1.已知命題p：向量a，b所在的直線平行，命題q：向量a，b平行，則p是q的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=1?3i，則|z|=( )
A. 5B. 2C. 3D. 2
3.已知點(diǎn)A(1,1)，B(2,?1)，向量a=(?2,1)，b=(1,1)，則AB與a?b的夾角的余弦值為( )
A. ? 55B. ?2 55C. 55D. 2 55
4.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足c=2acsB，則△ABC的形狀是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
5.在平行四邊形ABCD中，已知DE=12EC，BF=12FC，|AE|=2，|AF|=2 3，則AC?BD=( )
A. ?9B. ?6C. 6D. 9
6.為測(cè)量河對(duì)岸的直塔AB的高度，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C，D，測(cè)得∠BCD的大小為60°，點(diǎn)C，D的距離為200m，在點(diǎn)C處測(cè)得塔頂A的仰角為45°，在點(diǎn)D處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，則直塔AB的高為( )
A. 100mB. 100 3mC. (200 3?200)mD. 200m
7.如圖所示的矩形ABCD中，E，F(xiàn)滿足BE=EC，CF=2FD,G為EF的中點(diǎn)，若AG=λAB+μAD，則λμ的值為( )
A. 12
B. 23
C. 34
D. 2
8.如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC中，點(diǎn)E為中線BD的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)B)，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，則FE?EC=( )
A. ? 34
B. ?56
C. ?103
D. ?3
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.下列說(shuō)法正確的有( )
A. 已知a=(?1,2)，b=(2,x)，若a與b共線，則x=?4
B. 若a/?/b，b/?/c，則a/?/c
C. 若|a|≠|(zhì)b|，則a一定不與b共線
D. 若AB=(3,1)，AC=(m?1,m)，∠BAC為銳角，則實(shí)數(shù)m的范圍是m>34
10.歐拉公式exi=csx+isinx是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)中正確的是( )
A. e2π3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限B. eπ2i為純虛數(shù)
C. eπi 3+i的模長(zhǎng)等于12D. eπ6i的共軛復(fù)數(shù)為12? 32i
11.如圖1是一款家居裝飾物——博古架，它始見(jiàn)于北宋宮廷、官邸.博古架是類似于書(shū)架式的木器，其每層形狀不規(guī)則，前后均敞開(kāi)，無(wú)板壁封擋，便于從各個(gè)位置觀賞架上放置的器物.某博古架的部分示意圖如圖2中實(shí)線所示，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則下列結(jié)論正確的是( )
A. BQ⊥OJ
B. 若AY=xDV+yHM，則x+y=?32
C. (AY+OJ)?BQ+2DV?HM=0
D. 設(shè)Z為線段AK上任意一點(diǎn)，則UZ?KZ的取值范圍是[?94,40]
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.設(shè)i是虛數(shù)單位，a是實(shí)數(shù)，若(1+i)(1?ai)是實(shí)數(shù)，則a= ．
13.已知a=(3,4)，b=(4,?2)，若2a?b與ka+2b為共線向量，則實(shí)數(shù)k= ．
14.在△ABC中，E為AC上一點(diǎn)，AC=2AE，P為線段BE上任一點(diǎn)，若AP=xAB+yAC，則2x+1y的最小值是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題13分)
如圖，已知正三棱錐S?ABC的底面邊長(zhǎng)為2，正三棱錐的高SO=1．
(1)求正三棱錐S?ABC的體積；
(2)求正三棱錐S?ABC表面積．
16.(本小題15分)
已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，sinA+sinB= 3sinC，且邊c=2．
(1)求△ABC的周長(zhǎng)；
(2)若角C=60°，求△ABC的面積．
17.(本小題15分)
已知a=(1,0),b=(2,1)
(1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka?b與a+2b垂直
(2)若AB=2a+3b,BC=a+mb，且A、B、C三點(diǎn)共線，求m的值．
18.(本小題17分)
在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且(b?c)(sinB?sinC)=asinA?bsinC．
(1)求角A的大?。?br>(2)求sinB+sinC的取值范圍．
19.(本小題17分)
在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)任意兩個(gè)向量m=(x1,y1)，n=(x2,y2)，作：OM=m，ON=n.當(dāng)m，n不共線時(shí)，記以O(shè)M，ON為鄰邊的平行四邊形的面積為S(m,n)=|x1y2?x2y1|；當(dāng)m，n共線時(shí)，規(guī)定S(m,n)=0．
(Ⅰ)分別根據(jù)下列已知條件求S(m,n)：
①m=(2,1)，n=(?1,2)；②m=(1,2)，n=(2,4)；
(Ⅱ)若向量p=λm+μn(λ,μ∈R,λ2+μ2≠0)，
求證：S(p,m)+S(p,n)=(|λ|+|μ|)S(m,n)；
(Ⅲ)若A，B，C是以O(shè)為圓心的單位圓上不同的點(diǎn)，記OA=a，OB=b，OC=c．
(ⅰ)當(dāng)a⊥b時(shí)，求S(c,a)+S(c,b)的最大值；
(ⅱ)寫(xiě)出S(a,a)+S(b,c)+S(c,a)的最大值．(只需寫(xiě)出結(jié)果)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因?yàn)槊}p：向量a，b所在的直線平行能推出命題q：向量a，b平行，則充分性成立，
而向量a，b平行，向量a，b所在的直線平行或重合，則必要性不成立，
則命題p是q的充分不必要條件，
故選：A．
根據(jù)充分條件、必要條件的定義可解．
本題考查充分條件、必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．
2.【答案】A
【解析】解：由復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=1?3i，
則z=1?3i1+i=(1?3i)(1?i)2=?2?4i2=?1?2i，
即|z|= (?1)2+(?2)2= 5．
故選：A．
根據(jù)復(fù)數(shù)的除法求得復(fù)數(shù)z，根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算即可求得答案．
本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題．
3.【答案】A
【解析】解：由題意，得AB=(1,?2)，a?b=(?3,0)，
則AB與a?b的夾角的余弦值為AB?(a?b)|AB||a?b|=1×(?3)+(?2)×0 12+(?2)2× (?3)2=? 55．
故選：A．
由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得AB，a?b，結(jié)合平面向量的夾角公式即可求得答案．
本題主要考查數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本題考查余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
利用余弦定理代入，可得a=b，從而可得結(jié)論．
【解答】
解：∵c=2acsB，∴c=2a?a2+c2?b22ac，
∴a2=b2，∴a=b，
∴△ABC的形狀是等腰三角形．
故選A．
5.【答案】A
【解析】解：設(shè)AD=x，AB=y，∠ADC=∠ABF=α，
由DE=12EC，BF=12FC，可得DE=13y，BF=13x，
在△ADE中，AE2=AD2+DE2?2AD?DE?csα，
即有x2+19y2?2x?13ycsα=4，①
在△ABF中，AF2=AB2+BF2?2AB?BF?csα，
可得y2+19x2?2y?13xcsα=12，②
②?①可得89y2?89x2=8，
化為y2?x2=9，
則AC?BD=(AB+AD)?(AD?AB)=AD2?AB2=x2?y2=?9．
故選：A．
由三角形的余弦定理和向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的性質(zhì)，化簡(jiǎn)整理，可得所求值．
本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)，以及三角形的余弦定理的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
6.【答案】A
【解析】解：如圖所示：設(shè)AB=x，則在直角三角形ABC中，因?yàn)椤螦BC=45°，所以BC=x，
在直角三角形ABD中，∠ADB=30°，∴BD= 3x，
所以在△BCD中，由余弦定理可得：BD2=BC2+CD2?2BC?CD?cs∠BCD，
即3x2=x2+40000?2×200×x×12，
化簡(jiǎn)可得：x2+100x?20000=0，解得x=100或?200(舍去)，
故選：A．
畫(huà)出圖形，設(shè)AB=x，然后根據(jù)直角三角形以及仰角分別求出BC，BD的關(guān)系式，然后在三角形BCD中，利用余弦定理建立方程即可求解．
本題考查了解三角形問(wèn)題，涉及到余弦定理以及直角三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
7.【答案】A
【解析】解：由題意可知，AE=AB+BE=AB+12BC=AB+12AD，
AF=AD+DF=AD+13DC=AD+13AB，
因?yàn)镚為EF的中點(diǎn)，
所以AG=12(AE+AF)=12(43AB+32AD)=23AB+34AD，
所以λ=23，μ=34，λμ=12．
故選：A．
由已知結(jié)合向量的線性表示及平面向量基本定理可求．
本題主要考查了向量的線性表示及平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題．
8.【答案】C
【解析】解：由已知，|BA|=4，|BC|=4，∠ABC=60°，
所以BA?BC=|BA|?|BC|cs∠ABC=4×4×12=8．
由已知D是AC的中點(diǎn)，所以BD=12(BA+BC)，BE=13BD=16(BA+BC)，BF=12BC．
所以FE=BE?BF=16BA?13BC，EC=BC?BE=?16BA+56BC，
所以，F(xiàn)E?EC=(16BA?13BC)?(?16BA+56BC)=?136BA2+736BA?BC?518BC2=?136×16+736×8?518×16=?103．
故選：C．
由已知可推得，F(xiàn)E=BE?BF=16BA?13BC，EC=BC?BE=?16BA+56BC，進(jìn)而根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求解即可得出結(jié)果．
本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
9.【答案】AD
【解析】解：對(duì)于A，∵a與b共線，a=(?1,2)，b=(2,x)，
∴?1?x=2×2，解得x=?4，故A正確，
對(duì)于B，當(dāng)b=0時(shí)，b與任意向量都共線，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，當(dāng)|a|≠|(zhì)b|時(shí)，a與b可能方向相同或相反，即a與b可能共線，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，∵AB=(3,1)，AC=(m?1,m)，∠BAC為銳角，
∴AB?AC>0且AB與AC不同向，∴3(m?1)+m>03m≠m?1，解得m>34，故D正確．
故選：AD．
對(duì)于A，結(jié)合向量平行的性質(zhì)，即可求解；對(duì)于B，結(jié)合特殊值法，即可求解；對(duì)于C，結(jié)合向量共線的性質(zhì)，即可求解；對(duì)于D，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可求解．
本題主要考查向量平行的性質(zhì)，以及向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題．
10.【答案】BC
【解析】解：e2π3i=cs2π3+isin2π3=?12+ 32i，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，所以A不正確；
eπ2i=csπ2+isinπ2=i，是純虛數(shù)，所以B正確；
eπi=csπ+isinπ=?1，
|eπi 3+i|=1| 3+i|=12，所以復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)等于12，所以C正確；
eπ6i=csπ6+isinπ6= 32+12i，它的共軛復(fù)數(shù)為 32?12i，所以D不正確；
故選：BC．
利用歐拉公式exi=csx+isinx，化簡(jiǎn)各個(gè)選項(xiàng)，判斷對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限即可．
本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，歐拉公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
11.【答案】AD
【解析】解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AJ所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
對(duì)于A選項(xiàng)：易知B(3,0)，Q(5,4)，O(4,8)，J(0,10)，所以BQ=(2,4)，OJ=(?4,2)，
則BQ?OJ=0，所以BQ⊥OJ，所以A正確．
對(duì)于B選項(xiàng)：易知A(0,0,0)，Y(7,7)，D(12,0)，V(10,5)，H(7,0)，M(2,4)，所以HM=(?5,?6)，AY=(7,7)，DV=(?2,5)，
所以AY=xDV+yHM，得?2x?5y=75x?6y=7，解得x=?737y=?4937，所以x+y=?5637，所以B錯(cuò)誤．
對(duì)于C選項(xiàng)：由選項(xiàng)A，B知AY+OJ=(3,9)，則(AY+OJ)?BQ=42，DV?HM=?20，(AY+OJ)?BQ+2DV?HM=2，所以C錯(cuò)誤．
對(duì)于D選項(xiàng)：易知K(0,8)，U(8,5)，設(shè)Z(0,t)(0≤t≤8)，則UZ=(?8,t?5)，KZ=(0,t?8)，
所以UZ?KZ=(t?5)(t?8)=(t?132)2?94.因?yàn)?≤t≤8，所以當(dāng)t=132時(shí)，UZ?KZ取得最小值?94；當(dāng)t=0時(shí)，UZ?KZ取得最大值40.所以UZ?KZ的取值范圍是[?94,40]，所以D正確．
故選：AD．
根據(jù)已知條件建立平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量垂直的條件及向量相等的條件，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
本題考查的知識(shí)點(diǎn)：平面直角坐標(biāo)系，向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
12.【答案】1
【解析】解：∵(1+i)(1?ai)=1+a+(1?a)i是實(shí)數(shù)，∴1?a=0，∴a=1，
故答案為：1．
先根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則化簡(jiǎn)(1+i)(1?ai)到最簡(jiǎn)形式，再利用復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的條件，解方程求出a值．
本題考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法，以及復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的關(guān)系、復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的條件．
13.【答案】?4
【解析】解：2a?b=(2,10)，
ka+2b=(3k+8,4k?4)，
∵2a?b與ka+2b為共線向量，
∴10(3k+8)?2(4k?4)=0，
解得k=?4．
故答案為：?4．
利用平面向量共線定理即可得出．
本題考查了平面向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
14.【答案】8
【解析】解：因?yàn)锳C=2AE，所以AP=xAB+yAC=xAB+2yAE，
因?yàn)锽，P，E三點(diǎn)共線，所以x+2y=1，
所以2x+1y=(2x+1y)(x+2y)=2+2+4yx+xy≥4+2 4yx?xy=8，
當(dāng)且僅當(dāng)4yx=xyx+2y=1，即x=12y=14時(shí)，等號(hào)成立，
故2x+1y的最小值是8．
故答案為：8．
首先由平面向量基本定理，得出x+2y=1，再根據(jù)基本不等式求得最值即可．
本題考查平面向量基本定理，考查基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．
15.【答案】解：(1)在正三棱錐S?ABC中，S△ABC=12AB?BC?sin60°= 34×2×2= 3，
∴V=13S△ABC?SO=13× 3×1= 33；
(2)連接CO延長(zhǎng)交AB于E，連接SE，則E為AB的中點(diǎn)，

∴CE= 22?12= 3,OE=13CE= 33，
在直角三角形SOE中，SE= ( 33)2+12=2 33，
在△ABS中，SA=SB，∴SE⊥AB，∴S△ABS=12×2×2 33=2 33，
則表面積為：3S△ABS+S△ABC=3×2 33+ 3=3 3．
【解析】(1)由題意分別確定三棱錐的底面積和三棱錐的高即可確定其體積；
(2)連接CO延長(zhǎng)交AB于E，連接SE，則E為AB的中點(diǎn)，分別求得底面積和側(cè)面積，然后計(jì)算其表面積即可．
本題主要考查錐體體積的計(jì)算，錐體表面積的計(jì)算，空間想象能力的培養(yǎng)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
16.【答案】解：(1)∵sinA+sinB= 3sinC，∴由正弦定理可得a+b= 3c，∴a+b=2 3，
∴三角形周長(zhǎng)為a+b+c=2 3+2．
(2)由(1)知a+b=2 3，
由余弦定理得csC=a2+b2?c22ab=(a+b)2?2ab?c22ab=12，
即12?2ab?42ab=12，解得ab=83，
∴S△ABC=12absinC=12×83× 32=2 33．
【解析】(1)由正弦定理得a+b=2 3，則得到其周長(zhǎng)；
(2)根據(jù)余弦定理得(a+b)2?2ab?c22ab=12，解出ab的值，再利用三角形面積公式即可得到答案．
本題考查正弦定理，余弦定理，屬于基礎(chǔ)題．
17.【答案】解：(1)ka?b=k(1,0)?(2,1)=(k?2,?1)，a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2)，
因?yàn)閗a?b與a+2b垂直，所以5(k?2)+(?1)×2=0，
即5k?10?2=0，得k=125．
(2)AB=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3)，
BC=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m)
因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以AB//BC．
所以8m?3(2m+1)=0，即2m?3=0，
所以m=32．
【解析】(1)ka?b與a+2b垂直，即ka?b與a+2b的數(shù)量積為0，利用坐標(biāo)計(jì)算可得k值；
(2)因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以AB//BC，利用平面向量共線的坐標(biāo)公式計(jì)算可得m的值．
本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
18.【答案】解：(1)由正弦定理可得(b?c)(b?c)=a?a?bc，即b2+c2?a2=bc，
由余弦定理的變形得csA=b2+c2?a22bc=12，
又A∈(0,π)，所以A=π3；
(2)由A+B+C=π得C=2π3?B，且B∈(0,2π3)，
所以sinC=sin(2π3?B)=sin[π?(B+π3)]=sin(B+π3)，
所以sinB+sinC=sinB+sin(B+π3)=32sinB+ 32csB= 3sin(B+π6)，
因?yàn)锽∈(0,23π)，從而B(niǎo)+π6∈(π6,56π)，
所以sin(B+π6)∈(12,1]，從而sinB+sinC∈( 32, 3],
故sinB+sinC的取值范圍為( 32, 3]．
【解析】(1)由正弦定理，將角化邊，再根據(jù)余弦定理，求解即可；
(2)由(1)可知，A=π3，則sinB+sinC= 3sin(B+π6)= 3sin(A+π6)，根據(jù)正弦型三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求解即可．
本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
19.【答案】(Ⅰ)解：因?yàn)閙=(2,1),n=(?1,2)，
且S(m,n)=|x1y2?x2y1|，
所以S(m,n)=|2×2?1×(?1)|=5；
又m=(1,2),n=(2,4)，
是S(m,n)=|1×4?2×2|=0；
(Ⅱ)因?yàn)橄蛄縨=(x1,y1),n=(x2,y2)，
且向量p=λm+μn(λ,μ∈R,λ2+μ2≠0)，
則p=(λx1+μx2,λy1+μy2)，
所以S(p,m)=|(λx1+μx2)y1?(λy1+μy2)x1|=|μ||x1y2?x2y1|，
同理S(p,n)=|λ||x1y2?x2y1|．
所以S(p,m)+S(p,n)=(|λ|+|μ|)S(m,n)；
(Ⅲ)(i)設(shè)?c,a?=α，因?yàn)閍⊥b，
所以?c,b?=3π2?α，
所以S(c,a)+S(c,b)=sinα+sin(3π2?α)，
=sinα?csα= 2sin(α?π4)．
當(dāng)α?π4=π2，即α=3π4時(shí)，
S(c,a)+S(c,b)取得最大值 2；
(ii)S(a,b)+S(b,c)+S(c,a)的最大值為3 32．
【解析】(Ⅰ)由S(m,n)=|x1y2?x2y1|求解；
(Ⅱ)由S(m,n)=|x1y2?x2y1|證明；
(Ⅲ)(i)設(shè)?c,a?=α，由S(c,a)+S(c,b)=sinα+sin(3π2?α)= 2sin(α?π4)求解；?c,a?=α?c,b?=β,?b,a?=γS(a,b)+S(b,c)+S(c,a)=sinγ+sinβ+sinα求解．
本題考查向量的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于難題．

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