第一部分（選擇題共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別是（ ）
A. 1，1B. 1，C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.
【詳解】，
所以數(shù)的實(shí)部和虛部分別是1,1，
故選：A.
2. 已知向量，，，若，則（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.
【詳解】由得，解得，
故選：B
3. 如圖所示，梯形是平面圖形ABCD用斜二測(cè)畫法畫出的圖形，，，則平面圖形的面積為（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用斜二測(cè)畫法畫出平面圖形為直角梯形，再求面積.
【詳解】如圖，
作平面直角坐標(biāo)系，使A與O重合，AD在x軸上，
且，AB在y軸上，且，
過(guò)B作，且，則四邊形ABCD為原平面圖形，為直角梯形，
其面積為．
故選：C．
4. 已知向量，則在方向上的投影數(shù)量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義進(jìn)行求解即可．
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
因此在方向上的投影為，
故選：D．
5. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)
A. 在區(qū)間上單調(diào)遞增B. 在區(qū)間上單調(diào)遞減
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞增D. 在區(qū)間上單調(diào)遞減
【答案】A
【解析】
【分析】由題意首先求得平移之后的函數(shù)解析式，然后確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.
【詳解】由函數(shù)圖象平移變換的性質(zhì)可知：
將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度之后的解析式為：
.
則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：，
即，
令可得一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為：.
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：，
即，
令可得一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為：，本題選擇A選項(xiàng).
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的判斷等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
6. 已知，若方程在區(qū)間上恰有3個(gè)實(shí)根，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由方程，解得，得到的可能取值，根據(jù)題意得到，即可求解.
【詳解】由方程，可得，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以的可能取值為，，，，，，…，
因?yàn)樵匠淘趨^(qū)間上恰有3個(gè)實(shí)根，所以，
解得，即的取值范圍是.
故選：B.
7. 《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，是“算經(jīng)十書”（漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書）中非常重要的一部．在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知“塹堵”的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且．若球的表面積為，則這個(gè)三棱柱的表面積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知條件確定球心的位置，根據(jù)球的半徑求得棱柱的高，可計(jì)算表面積.
【詳解】設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，連接，取的中點(diǎn)．
直三棱柱中，，，
四邊形是平行四邊形，有，
因?yàn)槿庵牡酌媸侵苯侨切危?，所以，?br>，分別是，的外接圓圓心．
因?yàn)槠矫?，所以平面?br>所以為的外接球的球心．
連接，因?yàn)榍虻谋砻娣e為，所以球的半徑為1，即，
，則，，可得，，
所以三棱柱的表面積，
故選：C．
8. 已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，先分析函數(shù)的周期，由此可得，結(jié)合已知函數(shù)的解析式計(jì)算可得答案．
【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，
所以，，即，
所以，
所以，可得，
所以的最小正周期為，
又當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，則，所以，
又由是周期為的奇函數(shù)，
則，
故，.
故選：D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 同時(shí)拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子甲、乙，記事件A：甲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件B：乙骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，事件C：甲、乙骰子點(diǎn)數(shù)相同．下列說(shuō)法正確的有（ ）
A. 事件A與事件B對(duì)立B. 事件A與事件B相互獨(dú)立
C. 事件A與事件C相互獨(dú)立D.
【答案】BC
【解析】
【分析】對(duì)于A，甲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，乙骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，事件可以同時(shí)發(fā)生，由對(duì)立事件的概念可判斷；對(duì)于B，計(jì)算出，根據(jù)可以判定兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立；對(duì)于C，計(jì)算出，根據(jù)可以判定兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立；對(duì)于D，由前面可知，即可判斷是否相等.
【詳解】由題意，得，，，
對(duì)于A，當(dāng)甲為奇數(shù)點(diǎn)，且乙為偶數(shù)點(diǎn)時(shí)，事件可以同時(shí)發(fā)生，所以事件A與事件B不互斥，故事件A與事件B不對(duì)立，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由題意知，又，故事件A與事件B相互獨(dú)立，故B正確；
對(duì)于C，，又，故事件A與事件C相互獨(dú)立，故C正確；
對(duì)于D，由上知，，故D錯(cuò)誤．
故選：BC．
10. 在中，角的對(duì)邊分別為，為的外心，則（ ）
A. 若有兩個(gè)解，則
B. 的取值范圍為
C. 的最大值為9
D. 若為平面上的定點(diǎn)，則A點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)于A，由正弦定理求解即可；對(duì)于B，由正弦定理及向量的數(shù)量積公式求解即可；對(duì)于C，法一：用投影向量求解；法二：轉(zhuǎn)化到圓心求解；對(duì)于D，由正弦定理知A點(diǎn)在以為圓心半徑為的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，再求解即可.
【詳解】對(duì)于A，由正弦定理，得，
有兩解的情形為，且，則，故A正確；
對(duì)于B，由正弦定理，得外接圓半徑，
由正弦定理知A點(diǎn)在以為圓心半徑為的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，，
于是，故B正確；
對(duì)于C，法一：用投影向量求解：當(dāng)在上的投影向量的模最大，且與同向時(shí)，取得的最大值，此時(shí)，
設(shè)為的中點(diǎn)，則，
在上的投影向量的模為，最大值為，故C錯(cuò)誤；

法二：轉(zhuǎn)化到圓心：，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，如下圖，由正弦定理知A點(diǎn)在以為圓心半徑為的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，由兩段優(yōu)弧拼接成，每段優(yōu)弧所對(duì)圓心角為，
所以A點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故D正確．

故選：ABD.
11. 為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角；
B. 當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角；
C. 直線與所成角的最小值為；
D. 直線與所成角的最大值為.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得到一個(gè)正方體，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線與的方向單位向量分別為，，再設(shè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的坐標(biāo)為，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【詳解】由題意知，三條直線兩兩垂直，畫出圖形，如圖所示，
不妨設(shè)圖中所示的正方體棱長(zhǎng)為1，可得，
斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸，則點(diǎn)保持不變，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為，建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則，
直線與的方向單位向量分別為， ，且，
設(shè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的坐標(biāo)為，其中為與的夾角，，
所以在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的向量為且，
設(shè)與的夾角為，
則，
所以，所以C正確，D錯(cuò)誤；
設(shè)與的夾角為，
則，
當(dāng)與的夾角為時(shí)，即，，
因?yàn)?，可得?br>因?yàn)?，所以，此時(shí)與的夾角為，即，所以B正確；A錯(cuò)誤.
故選：BC.
第二部分（非選擇題共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在同一個(gè)平面內(nèi)，向量的模分別為與的夾角為，且與的夾角為，若，則_________．

【答案】
【解析】
【詳解】以為軸，建立直角坐標(biāo)系，則，由的模為與與的夾角為，且知， ，可得，，由可得，，故答案為.
【 方法點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算及兩角和的余弦公式、同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，屬于難題．向量的運(yùn)算有兩種方法，一是幾何運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)解答，運(yùn)算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標(biāo)運(yùn)算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題解答，這種方法在求范圍與最值問(wèn)題時(shí)用起來(lái)更方便．
13. 已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為_(kāi)_______．
【答案】.
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件易得，側(cè)面，可得側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)到的距離為，可得側(cè)面與球面的交線是扇形的弧，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.
【詳解】如圖：
取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，
因?yàn)?0°，直四棱柱的棱長(zhǎng)均為2，所以△為等邊三角形，所以，，
又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以，
因?yàn)?，所以?cè)面，
設(shè)為側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)，則，
因?yàn)榍虻陌霃綖椋?，所以?br>所以側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)到的距離為，
因?yàn)?，所以?cè)面與球面的交線是扇形的弧，
因?yàn)?，所以?br>所以根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了直棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了直線與平面垂直的判定，考查了立體幾何中的軌跡問(wèn)題，考查了扇形中的弧長(zhǎng)公式，屬于中檔題.
14. 已知函數(shù)，若函數(shù)，當(dāng)恰有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】作出函數(shù)的圖象，由題意，由圖得或，即或，從而轉(zhuǎn)化為與及的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，從而依次討論即可求解.
【詳解】如圖，作出函數(shù)的圖象，
令，即，
由圖可知，或，
則或，
當(dāng)，函數(shù)無(wú)解；
當(dāng)或，函數(shù)只有一個(gè)解；
當(dāng)或，函數(shù)有兩個(gè)解；
當(dāng)，函數(shù)有三個(gè)解；
當(dāng)恰有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，
或或
或02或或
或或m-2=2m>2或m-2>202m=2，
解得.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚.
15. 某地區(qū)對(duì)初中500名學(xué)生某次數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行分析，將得分分成8組（滿分150分）：，，整理得到如圖所示頻率分布直方圖．
（1）求第七組的頻率；
（2）用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該地的500名學(xué)生這次考試成績(jī)的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（3）現(xiàn)從500名學(xué)生中利用分層抽樣的方法從的兩組中抽取5個(gè)人進(jìn)一步做調(diào)查問(wèn)卷，再?gòu)倪@5個(gè)人中隨機(jī)抽取兩人，求抽取到的兩人不在同一組的概率．
【答案】（1）
（2）102分 （3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)各組的頻率和為1求解即可；
（2）根據(jù)平均數(shù)的定義結(jié)合頻率分布直方圖求解；
（3）利用分層抽樣的定義結(jié)合已知條件求出從的所抽取的人數(shù)，然后利用列舉法求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
由頻率分布直方圖得第七組的頻率為：
；
【小問(wèn)2詳解】
用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該地500名學(xué)生這次考試成績(jī)的平均分為：
（分）；
【小問(wèn)3詳解】
由頻率分步直方圖可知的頻數(shù)為的頻數(shù)為，所以兩組人數(shù)比值為，
按照分層抽樣抽取5人，則在分別抽取3人和2人，
記這組三人的編號(hào)為這組兩人的編號(hào)為，
故從5人隨機(jī)抽取2名，共10種情況，為：
設(shè)事件“從5個(gè)人中隨機(jī)抽取兩人，抽取到的兩人不在同一組”
則，共6種情況．
故，
即從這5個(gè)人中隨機(jī)抽取兩人，則抽取到的兩人不在同一組的概率為．
16. 如圖，已知多面體均垂直于平面．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】（Ⅰ）方法一：通過(guò)計(jì)算，根據(jù)勾股定理得,再根據(jù)線面垂直的判定定理得結(jié)論；
（Ⅱ）方法一：找出直線AC1與平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解即可.
【詳解】（Ⅰ）［方法一］：幾何法
由得，
所以，即有
由，得，
由得，
由，得，所以，即有，又，因此平面.
［方法二］：向量法
如圖，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.
由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：
因此,
由得；由得，
所以平面.
（Ⅱ）［方法一］：定義法
如圖，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連結(jié).
由平面得平面平面，
由得平面，
所以是與平面所成的角.
由得，
所以，故.
因此，直線與平面所成的角的正弦值是.
［方法二］：向量法
設(shè)直線與平面所成的角為.
由(I)可知,
設(shè)平面的法向量.
由即，可取，
所以.
因此，直線與平面所成的角的正弦值是.
［方法三］：【最優(yōu)解】定義法+等積法
設(shè)直線與平面所成角為，點(diǎn)到平面距離為d（下同）．因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)C到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離．由條件易得，點(diǎn)C到平面的距離等于點(diǎn)C到直線的距離，而點(diǎn)C到直線的距離為，所以．故．
［方法四］：定義法+等積法
設(shè)直線與平面所成的角為，由條件易得，所以，因此．
于是得，易得．
由得，解得．
故．
［方法五］：三正弦定理的應(yīng)用
設(shè)直線與平面所成的角為，易知二面角的平面角為，易得，
所以由三正弦定理得．
［方法六］：三余弦定理的應(yīng)用
設(shè)直線與平面所成的角為，如圖2，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為G，易得平面，所以可看作平面的一個(gè)法向量．
結(jié)合三余弦定理得．
［方法七］：轉(zhuǎn)化法＋定義法
如圖3，延長(zhǎng)線段至E，使得．
聯(lián)結(jié)，易得，所以與平面所成角等于直線與平面所成角．過(guò)點(diǎn)C作，垂足為G，聯(lián)結(jié)，易得平面，因此為在平面上的射影，所以為直線與平面所成的角．易得，，因此．
［方法八］：定義法＋等積法
如圖4，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，易知，又，所以，故面．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，由得，解得．
又，設(shè)直線與平面所成角為，所以．
【整體點(diǎn)評(píng)】（Ⅰ）方法一：通過(guò)線面垂直判定定理證出，是該題的通性通法；
方法二： 通過(guò)建系，根據(jù)數(shù)量積為零，證出；
（Ⅱ）方法一：根據(jù)線面角的定義以及幾何法求線面角的步驟，“一作二證三計(jì)算”解出；
方法二：根據(jù)線面角的向量公式求出；
方法三：根據(jù)線面角的定義以及計(jì)算公式，由等積法求出點(diǎn)面距，即可求出，該法是本題的最優(yōu)解；
方法四：基本解題思想同方法三，只是求點(diǎn)面距的方式不同；
方法五：直接利用三正弦定理求出；
方法六：直接利用三余弦定理求出；
方法七：通過(guò)直線平移，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和線面角的定義解出；
方法八：通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化以及線面角的定義，計(jì)算公式，由等積法求出點(diǎn)面距，即求出．
17. 記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.
（1）證明：；
（2）若，求.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有BD=acb，結(jié)合已知即可證結(jié)論.
（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，
得sin∠ABC=b2R,sinC=c2R，
因?yàn)?，所以BD?b2R=a?c2R，即．
又因?yàn)椋裕?br>（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理
因?yàn)?，如圖，在中，，①
在中，csC=a2+(b3)2-b22a?b3．②
由①②得a2+b2-c2=3a2+(b3)2-b2，整理得．
又因?yàn)?，所以，解得或?br>當(dāng)a=c3,b2=ac=c23時(shí)，a+b=c3+3c3

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這是一份湖南省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版），共18頁(yè)。試卷主要包含了 已知復(fù)數(shù)z滿足，則， 已知等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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