（全卷共四大題22小題，總分150分，考試時長120分鐘）
注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必將姓名、班級填寫清楚.
2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色簽字筆書寫，字體工整、跡清晰.
3.請按題號順序在答題卡的相應(yīng)區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在試卷和草稿紙上答題無效.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 集合，集合，則（）
AB. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)偶次根號下大于等于零求解集合A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域求解集合B，再利用并集運算求解即可.
【詳解】因為，所以，
所以，
又，所以，
所以.
故選：C.
2. 已知向量滿足，則與夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，兩邊同時平方，利用已知條件和向量數(shù)量積的公式，求與的夾角.
【詳解】已知，設(shè)與的夾角為，
有，
解得，則與的夾角為.
故選：B
3. 剪紙和折紙都是中華民族的傳統(tǒng)藝術(shù)，在折紙界流傳著“折不過8”的說法，為了驗證這一說法，有人進行了實驗，用一張邊長為的正方形紙，最多對折了13次.記第一次對折后的紙張厚度為，第2次對折后的紙張厚度為，以此類推，設(shè)紙張未折之前的厚度為毫米，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由等比數(shù)列的通項公式求解．
【詳解】由題意數(shù)列是等比數(shù)列，公比是2，且，∴，
故選：C．
4. 若正四棱臺的上、下底面的面積分別為2，8，側(cè)棱與下底面所成角的正切值為2，則該正四棱臺的體積為（）
A. B. C. D. 28
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)正四棱臺的結(jié)構(gòu)特征先求出該正四棱臺的上、下底面的邊長，然后根據(jù)側(cè)棱與下底面所成角的正切值求得該正四棱臺的高，最后利用臺體的體積公式求解即可．
【詳解】設(shè)該正四棱臺的高為，側(cè)棱與下底面所成的角為，
因為該正四棱臺的上、下底面的面積分別為2和8，
所以該正四棱臺的上底面邊長為，下底面邊長為，
則，所以，
所以該正四棱臺的體積．
故選：C.
5. 已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)三角恒等變換知識化簡已知等式，從而求得.
【詳解】因為，
即，兩邊平方可得，
解得.
故選：A
6. 已知函數(shù)，若對任意的正數(shù)、，滿足，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，可得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】對任意的，，所以，函數(shù)的定義域為，
因為，即函數(shù)為奇函數(shù)，
又因為，且函數(shù)在上為增函數(shù)，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
對任意的正數(shù)、，滿足，則，
所以，，即，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.
故選：B.
7. M點是圓上任意一點，為圓的弦，且，N為的中點.則的最小值為（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)弦長公式先求出，然后可知點N在以為圓心，1為半徑的圓上，結(jié)合圖形即可求解.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為.
如圖，由弦長公式知，，解得，
所以，點N在以為圓心，1為半徑的圓上，
由圖可知，的最小值為.
故選：B
8. 設(shè)函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若存在實數(shù)a使得恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得，令，函數(shù)和函數(shù)的圖象，一個在直線上方，一個在直線下方，等價于一個函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值，即可得出答案．
【詳解】函數(shù)的定義域為，
由，得，所以，
令，
由題意知，函數(shù)和函數(shù)的圖象，一個在直線上方，一個在直下方，等價于一個函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值，
由，得，
所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
所以，沒有最小值，
由，得，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，
所以有最大值，無最小值，不合題意，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
所以，
所以即，
所以，即m的取值范圍為．
故選：A．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）
A. 的圖象關(guān)于直線對稱
B. 的圖象關(guān)于點對稱
C. 在上最小值為
D. 將函數(shù)圖象上所有點橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，再把得到的圖象向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象
【答案】AD
【解析】
【分析】利用代入法，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷ABC，根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律，即可判斷D.
【詳解】A.，是函數(shù)的最小值，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；
B.，所以的圖象關(guān)于點對稱，故B錯誤；
C.當(dāng)，，，即，所以函數(shù)在上最小值為，故C錯誤；
D. 將函數(shù)圖象上所有點橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得，
再把得到的圖象向左平移個單位長度，得，故D正確.
故選：AD
10. 已知橢圓的焦點分別為，，設(shè)直線l與橢圓C交于M，N兩點，且點為線段的中點，則下列說法正確的是（）
A. B. 橢圓C的離心率為
C. 直線l的方程為D. 的周長為
【答案】AC
【解析】
【分析】先由題意求出即可判斷A；再根據(jù)離心率公式即可判斷B；由點差法可以求出直線l的斜率，由直線的點斜式化簡即可判斷C；由焦點三角形的周長公式即可判斷D.
【詳解】如圖所示：
根據(jù)題意，因為焦點在y軸上，所以，則，故選項A正確；
橢圓C的離心率為，故選項B不正確；
不妨設(shè)，則，，
兩式相減得，變形得，
又注意到點為線段的中點，所以，
所以直線l的斜率為，
所以直線l的方程為，即，故選項C正確；
因為直線l過，所以的周長為，故選項D不正確.
故選：AC．
11. 在正方體中，是側(cè)面上一動點，下列結(jié)論正確的是（）
A. 三棱錐的體積為定值
B. 若∥，則平面
C. 若，則與平面所成角為
D. 若∥平面，則與所成角的正弦最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于A，利用等體積法分析判斷，對于B，由條件可得點在平面上的軌跡為，再判斷與平面的位置關(guān)系即可，對于C，連接交于點，連接，，則可證得為直線與平面所成角，然后求解即可，對于D，連接，可證得平面∥平面，得點在平面上的軌跡為，得為與所成的角，從而可求得結(jié)果.
【詳解】對于A，因為是側(cè)面上一動點，平面∥平面，
所以點到平面的距離等于正方體的棱長，設(shè)棱長為，則
，所以三棱錐的體積為定值，所以A正確，
對于B，因為∥，平面，所以當(dāng)∥時，點在平面上的軌跡為，因為與不垂直，所以與平面不垂直，
所以與平面不垂直，所以B錯誤，
對于C，連接交于點，連接，，則，
所以為等邊三角形，
因為平面，平面，所以，
因為，，平面，所以平面，
因為平面平面，，是側(cè)面上一動點，
所以點的軌跡是，
所以平面就是平面，
因為平面，平面，所以，
因為，，平面，所以平面，
所以為直線與平面所成角，設(shè)正方體的棱長為，
因為，所以，
因為為銳角，所以，即與平面所成角為，所以C正確，
對于D，連接，則∥，∥，
因為平面，平面，
所以∥平面，∥平面，
因為，平面，所以平面∥平面，
因為∥平面，所以平面，
因為平面平面，所以點在平面上的軌跡為，
因為∥，所以為與所成的角，
因為平面，平面，所以，
設(shè)正方體的棱長為1，設(shè)，則，
所以，
因為，所以當(dāng)時，取得最小值，此時最小，
所以此時取得最小值為，
所以與所成角的正弦最小值為，所以D正確，
故選：ACD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查線線角，線面角的求法，考查棱錐的體積的求法，考查立體幾何中的軌跡問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意結(jié)合線面點的關(guān)系確定動點的軌跡，考查空間想象能力和計算能力，屬于難題.
12. 已知定義在上的函數(shù)和，是的導(dǎo)函數(shù)且定義域為.若為偶函數(shù)，，，則下列選項正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)題意，先利用求導(dǎo)證明為奇函數(shù)，再證明其還為周期為4的函數(shù)，再通過合理賦值可一一核對各選項的對錯.
【詳解】因為為偶函數(shù)，則，兩邊求導(dǎo)得，
所以為奇函數(shù)，因為，，
所以，故，所以，
即的周期且，則，故B錯誤；
在，中，
令，可得，所以，故A正確；
由，令，可得，則，則，即，
所以，故D錯誤；
在中，令得，，
在中，令得，，
兩式相加得，即，故C正確.
故選：AC.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知雙曲線的兩條漸近線方程為，若頂點到漸近線的距離為1，則雙曲線方程為___________．
【答案】
【解析】
【詳解】由已知，即，取雙曲線頂點及漸近線，則頂點到該漸近線的距離為，由題可知，所以，則所求雙曲線方程為.
14. 各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，且，，成等差數(shù)列，若，則_____．
【答案】15
【解析】
【分析】由，，成等差數(shù)列可得，利用通項公式代入求出公比，再由等比數(shù)列求和公式即可求.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因為，，成等差數(shù)列，
所以，
所以，
因為，且各項均為正數(shù)，
所以解得，
所以.
故答案為：15
15. 在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的表面積為________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件及余弦定理，可求得，由勾股定理可得，則三棱錐的外接球球心為中點，即外接圓的直徑為，進而求出外接球的半徑，從而可求外接球的表面積.
【詳解】由，，，根據(jù)余弦定理可得，則，，
中E為斜邊AB中點，所以到各點的距離相等，
則三棱錐外接球的直徑為，
故三棱錐外接球的表面積為．
故答案為：
16. 在直角中，，平面內(nèi)動點滿足，則的最小值為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由題可知，點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，由數(shù)量積的定義求出，再由向量的模長公式求出，當(dāng)與共線反向時，取最小值，即可得出答案.
【詳解】平面內(nèi)動點滿足，所以點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
因為，由勾股定理可得：，
所以，且，
所以，所以，
，
，
，
，
又向量是長度為的一個向量，由此可得，點在圓上運動，
當(dāng)與共線反向時，取最小值，且這個最小值為一，
故的最小值為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點睛：由數(shù)量積的定義和平面向量基本定理可得，當(dāng)與共線反向時，取最小值，即可得出答案.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 在數(shù)列中，，.
（1）求證：為等差數(shù)列；
（2）求的前項和.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用構(gòu)造法，結(jié)合等差數(shù)列的定義可得證；
（2）法一：利用并項求和的方法可得解，法二：分組求和的方法可得解.
【小問1詳解】
由，得，
又，
所以數(shù)列是以為首項，的等比數(shù)列，
即，即，
所以，
所以數(shù)列是以為首項，為公差等差數(shù)列；
【小問2詳解】
由（1）得，
法一：
當(dāng)為偶數(shù)時，
；
當(dāng)為奇數(shù)時，
；
綜上所述，；
法二：
當(dāng)為偶數(shù)時，
；
當(dāng)為奇數(shù)時，
；
綜上所述.
18. 在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
（1）求B；
（2）已知，D為邊上的一點，若，，求的長．
【答案】（1）．
（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角化結(jié)合三角恒等變換即可求解，
（2）根據(jù)余弦定理求解，即可由正弦定理求解，進而由銳角三角函數(shù)即可求解.
【小問1詳解】
∵，根據(jù)正弦定理得，，
即，
所以，因為，
所以，所以，
因為，所以．
【小問2詳解】
因為，，，根據(jù)余弦定理得
，∴．
∵，∴．
在中，由正弦定理知，，∴，
∴，，所以
∴，∴．
19. 從今年起，我國將于每年5月第四周開展“全國城市生活垃圾分類宣傳周”活動，首全國城市生活垃圾分類宣傳周時間為2023年5月22日至28日，宣傳主題為“讓垃圾分類成為新時尚”，在此宣傳周期間，某社區(qū)舉行了一次生活垃圾分類知識比賽. 要求每個家庭派出一名代表參賽，每位參賽者需測試A，B，C三個項目，三個測試項目相互不受影響.
（1）若某居民甲在測試過程中，第一項測試是等可能的從三個項目中選一項測試，且他測試三個項目“通過”的概率分別為. 求他第一項測試“通過”的概率；
（2）現(xiàn)規(guī)定：三個項目全部通過獲得一等獎，只通過兩項獲得二等獎，只通過一項獲得三等獎，三項都沒有通過不獲獎.已知居民乙選擇的順序參加測試，且他前兩項通過的概率均為，第三項通過的概率為.若他獲得一等獎的概率為，求他獲得二等獎的概率的最小值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）第一項測試“通過”分選擇了項目A通過，選擇了項目B通過和選擇了項目C通過，利用條件概率和互斥事件的概率加法公式計算；
（2）由居民乙獲一等獎的概率為，可得，把獲得二等獎的概率表示為的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求最小值.
【小問1詳解】
記事件“第一項測試選擇了項目A”，“第一項測試選擇了項目”，
“第一項測試選擇了項目”，記事件“第一項測試通過”，
由題意知，，，
，
又事件互斥，則，
即，
即居民甲第一項測試“通過”的概率是.
【小問2詳解】
由居民乙獲一等獎的概率為，可知.
則獲得二等獎的概率.
令，
，
當(dāng)時，；當(dāng)時，.
所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).
所以，所以的最小值為.
20. 如圖，在四棱臺中，底面是正方形，，，，．
（1）求證：直線平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)，交于點O，連接，，，易證，可得，得，又，得證；
（2）易證為等邊三角形，可證平面，可得，，兩兩互相垂直，建系利用向量法求解即可.
【小問1詳解】
證明：設(shè)，交于點O，連接，，，
因為，，，
所以，所以，
又因為O為正方形的對角線交點，即O是線段的中點，
所以，
又因為四邊形為正方形，
所以，
又因為，平面，
所以平面．
【小問2詳解】
∵底面是正方形，，
∴，，
又，，
∴為等邊三角形，
∵O為中點，∴，
又，平面，
∴平面，
∴，，兩兩互相垂直，
以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
∴，，，
所以
，
，
設(shè)平面的法向量，
則，即，
令，則，，
∴，
取平面的法向量，
設(shè)平面與平面所成夾角為，
則，
所以二面角的余弦值為．
21. 與雙曲線有共同的焦點的橢圓經(jīng)過點.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點的直線交橢圓于、兩點，交軸于點，點關(guān)于軸的對稱點為，直線交軸于點.求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意可得，再將點代入橢圓方程，解方程組，進而求解；
（2）設(shè)直線的方程為，可得，進而得到直線的方程，表示出點的橫坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓方程，由求出的取值范圍，結(jié)合韋達定理，即可得到，進而利用基本不等式求解即可.
【小問1詳解】
雙曲線的焦點為，，
則，即，
又點在橢圓上，
則，解得，，
所以橢圓的方程為.
【小問2詳解】
由題意，設(shè)直線的方程為，則，
設(shè)，，則，直線方程為：，
令，得點的橫坐標(biāo)為，
聯(lián)立，整理得，
則，解得或，
，，
則，
從而，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以的取值范圍為.
22. 已知，.
(1)求曲線在點處的切線方程;
(2)當(dāng)時，若關(guān)于的方程存在兩個正實數(shù)根，證明:且.
【答案】(1);(2)見解析
【解析】
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再計算出，，即可求出切線方程；
（2）由存在兩個正實數(shù)根，整理得方程存在兩個正實數(shù)根.令利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、最值，因為有兩個零點，即，得.
因為實數(shù)，是的兩個根，所以，從而.令，，則，變形整理得.要證，則只需證，即只要證，
再構(gòu)造函數(shù)即可證明.
【詳解】(1)解:∵，
∴，，
∴曲線在點處的切線方程為.
(2)證明:由存在兩個正實數(shù)根，
整理得方程存在兩個正實數(shù)根.
由，知，
令，則，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減.
所以.
因為有兩個零點，即，得.
因為實數(shù)，是的兩個根，
所以，從而.
令，，則，變形整理得.
要證，則只需證，即只要證，
結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象可知，只需要證，兩點連線的斜率要比，兩點連線的斜率小即可.
因為，所以只要證，整理得.
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，即，
所以成立，故成立.
【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立，屬于難題.

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