春天萬物復(fù)蘇、百花盛開，年復(fù)一年，周而復(fù)始．像這樣重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為周期現(xiàn)象，數(shù)學(xué)中也存在這種現(xiàn)象．正弦函數(shù)就是一種周期函數(shù)，是刻畫“周而復(fù)始”現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型．
做一個沙漏單擺實(shí)驗(yàn)：如圖所示，一個沙漏掛在架子上，沙漏下方放一塊紙板，紙板中間畫一條直線作為坐標(biāo)系的橫軸．把沙漏沿垂直于該直線方向拉離平衡位置，放手使之?dāng)[動，同時勻速拉動紙板．這樣可在紙板上得到一條曲線．這是一條什么曲線呢？
這個實(shí)驗(yàn)得到的曲線是一條波浪起伏、周而復(fù)始的曲線．從前面的學(xué)習(xí)我們知道，隨著角的變化，三角函數(shù)值也具有這種周而復(fù)始的變化規(guī)律．我們可以用正弦函數(shù)來刻畫這條曲線．
根據(jù)單位圓的圓周運(yùn)動特點(diǎn)，單位圓上任意一點(diǎn)在圓周上旋轉(zhuǎn)一周就回到原來的位置，這說明自變量每增加或者減少2π， 正弦函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn)．這一現(xiàn)象可以用公式 sin(x+2kπ) = sinx，k∈Z來表示．
一般地，對于函數(shù) y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)任意一個值時，都有 f(x+T) ＝f(x)， 則稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)．非零常數(shù)T為y＝f(x)的一個周期．
4.6.1 正弦函數(shù)的圖像
因此正弦函數(shù)y = sinx，x∈R是一個周期函數(shù)，2π，4π，6π，…及-2π，-4π，-6π，…都是它的周期，即常數(shù)2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它的周期．
如果周期函數(shù)y＝f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)T0 ，那么這個最小的正數(shù) T0就稱為y＝f(x)的最小正周期．
本書中所涉及的周期，如果不特別說明，都是指函數(shù)的最小正周期．
顯然，2π為正弦函數(shù)的最小正周期 ．
（1）列表．
把區(qū)間[0，2π]分成12等份，分別求出y=sinx在各分點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)的正弦函數(shù)值．
根據(jù)表中x，y的數(shù)值在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)(x， y) ，再用平滑曲線順次連接各點(diǎn)，就得到正弦函數(shù)y＝sinx 在 [0，2π]上的圖像．
（2）描點(diǎn)作圖．
觀察函數(shù)y=sinx 在 [0，2π]上的圖像發(fā)現(xiàn)，在確定圖像的形狀時，起關(guān)鍵作用的點(diǎn)有以下五個，描出這五個點(diǎn)后，正弦函數(shù)的圖像就基本確定了．
因此，在精確度要求不高時，常常先找出這五個關(guān)鍵點(diǎn)，再用光滑的曲線將它們連接起來，就得到[0，2π]上正弦函數(shù)的圖像簡圖了，這種作圖方法稱為五點(diǎn)法．
因?yàn)檎液瘮?shù)的周期是2π，所以只要將函數(shù)y＝sinx在 [0，2π]上的圖像沿x軸向左或向右平移2kπ(k∈Z)，就可得到正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖像．
正弦函數(shù)的圖像也稱為正弦曲線，它是一條“波浪起伏”“周而復(fù)始”的連續(xù)光滑曲線．
例1 利用五點(diǎn)法作出函數(shù)y＝1+sinx在 [0，2π]上的圖像．
例1 利用五點(diǎn)法作出函數(shù)y＝1+sinx在 [0，2π]上的圖像．
根據(jù)表中x，y的數(shù)值在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)(x，y)，再用光滑曲線順次連接各點(diǎn)，就得到函數(shù)y=1+sinx在 [0，2π]上的圖像．
利用研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，可否從正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性等方面來研究正弦函數(shù)的性質(zhì)呢？
（1）定義域． 正弦函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R ．
如圖所示，正弦曲線分布在兩條直線y=-1和y=1之間，即對任意的x，都有|sinx|≤1成立．因此，正弦函數(shù)的值域是[1，1] ．
正弦函數(shù)是周期為2π的周期函數(shù)．
由圖像關(guān)于原點(diǎn)O對稱和誘導(dǎo)公式sin(?x)=?sinx可知，正弦函數(shù)是奇函數(shù)．
解 （2） 因?yàn)?1≤sinx≤1，所以2≥-2sinx≥-2，即-2≤-2sinx≤2 ．所以-1≤1-2sinx≤3 ．
解 根據(jù)正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知：
觀察正弦函數(shù)y=sinx在[0，2π] 上圖像．
2kπ≤x≤π+2kπ(k∈Z)， 故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|2kπ≤x≤π+2kπ，k∈Z} ．
發(fā)現(xiàn)，在[0，2π]內(nèi)，符合題意的x 滿足0≤x≤π．由函數(shù)的周期性得：
對含三角函數(shù)的函數(shù)式求定義域時，除了考慮使函數(shù)式有意義之外，還要注意三角函數(shù)的周期性．
3．函數(shù)y=a+2sinx的最小值是5，求a的值．

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中職數(shù)學(xué)高教版（2021·十四五）基礎(chǔ)模塊 上冊電子課本

4.6 正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)

版本： 高教版（2021·十四五）

年級： 基礎(chǔ)模塊 上冊

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