1. 如圖所示是由6個大小相同的立方體組成的幾何體，將小立方體A向前平移后，三視圖中有變化的是（ ）
A 主視圖B. 左視圖
C. 俯視圖D. 主視圖和左視圖
【答案】B
【解析】
【分析】先畫出該幾何體的三視圖，即可得到相同的三視圖．
【詳解】解：主視圖不變，俯視圖不變，
左視圖變化：
故選：B．
【點睛】考查幾何體的三視圖的知識，從正面看的圖形是主視圖，從左面看到的圖形是左視圖，從上面看到的圖形是俯視圖．掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
2. 如圖，與是位似圖形，點O為位似中心，位似比為，若，則的長為（ ）
A. 4B. 4.5C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】】解：由題意，
∴，
∵，
∴．
故選：B．
【點睛】本題考查位似變換，相似三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握位似變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
3. 一組數(shù)據(jù)為2、3、5、7、3、4，對于這組數(shù)據(jù)，下列說法錯誤的是（ ）
A. 平均數(shù)是4B. 極差是5C. 眾數(shù)是3D. 中位數(shù)是6
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了平均數(shù)、中位數(shù)、極差和眾數(shù)．解題的關(guān)鍵在于正確運算．分別求解平均數(shù)、中位數(shù)、極差和眾數(shù)，然后進行判斷即可．
【詳解】解：A、平均數(shù)，正確，不符合題意；
B、極差是，正確，不符合題意；
C、∵3出現(xiàn)了2次，最多，∴眾數(shù)為3，正確，不符合題意；
D、∵排序后為：2，3，3，4，5，7，
∴中位數(shù)為：；錯誤，符合題意．
故選：D．
4. 將二次函數(shù)的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位后，所得圖象的函數(shù)表達式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)左加上加的平移原則計算即可．
本題考查了二次函數(shù)的平移計算，熟練掌握左加上加，左右平移，位于x上，上下平移，對于y實施是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)題意，得．
故選B．
5. 如圖，在中，半徑互相垂直，點在劣弧上．若，則（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)互相垂直可得所對的圓心角為，根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】解：如圖，

半徑互相垂直，
，
所對的圓心角為，
所對的圓周角，
又，
，
故選D．
【點睛】本題考查圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握：同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半．
6. 如圖為4×4正方形網(wǎng)格，A，B，C，D，O均在格點上，點O是( )
A. △ACD的外心B. △ABC的外心C. △ACD的內(nèi)心D. △ABC的內(nèi)心
【答案】B
【解析】
【詳解】解：由圖可得：OA=OB=OC=，
所以點O在△ABC的外心上，
故選B．
7. 如圖，在中，，以點為圓心、長為半徑作弧交于點，再分別以點，為圓心、大于的長為半徑作弧，兩弧交于點，作射線交于點．若，，連接，則的面積為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知垂直平分，然后根據(jù)勾股定理可以得到的長，再根據(jù)等面積法可以求得的長，再根據(jù)勾股定理即可得到的長，從而可以得到的長，進而得到的長，然后即可求得的面積．
【詳解】由題意可得，垂直平分交于點，
∴，
∵，，，
∴由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，，
∴由勾股定理得：，
∴，
∴
∴的面積為，
故選：．
【點睛】此題考查了勾股定理、等面積法，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
8. 如圖，平行四邊形ABCD的邊BC上有一動點E，連接DE，以DE為邊作矩形DEGF且邊FG過點A．在點E從點B移動到點C的過程中，矩形DEGF的面積（ ）
A. 先變大后變小B. 先變小后變大C. 一直變大D. 保持不變
【答案】D
【解析】
【分析】連接AE，根據(jù)，推出，由此得到答案．
【詳解】解：連接AE，
∵，
∴，
故選：D．
．
【點睛】此題考查了平行四邊形性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正確連接輔助線AE是解題的關(guān)鍵．
9. 如圖，拋物線：交軸于，兩點；將繞點旋轉(zhuǎn)得到拋物線，交軸于；將繞點旋轉(zhuǎn)得到拋物線，交軸于，……，如此進行下去，若點在其中的一個拋物線上，則的值是（ ）
A. B. 2023C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】先求得的坐標，再根據(jù)圖象旋轉(zhuǎn)變換的規(guī)律得到點所在拋物線開口方向即可求解．
【詳解】解：拋物線，
拋物線開口向上，且經(jīng)過，，頂點坐標為，
將繞點旋轉(zhuǎn)得到拋物線，交軸于，
，
拋物線開口向下，且經(jīng)過，，頂點坐標為，
將繞點旋轉(zhuǎn)得到拋物線，交軸于，
……，
對于拋物線，當為奇數(shù)時，拋物線開口向上，頂點坐標為，當為偶數(shù)時，拋物線開口向下，頂點坐標為，
點在第1012段拋物線上，是偶數(shù)，
，
故選：D．
【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是明確題意，找到坐標的變化規(guī)律，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．
10. 一個矩形按如圖的方式分割成三個直角三角形，把較大的兩個三角形紙片按圖方式放置，若圖中兩個陰影部分面積滿足，下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如圖，證明，再由等角的余角相等可得，所以，可以判斷正確；如圖，過點作于，證明，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方可得，設(shè)，，則，可判斷正確；如圖，先計算，由勾股定理得，由三角函數(shù)定義可判斷正確；設(shè)，，則，可判斷錯誤．
【詳解】解：、如圖，∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
如圖，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，故選項正確，不符合題意；
、如圖，過點作于，則，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，，則，
∴，
∴，故選項正確，不符合題意；
、∵，
∴
如圖，中，，，
∵，
∴，
∴'故選項正確，不符合題意；
、設(shè)，則，，
∴，
∴，
∴故項錯誤，符合題意；
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，設(shè)未知數(shù)表示各線段的長是解題的關(guān)鍵．
二.填空題（共6小題）
11. 二次根式中字母a的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式被開方數(shù)大于或等于0成為解題關(guān)鍵．
直接利用二次根式有意義的條件列出不等式求解即可．
【詳解】解：∵二次根式有意義，
∴，解得：．
故答案是：．
12. 已知點A（a，1）與點A'（5，b）關(guān)于原點對稱，則ab＝_____．
【答案】﹣
【解析】
【分析】根據(jù)兩點關(guān)于原點對稱，則兩點的橫、縱坐標都是互為相反數(shù)，可得a、b的值，根據(jù)有理數(shù)的乘法，可得答案．
【詳解】由點A（a，1）與點A'（5，b）關(guān)于原點對稱，得
a＝﹣5，b＝﹣1．
所以ab＝，
故答案為．
【點睛】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標，利用了關(guān)于原點對稱的點的坐標規(guī)律是：橫、縱坐標都是互為相反數(shù)．
13. 如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，AC經(jīng)過點O，與⊙O分別相交于點D，C，若∠ACB=30°，AB=，則陰影部分的面積是___．
【答案】﹣
【解析】
【詳解】連接OB．
∵AB是⊙O切線，
∴OB⊥AB，
∵OC=OB，∠C=30°，
∴∠C=∠OBC=30°，
∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°，
在Rt△ABO中，∵∠ABO=90°，AB=，∠A=30°，
∴OB=1，
∴S陰=S△ABO﹣S扇形OBD=×1×﹣ =﹣ ．
14. 如圖，在矩形ABCD中，AD=3，將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AEFG，點B的對應(yīng)點E落在CD上，且DE=EF，則AB的長為_____．

【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知AB=AE，在直角三角形ADE中根據(jù)勾股定理求得AE長即可得．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，BC=AD=3，
∵將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG，
∴EF=BC=3，AE=AB，
∵DE=EF，
∴AD=DE=3，
∴AE==3，
∴AB=3，
故答案3．
【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟知旋轉(zhuǎn)前后哪些線段是相等的是解題的關(guān)鍵．
15. 如圖，由10個完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中， 如圖所示，則=______.
【答案】.
【解析】
【分析】給圖中各點標上字母，連接DE，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得出∠α=30°，同理，可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°結(jié)合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，設(shè)等邊三角形的邊長為a，則AE=2a，DE=a，利用勾股定理可得出AD的長，再結(jié)合余弦的定義即可求出cs（α+β）的值．
【詳解】給圖中各點標上字母，連接DE，如圖所示．
在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，
∴∠α=30°．
同理，可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α．
又∵∠AEC=60°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．
設(shè)等邊三角形的邊長為a，則AE=2a，DE=2×sin60°?a=a，
∴，
∴cs（α+β）=．
故答案為．
【點睛】本題考查了解直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)以及規(guī)律型：圖形的變化類，構(gòu)造出含一個銳角等于∠α+∠β的直角三角形是解題的關(guān)鍵．
16. 如圖，在矩形中，，，，分別為，邊的中點．動點從點出發(fā)沿向點運動，同時，動點從點出發(fā)沿向點運動，連接，過點作于點，連接．若點的速度是點的速度的2倍，在點從點運動至點的過程中，線段長度的最大值為_________，線段長度的最小值為_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】連接EF，則EF⊥AB，過點P作PG⊥CD于點G，如圖1，由于，而PG=3，所以當GQ最大時PQ最大，由題意可得當P、A重合時GQ最大，據(jù)此即可求出PQ的最大值；設(shè)EF與PQ交于點M，連接BM，取BM的中點O，連接HO，如圖2，易證△FQM∽△EPM，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得EM為定值2，于是BM的長度可得，由∠BHM=∠BEM=90°可得B、E、H、M四點共圓，且圓心為點O，于是當D、H、O三點共線時，DH的長度最小，最小值為DO－OH，為此只需連接DO，求出DO的長即可，可過點O作ON⊥CD于點N，作OK⊥BC于點K，如圖3，構(gòu)建Rt△DON，利用勾股定理即可求出DO的長，進而可得答案．
【詳解】解：連接EF，則EF⊥AB，過點P作PG⊥CD于點G，如圖1，則PE=GF，PG=AD=3，
設(shè)FQ=t，則GF=PE=2t，GQ=3t，
在Rt△PGQ中，由勾股定理得：，
∴當t最大即EP最大時，PQ最大，
由題意知：當點P、A重合時，EP最大，此時EP=2，則t=1，
∴PQ的最大值=；
設(shè)EF與PQ交于點M，連接BM，取BM的中點O，連接HO，如圖2，
∵FQ∥PE，∴△FQM∽△EPM，
∴，
∵EF=3，
∴FM=1，ME=2，
∴，
∵∠BHM=∠BEM=90°，
∴B、E、H、M四點共圓，且圓心為點O，
∴，
∴當D、H、O三點共線時，DH的長度最小，
連接DO，過點O作ON⊥CD于點N，作OK⊥BC于點K，如圖3，則OK=BK=1，
∴NO=2，CN=1，∴DN=3，
則在Rt△DON中，，
∴DH的最小值=DO－OH=．
故答案為：，．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、四點共圓以及線段的最值等知識，涉及的知識點多、綜合性強、具有相當?shù)碾y度，屬于中考壓軸題，正確添加輔助線、熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵．
三.解答題（共8小題）
17.
（1）解方程：．
（2）計算：．
【答案】（1），
（2）2
【解析】
【分析】（1）利用因式分解的方法解一元二次方程即可；
（2）根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，算術(shù)平方根以及二次根式的計算法則求解即可．
【小問1詳解】
解：∵，
∴，
解得，；
【小問2詳解】
解：
．
【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，算術(shù)平方根以及二次根式的計算，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
18. 先化簡，再求值：，其中，.
【答案】，
【解析】
【分析】先對分式通分、因式分解、約分等化簡，化成最簡分式，后代入求值．
本題考查了分式的化簡求值，運用去括號，因式分解，通分，約分等技巧化簡是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：
，
當，時，
原式．
19. 如圖，在的正方形網(wǎng)格中，點，，都在格點上，按要求畫圖：
（1）在圖1中找一個格點，使以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形．
（2）在圖2中僅用無刻度直尺，畫的角平分線（保留畫圖痕跡，不寫畫法）．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可以找到點，有三種情況；
（2）為等腰三角形，找到的中點連接點即可．
【詳解】解：（1）過點向左或向右作，有兩種情況；過點作，除去重復(fù)的情況，有一種情況，綜上所述：有三種情況，如下圖1．
（2）由題意知：
，
為等腰三角形，作的角平分線，只需找到的中點，連接點即可，如圖，將作為一個矩形的對角線，連接另一條對角線，兩線的交點即為的中點，再連接點，如下圖2：
【點睛】本題考查了平行四邊形的作法及角平分線的作法，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：掌握平行四邊形的判定定理和角平分線的性質(zhì)．
20. 如圖（1）所示的健身器械為倒蹬機，使用方法為上身不動，腿部向前發(fā)力，雙腿伸直之后再慢慢收回．圖（2）為其抽象示意圖，已知在初始位置，，點在同一直線上，，．
（1）當在初始位置時，求點到的距離；
（2）當雙腿伸直后，點分別從初始位置運動到點，假設(shè)，三點共線，求此時點上升的豎直高度．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
【答案】（1）點到的距離約為
（2）點上升的豎直高度約為
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵．
（1）過點作于點，求出，再由計算即可得出答案；
（2）過點作于點，過點作于點，由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合解直角三角形得出，求出從而得出，再求出的長，即可得解．
【小問1詳解】
解：過點作于點，
，
，
，
，
，
，
點到的距離約為；
【小問2詳解】
解：過點作于點，過點作于點，
，
，，
，
，
由題意得：，
，
∴點上升的豎直高度約為．
21. 某校積極開展勞動教育，決定成立種植玉米、種植大豆、種植西紅柿三個小組，每名學(xué)生最多選擇一個小組.為了解學(xué)生的選擇意向，隨機抽取七年級（1）（2）（3）（4）四個班共200名學(xué)生進行調(diào)查，將調(diào)查得到的數(shù)據(jù)進行整理，繪制成如圖所示兩幅不完整的統(tǒng)計圖，根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息解答下列問題：
（1）求扇形統(tǒng)計圖中，種植西紅柿所占的百分比；
（2）求（4）班選擇種植大豆小組的學(xué)生人數(shù)，補全折線統(tǒng)計圖；
（3）若該校共有2500人，請你估計該校學(xué)生選擇種植玉米小組的人數(shù).
【答案】（1）
（2）15人，見解析 （3）950人
【解析】
【分析】（1）根據(jù)所占百分數(shù)=頻數(shù)÷樣本容量，計算解答．
（2）利用頻數(shù)=樣本容量×所占百分數(shù)，求出種大豆的總?cè)藬?shù)，減去前三個班級計算即可．
（3）利用頻數(shù)=樣本容量×所占百分數(shù)，計算即可．
本題考查了條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖，樣本估計總體，熟練掌握統(tǒng)計圖的意義，正確計算是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：根據(jù)題意，得．
【小問2詳解】
解：∵(人)，
∴四班種大豆人數(shù)為：（人），
補圖如下：
．
【小問3詳解】
解：根據(jù)題意，得（人），
答：該校學(xué)生選擇種植玉米小組的人數(shù)共有950名．
22. 小明在平整的草地上練習帶球跑，他將球沿直線踢出后隨即跟著球的方向跑去，追上球后，又將球踢出……球在草地上滾動時，速度變化情況相同，小明速度達到6m/s后保持勻速運動．下圖記錄了小明的速度以及球的速度隨時間的變化而變化的情況，小明在4s時第一次追上球．（提示：當速度均勻變化時，平均速度，距離）
（1）當時，求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求圖中a的值；
（3）小明每次踢球都能使球的速度瞬間增加6m/s，球運動方向不變，當小明帶球跑完200m，寫出小明踢球次數(shù)共有____次，并簡要說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）7，理由見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)經(jīng)過點利用待定系數(shù)法即可得到答案；
（2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度為，利用小明在4s時第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案；
（3）根據(jù)題意找到速度、時間、路程的變化規(guī)律，即可得到答案．
【小問1詳解】
解：設(shè)關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為，把點代入得，
，
解得，
∴關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為；
【小問2詳解】
解：對于球來說，，
小明前a秒的平均速度為，a秒后速度為，
由小明在4s時第一次追上球可得，，
解得，
即圖中a的值為；
【小問3詳解】
小明第一次踢球已經(jīng)帶球跑了16米，還需要跑米，由（1）知，，假設(shè)每次踢球t從0開始計算，因為球在草地上滾動時，速度變化情況相同，則第二次踢球后變化規(guī)律為，
，，則，
，
第二次踢后，則，（舍去），，此時又經(jīng)過了米，
，
第三次踢后，變化規(guī)律為，
，，則，
，
第三次追上，則，（舍去），，此時又經(jīng)過了米，
，
又開始下一個循環(huán)，
故第四次踢球所需時間為，經(jīng)過24米，
故第五次踢球所需時間為，經(jīng)過48米，
故第六次踢球所需時間為，經(jīng)過24米，
故第七次踢球所需時間為，經(jīng)過48米，
∵，，
∴帶球走過200米，在第七次踢球時實現(xiàn)，故小明小明踢球次數(shù)共有七次，
故答案為：7
【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，讀懂題意，準確計算是解題的關(guān)鍵．
23. 根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
如何設(shè)計噴水池噴頭的安裝方案？
素材1：圖1中有一個直徑為的圓形噴水池，四周安裝一圈噴頭，噴射水柱呈拋物線型，1在水池中心處立著一個直徑為的圓柱形實心石柱，各方向噴出的水柱在石柱頂音的中心點處匯合，如圖2，水柱距水池中心處到達最高，高度為．
素材2：如圖3，擬在水池里過水池中心的直線上安裝一排直線型噴頭（噴射水柱豎直向上，高度均為）；相鄰兩個直線型噴頭的間距均為，且噴射的水柱不能碰到拋物線型水柱，要求在符合條件處都安裝噴頭，安裝后關(guān)于成軸對稱分布．
問題解決
任務(wù)1：確定水柱形狀，在圖2中建立合適的直角坐標系，任選一條拋物線求函數(shù)表達式．
任務(wù)2：確定石柱高度，在你所建立的坐標系中，確定水柱匯合點的縱坐標．
任務(wù)3：擬定設(shè)計方案，請給出符合所有要求的直線型噴頭的安裝數(shù)量，并根據(jù)你所建立的直角坐標系，求出離中心最遠的兩個直線型噴頭的坐標．
【答案】任務(wù)1：；任務(wù)2：；任務(wù)3：，．
【解析】
【分析】（1）以點O為原點建立如圖所示直角坐標系，選擇第一象限內(nèi)的拋物線的解析式進行求解，設(shè)出拋物線的頂點式，再將代入即可得出結(jié)論；
（2）令上述拋物線解析式，求出y的值即可得出結(jié)論；
（3）令上述拋物線解析式，可求出x的值，再根據(jù)對稱性可分別求出兩端的噴頭坐標．
本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系、熟練掌握待定系數(shù)法及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】任務(wù)1：以點O為原點建立如圖所示的坐標系，
選擇第一象限的拋物線表達式進行求解：
由題意可知該拋物線頂點坐標為，，
故設(shè)拋物線的解析式為，
把代入解析式，得，
解得，
∴拋物線的解析式為．
任務(wù)2：解：∵，
∴時，，
故點M的縱坐標為．
任務(wù)3：解：∵，
∴時，，
解得（舍去），
∵在符合條件處都安裝噴頭，安裝后關(guān)于成軸對稱分布，且圓柱的半徑為，相鄰兩個高度為直線型噴頭的間距均為，
∴，
∵
∴第一根安裝在距離圓柱中心的處，其余安裝的有效長度為，
∴還能安裝根，
∵根數(shù)必須是整數(shù)，
∴最多安裝6根，
這樣在圓柱的右側(cè)最多安裝7根，且第七根噴柱距離圓柱中心距離為，
故最右端的噴頭坐標為，根據(jù)對稱性，得最左端的噴頭坐標為．
24. 如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，△ABC的外角∠BAD的平分線交⊙O于點P（點A在弧PC之間），連結(jié)PB，PC．

（1）求證：PB=PC；
（2）若BC=8，cs∠BAC=，求PB的長．
（3）如圖2，在（2）的條件下，作PH⊥AB于點H；
①若∠PBA=45°，求△ABC的周長；
②求AC+PH的最大值．
【答案】（1）見解析 （2）4
（3）①8+4；②10
【解析】
【分析】（1）先判斷出∠PBC=∠PAD，再判斷出∠PAD=∠PAB，進而判斷出∠PBC=∠PCB，即可得出結(jié)論；
（2）過點C作CE⊥PB于E，設(shè)PE=3x，PC=5x，得出CE=4x，進而得出BE=2x，最后用勾股定理求出x，即可求出答案；
（3）①過點P作PF⊥AD于F，判斷出△PBH≌△PCF（AAS），得出BH=CF，再判斷出△PAH≌△PAF（AAS），得出AH=AF，進而得出△ABC的周長為BC+2BH，最后用勾股定理求出BH，即可求出案案；
②過點P作PK⊥BC于K，得出BK=BC=4，進而求出PK=8，連接OB，進而求出OB=5，過點P作PF⊥AD于F，再判斷出△PKB∽△PFA，得出PF=2AF，由PH=PF，得出PH=2AF，在AF的延長線上取點G，使AF=GF，進而得出要PH+AC最大，則CG最大，最后判斷出△PCG≌△PBA（AAS），得出CG=AB，即可求出答案．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形ACBP是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠PBC=∠PAD，
∵AP是∠BAD的平分線，
∴∠PAD=∠PAB，
∴∠PBC=∠PAB，
∵∠PAB=∠PCB，
∴∠PBC=∠PCB，
∴PB=PC；
【小問2詳解】
解：如圖1，

過點C作CE⊥PB于E，則∠PEC=∠BEC=90°，
∵∠BAC=∠BPC，cs∠BAC=，
∴cs∠BPC=，
在Rt△PEC中，cs∠BPC=，
∴設(shè)PE=3x，PC=5x，
根據(jù)勾股定理得，CE=4x，
由（1）知，PB=PC=5x，
∴BE=PB-PE=2x，
在Rt△BEC中，BC=8，
根據(jù)勾股定理得，BE2+CE2=BC2，
∴（2x）2+（4x）2=82，
∴x=或x=（舍），
∴PB=5x=4；
【小問3詳解】
解：①如圖2，

過點P作PF⊥AD于F，則∠PFC=90°，
∵PH⊥AB，
∴∠PHB=90°=∠PFC，
∵∠PBH=∠PCF，PB=PC，
∴△PBH≌△PCF（AAS），
∴BH=CF，
∵∠PHB=∠PFC=90°，∠PAH=∠PAF，PA=PA，
∴△PAH≌△PAF（AAS），
∴AH=AF，
∴△ABC的周長為BC+AB+AC=BC+BH+AH+AC
=BC+BH+AF+AC
=BC+BH+CF
=BC+BH+BH
=BC+2BH，
在Rt△PHB中，∠PBA=45°，PB=4，
∴BH=PB=2，
∵BC=8，
∴△ABC的周長為BC+2BH=8+4；
②如圖3，

過點P作PK⊥BC于K，
∵PB=PC，
∴PK必過圓心O，∠BPK=∠BPC，BK=BC=4，
在Rt△PKH中，PK==8，
連接OB，在Rt△OKB中，設(shè)OB=r，則OP=r，
∴OK=8-r，
根據(jù)勾股定理得，42+（8-r）2=r2，
∴r=5，即OB=5，
過點P作PF⊥AD于F，
由①知，AH=AF，
在Rt△PFA中，∠APF=90°-∠PAD
=90°-∠BAD
=90°-（180°-∠BAC）
=∠BAC，
∵∠BPK=∠BPC，∠BPC=∠BAC，
∴∠BPK=∠APF，
∵∠PKB=∠PFA=90°，
∴△PKB∽△PFA，
∴，
∴=2，
∴PF=2AF，
∵PH=PF，
∴PH=2AF，
在AF的延長線上取點G，使AF=GF，
∴AG=PH，
∴PH+AC=AG+AC=CG，要PH+AC最大，則CG最大，
∵PF⊥AD，AF=GF，
∴PA=PG，
∴∠PGC=∠PAD=∠PAB，
∵∠PCG=∠PBA，PC=PA，
∴△PCG≌△PBA（AAS），
∴CG=AB，即CG的最大值其實就是AB的最大值，
∵AB為⊙O的弦，
∴AB最大為2OB=10，
即PH+AC的最大值為10．
【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理，角平分線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．

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