1.答題前，考生先將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)/座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.
2.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆填涂；答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)；必須在題號(hào)對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)無(wú)效；保持答卷清潔、完整.
3.考試結(jié)束后，將答題卡交回（試題卷學(xué)生保存，以備評(píng)講）.
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)的虛部為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，代入運(yùn)算，由復(fù)數(shù)相等的條件求解方程組即可.
【詳解】設(shè)，
代入得，
，
則有，解得，即復(fù)數(shù)虛部為.
故選：A.
2. 設(shè)集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由定義域?yàn)?，先求函?shù)值域即可，再由交集運(yùn)算可得.
【詳解】設(shè)函數(shù)，
則，
所以集合，由集合，
則，中元素的個(gè)數(shù)為，
故選：B.
3. 已知，則的最小值為（）
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】由于，得出和的對(duì)應(yīng)關(guān)系，再設(shè)定和為，得到基本不等式形式：“和模型”，求解即可.
【詳解】由于，得，
所以設(shè)，，且，
則，
其中（等號(hào)成立時(shí)，即時(shí)成立）.
故選：C.
4. 如圖，一個(gè)三棱柱形容器中盛有水，側(cè)棱，若側(cè)面水平放置時(shí)，水面恰好過(guò)，，，的中點(diǎn)，那么當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，水面高為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用水的體積不變，轉(zhuǎn)化求解即可.
【詳解】如圖，
設(shè)，，的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，
則，，
所以水部分四棱柱與原三棱柱的底面面積之比為，
由于兩種狀態(tài)下水的體積相等，
所以當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，水面高為側(cè)棱長(zhǎng)的，即.
故選：C
5. 加強(qiáng)學(xué)生心理健康工作已經(jīng)上升為國(guó)家戰(zhàn)略，為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，W區(qū)心理協(xié)會(huì)派遣具有社會(huì)心理工作資格的3位專(zhuān)家去定點(diǎn)幫助5名心理特異學(xué)生.若要求每名學(xué)生只需一位專(zhuān)家負(fù)責(zé)，每位專(zhuān)家至多幫助兩名學(xué)生，則不同的安排方法共有（）種
A. 90B. 125C. 180D. 243
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)已知對(duì)五位同學(xué)分3組，然后全排列即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，具有社會(huì)心理工作資格的3位專(zhuān)家去定點(diǎn)幫助5名心理特異學(xué)生，
要求每名學(xué)生只需一位專(zhuān)家負(fù)責(zé)，每位專(zhuān)家至多幫助兩名學(xué)生，
則把五位同學(xué)分3組，且三組人數(shù)為2、2、1，然后分配給3位專(zhuān)家，
所以不同的安排方法共有種.
故選：A．
6. 表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)遞推公式變形并構(gòu)造數(shù)列得出，再適當(dāng)放縮得出，再結(jié)合等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即可.
【詳解】由可知，所以數(shù)列是常數(shù)列，
又，，所以，則數(shù)列各項(xiàng)均為1，
即，，
則數(shù)列是以為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
即，
由，
，
故，
根據(jù)題意可知：，
所以.
故選：B
7. 過(guò)雙曲線上任一點(diǎn)作兩漸近線的平行線，且與兩漸近線交于，兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）
A. 3B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出的坐標(biāo)，然后利用斜率之積建立方程，利用離心率公式求解離心率即可.
【詳解】過(guò)點(diǎn)與雙曲線漸近線平行的直線為，
于是有：，解得，即，
過(guò)點(diǎn)與雙曲線漸近線平行的直線為，
于是有：，解得，即，
所以，因?yàn)?，所以?br>所以雙曲線的離心率為.
故選：D
8. 已知，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由常用不等式與作差法比較大小,
【詳解】設(shè)，，
則，則在單調(diào)遞增，
故，即，則，且
，且
所以，
則；
因?yàn)椋?br>則，
則，
所以，
由，則，即.
所以.
故選：A
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知函數(shù)的圖象中相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸的距離是，現(xiàn)將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若是偶函數(shù)，且最大值為2，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 的最小正周期是B. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)
C. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D. 在上單調(diào)遞減
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求得周期判斷A，整體代換法求解對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心判斷BC，代入正弦函數(shù)單調(diào)減區(qū)間求解判斷D.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象中相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸的距離是，
所以函數(shù)的最小正周期為，所以，故A錯(cuò)誤；
，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，
則，又是偶函數(shù)，且最大值為2，所以，
即，又，所以，所以，
由，得，
即圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；
由，得，即圖象的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故C正確；
當(dāng)，解得：，
所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D正確.
故選：CD
10. 對(duì)自然人群進(jìn)行普查，發(fā)現(xiàn)患某病的概率.為簡(jiǎn)化確診手段，研究人員設(shè)計(jì)了一個(gè)簡(jiǎn)化方案，并進(jìn)行了初步試驗(yàn)研究，該試驗(yàn)具有以下的效果：若以表示事件“試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性”，以表示事件“被確診為患病”，則有.根據(jù)以上信息，下列判斷正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)立事件概率公式判斷AC，根據(jù)條件概率和全概率公式判斷BD.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，C正確；
因?yàn)?，故選項(xiàng)B正確；
由全概率公式可得，
則由條件概率公式知
，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：BC
11. 統(tǒng)計(jì)學(xué)中的標(biāo)準(zhǔn)分是以平均分為參照點(diǎn)，以標(biāo)準(zhǔn)差為單位，表示一個(gè)數(shù)據(jù)在整組數(shù)據(jù)中相對(duì)位置的數(shù)值，其計(jì)算公式是（）.若一組原始數(shù)據(jù)如下：
則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 該數(shù)組的平均值B. 對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)分
C. 該組原始數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)分的方差為1D. 存在，使得，同時(shí)成立
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)平均數(shù)計(jì)算公式判斷A，先求標(biāo)準(zhǔn)差，然后利用標(biāo)準(zhǔn)分計(jì)算判斷B，計(jì)算，代入方差計(jì)算公式求解判斷C，利用與關(guān)系判斷D.
【詳解】該數(shù)組的平均值，故選項(xiàng)A正確；
因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差，
所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
，，，，所以標(biāo)準(zhǔn)分的平均值為，
所以該組原始數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)分的方差為，
故選項(xiàng)C正確；
由題意，若，且，則，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：AC
12. 定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的為（ ）
A. 當(dāng)是的零點(diǎn)時(shí)，是的極大值點(diǎn)
B. 當(dāng)是的零點(diǎn)時(shí)，是的極小值點(diǎn)
C. ，可能有相同的零點(diǎn)
D. ，可能有相同的極值點(diǎn)
【答案】ABD
【解析】
【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)，根據(jù)零點(diǎn)和極值點(diǎn)定義逐個(gè)判斷抽象函數(shù)滿(mǎn)足的條件即可.
【詳解】，設(shè)，則，
則，所以，
AB選項(xiàng),若,則不是的極大值點(diǎn),也不是極小值點(diǎn)，故AB錯(cuò)誤；
C選項(xiàng),考慮，則，顯然兩者有共同零點(diǎn)0，故C正確；
D選項(xiàng),若在處取得極值,
①若處取得極大值,,則在左右兩側(cè)無(wú)限小的區(qū)間內(nèi),
即時(shí),必有,
所以在上單增,不符合題意,
同理,有時(shí),必有,所以不符合題意.
②若處取得極小值,同理可得也不符合題意,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)判斷抽象函數(shù)零點(diǎn)和極值點(diǎn)的問(wèn)題，屬于中檔題.常用方法有：
（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)得出原函數(shù)表達(dá)式；
（2）假設(shè)成立，判斷命題真假；
（3）轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13已知向量，若，則實(shí)數(shù)a＝___.
【答案】
【解析】
【詳解】，由，得，解得.
14. 已知，，則______.
【答案】0
【解析】
【分析】利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系及正切的二倍角公式計(jì)算即可.
【詳解】易知，
因?yàn)椋?br>若，顯然，上式恒成立，
若，則，
所以，無(wú)解，
綜上可知.
故答案為：0
15. 過(guò)直線上任意一點(diǎn)作圓：的兩條切線，則切點(diǎn)分別是，則面積的最大值為_(kāi)_____.
【答案】##
【解析】
【分析】由得出點(diǎn)在以為直徑的圓上是關(guān)鍵，通過(guò)兩圓方程相減得到直線的方程，從而求出面積的表達(dá)式，運(yùn)用函數(shù)思想求解即得.
【詳解】
如圖，設(shè)點(diǎn)，因,故點(diǎn)在以為直徑的圓上，
因圓心，半徑為，故圓的方程為：，
又圓：，將兩式左右分別相減，整理得直線的方程為：，
于是，點(diǎn)到直線的距離為：，，
故的面積為：，
不妨設(shè)則，且，故，
因在上單調(diào)遞增，故，此時(shí)，
即時(shí)，點(diǎn)時(shí)，面積的最大值為.
故答案為：.
16. 已知四面體滿(mǎn)足，它的體積為，其外接球球的表面積為，則點(diǎn)在球表面的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)_________；線段長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_____.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用外接球的表面積求出外接球半徑，再根據(jù)勾股定理求出球心到平面的距離，再由錐體體積求出點(diǎn)A到平面的距離，直觀想象可得點(diǎn)A在球表面的軌跡，計(jì)算可得軌跡長(zhǎng)度；由點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，到定點(diǎn)的距離最值轉(zhuǎn)化為圓臺(tái)母線最短求解即可.
【詳解】設(shè)外接球半徑為，
因?yàn)橥饨忧虻谋砻娣e為，則，解得，
設(shè)的中心為，則，
如圖過(guò)點(diǎn)作球的軸截面，
則，
設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，
，解得.
則由題意知，點(diǎn)A在以為半徑的球面上，且距離平面為的平面內(nèi)，
則點(diǎn)A在球表面軌跡為圓，設(shè)圓心為，且
則，即圓的半徑為，
所以點(diǎn)A在球表面的軌跡長(zhǎng)度為；
由題意可看作點(diǎn)A在圓臺(tái)底面圓周上運(yùn)動(dòng)，
則當(dāng)為圓臺(tái)母線時(shí)，最小，
即當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，取最小值，
如圖，.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于立體幾何空間軌跡的問(wèn)題，研究的主要還是解析幾何中的幾種曲線：直線、圓、橢圓、雙曲線與拋物線.常規(guī)解決方法有以下幾種：
1.幾何法：根據(jù)對(duì)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)、線、面性質(zhì)或位置關(guān)系的分析，進(jìn)行判定；
2.定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問(wèn)題，用圓錐曲線定義判定，或用代數(shù)法進(jìn)行計(jì)算；
3.交軌法： 根據(jù)研究動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的不同條件分別確定動(dòng)點(diǎn)所在空間幾何體（線、面），再由公共（相交）部分確定軌跡；
4.基底（建系）法：通過(guò)選擇基底（或建系）將幾何問(wèn)題數(shù)量化，得到動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的方程（組），進(jìn)而分析方程表示的軌跡；
5.特殊值法：特別地，對(duì)于軌跡問(wèn)題的選擇題，根據(jù)空間圖形線段長(zhǎng)度關(guān)系取特殊值或位置進(jìn)行排除.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17. 已知數(shù)列中，，且.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求的前10項(xiàng)和.
【答案】（1）；
（2）707
【解析】
【分析】（1）分奇偶項(xiàng)討論結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可；
（2）直接利用等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題意可知當(dāng)時(shí)，
有，此時(shí)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，
由題意可知，公差為2，則，
所以，（為奇數(shù)），
當(dāng)時(shí)，有，
即此時(shí)數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，
由題意可知，公比為4，則，
所以，（為偶數(shù)），
綜上.
小問(wèn)2詳解】
由上可知
18. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知（）.
（1）求；
（2）若是角的內(nèi)角平分線，且，求周長(zhǎng)的最小值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理以及三角恒等變換公式即可求解;
（2）由是角的內(nèi)角平分線，可得到，化簡(jiǎn)得到，表示出周長(zhǎng)，利用基本不等式計(jì)算即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>由正弦定理可得：,
所以
因?yàn)樵趦?nèi)，有,所以，
所以,
所以,或，
即，或，由，故.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)槭墙堑膬?nèi)角平分線，且，
所以,即，
整理得：，所以，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取到最小值，
在中由余弦定理可得：，
所以周長(zhǎng)：
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以周長(zhǎng)的最小值為.
19. 已知三棱錐中，，，，.
（1）求點(diǎn)到平面的距離；
（2）求平面與平面夾角的正弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理證得平面，再利用勾股定理求得，從而得解；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
取中點(diǎn)，連接，，
在和中，，，，
可得，則，所以，
因?yàn)?，且，平面?br>所以平面，
在平面中，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，，，
因?yàn)槠矫?，且平面，所以?br>又，平面，
所以平面，即為點(diǎn)到平面的距離，
在中，，，
由余弦定理可得，則，
在中，，
在中，，
在中，，
則，解得，
則，即，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，所以四邊形是平行四邊形，
又，所以四邊形是正方形，
以A為原點(diǎn)，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
可得，，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，，即，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，，即，
設(shè)平面與平面的夾角，則，
可得，
，
所以平面與平面的夾角的正弦值.
20. 在直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到軸的距離比點(diǎn)到點(diǎn)的距離少1.
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（2）當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)與分別交于、兩點(diǎn)，求與面積之和的最小值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由點(diǎn)到直線及點(diǎn)的距離公式結(jié)合拋物線的定義計(jì)算即可；
（2）設(shè)直線和坐標(biāo)，利用直線過(guò)定點(diǎn)及焦點(diǎn)弦性質(zhì)先得出坐標(biāo)，從而判定過(guò)定點(diǎn)，通過(guò)消元轉(zhuǎn)化及基本不等式求面積最值即可.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)點(diǎn)，則由題意可知：，
化簡(jiǎn)得，
若，即，
若，
綜上可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡方程為：；
【小問(wèn)2詳解】
根據(jù)（1）知時(shí)，，
由題意可設(shè)，，
不妨令在第一象限，則在第四象限，在第一象限，如圖所示，
聯(lián)立拋物線方程，顯然，
同理可設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線為，與拋物線聯(lián)立有，
則，所以，
若時(shí)，易得，則，即，
若，則斜率存在，則，
化簡(jiǎn)得，
綜上可知直線橫過(guò)定點(diǎn)，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.
21. “大地”漁業(yè)公司從、兩不同設(shè)備生產(chǎn)廠商處共購(gòu)買(mǎi)了80臺(tái)同類(lèi)型的設(shè)備.
（1）若這80臺(tái)設(shè)備的購(gòu)買(mǎi)渠道和一段時(shí)間后故障的記錄如下表：
試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析設(shè)備故障情況是否與購(gòu)買(mǎi)渠道有關(guān)；
（2）若每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.01，且發(fā)生故障時(shí)由一個(gè)人獨(dú)立完成維修.現(xiàn)有兩種配備維修工人的方案，甲方案是由4個(gè)人維修，每個(gè)人各自獨(dú)立負(fù)責(zé)20臺(tái)；乙方案是由3個(gè)人共同維護(hù)這80臺(tái).請(qǐng)判斷在這兩種方案下設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小關(guān)系？并從公司經(jīng)營(yíng)者的角度給出方案選擇的建議.
附：
【答案】（1）否（2）甲方案下設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率大，選擇乙方案
【解析】
【分析】（1）根據(jù)計(jì)算公式運(yùn)算，對(duì)比臨界值即可求解；
（2）根據(jù)題意，分別求得甲方案和乙方案，結(jié)合對(duì)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式，分別求得設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率，根據(jù)大小關(guān)系，即可得到結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
假設(shè)設(shè)備故障情況與購(gòu)買(mǎi)渠道無(wú)關(guān)聯(lián)，
由題意，，
依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可推斷假設(shè)成立，即認(rèn)為設(shè)備故障情況與購(gòu)買(mǎi)渠道無(wú)關(guān)聯(lián).
【小問(wèn)2詳解】
對(duì)于甲方案：以X記“第1人維護(hù)的20臺(tái)設(shè)備中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)”，
以表示事件“第人維護(hù)的20臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修”，
則知80臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率為：，
而，故有，
所以；
對(duì)于乙方案：以Y記“80臺(tái)設(shè)備中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)”，此時(shí)，
則80臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率為
，可得，
故選擇乙方案能讓故障設(shè)備更大概率得到及時(shí)維修，使得公司的生產(chǎn)效率更高.
22. 設(shè)函數(shù)，.
（1）①當(dāng)時(shí)，證明：；
②當(dāng)時(shí)，求的值域；
（2）若數(shù)列滿(mǎn)足，，，證明：（）.
【答案】（1）①證明過(guò)程見(jiàn)解析，②
（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）①求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，求出；②先得到為偶函數(shù)，考慮時(shí)，求導(dǎo)，結(jié)合①可知，在上單調(diào)遞減，從而求出函數(shù)最值，求出值域；
（2）先得到，故只需證明，由（1）可知，從而裂項(xiàng)相消法求和得到證明.
【小問(wèn)1詳解】
①在恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
故，證畢；
②，恒有，
故為偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
由①可知，在上恒成立，
又，故在上恒成立，
故在上單調(diào)遞減，
故，，
結(jié)合函數(shù)在上為偶函數(shù)可得，函數(shù)值域?yàn)椋?br>【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，?br>所以，
其中，故只需證明，
因?yàn)?，?br>所以，
由（1）可知，
上式兩邊取倒數(shù)得，故，
于是
，，
所以（）.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)證明數(shù)列相關(guān)不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)的不等式代替函數(shù)不等式中的自變量，通過(guò)多次求和（常常用到裂項(xiàng)相消法求和）達(dá)到證明的目的，此類(lèi)問(wèn)題一般至少有兩問(wèn)，已知的不等式常由第一問(wèn)根據(jù)特征式的特征而得到.
序號(hào)
1
2
3
4
5
對(duì)應(yīng)值
10
5
6
6
8
從處購(gòu)買(mǎi)（臺(tái)）
從處購(gòu)買(mǎi)（臺(tái)）
運(yùn)行良好（臺(tái)）
46
14
出現(xiàn)故障（臺(tái)）
14
6
0.1
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879

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