一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）
1. 如果集合S＝{x|x＝3n+1，n∈N}，T＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}，則（ ）
A. B. T?SC. S＝TD. ST
【答案】A
【解析】
【分析】先將兩集合元素表示形式統(tǒng)一，再比較確定包含關(guān)系．
【詳解】解：由，，，
令，則，所以，，
通過對比、，且由常用數(shù)集與可知，故．
故選：．
2. 不等式的解集為或，則的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將不等式化為，即的兩個根為，，代入求出，再利用分式不等式的解法即可求解.
【詳解】不等式可轉(zhuǎn)化為，
其解集為或，
所以，且方程的兩個根為，，
則 或，解得或（舍去），
即有，即，解得.
所以不等式的解集為.
故選：A.
3. 已知是定義域為的函數(shù)，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，滿足，若對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)構(gòu)造方程組求出的解析式，再根據(jù)題意得到在單調(diào)遞增，分類討論即可求解.
【詳解】由題可得，
因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，
所以，
聯(lián)立解得，
又因為對任意的，都有成立，
所以，所以成立，
構(gòu)造，
所以由上述過程可得在單調(diào)遞增，
(i)若，則對稱軸，解得；
(ii) 若，在單調(diào)遞增，滿足題意；
(iii) 若，則對稱軸恒成立；
綜上，，
故選：B.
4. 若，則（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)單調(diào)性求解即可.
【詳解】由，
得，
令，
因為函數(shù)都是增函數(shù)，
所以函數(shù)是增函數(shù)，
由，即，
所以，
對于AB，當時，，故AB錯誤；
對于CD，由，得，
所以，故C正確，D錯誤.
故選：C.
5. 已知為單位向量，且，則向量與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由求出，再利用向量夾角公式可求得結(jié)果.
【詳解】因為為單位向量，且，
所以，得，
所以，
因為，所以.
故選：C
6. 若，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D. 0,1
【答案】C
【解析】
【分析】通過二倍角降冪公式化簡，再利用兩角差的余弦公式和輔助角公式化簡為，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)得出答案.
【詳解】
，
因為，所以
故選：C.
7. 已知球的表面積為，邊長為3的等邊的三個頂點都在球的球面上，則三棱錐的體積等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出球的半徑和所在平面截球所得的小圓的半徑，利用勾股定理可得球心到所在平面的距離，再利用棱錐的體積公式可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)球的半徑為，則，得R2=4，
設(shè)所在平面截球所得的小圓的半徑為，圓心為，
則為外接圓的半徑，
因為等邊的邊長為3，所以r=23×32×3=3，
所以球心到所在平面的距離為
OO1=OA2-O1A2=R2-r2=4-3=1，
所以三棱錐的體積13S△ABC?OO1=13×34×32×1=334.
故選：A
8. 拋擲一顆骰子，設(shè)事件A：落地時向上的點數(shù)是奇數(shù)，事件B：落地時向上的點數(shù)是偶數(shù)，事件C：落地時向上的點數(shù)小于3，事件D：落地時向上的點數(shù)大于5，則下列每對事件中，不是互斥事件的為是（ ）
A. A與B；B. B與C；C. A與D；D. C與D．
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)互斥事件的定義逐個分析判斷.
【詳解】對于A，因為落地時向上的點數(shù)是奇數(shù)與落地時向上的點數(shù)是偶數(shù)不可能同時發(fā)生，
所以事件A與B是互斥事件，所以A錯誤，
對于B，因為落地時向上的點數(shù)是偶數(shù)與落地時向上的點數(shù)小于3可能同時發(fā)生，如落地時向上的點數(shù)為2，
所以事件B與C不是互斥事件，所以B正確，
對于C，因為落地時向上的點數(shù)是奇數(shù)與落地時向上的點數(shù)大于5不可能同時發(fā)生，
所以事件A與D是互斥事件，所以C錯誤，
對于D，因為落地時向上的點數(shù)小于3與落地時向上的點數(shù)大于5不可能同時發(fā)生，
所以事件C與D是互斥事件，所以D錯誤.
故選：B
二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
9. 有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回的隨機取兩次，每次取1個球，事件表示“第一次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，事件表示“第二次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，事件表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，事件表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，則（ ）
A. 與是互斥事件B. 與互為對立事件
C. 發(fā)生的概率為D. 與相互獨立
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)互斥事件，對立事件相互獨立事件的定義結(jié)合古典概型注意判斷即可.
【詳解】由題意，不放回的隨機取兩次，共有種情況，
共個基本事件，
共個基本事件，故，故C正確；
顯然事件與有交事件，不是互斥事件，故A錯誤；
共個基本事件，故，
共個基本事件，
所以與互為對立事件，故B正確；
事件共個基本事件，
所以，
所以與相互獨立，故D正確.
故選：BCD.
10. 如圖，正方體的棱長為2，則（ ）
A. 平面
B. 平面
C. 異面直線與BD所成的角為60°
D. 三棱錐的體積為
【答案】ABC
【解析】
【分析】對A：借助正方體的性質(zhì)可得，結(jié)合線面平行的判定定理即可得；對B：借助線面垂直的判定定理可得平面，平面，再利用線面垂直的性質(zhì)定理可得，，進而可得，，即可得證；對C：借助等角定理可得等于異面直線與BD所成的角，計算出即可得解；對D：借助體積公式計算即可得.
【詳解】對A：在正方體中，，
又平面，平面，所以平面，故A項正確；
對B：連接，，在正方體中，，，
平面，平面，因為平面，
平面，所以，，
又，平面，平面，
所以平面，因此，同理，，
又，平面，平面，
所以平面，故B項正確；
對C：因為，所以等于異面直線與BD所成的角，
又，即為等邊三角形，
所以異面直線與BD所成的角為60°，故C項正確；
對D：三棱錐的體積
，故D項不正確.
故選：ABC.
11. 是兩個平面，是兩條直線，有下列四個命題其中正確的命題有（ ）
A. 如果m⊥n,m⊥α,n//β，那么
B. 如果m⊥α,n//α，那么
C. 如果α//β,m?α，那么
D. 如果m//n,α//β，那么與所成的角和與所成的角相等
【答案】BCD
【解析】
【分析】運用長方體模型，找出符合條件的直線和平面，即可判斷A；運用線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)定理，即可判斷B；運用面面平行的性質(zhì)定理，即可判斷C；由平行的傳遞性及線面角的定義，即可判斷D．
【詳解】對于A，可運用長方體舉反例證明其錯誤：如圖，
不妨設(shè)為直線m，為直線n，
所在的平面為，所在的平面為，
顯然這些直線和平面滿足題目條件，但不成立，故A錯誤；
對于B，設(shè)過直線的某平面與平面相交于直線，則l//n，
由知，從而，故B正確；
對于C，如果α//β,m?α，則，故C正確；
對于D，如果m//n,α//β，那么與所成的角和與所成的角相等，故D正確.
故選：BCD.
12. 已知是函數(shù)的一個零點.則（ ）
A.
B. 函數(shù)的值域為
C. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
D. 不等式的解集為
【答案】AC
【解析】
【分析】對于A：代入運算求解即可；對于B：整理可得，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性分析求解；對于C：以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性分析求解；對于D：結(jié)合選項B中的值域分析判斷.
【詳解】由題意可得：，
因為，解得，故A正確；
則，
因為，則，
所以函數(shù)的值域為，故B錯誤；
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故C正確；
由選項B可知：當，即時，，
所以不等式的解集不為空集，故D錯誤；
故選：AC.
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 甲、乙兩水文站同時作水文預報，如果甲站、乙站各自預報的準確率分別為0.8和0.7，那么在一次預報中，甲站、乙站預報都錯誤的概率為_________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)獨立事件的乘法公式即可得到答案.
【詳解】根據(jù)對立事件概率求法和獨立事件的乘法公式得甲站、乙站預報都錯誤的概率為：
.
故答案為：.
14. 已知，且，則的最小值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】由可得，即有，再由基本不等式可得最小值，注意等號成立的條件.
【詳解】因為且，所以，
所以，
當且僅當即時取等號，
所以最小值為.
故答案為：．
15. 已知圓錐的頂點和底面圓周都在球的球面上，且母線長為2，為其底面圓周上的兩點，若面積的最大值為，則球的表面積為______．
【答案】##
【解析】
【分析】本題根據(jù)已知條件得為軸截面時，最大，再根據(jù)球心在上，由此列方程或者根據(jù)正弦定理可求得外接球的半徑，即可求出外接球表面積.
【詳解】如圖所示，因為，
所以當為軸截面時，最大，
因為的面積最大值為，
則，所以，
即圓錐的軸截面為等邊三角形.
解法一：因為圓錐的母線長為2，所以在中， ，
設(shè)球O的半徑為R，則，
在中，，
即，解得，
解法二：因為為的外心，所以外接球直徑，即，
所以外接球表面積．
故答案為：．
16. 趙爽是我國古代數(shù)學家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間一個小正方形組成）.類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設(shè)（，），若，則______.
【答案】3
【解析】
【分析】因為大三角形是等邊三角形，所以可以通過建系的方法進行求解.
【詳解】不妨設(shè)，則，如圖，由題可知.
由，
得，所以，所以，，.
又，所以，所以，
所以，即.
所以，，，
因為，所以，
解得，所以.
故答案為：3
四、解答題（本題共6小題，共70分）
17. 甲袋子中裝有2個紅球、1個白球，乙袋子中裝有1個紅球、2個白球（袋子不透明，球除顏色外完全一樣）.
（1）現(xiàn)從甲、乙兩個袋子中各任選1個球，求選出2個球的顏色相同的概率；
（2）從甲、乙兩袋6個球中任選2個球，求選出的2個球來自同一袋子的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由列舉法求解古典概型概率即可；
（2）直接由列舉法求解古典概型概率即可.
【小問1詳解】
甲袋子中2個紅球分別用A，B表示，白球用C表示，乙袋子中紅球用D表示，2個白球分別用E，F(xiàn)表示.
從甲、乙兩袋中各任選1個球的所有可能結(jié)果為，，，，，，，，，共9種，
從中選出的2個球的顏色相同的有，，，，共4種，
故選出的2個球的顏色相同的概率.
【小問2詳解】
從6個球中任選2個球的所有可能結(jié)果為
，，，，，（B，C），，，，，，，，，，共15種，
從中選出2個球來自同一袋子的結(jié)果有，，，，，，共6種，
所以選出的2個球來自同一袋子的概率.
18. 如圖，四棱錐的底面是直角梯形，底面，，，且，.
（1）證明：平面平面.
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）只需根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面，進一步結(jié)合面面垂直的判定定理即可得證；
（2）首先說明是二面角的平面角，進一步結(jié)合解三角形知識即可求解.
【小問1詳解】
由于底面是直角梯形且，所以由得，
因底面，平面，所以，
而，平面，所以平面.
又因為平面，所以平面平面.
【小問2詳解】
由（1）知平面，平面，所以，
又因為，所以是二面角的平面角.
由得，
而，即，
所以在梯形中，由可得，
所以在直角中，，而，
所以，即二面角的大小為.
19. 黃山原名“黟山”，因峰巖青黑，遙望蒼黛而名，后因傳說軒轅黃帝曾在此煉丹，故改名為“黃山”．黃山雄踞風景秀麗安徽南部，是我國最著名的山岳風景區(qū)之一．明代旅行家、地理學家徐霞客兩游黃山，贊嘆說：“登黃山天下無山，觀止矣！”又留“五岳歸來不看山，黃山歸來不看岳”的美譽．為更好地提升旅游品質(zhì)，黃山風景區(qū)的工作人員隨機選擇100名游客對景區(qū)進行滿意度評分（滿分100分），根據(jù)評分，制成如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求x的值；
（2）估計這100名游客對景區(qū)滿意度評分的分位數(shù)（得數(shù)保留兩位小數(shù)）；
（3）景區(qū)的工作人員采用按比例分層抽樣的方法從評分在，的兩組中共抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人進行個別交流，求選取的2人評分分別在和內(nèi)各1人的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)直方圖中頻率和為1求參數(shù)即可；
（2）由百分位數(shù)的定義，結(jié)合直方圖求分位數(shù)；
（3）分布求各組人數(shù)，利用列舉法結(jié)合古典概型運算求解.
【小問1詳解】
由圖知：，可得.
【小問2詳解】
由，
所以分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，令其為，
則，解得.
所以滿意度評分的分位數(shù)為.
【小問3詳解】
因為評分在，的頻率分別為，
則在中抽取人，設(shè)為；
在中抽取人，設(shè)為；
從這6人中隨機抽取2人，則有：
，
，
共有15個基本事件，
設(shè)選取的2人評分分別在和內(nèi)各1人為事件A，
則有，共有8個基本事件，
所以.
20. 已知函數(shù)（，，）的圖象如圖所示.將函數(shù)y=fx的圖象向右平移個單位長度得到曲線，把上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的曲線對應的函數(shù)記作y=gx.
（1）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）求函數(shù)的最小值；
（3）若函數(shù)在內(nèi)恰有6個零點，求的值.
【答案】（1），；；
（2）
（3）或.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)所給圖象求出函數(shù)的解析式，再列出關(guān)于x的不等式即可得解；
（2）由（1）結(jié)合給定圖象變換求出的解析式，再求出并作變形即可得解；
（3）求出并令，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程，按根所在區(qū)間討論得解.
【小問1詳解】
觀察圖象得，最小正周期為T，
，則，
而，則，，
又，于是得，
所以，
由，，得，，
所以單調(diào)遞減區(qū)間為，．
【小問2詳解】
由題意得，
，
當，即時，取最小值，
所以的最小值為；
【小問3詳解】
依題意，，
令，可得，
令，得，
由于，即方程必有兩個不同的實數(shù)根，，
且，，
由知、異號，不妨設(shè)，，
①若，則，，無解，
而在內(nèi)有四個零點，不符題意；
②若，則，在內(nèi)有2個零點，
而在內(nèi)有4個零點，
即在內(nèi)有6個零點，符合題意，
此時，得；
③若，，在有4個零點，
則在內(nèi)應恰有2個零點，必有，
此時，，解得，
綜上所述有或．
21. 如圖，平面四邊形中，，，，，，點，滿足，，將沿翻折至，使得.
（1）證明：；
（2）求五棱錐的體積
【答案】（1）證明見解析；
（2）19
【解析】
【分析】（1）由題意，根據(jù)余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可證得，則，，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；
（2）先證明平面，得，，勾股定理得，從而底面，即為五棱錐的高，再結(jié)合棱錐的體積公式計算得答案；
【小問1詳解】
由，，，，
得，，又，在中，
由余弦定理得，
所以，則，即，
所以，，又PE∩DE=E，平面，
所以平面，又平面，故；
【小問2詳解】
，，，
，即平面，所以，，
且，所以，由（1），
而是平面內(nèi)的兩條相交直線，
由此得底面，即為五棱錐的高，過點作.則，
22. 一塊長方形魚塘ABCD，AB=50米，BC=25米，為了便于游客休閑散步，該農(nóng)莊決定在魚塘內(nèi)建3條如圖所示的觀光走廊OE，EF，OF，考慮到整體規(guī)劃，要求O是AB的中點，點E在邊BC上，點F在邊AD上，且．

（1）設(shè)，試將的周長l表示成的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；
（2）經(jīng)核算，三條走廊每米建設(shè)費用均為4000元，試問如何設(shè)計才能使建設(shè)總費用最低并求出最低總費用．
【答案】（1）；
（2）詳見解析；元.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出邊長，即可寫出的周長表達式，在使實際問題有意義的基礎(chǔ)上可求得定義域.
（2）根據(jù)題意可知即求函數(shù)的最小值，利用換元法將函數(shù)化簡，結(jié)合的范圍，即可求出函數(shù)的最小值和最低總費用.
【小問1詳解】
在Rt 中，，，所以 ，
在Rt 中，，即 ，又 ，
所以 ，
所以 的周長，
即;
當點 在點 時，角 最小，此時 ;
當點 在點 時，角 最大，此時 ;
故此函數(shù)的定義域是
【小問2詳解】
由題意可知，只需求出 的周長 的最小值即可
設(shè) ，則 ，
則原函數(shù)可化簡為 ，
因為 ，所以 ，，
則 ，
則
從而
則當時，即時，；
即當米時，鋪路總費用最低，最低總費用為元.

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