1. 設(shè)集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出兩個(gè)集合，再根據(jù)集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算即可.
【詳解】由題意可得：，所以，故.
故選：C
2. 若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)純虛數(shù)的概念列方程即可得解.
【詳解】，
所以，解得，
故選：A.
3. 在數(shù)列中，若，，，則（）
A. B. C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式求出數(shù)列的前面一些項(xiàng)，推出數(shù)列的周期，由此即可求得答案.
【詳解】由題意知數(shù)列中，若，，，
故，，，，
，
則為周期為6的周期數(shù)列，
故，
故選：C
4. 甲、乙，丙、丁，戊5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問成績，裁判說：“很遺憾，你倆都沒有得到冠軍．但都不是最差的．”從回答分析，5人的名次排列的不同情況可能有（）
A. 27種B. 72種C. 36種D. 54種
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，先排甲乙，再排剩下三人，由排列數(shù)的計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意，甲、乙都沒有得到冠軍，也都不是最后一名，
先排甲乙，再排剩下三人，則5人的名次排列種數(shù)為種.
故選：C
5. 如圖①所示，圓錐繡球是虎耳草科繡球?qū)僦参?，在中國主要分布于西北、華東、華南、西南等地區(qū)，抗蟲害能力強(qiáng)，其花序碩大，類似于圓錐形，因此得名．現(xiàn)將某圓錐繡球近似看作如圖②所示的圓錐模型，已知，直線與圓錐底面所成角的余弦值為，則該圓錐的側(cè)面積為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用圓錐的側(cè)面積公式求解即可.
【詳解】依題意直線與圓錐底面所成角為，
則，得()，
所以該圓錐的側(cè)面積為()．
故選：C．
6. 已知，則下列結(jié)論正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】使用基本不等式證明，從而得，使用證明，再證明可得.
【詳解】由題知、均在和之間，
，于是，
當(dāng)時(shí)，，所以.
當(dāng)時(shí)，令，則，所以時(shí)，為減函數(shù)，
故，故，
所以，
，于是.
所以.
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題首先用均值不等式放縮，比較和，也可用換底公式；比較和需要構(gòu)造函數(shù)和運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì).
7. 已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）
A. 3B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)過與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點(diǎn)，運(yùn)用雙曲線的定義和條件可得，，，再由漸近線的斜率和余弦定理，結(jié)合離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．
【詳解】設(shè)過與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點(diǎn)，
由雙曲線定義可得，
由，可得，，，
由可得，
在三角形中，由余弦定理可得：
，
即有，化簡可得，
所以雙曲線的離心率．
故選：C．
8. 已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則下列結(jié)論正確的是（）
A. B.
C. 的最大值為D. 的最大值為
【答案】C
【解析】
【分析】由，得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，進(jìn)而可得，構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求其最值即可.
【詳解】由，得，
所以，則，A錯(cuò)誤；
則，
兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得：，
又函數(shù)在單調(diào)遞增，，即，故B錯(cuò)誤；
所以，故，
設(shè)，則，
由，可得，故在單調(diào)遞增，
由，可得，故在單調(diào)遞減，
故，因此的最大值為，故C正確，D錯(cuò)誤.
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合的單調(diào)性求解，需構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析即可.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列四個(gè)命題，其中說法正確的是（）
A. “”是“”的充分不必要條件
B. 命題“，”的否定是“，”
C. ，，若，則
D. 若向量，，則向量在向量上的投影向量為
【答案】AD
【解析】
【分析】利用充分條件、必要條件的定義判斷A；利用存在量詞命題的否定判斷B；利用向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算判斷C；求出投影向量判斷D.
【詳解】對(duì)于A，，而，不一定有，如，
因此“”是“”的充分不必要條件，A正確；
對(duì)于B，命題“，”的否定是“，”，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由，得，解得，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，，因此向量在向量上的投影向量為，D正確.
故選：AD
10. 下列說法中，正確的是（）
A. 一組數(shù)據(jù)5，8，8，9，12，13，15，16，20，22的第80百分位數(shù)為18
B. 若隨機(jī)變量，且，則．
C. 袋中裝有除顏色外完全相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，從袋中不放回地依次抽取2個(gè)球，記事件第一次抽到的是白球，事件第二次抽到的是白球，則
D. 設(shè)隨機(jī)事件A，B，已知，，，則．
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)條件概率的計(jì)算方法求解即可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)條件概率與對(duì)立事件的計(jì)算公式計(jì)算即可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】對(duì)于A，共有10個(gè)數(shù)，，
所以數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為16和20的平均數(shù)，即為18，故A正確．
對(duì)于B，因?yàn)?，且?br>所以，
則，故B正確．
對(duì)于C，因?yàn)椋?br>所以，則，故C錯(cuò)誤．
對(duì)于D，因?yàn)?，?br>所以，
又因?yàn)?，所以?br>則，
所以，故D正確．
故選：ABD.
11. 已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，左?右頂點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)在上，則（）
A. 若的面積為，則
B. 若直線的斜率之積為，則
C. 若，則以為直徑的圓與無交點(diǎn)
D. 若，則的最大值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于A，結(jié)合解三角形中的余弦定理和三角形面積公式即可求解；對(duì)于B，先根據(jù)斜率公式求出，再檢驗(yàn)是否成立；對(duì)于C，根據(jù)離心率，得出橢圓中和的大小關(guān)系即可求解；對(duì)于D，根據(jù)，轉(zhuǎn)化為，列出不等式，即可求出離心率的最大值.
【詳解】
對(duì)于A，橢圓中，，，
在中，由，
解得，
所以，
又因?yàn)?，所以?br>所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，橢圓左右頂點(diǎn)分別為，，
所以，
又因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，即，
所以，
因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C，根據(jù)，可得，所以圓與軸的交點(diǎn)之間的距離，可得以為直徑的圓與無交點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，即，
所以，
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，
又因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，所以，即，解得?br>所以的最大值為，故選項(xiàng)D正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決離心率的取值范圍的關(guān)鍵是根據(jù)焦半徑的最大值將題干條件轉(zhuǎn)化為含有的齊次不等式求解，還要注意與橢圓本身離心率相結(jié)合.
12. 在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則（ ）
A. 異面直線與所成角的余弦值為
B. 點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，的最大值為
C. 過點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面周長為
D. 當(dāng)三棱錐所有頂點(diǎn)都在球的表面上時(shí)，球的表面積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于A：根據(jù)正方體的性質(zhì)得出在中即為異面直線與所成的角，即可判定；對(duì)于B：取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接，，，得到，，即可證明面面，則根據(jù)已知得出軌跡為線段，則過作，此時(shí)取得最小值，即可判定；對(duì)于C：過點(diǎn)的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，得出，，設(shè)，，以為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S?軸?軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，得出，，，的坐標(biāo)，則可根據(jù)，列式得出，，即可得出，，在中得出，同理得出，在中得出，同理得出，在中得出，即可得出五邊形的周長，即過點(diǎn)的平面截正方體所得的截面周長，即可判定；對(duì)于D：取的中點(diǎn)，則，過作，且使得，則為三棱錐的外接球的球心，則為外接球的半徑，計(jì)算得出半徑即可求出球的表面積，即可判定.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，
在中即為異面直線與所成的角，
，
異面直線與所成的角的余弦值為．故A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，
四邊形為平行四邊形，，，，
同理可得，
又面，面，面，面，
面，面，
又，面，
面面，
又面，面，
軌跡為線段，
在中，過作，此時(shí)取得最小值，
在中，，，，
在中，，，，
在中，，，，
如圖，在中，，
即的最小值為，而的最大值為．故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，過點(diǎn)的平面截正方體，
平面平面，則過點(diǎn)的平面必與與交于兩點(diǎn)，
設(shè)過點(diǎn)的平面必與與分別交于、，
過點(diǎn)的平面與平面和平面分別交于與，，同理可得，
如圖過點(diǎn)的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，
如圖以為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S?軸?軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，
則，，，，，
，，，，
，，
，解得，
，，，，
在中，，，，同理：，
在中，，，，同理：
在中，，，
，
即過點(diǎn)的平面截正方體所得的截面周長為．故C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，如圖所示，取的中點(diǎn)，則，過作，
且使得，則為三棱錐的外接球的球心，
所以為外接球的半徑，
在中，，
，
．故D項(xiàng)正確，
故選：ACD．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：通過證明面面平行得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡，利用空間向量法確定點(diǎn)的位置是B、C的關(guān)鍵.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 函數(shù)的圖象在處的切線斜率為________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)切點(diǎn)處切線的斜率等于切點(diǎn)處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可求解.
【詳解】由題意可得：，則，，
∴函數(shù)在處的切線方程為.
故答案為: .
14. 若，且，則實(shí)數(shù)的值為________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)，分別令，，得到，求解.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>令，得，
令，得，
所以，
，
則，
所以，解得，
故答案為：
15. 已知圓與直線，過上任意一點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)為，，若線段長度的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為________.
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)，則，則由題意可求得，從而可得，而的最小值是圓心到直線的距離，然后列方程可求出實(shí)數(shù)m的值.
【詳解】
圓的圓心，半徑，
設(shè)，則，
因?yàn)?，所以?br>又，所以，
又，所以，即，
又，所以．
故答案為：．
16. 窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.如圖2，若正八邊形邊長為2，是正八邊形八條邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】將正八邊形放在平面直角坐標(biāo)系中，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出的解析式，再利用線性規(guī)劃知識(shí)進(jìn)行平移，求出截距的范圍即得.
【詳解】
如圖，因,故可以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.
在正八邊形中，則
設(shè)點(diǎn)，則，不妨設(shè)，則，
故要求的取值范圍，即求的取值范圍.由線性規(guī)劃知，可將直線進(jìn)行平行移動(dòng)，
當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，即的取值范圍是，
從而的取值范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查平面向量點(diǎn)乘的范圍，屬于較難題.求解平面向量點(diǎn)乘的范圍問題的方法主要有：
（1）直接法，運(yùn)用向量點(diǎn)乘的定義計(jì)算求解；
（2）基向量表示法，選設(shè)平面的基底，運(yùn)用基底表示向量計(jì)算求解；
（3）坐標(biāo)表示法，選擇適當(dāng)坐標(biāo)系，運(yùn)用向量坐標(biāo)計(jì)算求解.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 在△ABC中，角的對(duì)邊分別為，若，且．
（1）求角B的值；
（2）若，且的面積為，求BC邊上的中線AM的長．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理，邊化角，求得，判斷角的范圍，確定答案;
（2）由條件可推得，繼而求得邊長，再根據(jù)余弦定理即可求得答案.
【小問1詳解】
因?yàn)?br>由正弦定理得
所以，或
又因?yàn)椋瑒t，故
故答案為：
【小問2詳解】
由（1）知，又，所以，則，所以.
又，所以，
中，，
由余弦定理得，
所以.
故答案為：
18. 已知是正項(xiàng)等比數(shù)列.，且，
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)為遞增數(shù)列，設(shè)，求數(shù)列前項(xiàng)和.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意建立方程組，求出，寫出通項(xiàng)公式即可；
（2）表示出數(shù)列，在求數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，進(jìn)行分類討論即可.
【小問1詳解】
設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比，
因?yàn)?，且，?br>則，解得或，
所以的通項(xiàng)公式為：或.
【小問2詳解】
因?yàn)闉檫f增數(shù)列，則，
結(jié)合題意: ，得到，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
;
當(dāng)時(shí)，，
，
綜上所述：.
19. 在如圖所示的五面體中，共面，是正三角形，四邊形為菱形，，平面，，點(diǎn)為中點(diǎn).
（1）在直線上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，請(qǐng)說明理由；
（2）當(dāng)，求平面與平面所成二面角的正弦值.
【答案】（1）存在，理由見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由題意根據(jù)條件推出平面平面，再根據(jù)面面平行的判定定理證明結(jié)論.
（2）求出，取中點(diǎn)，連接，從而證明，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的正弦值.
【小問1詳解】
在直線上存在一點(diǎn)，使得平面平面，理由如下：
取的中點(diǎn)，連接，
由點(diǎn)為中點(diǎn)，得，平面，平面，則平面，
又平面,平面，平面平面，則,
四邊形是菱形，則，于是四邊形是平行四邊形，
則，平面，平面，則平面，
而平面，所以平面平面.
【小問2詳解】
四邊形為菱形，，則為正三角形，，
在中，，由余弦定理知，
取中點(diǎn)，連接，而是正三角形，則，
顯然，即，又，即直線兩兩垂直，
以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，，，
由，得，則，，
設(shè)平面的法向量為，則，令，得，
設(shè)平面的法向量為，則，令，得，
設(shè)平面與平面所成二面角為，，
所以平面與平面所成二面角的正弦值為.
20. 在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字“0”和“1”組成的序列.現(xiàn)連續(xù)發(fā)射信號(hào)次，每次發(fā)射信號(hào)“0”和“1”是等可能的.記發(fā)射信號(hào)1的次數(shù)為.
（1）當(dāng)時(shí)，求
（2）已知切比雪夫不等式：對(duì)于任一隨機(jī)變最，若其數(shù)學(xué)期望和方差均存在，則對(duì)任意正實(shí)數(shù)，有.根據(jù)該不等式可以對(duì)事件“”的概率作出下限估計(jì).為了至少有的把握使發(fā)射信號(hào)“1”的頻率在0.4與0.6之間，試估計(jì)信號(hào)發(fā)射次數(shù)的最小值.
【答案】（1）
（2）1250
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)分布公式計(jì)算；
（2）運(yùn)用二項(xiàng)分布公式算出和，再根據(jù)題意求出中a的表達(dá)式，最后利用切比雪夫不等式求解.
【小問1詳解】
由已知，
所以
；
【小問2詳解】
由已知，所以，
若，則，即，
即.
由切比雪夫不等式，
要使得至少有的把握使發(fā)射信號(hào)“1”的頻率在與之間，則，
解得，所以估計(jì)信號(hào)發(fā)射次數(shù)的最小值為1250；
綜上，，估計(jì)信號(hào)發(fā)射次數(shù)的最小值為1250.
21. 已知拋物線，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，線段的中點(diǎn)為（當(dāng)與重合時(shí)，認(rèn)為也與重合），設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）設(shè)為曲線上不同的三點(diǎn)，且的重心為，求面積的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由為線段的中點(diǎn)得到的坐標(biāo)，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入整理得線段的中點(diǎn)的軌跡;
（2）設(shè)直線，聯(lián)立拋物線，借助重心公式找到的關(guān)系，再表示出面積，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，找到面積的取值范圍.
【小問1詳解】
設(shè)，則，
由為中點(diǎn)可得：
，故（*），
因?yàn)樵趻佄锞€上，故，
將代入上式可得：，
故的方程為.
【小問2詳解】
由題知，顯然直線的斜率不為0，故可設(shè)直線，.
.
，
所以，
因?yàn)槭堑闹匦?，故，即?br>所以，
因?yàn)樵谏希裕?br>即：.化簡得：.
代入可得：，解得：.
.
點(diǎn)到直線的距離.
故
令，得.
令，則.
所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又.
所以，
所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求最值或范圍問題的基本解法
（1）幾何法:根據(jù)已知的幾何量之間的相互關(guān)系、平面幾何和解析幾何知識(shí)加以解決(如拋物線上的點(diǎn)到某個(gè)定點(diǎn)和焦點(diǎn)的距離之和、光線反射問題等).
（2）代數(shù)法:建立求解目標(biāo)關(guān)于某個(gè)(或兩個(gè))變量的函數(shù)，通過求解函數(shù)的最值(普通方法、基本不等式方法、導(dǎo)數(shù)方法等)解決.
22. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（2）若，求的值；
（3）求證：.
【答案】（1）在處取得極小值，無極大值
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得最值；
（2）分情況討論函數(shù)的單調(diào)性與最值情況，可得參數(shù)值；
（3）利用放縮法，由，可知若證，即證，再根據(jù)，可得證.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，，
則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以在處取得極小值，無極大值；
【小問2詳解】
由題意得，
①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，與矛盾；
②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，
因?yàn)楹愠闪?，所以?br>記，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，所以，
又，
所以，
所以；
【小問3詳解】
證明：先證，
設(shè)，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，即，
所以，
再證，
由（2）可知，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
令，則，
即，
所以，，，
累加可得，
所以.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．

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