理求周長，利用空間向量求距離，然后可得面積，題目綜合性強(qiáng)，對學(xué)生的直觀想象能力有較高的要求.
二、多選題（共18分，每題6分，多選錯(cuò)選不選不得分，漏選少選得部分分）
9. 下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等
B. 一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都減去同一個(gè)非零常數(shù)a，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)改變，方差不改變
C. 一個(gè)樣本的方差，則這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于60
D. 數(shù)據(jù)，，，．．．，的方差為M，則數(shù)據(jù)，，，…，的方差為2M
【答案】ABC
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，利用中位數(shù)的定義可判斷；
B選項(xiàng)，一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都減去同一個(gè)非零常數(shù)a，平均數(shù)會(huì)隨之改變，方差不變；
C選項(xiàng)，可以看出平均數(shù)和樣本總量，從而求出樣本數(shù)據(jù)的總和；
D選項(xiàng)，方差會(huì)變?yōu)樵瓉淼?倍.
【詳解】對于A，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，都為，∴A正確：
對于B，一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都減去同一個(gè)非零常數(shù)a，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)也減去a，方差不改變，∴B正確；
對于C，∵樣本的方差，∴這個(gè)樣本有20個(gè)數(shù)據(jù)，平均數(shù)是3，∴這組樣本數(shù)據(jù)的總和為3×20＝60，C正確；
對于D，數(shù)據(jù)，，，…，的方差為M，則數(shù)據(jù)，，，…，的方差為4M，∴D不正確．
故選：ABC
10. （多選）設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（ ）
A. 若，，，，則
B. 若，，，則
C. 若，異面，，，，，則
D. 若，，，則
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)線面平行、線線平行與面面平行的性質(zhì)定理及判定定理一一判斷即可；
【詳解】解：對于A：當(dāng)且僅當(dāng)與相交時(shí)，滿足，故A錯(cuò)誤；
對于B：若，，，則或，或與相交，故B錯(cuò)誤；
對于C：假設(shè)與不平行，即與相交，設(shè)，
若與、不重合，由，，所以，又，，所以l//n，所以，與，異面矛盾，故假設(shè)不成立，
若與、中某一條直線重合，則直接可以得到，與，異面矛盾，故假設(shè)不成立，故C正確；
對于D：若，，則，又，所以，故D正確；
故選：CD
11. 如圖，已知在平行四邊形中，，，為的中點(diǎn)，將沿直線翻折成，若為的中點(diǎn)，則在翻折過程中（點(diǎn)平面），以下命題正確的是（ ）
A. 平面
B.
C. 存在某個(gè)位置，使
D. 當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，其外接球的表面積為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A，取的中點(diǎn)，連接，，根據(jù)中位線定理可得，，由面面平行的判定定理可得平面平面，再由線面平行的性質(zhì)定理，即可判斷A是否正確．
對于B，計(jì)算，，，在中，由余弦定理即可判斷B是否正確，
對于C，取中點(diǎn)，可得為平行四邊形，用反證法推出矛盾，即可判斷C是否正確．
對于D，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，平面平面，再由線面垂直的判定定理可得平面，再計(jì)算外接球的半徑，即可判斷D是否正確．
【詳解】對于A，如圖，取的中點(diǎn)，連接，，
分別為，的中點(diǎn)，，，
，，且，平面，，平面，
∴平面平面．又平面，平面，故A正確；
對于B，由A可知，，，
，
在中，由余弦定理知，，
，是定值，故B正確；
對于C，取的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以平行且等于，則四邊形為平行四邊形，若存在某個(gè)位置，使，則與條件矛盾，故C錯(cuò)誤；
對于D，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，平面平面，
又，平面，
將三棱錐從幾何體中拿出單獨(dú)分析，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，在平面上的射影是正三角形的中心，到平面的距離等于，
由圖可知，外接球的半徑，
外接球的表面積，故D正確，
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】解答空間幾何體中垂直關(guān)系時(shí)，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)要正確運(yùn)用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進(jìn)行推理．
第II卷（非選擇題）
填空題、主觀題請?jiān)诖痤}卡相應(yīng)位置上作答
三、填空題（共15分，每題5分）
12. 某學(xué)校三個(gè)年級(jí)共有2760名學(xué)生，要采用分層抽樣的方法從全體學(xué)生中抽取一個(gè)容量為60的樣本，已知一年級(jí)有1150名學(xué)生，那么從一年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)是___________名.
【答案】
【解析】
【分析】利用分層抽樣的定義進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】由分層抽樣得從一年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)是人.
故答案為：25.
13. 設(shè)雙曲線C：的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)P是C右支上的一點(diǎn)，則的最小值為______________．
【答案】8
【解析】
【分析】利用雙曲線性質(zhì)、焦半徑的范圍將所求轉(zhuǎn)換為對勾函數(shù)的最小值即可得解.
【詳解】，，
，
而函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.
故答案為：8.
14. 已知點(diǎn)P是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓引兩條切線，，設(shè)切點(diǎn)分別是M，N，若直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，則面積的最小值是____________．
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)，求出以為直徑的圓的方程，與圓的方程相減可得直線的方程，進(jìn)而可求得的坐標(biāo)，再求出AB和點(diǎn)到直線的距離，求出面積的表達(dá)式，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】設(shè)，
則以為直徑的圓的方程為，
與圓的方程相減得，
即是過切點(diǎn)的直線方程，
則，所以，
又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，
所以，
又因?yàn)樵邳c(diǎn)P在橢圓上，
所以，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以，
即面積的最小值是.

故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)，求出以為直徑的圓的方程，與圓的方程相減可得直線的方程，是解決本題的關(guān)鍵.
四、解答題（共77分）
15. 如圖1所示，四邊形為梯形且 ，，為中點(diǎn)，，，現(xiàn)將平面沿折起，沿折起，使平面平面，且重合為點(diǎn)（如圖2所示）．
（1）證明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）詳見解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）易證，再由平面平面，得到平面ABCD，則，再由四邊形BCDE是正方形，得到，然后利用線面垂直和面面垂直的判定定理證明；
（2）以E為原點(diǎn)，EA，EB，EP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PAC的一個(gè)法向量，易知平面PAD的一個(gè)法向量為，然后由求解.
【小問1詳解】
證明：因?yàn)椋?br>即PA=PD=，E為AD的中點(diǎn)，
所以是等腰三角形，
且，即，
又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?AD，平面PAD，
所以平面ABCD，又平面ABCD，
所以，
又因?yàn)?，且?br>所以四邊形NCDE為直角梯形，且DE=DC=1，
所以四邊形BCDE是正方形，所以，
又因?yàn)椋?br>所以平面PBE，又因?yàn)槠矫鍼BC，
所以平面平面；
【小問2詳解】
由（1）知：以E為原點(diǎn)，EA，EB，EP為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：
則,，
所以，
設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為，
則，即，
令，則，
易知平面PAD的一個(gè)法向量為，
則，
所以二面角的余弦值是.
16. 如圖，四棱柱的底面為梯形，，三個(gè)側(cè)面，，均為正方形．

（1）證明：平面平面．
（2）求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由題設(shè)及線面垂直的判定得面，進(jìn)而有，過點(diǎn)作，垂足為，進(jìn)而證，最后由線面、面面垂直的判定證結(jié)論；
（2）法一：連接，，應(yīng)用等體積法有求點(diǎn)面距；法二：證線面平行得到，兩點(diǎn)到平面的距離相等，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接，進(jìn)而求點(diǎn)面距.
【小問1詳解】
因?yàn)閭?cè)面，，均為正方形，所以，，．
又，面，所以面．
由棱柱的性質(zhì)，四棱柱為直四棱柱，則面，又面，則．
又四邊形為梯形，，，所以．
過點(diǎn)作，垂足為，則，

所以，則．
在等腰三角形中．
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，面，所以面?br>又平面，所以平面平面．
【小問2詳解】
法一：連接，，

由（1）直三棱柱的體積．
由直三棱柱的性質(zhì)知，三棱錐的體積，
三棱錐的體積，
所以．
由面，面，則，且．
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，
即，解得，故點(diǎn)到平面的距離為．
法二：因，且面，面，所以面，
所以，兩點(diǎn)到平面的距離相等．
過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接．

易得平面，所以線段的長度即為點(diǎn)到平面的距離．
因?yàn)?，，，所以?br>所以點(diǎn)到平面距離為．
17. 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)和點(diǎn)為橢圓上兩點(diǎn).
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ），為橢圓上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，若直線與的斜率之和為，求線段中點(diǎn)的軌跡方程.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
【分析】（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，進(jìn)而待定系數(shù)求解即可得答案；
（Ⅱ）設(shè)直線的斜率為，進(jìn)而得直線的方程，與橢圓聯(lián)立得點(diǎn)的坐標(biāo)，同理，用替換點(diǎn)的坐標(biāo)得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得點(diǎn)的坐標(biāo)，消去參數(shù)即可得點(diǎn)的軌跡方程.
【詳解】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)橢圓方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)為橢圓上兩點(diǎn)，
所以，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（Ⅱ）設(shè)直線的斜率為，所以直線的方程為，即 ，
所以與橢圓聯(lián)立方程得，
即，
所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)橹本€與的斜率之和為，所以直線的斜率為，
同理，用替換點(diǎn)的坐標(biāo)得點(diǎn)的坐標(biāo)，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為
所以點(diǎn)的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）
消去參數(shù)得點(diǎn)的軌跡方程，
由解得，所以，
所以點(diǎn)的軌跡方程.
【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于設(shè)直線的斜率為，進(jìn)而結(jié)合題意，與橢圓聯(lián)立方程求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而消參數(shù)即可得答案.
18. 已知的三個(gè)內(nèi)角，，對的三邊為，，，且
（1）若，，求；
（2）已知，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的周長.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理，化角為邊，即可求出，再利用正弦定理即可求出；
（2）根據(jù)基本不等式及三角形面積公式可得面積取得最大值時(shí)，對應(yīng)的的值，再根據(jù)余弦定理求出邊，進(jìn)而得到的周長．
【小問1詳解】
∵，
∴ ，
∴ ，又，
∴，
由正弦定理可知：，
∴；
【小問2詳解】
∵，當(dāng)取最大值時(shí)，即取最大值，
∵，
∴，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)等號(hào)成立，
由余弦定理可知：，
∴，
∴
∴的周長.
19. 如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于的母線．
（1）證明：平面；
（2）若，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先證明是平行四邊形，再結(jié)合圓柱的性質(zhì)得到平面；
（2）利用等積轉(zhuǎn)換知識(shí)結(jié)合圓柱的性質(zhì)先找到體積最大值時(shí)的相對位置，再找出
二面角的平面角或利用空間向量求得二面角的大小.
【小問1詳解】
證明：如圖，連接，由題意知為的直徑，所以．因?yàn)槭菆A柱的母線，
所以且，所以四邊形是平行四邊形．
所以，所以．因?yàn)槭菆A柱的母線，所以平面，
又因?yàn)槠矫?，所以．又因?yàn)椋?br>平面，所以平面．
【小問2詳解】
由（1）知是三棱錐底面上的高，由（1）知
，所以，即底面三角形是直角三
角形．設(shè)，則
在中有：，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)時(shí)，三棱
錐的體積最大，
（另解：等積轉(zhuǎn)化法：
易得當(dāng)F與距離最遠(yuǎn)時(shí)取到最大值，此時(shí)E、F分別為、中點(diǎn)）
下面求二面角的正弦值：
法一：由（1）得平面，因?yàn)槠矫?，所以?br>又因?yàn)?，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所以，所以是二面角的平面角?br>由（1）知為直角三角形，則．
故，所以二面角的正弦值為．
法二：由（1）知兩兩相互垂直，
如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，所在直線
為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則．
由（1）知平面，故平面的法向量可取為．
設(shè)平面的法向量為，
由，
得，即，即，取，得．
設(shè)二面角的平面角為，
，
所以二面角的正弦值為

相關(guān)試卷

河北省邯鄲市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）：

這是一份河北省邯鄲市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（解析版），共23頁。試卷主要包含了請將答案正確填寫在答題卡上等內(nèi)容，歡迎下載使用。

河北省邯鄲市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（原卷版）：

這是一份河北省邯鄲市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（原卷版），共4頁。試卷主要包含了請將答案正確填寫在答題卡上等內(nèi)容，歡迎下載使用。

安徽省六安市獨(dú)山中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）：

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