重慶市十一中教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 實(shí)數(shù)的相反數(shù)是（）
A. 5B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了相反數(shù)的判斷，根據(jù)相反數(shù)的定義解答即可．
【詳解】的相反數(shù)是5．
故選：A．
2. 下圖是由幾個(gè)小正方體搭成的幾何體，則這個(gè)幾何體的左視圖為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了三視圖，根據(jù)題意和三視圖即可得，掌握三視圖是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)題意得，這個(gè)幾何體的左視圖為，
故選：D．
3. 反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(3，2)，下列各點(diǎn)在此反比例函數(shù)圖象上的是（）
A. -3,2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了圖象與點(diǎn)的關(guān)系，代入解析式，計(jì)算判斷即可．
詳解】解：∵反比例函數(shù)，
∴，
A、∵，
∴點(diǎn)-3,2不在反比例函數(shù)圖象上，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、∵，
∴點(diǎn)不在反比例函數(shù)圖象上，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、∵，
∴點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，故本選項(xiàng)符合題意；
D、∵，
∴點(diǎn)不在反比例函數(shù)圖象上，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
4. 如圖，與是位似圖形，點(diǎn)為位似中心，位似比為．若的面積為8，則的面積是（）

A. 12B. 16C. 18D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查的是位似變換，掌握位似變換的概念、相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)位似變換的概念得到，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算即可．
【詳解】解：∵與是位似圖形，
∴，
∵位似比為，
∴，
∵的面積為8，
∴的面積18，
故選：C．
5. 將含角的直角三角板按如圖所示擺放，直角頂點(diǎn)在直線m上，其中一個(gè)銳角頂點(diǎn)在直線n上．若，，則的度數(shù)為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，直角三角板，先得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而根據(jù)，得出答案．
【詳解】解：如圖：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
故選：C．
6. 估算的結(jié)果（）
A. 在7和8之間B. 在8和9之間C. 在9和10之間D. 在10和11之間
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查二次根式的運(yùn)算，無理數(shù)的估算，先進(jìn)行計(jì)算，再利用夾逼法求出無理數(shù)的范圍即可得出結(jié)果．
【詳解】解：，
∵，
∴，
∴；
故選D．
7. 一組圖形按下列規(guī)律排序，其中第①個(gè)圖形有個(gè)愛心，第②個(gè)圖形有個(gè)愛心，第③個(gè)圖形有個(gè)愛心，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑧個(gè)圖形的愛心的個(gè)數(shù)是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化，找到規(guī)律，總結(jié)規(guī)律，是解答本題的關(guān)鍵．
根據(jù)圖形的變化規(guī)律，得到第①個(gè)圖形有：個(gè)愛心；第②個(gè)圖形有：個(gè)愛心；第③個(gè)圖形有：個(gè)愛心；故第⑧個(gè)圖形有：個(gè)愛心，由此得到答案．
【詳解】解：根據(jù)題意得：
第①個(gè)圖形有：個(gè)愛心；
第②個(gè)圖形有：個(gè)愛心；
第③個(gè)圖形有：個(gè)愛心；
第⑧個(gè)圖形有：個(gè)愛心；
故選：．
8. 如圖，是的直徑，是的切線，連接交于點(diǎn)D，連接，若，，則的長(zhǎng)為（）
A. 3B. 2C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理和能正確作出輔助線，
根據(jù)圓周角定理和圓的半徑相等得出是等邊三角形，再由勾股定理得出與的關(guān)系，進(jìn)而求出，再利用等角對(duì)等邊即可求解
【詳解】解：連接，
，
，
，
是等邊三角形，
，
是的直徑，，
，
，
，
與的切線，相切于點(diǎn)B，
故選：D．
9. 如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別在、上，連接、、，．若，則一定等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能正確作出旋轉(zhuǎn)，再證明三角形全等，利用三角形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，再證明三角形全等，最后根據(jù)性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，

∵四邊形是正方形，
∴，，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，，
∴，
∴點(diǎn)三點(diǎn)共線，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
故選：A．
10. 已知，對(duì)多項(xiàng)式，任意添加絕對(duì)值運(yùn)算（不可添加為單個(gè)字母的絕對(duì)值或絕對(duì)值中含有絕對(duì)值的情況）后，稱這種操作為“絕對(duì)操作”．例如：，，等．對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行“絕對(duì)操作”后，可進(jìn)一步對(duì)其進(jìn)行運(yùn)算．下列說法其中正確的個(gè)數(shù)是（）
①存在八種“絕對(duì)操作”，使其化簡(jiǎn)的結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；
②不存在任何“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0；
③所有的“絕對(duì)操作”共有7種不同的結(jié)果．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查絕對(duì)值的意義，整式的加減運(yùn)算，根據(jù)“絕對(duì)操作”的定義，逐一進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴，，，，，，，
①要使化簡(jiǎn)的結(jié)果與原多項(xiàng)式相等，則去絕對(duì)值后所有的符號(hào)不發(fā)生改變，
∴當(dāng)，，，，，，任意一個(gè)添加絕對(duì)值后，化簡(jiǎn)后的結(jié)果與原多項(xiàng)式相等，有6種情況，
當(dāng)，或兩個(gè)都添加絕對(duì)值后，化簡(jiǎn)后的結(jié)果與原多項(xiàng)式相等，有2種情況，
故存在八種“絕對(duì)操作”，使其化簡(jiǎn)的結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；故①正確；
②任意“絕對(duì)操作”化簡(jiǎn)后的結(jié)果不存在項(xiàng)，故不存在任何“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0；故②正確；
③添加一個(gè)絕對(duì)值后，有6種結(jié)果與原多項(xiàng)式相等，即為，
，
，
添加兩個(gè)絕對(duì)值，有2種結(jié)果與原多項(xiàng)式相等，
．
綜上：總共有6種不同的結(jié)果；故③錯(cuò)誤；
故選C．
二、填空題：（本大題8個(gè)小題，每小題4分，共32分）請(qǐng)將每小題的答案直接填在答題卡中對(duì)應(yīng)的橫線上．
11. 計(jì)算：_________________．
【答案】##
【解析】
【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握零指數(shù)冪運(yùn)算法則，特殊角的三角函數(shù)值．
【詳解】解：．
故答案為：．
12. 若一個(gè)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為，則n的值為______．
【答案】8
【解析】
【分析】本題主要考查多邊形外角和定理，多邊形的外角和是360度，先求出每個(gè)外角的度數(shù)，根據(jù)外角和360度求解即可．
【詳解】根據(jù)題意有每個(gè)外角的度數(shù)為：，
，
故答案為：8．
13. 2023年10月26日上午，神州十七號(hào)載人飛船載著楊洪波、唐勝杰、江新林3名航天員奔赴“天宮”，從2003年的神舟五號(hào)到2023年的神州十七號(hào)，20年中國(guó)載人航天工程共有20位航天員問鼎蒼穹，截止到目前為止，我國(guó)航天員在太空的時(shí)間已累計(jì)達(dá)到近個(gè)小時(shí)，其中，數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表為_____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，n是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)n是負(fù)數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案．
【詳解】解：，
14. 現(xiàn)有四張完全相同的刮刮卡，涂層下面的文字分別是“贏”、“在”、“一”、“診”．小明從中隨機(jī)抽取兩張并刮開，則這兩張刮刮卡上的文字恰好是“一”和“診”的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查樹狀圖法求概率，畫出樹狀圖，利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：由題意，畫出樹狀圖如圖：
共有12種等可能的結(jié)果，其中兩張刮刮卡上的文字恰好是“一”和“診”的情況有2種，
∴．
15. 如圖，菱形的邊長(zhǎng)為6，，是以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的弧，是以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的弧，則陰影部分的面積為______ (結(jié)果保留根號(hào))

【答案】
【解析】
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
連接，判斷出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再求出，然后求出陰影部分的面積，計(jì)算即可得解．
【詳解】如圖，連接，過A作，

∵四邊形是菱形，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴
又∵菱形的對(duì)邊，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
16. 若整數(shù)a使關(guān)于x的不等式組無解，且使關(guān)于y的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則滿足條件的a的值之和為______．
【答案】0
【解析】
【分析】本題考查了解一元一次不等式組，解分式方程；根據(jù)不等式組無解求出字母a的取值范圍，再由分式方程有非負(fù)整數(shù)解，也可求得字母a的取值范圍，從而最終確定a的范圍，則可得到所有整數(shù)a的值，即可求得所有a的值的和．
【詳解】解：解不等式，得；
解不等式，得；
∵關(guān)于x的不等式組無解，
∴，
解得：；
解，得：，
∵方程有非負(fù)整數(shù)解，
∴是非負(fù)整數(shù)，且，
∴或或，
解得或,
綜上，；
∴滿足條件的a的值之和為，
故答案為：0．
17. 如圖，在等腰直角中，，為邊上任意一點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_____________ ．

【答案】##
【解析】
【分析】過作于D，作于E，先得出四邊形是矩形，設(shè)，則，，利用勾股定理和相似三角形，即可得到的長(zhǎng)，進(jìn)而得出的長(zhǎng)．
【詳解】解：如圖所示，過作于D，作于E，

又，
四邊形是矩形，
設(shè)，則，，
，
，
，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，，
，
，即，
，
在中，即，
解得 (不合題意)，，
，，
，
，
又，
，
，
，即，
，
由折疊可得，，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及翻折變換的綜合運(yùn)用，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
18. 一個(gè)四位正整數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，若滿足千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和等于百位數(shù)字與十位數(shù)字之和，則稱這個(gè)四位數(shù)M為“博雅數(shù)”．將“博雅數(shù)”的千位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)，百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)得到一個(gè)新的四位數(shù)N．若N能被9整除，則_____．在此條件下，若為整數(shù)，則滿足條件的M的最大值為_____．
【答案】 ① 9 ②. 8631
【解析】
【分析】由題意可得，，再表示出和，根據(jù)N能被9整除和為整數(shù)來確定，，，的值，從而可得結(jié)論．
【詳解】解：由題意可得，
∴，
∵N能被9整除，
∴能被9整除，
又∵，，，互不相等且均不為0，
∴；
∵為整數(shù)，
∴能被整除，
又∵，
∴能被整除，
∴
∴當(dāng)，，，時(shí)，M的最大值為，
故答案為：9，．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字問題，新定義，四位數(shù)的表示，整式的加減，整數(shù)被某數(shù)整除時(shí)求字母的值，難度比較大，能夠理解新定義并熟練掌握所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題：（本大題8個(gè)小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上．
19. 計(jì)算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查整式混合運(yùn)算和分式混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
（1）先用平方差公式與單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可；
（2）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)，再計(jì)算除法即可．
【小問1詳解】
解：原式
；
【小問2詳解】
解：原式
．
20. 學(xué)習(xí)了矩形判定后，小蔣對(duì)等腰三角形底邊上的高和底角頂點(diǎn)到頂角外角平分線的距離的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行了拓展性研究．請(qǐng)根據(jù)他的思路完成以下作圖與填空：
用直尺和圓規(guī)，作等腰三角形的外角的角平分線，再過點(diǎn)C作于點(diǎn)H．（只保留作圖痕跡）
已知：如圖，三角形中，，是底邊上的高，平分，于點(diǎn)H．求證：．

證明：∵平分，
∴
∵，是底邊上的高
∴ ① ，
又∵
∴ ②
又∵于點(diǎn)H
∴ ③
∴四邊形為矩形
∴
小蔣進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，任意等腰三角形均有此特征．請(qǐng)你依照題意完成下面命題：等腰三角形底邊上的高等于 ④ ．
【答案】作圖見解析；①；②90°；③；④底角頂點(diǎn)到頂角外角平分線的距離；
【解析】
【分析】按照作角平分線的方法、作垂線的方法進(jìn)行即可；讀懂推理過程，完成填空即可
【詳解】解：作圖如下：

證明：∵平分，
∴，
∵，是底邊上的高，
∴，，
又∵，
∴，
又∵于點(diǎn)H，
∴，
∴四邊形為矩形
∴
小蔣進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，任意等腰三角形均有此特征．請(qǐng)你依照題意完成下面命題：等腰三角形底邊上的高等于底角頂點(diǎn)到頂角外角平分線的距離．
故答案為：①；②；③；④底角頂點(diǎn)到頂角外角平分線的距離
【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖：作角平分線與垂線，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明矩形是關(guān)鍵．
21. 某公司計(jì)劃購(gòu)入語音識(shí)別輸入軟件，提高辦公效率．市面上有A、B兩款語音識(shí)別輸入軟件，該公司準(zhǔn)備擇優(yōu)購(gòu)買．為了解兩款軟件的性能，測(cè)試員小林隨機(jī)選取了20段短文，其中每段短文都含10個(gè)文字．他用標(biāo)準(zhǔn)普通話以相同的語速朗讀每段短文來測(cè)試這兩款軟件，并將語音識(shí)別結(jié)果整理、描述和分析，下面給出了部分信息．
A款軟件每段短文中識(shí)別正確的字?jǐn)?shù)記錄為：
5，5，6，6，6，6，6，6，6，7，9，9，9，9，9，10，10，10，10，10．
A、B兩款軟件每段短文中識(shí)別正確的字?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)表
B款軟件每段短文中識(shí)別正確的字?jǐn)?shù)折線統(tǒng)計(jì)圖
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）上述表中的，，；
（2）若你是測(cè)試員小林，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，你會(huì)向公司推薦哪款軟件？請(qǐng)說明理由（寫出一條理由即可）；
（3）若會(huì)議記錄員用A、B兩款軟件各識(shí)別了800段短文，每段短文有10個(gè)文字，請(qǐng)估計(jì)兩款軟件一字不差地識(shí)別正確的短文共有多少段？
【答案】（1）6，8，；
（2）向公司推薦A款軟件，理由見解析
（3）280段．
【解析】
【分析】本題考查中位數(shù)、眾數(shù)、用樣本估計(jì)總體，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解各個(gè)概念的內(nèi)涵和計(jì)算方法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和條形統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)以及眾數(shù)、中位數(shù)的意義，可以得到a，b，c的值；
（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，由于平均數(shù)相同，因此可以從9字及以上次數(shù)所占百分比比較得出答案；
（3）根據(jù)A款語音識(shí)別完全正確的百分比和B款語音識(shí)別完全正確的百分比求解即可．
【小問1詳解】
解：由表格可得，A款軟件每段短文中識(shí)別正確的字?jǐn)?shù)出現(xiàn)最多的是6，有7次，故眾數(shù)為6，即，
將B款軟件每段短文中識(shí)別正確的字?jǐn)?shù)從小到大排列，第10，11個(gè)數(shù)都是8，
故中位數(shù)為8，即，
B款識(shí)別正確9字及以上的段數(shù)所占百分比
故答案為：6，8，；
【小問2詳解】
向公司推薦A款軟件，A款語音識(shí)別輸入軟件中更準(zhǔn)確，因?yàn)樵?字及以上次數(shù)所占百分比中，A款是，大于B款，說明A款識(shí)別準(zhǔn)確率更高；
【小問3詳解】
解：，
兩款軟件一字不差地識(shí)別正確的短文共有280段．
22. 某學(xué)校食堂不定期采購(gòu)某調(diào)味加工廠生產(chǎn)的“0添加”有機(jī)生態(tài)醬油和生態(tài)食醋兩種食材．
（1）該學(xué)校花費(fèi)1720元一次性購(gòu)買了醬油、食醋共100瓶，已知醬油和食醋的單價(jià)分別是18元、16元，求學(xué)校購(gòu)買了醬油和食醋各多少瓶？
（2）由于學(xué)校食材的消耗量下降和加工廠調(diào)味品的價(jià)格波動(dòng)，現(xiàn)該學(xué)校分別花費(fèi)900元、600元一次性購(gòu)買醬油和食醋兩種調(diào)味品，已知購(gòu)買醬油的數(shù)量是食醋數(shù)量的1.25倍，每瓶食醋比每瓶醬油的價(jià)格少3元，求學(xué)校購(gòu)買食醋多少瓶？
【答案】（1）學(xué)校購(gòu)買了醬油60瓶，食醋40瓶
（2）學(xué)校購(gòu)買食醋40瓶
【解析】
【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用；
（1）設(shè)學(xué)校購(gòu)買了醬油瓶，食醋瓶，根據(jù)該學(xué)校花費(fèi)1720元一次性購(gòu)買了醬油、食醋共100瓶，列出二元一次方程組，解方程組即可；
（2）學(xué)校購(gòu)買食醋瓶，則購(gòu)買醬油瓶，根據(jù)每瓶食醋比每瓶醬油的價(jià)格少3元，列出分式方程，解方程即可．
小問1詳解】
解：設(shè)學(xué)校購(gòu)買了醬油瓶，食醋瓶，
由題意得：，
解得：，
答：學(xué)校購(gòu)買了醬油60瓶，食醋40瓶；
【小問2詳解】
解：學(xué)校購(gòu)買食醋瓶，則購(gòu)買醬油瓶，
由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
答：學(xué)校購(gòu)買食醋40瓶．
23. 如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，沿著折線（含端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，到達(dá)A點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，點(diǎn)D到AB的距離為，請(qǐng)解答下列問題：
（1）直接寫出關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（2）若函數(shù)，在直角坐標(biāo)系中分別畫出，的圖象，并寫出函數(shù)的一條性質(zhì)；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象，直接估計(jì)當(dāng)時(shí)t的取值范圍．（保留1位小數(shù)，誤差不超過0.2）
【答案】（1）
（2）畫圖見解析，當(dāng)時(shí)，隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨x的增大而減小
（3）
【解析】
【分析】（1）分兩種情況：點(diǎn)D在線段上，此時(shí)；點(diǎn)D在線段上，此時(shí)；利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖像，描點(diǎn)畫出圖形即可；根據(jù)圖像即可寫出的一條性質(zhì)；
（3）觀察圖像，當(dāng)?shù)膱D像在的圖像上方或相交時(shí)，即可確定自變量的取值范圍．
【小問1詳解】
解：當(dāng)點(diǎn)D在線段上，此時(shí)；
∵，
∴，
∴，即；
∵，，
∴，其中；
當(dāng)點(diǎn)D在線段上，如圖，此時(shí)，；
∵，
∴，
∴，即；
∵，，
∴，其中；
綜上，，
【小問2詳解】
解：所畫的兩個(gè)函數(shù)的圖像如下：
函數(shù)的性質(zhì)為：當(dāng)時(shí)，隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨x的增大而減?。?br>【小問3詳解】
解：當(dāng)時(shí)，表明函數(shù)的圖像在的圖像上方或兩者的相交，此時(shí)．
【點(diǎn)睛】本題考查了了相似三角形的判定與性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)解析式，畫函數(shù)圖像，函數(shù)的性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合與分類討論思想的運(yùn)用．
24. 小明和小紅相約周末游覽合川釣魚城，如圖，為同一平面內(nèi)的五個(gè)景點(diǎn)．已知景點(diǎn)位于景點(diǎn)的東南方向米處，景點(diǎn)位于景點(diǎn)的北偏東方向米處，景點(diǎn)位于景點(diǎn)的北偏東方向，若景點(diǎn)與景點(diǎn)，都位于東西方向，且景點(diǎn)在同一直線上．
（1）求景點(diǎn)與景點(diǎn)之間的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）
（2）小明從景點(diǎn)出發(fā)，從到到，小紅從景點(diǎn)出發(fā)，從到到，兩人在各景點(diǎn)處停留的時(shí)間忽略不計(jì)．已知兩人同時(shí)出發(fā)且速度相同，請(qǐng)通過計(jì)算說明誰先到達(dá)景點(diǎn)．（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）景點(diǎn)與景點(diǎn)之間的距離為米
（2）小紅先到達(dá)景點(diǎn)，理由見解析
【解析】
【分析】（）過點(diǎn)作于點(diǎn)，解直角三角形求出，即可求出點(diǎn)與景點(diǎn)之間的距離；
（）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，解直角三角形求出，分別計(jì)算出兩人所走的路程，即可判斷求解；
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，矩形的性質(zhì)，根據(jù)題意，作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，
在中，，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
答：景點(diǎn)到景點(diǎn)的距離為米；
【小問2詳解】
解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
則，
∴四邊形為矩形，
在中，，
∴，
∴，，
又∵四邊形為矩形，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴小明所走的路程為米，
小紅所走的路程為米，
∵且兩人速度相同，
∴小紅先到達(dá)景點(diǎn)．
25. 如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且交x軸于，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖1，過點(diǎn)D作軸，垂足為M，點(diǎn)P在直線下方拋物線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作，，求的最大值，以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）將原拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，在平移后的拋物線上存在點(diǎn)G，使得，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)G的橫坐標(biāo)，并寫出其中一個(gè)的求解過程．
【答案】（1）
（2）最大值為，
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）求出直線解析式為，證明，得到，再證明是等腰直角三角形，得到，則，設(shè)，則，，求出，，則，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案；
（3）求出，得到，進(jìn)而推出將原拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，相當(dāng)于把原拋物線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后的拋物線解析式為；如圖所示，取點(diǎn)，連接，證明是等腰直角三角形，且，得到，則與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)G，同理可得直線的解析式為，聯(lián)立得，解得或（舍去），則點(diǎn)G的坐標(biāo)為；同理當(dāng)取點(diǎn)時(shí)，可證明是等腰直角三角形，且，則，同理可求出點(diǎn)G的坐標(biāo)為．
【小問1詳解】
解：把，代入中得：
，
∴，
∴拋物線解析式為；
【小問2詳解】
解：設(shè)直線解析式為，設(shè)交于H，
∴，
∴，
∴直線解析式為，
∵軸，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
∴，，
∴
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，
∴
∴
【小問3詳解】
解：∵拋物線交y軸于點(diǎn)C．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴將原拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，相當(dāng)于把原拋物線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，
∵原拋物線解析式為，
∴平移后的拋物線解析式為；
如圖所示，取點(diǎn)，連接，
∵，，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∴與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)G，
同理可得直線的解析式為，
聯(lián)立得，
解得或（舍去），
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為；
同理當(dāng)取點(diǎn)時(shí)，可證明是等腰直角三角形，且，
∴，
∴與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)G的位置，
同理可得直線的解析式為，
連接得，
解得或（舍去），
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為；
綜上所述，點(diǎn)G的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理得逆定理等等，通過構(gòu)造等腰直角三角形得到45度的角是解題的關(guān)鍵．
26. 如圖，在中，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度得到線段．
（1）如圖1所示，，連接，作交于，若，，求的長(zhǎng)；
（2）如圖2，，為中點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交于，問：，，之間的關(guān)系；
（3）如圖3，在（2）小問的基礎(chǔ)上，，在線段上取一點(diǎn)，使得，為上一動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折得到，點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)最短時(shí)，請(qǐng)直接寫出的面積．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理求出的長(zhǎng)，角的和差關(guān)系求出，進(jìn)而求出，根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)，得到，即可；
（2）連接，斜邊上的中線，得到，進(jìn)而得到為等邊三角形，旋轉(zhuǎn)得到為等邊三角形，證明，得到，進(jìn)而得到，，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，得到，即可得出結(jié)論；
（3）先確定點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值，以及垂線段最短，確定點(diǎn)的位置，進(jìn)而求出的面積即可．
【小問1詳解】
解：∵繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度得到線段，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小問2詳解】
連接，
∵，為中點(diǎn)，
∴，
∴，，
∴為等邊三角形，
∴，
當(dāng)時(shí)，則：，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小問3詳解】
由（2）知，
∴點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，，
∴，
∵，
∴，
∵翻折，
∴，
∴在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
連接，則：，即當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)最小，為，
∴當(dāng)最小時(shí)，的長(zhǎng)最小，
∵點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，
∴時(shí)，的長(zhǎng)最小，如圖：此時(shí)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值，垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，綜合性質(zhì)強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線，構(gòu)造特殊圖形和全等三角形，確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，是解題的關(guān)鍵．
軟件
平均數(shù)
眾數(shù)
中位數(shù)
識(shí)別正確9字及以上的段數(shù)所占百分比
A款
7.7
a
8
50%
B款
7.7
8
b
c

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