4.6.1 正弦函數(shù)的圖像
簡諧運動是最基本也是最簡單的機械振動． 單擺是常見的簡諧振動之一，以時間為橫軸，擺球離開平衡位置的位移為縱軸，作出擺球偏離平衡位置的位移隨時間變化的關(guān)系圖，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了么？
由三角函數(shù)的單位圓定義可知：在第一象限內(nèi), sinx隨 x 的增大而增大; 在第二象限內(nèi), sinx隨 x 的增大而減小; 在第三象限內(nèi), sinx隨 x 的增大而減小; 在第四象限內(nèi), sinx隨 x 的增大而增大.
根據(jù)單位圓的圓周運動特點, 單位圓上任意一點在圓周上旋轉(zhuǎn)一周就回到原來的位置, 這說明自變量每增加或者減少2π, 正弦函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn). 這一現(xiàn)象可以用公式 sin(x+2kπ) = sinx，k∈Z來表示.
一般地，對于函數(shù) y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)任意一個值時，都有 f(x+T) ＝f(x)， 則稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)．非零常數(shù)T為y＝f(x)的一個周期．
因此正弦函數(shù)y = sinx，x∈R是一個周期函數(shù)，2π，4π，6π，…及-2π，-4π，-6π，…都是它的周期，即常數(shù)2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期．如果周期函數(shù)y＝f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù) T0，那么這個最小的正數(shù) T0就稱為y＝f(x)的最小正周期． 顯然，2π為正弦函數(shù)的最小正周期.
(1)列表．
把區(qū)間[0,2π]分成12等份, 分別求出y=sinx在各分點及區(qū)間端點的正弦函數(shù)值.
根據(jù)表中x，y的數(shù)值在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描點(x, y) ，再用平滑曲線順次連接各點，就得到正弦函數(shù)y＝sinx 在 [0,2π]上的圖像.
(2) 描點作圖．
觀察函數(shù)y＝sinx 在 [0,2π]上的圖像發(fā)現(xiàn)，在確定圖像的形狀時，起關(guān)鍵作用的點有以下五個，描出這五個點后，正弦函數(shù)的圖像就基本確定了.
因此，在精確度要求不高時，常常先找出這五個關(guān)鍵點，再用光滑的曲線將它們連接起來，就得到[0,2π]上正弦函數(shù)的圖像簡圖了，這種作圖方法稱為五點法．
因為正弦函數(shù)的周期是2π，所以正弦函數(shù)值每隔2π重復(fù)出現(xiàn)一次．于是，我們只要將函數(shù)y＝sinx在 [0,2π]上的圖像沿x軸向左或向右平移2kπ(k∈Z)，就可得到正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖像.正弦函數(shù)的圖像也稱為正弦曲線，它是一條“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線．
例1 利用五點法作出函數(shù)y＝1+sinx在 [0,2π]上的圖像．
根據(jù)表中x, y的數(shù)值在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描點(x,y), 再用平滑曲線順次連接各點, 就得到函數(shù)y＝1+sinx在 [0,2π]上的圖像.
4.6.2 正弦函數(shù)的性質(zhì)
利用研究函數(shù)的經(jīng)驗，可否從正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性等方面來研究正弦函數(shù)的性質(zhì)呢？
(1)定義域. 正弦函數(shù)的定義域是實數(shù)集R.
正弦函數(shù)是周期為2π的周期函數(shù)．
由圖像關(guān)于原點對稱和誘導(dǎo)公式sin(?x)=?sinx可知，正弦函數(shù)是奇函數(shù)．
例1 求下列函數(shù)的最大值和最小值，并寫出取得最大值、最小值時自變量x的集合.
解 (1) 由正弦函數(shù)的性質(zhì)知，-1≤sinx≤1，所以
(2)由正弦函數(shù)的性質(zhì)知，－1≤sinx≤1，所以-2≤-2sinx≤2，-1≤1-2sinx≤3，即-1≤y≤3．故函數(shù)的最大值為3，最小值為-1．
解 根據(jù)正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知：
例4 求函數(shù) 的定義域.
觀察正弦函數(shù)y=sinx在[0,2π] 上圖像. 發(fā)現(xiàn)，在[0,2π]內(nèi), 符合題意的x 滿足0≤x≤π．由函數(shù)的周期性得：
在[0,2π]內(nèi), 符合題意的 x 滿足0≤x≤π．由函數(shù)的周期性得： 2kπ≤x≤π+2kπ(k∈Z)，故函數(shù)的定義域為{x|2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z}．
對含三角函數(shù)的函數(shù)式求定義域時，除了考慮函數(shù)式有意義之外，還要注意三角函數(shù)的周期性．
1. 下列等式是否成立？為什么？
2. 求下列函數(shù)的值域.
3.求下列函數(shù)的最大值和最小值，并寫出取得最大值、最小值時自變量x的集合．
4．函數(shù)y=a+2sinx的最小值是5，求a的值．
4.6 正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)
1.書面作業(yè)：完成課后習(xí)題和學(xué)習(xí)與訓(xùn)練；2.查漏補缺：根據(jù)個人情況對課題學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)與回顧;3.拓展作業(yè)：閱讀教材擴(kuò)展延伸內(nèi)容.

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中職數(shù)學(xué)高教版（2021·十四五）基礎(chǔ)模塊 上冊電子課本

4.6 正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)

版本： 高教版（2021·十四五）

年級： 基礎(chǔ)模塊 上冊

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