1．（3分）下列圖形中不是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）點M（1，2）關于x軸對稱點的坐標為（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）
3．（3分）用三角板作△ABC的邊BC上的高，下列三角板的擺放位置正確的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）如圖，為了估計池塘岸邊A，B兩點間的距離，小玥同學在池塘一側選取一點O，測得OA＝12米，OB＝7米，則A，B間的距離不可能是（ ）
A．5米B．7.5米C．10米D．18.9米
5．（3分）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，這個多邊形是（ ）
A．四邊形B．五邊形C．六邊形D．八邊形
6．（3分）如圖，△ABC≌△DEF，DF和AC，F(xiàn)E和CB是對應邊．若∠A＝100°，∠F＝47°，則∠DEF等于（ ）
A．100°B．53°C．47°D．33°
7．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點D，點E為AB的中點，若AB＝12，CD＝3，則△DBE的面積為（ ）
A．10B．12C．9D．6
8．（3分）如圖，正方形紙片ABCD：
①先對折使AB與CD重合，得到折痕EF；
②折疊紙片，使得點A落在EF的點H上，沿BH和CH剪下△BCH．
則判定△BCH為等邊三角形的依據(jù)是（ ）
A．三個角都相等的三角形是等邊三角形
B．有兩個角是60°的三角形是等邊三角形
C．三邊都相等的三角形是等邊三角形
D．有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形
9．（3分）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形邊長均為1，△ABC的頂點均落在格點上，若點A的坐標為（﹣2，﹣1），則到△ABC三個頂點距離相等的點的坐標為（ ）
A．（0，1）B．（1，0）C．（0，0）D．（1，﹣1）
10．（3分）老師布置的作業(yè)中有這么一道題：
甲同學認為AB，AC，AD這條三邊不在同一個三角形中，無法解答，老師給的題目有錯誤．乙同學認為可以從中點D出發(fā)，構造輔助線，利用全等的知識解決．丙同學認為可以從點C作平行線，構造輔助線，利用全等的知識解決．你認為正確的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．乙和丙
二、填空題（共24分，每題3分）
11．（3分）蓋房子時，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，使窗框不變形，這樣做的數(shù)學原理是 °
12．（3分）等腰三角形的兩邊長為4和6，則此等腰三角形的周長為 ．
13．（3分）如圖，點A、E、B、F在同一條直線上，AC∥DF，AC＝DF，要使△ABC≌△FED，則可以補充一個條件： ．
14．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD為∠ABC的平分線，則∠BDC＝ ．
15．（3分）如圖，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，∠B＝30°，且AD＝1，那么BD＝ ．
16．（3分）如圖，△ABC中，DE、FG分別是AB、AC的垂直平分線，BC＝4cm，∠BAC＝100°．則△ADF的周長是 cm，∠DAF＝ °．
17．（3分）如圖，∠A＝∠B，AB＝60，E，F(xiàn)分別為線段AB和射線BD上的一點，若點E從點B出發(fā)向點A運動，同時點F從點B出發(fā)沿射線BD運動，二者速度之比為3：7，當點E運動到點A時，兩點同時停止運動．在射線AC上取一點G，使△AEG與△BEF全等，則AG的長為 ．
18．（3分）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥DC于D，點O是線段AD上一點，點P是BA延長線上一點，若OP＝OC，則下列結論：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△POC是等邊三角形；④AB＝OA+AP．其中正確的是 ．
三、解答題（共46分，第19題4分，第20-25題，每題5分，第26，27題，每題6分）
19．（4分）如圖，已知∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE．求證：∠B＝∠D．
20．（5分）如圖，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠CAE＝144°，求∠ADB與∠ACD的度數(shù)．
21．（5分）已知：如圖，點B是∠MAN邊AM上的一定點（其中∠MAN＜45°），
求作：△ABC，使其滿足：①點C在射線AN上，②∠ACB＝2∠A．
下面是小兵設計的尺規(guī)作圖過程．
作法：
①作線段AB的垂直平分線l，直線l交射線AN于點D；
②以點B為圓心，BD長為半徑作弧，交射線AN于另一點C；
③連接BC，則△ABC即為所求三角形．
根據(jù)小兵設計的尺規(guī)作圖過程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面的證明．
證明：∵直線l為線段AB的垂直平分線，
∴AD＝BD（ ），（填推理的依據(jù)）
∴∠A＝∠ ，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A；
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠BDC （ ），（填推理的依據(jù)）
∴∠ACB＝2∠A．
22．（5分）如圖，在△ABC中，D是邊AB上一點，E是邊AC的中點，作CF∥AB交DE的延長線于點F．若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求DB的長．
23．（5分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l是第一、三象限的角平分線．已知△ABC的三個頂點坐標分別為A（3，0），B（5，3），C（6，1）．
（1）若△ABC與△A'B'C'關于y軸對稱，畫出△A'B'C'；
（2）若直線l上存在點P，使AP+BP最小，則點P的坐標為 ，AP+BP的最小值為 ．
24．（5分）在學習完全等三角形及軸對稱的知識后，小明經(jīng)過思考得出猜想：“如果一個三角形一邊上的中點到另兩條邊的距離相等，那么這個三角形是等腰三角形”．
老師說小明的猜想是正確的．請你幫助小明完成以上猜想的證明．
已知：
求證：
證明：
25．（5分）如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，垂足為D，判斷AB、CD和BD這三條線段的數(shù)量關系（用等式表示），并證明．
26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，3），點B在x軸上，過點B作BC⊥AB，且BC＝AB．這樣得到的點C稱為點A關于點B的“伴隨點”．
（1）如圖1，當點B的坐標為（1，0）時，請在圖中畫出點A關于點B的“伴隨點”，并寫出“伴隨點”的坐標： ；
（2）在下列各點中：①（2，﹣1），②（﹣3，﹣1），③（5，2），能成為點A關于點B的“伴隨點”的是 （填序號）；
（3）若點B坐標為（a，0），直接寫出點A關于點B的“伴隨點”的坐標（用a表示）．
27．（6分）在△ABC中，∠ABC為銳角，AB＝5，BC＝3，作外角∠PBA的平分線MB，在MB上找一點D，使得DC＝DA，過點D作DE⊥BP交于點E．
（1）在圖1中，依題意補全圖形；
（2）直接寫出BE的值 ；
（3）如圖2，當∠ABC為鈍角時，猜想AB，BC，BE之間的數(shù)量關系，并說明理由．
2022-2023學年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學八年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共30分，每題3分）第1-10題均有四個選項，其中符合題意的選項只有一個．請將選擇題答案填寫在答題卡的表格中．
1．（3分）下列圖形中不是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義進行判斷即可．
【解答】解：根據(jù)軸對稱圖形的定義：軸對稱圖形沿一條直線對折兩邊能夠完全重合可知，
選項A、B、D中的圖形都是軸對稱圖形，
只有選項C中的圖形不是軸對稱圖形，符合題意．
故選：C．
【點評】本題考查了軸對稱圖形的識別，掌握軸對稱圖形的定義是解題的關鍵．
2．（3分）點M（1，2）關于x軸對稱點的坐標為（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）
【分析】兩點關于x軸對稱，那么讓橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)即可．
【解答】解：∵2的相反數(shù)是﹣2，
∴點M（1，2）關于x軸對稱點的坐標為 （1，﹣2）．
故選：D．
【點評】本題考查兩點關于x軸對稱的坐標的特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)．
3．（3分）用三角板作△ABC的邊BC上的高，下列三角板的擺放位置正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)高線的定義即可得出結論．
【解答】解：B，C，D都不是△ABC的邊BC上的高，
故選：A．
【點評】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知三角形高線的定義是解答此題的關鍵．
4．（3分）如圖，為了估計池塘岸邊A，B兩點間的距離，小玥同學在池塘一側選取一點O，測得OA＝12米，OB＝7米，則A，B間的距離不可能是（ ）
A．5米B．7.5米C．10米D．18.9米
【分析】根據(jù)三角形的三邊關系定理三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得12﹣7＜AB＜12+7，計算出AB的取值范圍可得答案．
【解答】解：連接AB，
根據(jù)三角形的三邊關系可得12﹣7＜AB＜12+7，
即5＜AB＜19，
故選：A．
【點評】此題主要考查了三角形的三邊關系，關鍵是掌握第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．
5．（3分）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，這個多邊形是（ ）
A．四邊形B．五邊形C．六邊形D．八邊形
【分析】此題可以利用多邊形的外角和和內(nèi)角和定理求解．
【解答】解：設所求多邊形邊數(shù)為n，由題意得
（n﹣2）?180°＝360°×2
解得n＝6．
則這個多邊形是六邊形．
故選：C．
【點評】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和、方程的思想．關鍵是記住內(nèi)角和的公式與外角和的特征：任何多邊形的外角和都等于360°，n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）?180°．
6．（3分）如圖，△ABC≌△DEF，DF和AC，F(xiàn)E和CB是對應邊．若∠A＝100°，∠F＝47°，則∠DEF等于（ ）
A．100°B．53°C．47°D．33°
【分析】根據(jù)全等三角形的對應角相等、三角形的內(nèi)角和是180度來解答．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，DF和AC，F(xiàn)E和CB是對應邊，
∴∠A＝∠FDE，
又∵∠A＝100°，
∴∠FDE＝100°；
∵∠F＝47°，∠FDE+∠F+∠DEF＝180°，
∴∠DEF＝180°﹣∠F﹣∠FDE＝180°﹣47°﹣100°＝33°；
故選：D．
【點評】本題主要考查的是全等三角形的對應角相等，以及三角形的內(nèi)角和定理．根據(jù)相等關系，把已知條件轉到同一個三角形中然后利用三角形的內(nèi)角和來求解是解決這類問題常用的方法．
7．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點D，點E為AB的中點，若AB＝12，CD＝3，則△DBE的面積為（ ）
A．10B．12C．9D．6
【分析】過D作DF⊥AB于F，由角平分線的性質(zhì)求出DF，根據(jù)三角形的面積公式即可求出△DBE的面積．
【解答】解：過D作DF⊥AB于F，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，CD＝3，
∴DF＝CD＝3，
∵點E為AB的中點，AB＝12，
∴BE＝6，
∴△DBE的面積＝BE?DF＝×6×3＝9，
故選：C．
【點評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解決問題的關鍵．
8．（3分）如圖，正方形紙片ABCD：
①先對折使AB與CD重合，得到折痕EF；
②折疊紙片，使得點A落在EF的點H上，沿BH和CH剪下△BCH．
則判定△BCH為等邊三角形的依據(jù)是（ ）
A．三個角都相等的三角形是等邊三角形
B．有兩個角是60°的三角形是等邊三角形
C．三邊都相等的三角形是等邊三角形
D．有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)可得BH＝BC，因為EF是BC的垂直平分線，利用垂直平分線的性質(zhì)，可得BH＝CH，又根據(jù)折疊的性質(zhì)可知BH＝AB，故BH＝CH＝BC，因此是正三角形．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
由翻折變換可得，AB＝HB，
∴BH＝BC，
∵EF是BC的垂直平分線，
∴BH＝CH，
∴BH＝CH＝BC，
∴△BHC是正三角形，
故選：C．
【點評】本題考查翻折變換，直角三角形的邊角關系以及等腰三角形的判定，掌握正三角形的判定方法是正確解答的關鍵．
9．（3分）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形邊長均為1，△ABC的頂點均落在格點上，若點A的坐標為（﹣2，﹣1），則到△ABC三個頂點距離相等的點的坐標為（ ）
A．（0，1）B．（1，0）C．（0，0）D．（1，﹣1）
【分析】到△ABC三個頂點距離相等的點是AB與AC的垂直平分線的交點，進而得出其坐標．
【解答】解：平面直角坐標系如圖所示，AB與AC的垂直平分線的交點為點O，
∴到△ABC三個頂點距離相等的點的坐標為（0，0），
故選：C．
【點評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．
10．（3分）老師布置的作業(yè)中有這么一道題：
甲同學認為AB，AC，AD這條三邊不在同一個三角形中，無法解答，老師給的題目有錯誤．乙同學認為可以從中點D出發(fā)，構造輔助線，利用全等的知識解決．丙同學認為可以從點C作平行線，構造輔助線，利用全等的知識解決．你認為正確的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．乙和丙
【分析】延長AD到E使得AD＝ED＝4，利用倍長中線模型證明△ABD≌△ECD（SAS）得到AB＝EC，再由三角形三邊的關系即可判斷乙同學的說法；過C作CE∥AB交AD的延長線于E，證明△ABD≌△ECD（AAS），得AB＝EC，AD＝ED＝4，再由三角形三邊的關系即可判斷丙同學的說法．
【解答】解：如圖，延長AD到E，使得ED＝AD＝4，
則AE＝2AD＝8，
延長AD到E使得AD＝ED＝4，
∵D是BC的中點，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝EC，
在△ACE中，AE﹣AC＜EC＜AE+AC，
即8﹣3＜EC＜8+3，
∴5＜EC＜11，
∴5＜AB＜11，
∴AB的長不可能是5；
過C作CE∥AB交AD的延長線于E，
則∠BAD＝∠E，
∵D是BC的中點，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AB＝EC，AD＝ED＝4，
∴AE＝2AD＝8，
在△ACE中，AE﹣AC＜EC＜AE+AC，
即8﹣3＜EC＜8+3，
∴5＜EC＜11，
∴5＜AB＜11，
∴AB的長不可能是5；
綜上所述，甲說法錯誤，乙和丙說法正確．
故選：D．
【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及三角形三邊的關系等知識，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
二、填空題（共24分，每題3分）
11．（3分）蓋房子時，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，使窗框不變形，這樣做的數(shù)學原理是 三角形的穩(wěn)定性 °
【分析】用木條固定矩形門框，即是組成三角形，故可用三角形的穩(wěn)定性解釋．
【解答】解：加上木條后，原不穩(wěn)定的四邊形中具有了穩(wěn)定的三角形，故這種做法根據(jù)的是三角形的穩(wěn)定性．
故答案為：三角形的穩(wěn)定性．
【點評】本題考查三角形穩(wěn)定性的實際應用．三角形的穩(wěn)定性在實際生活中有著廣泛的應用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結構，往往通過連接輔助線轉化為三角形而獲得．
12．（3分）等腰三角形的兩邊長為4和6，則此等腰三角形的周長為 14或16 ．
【分析】分腰長為4和腰長為6兩種情況，再結合三角形三邊關系進行驗證，再求其周長即可．
【解答】解：
當腰為4時，則三角形的三邊為4、4、6，滿足三角形三邊關系，此時三角形的周長為14；
當腰為6時，則三角形的三邊為6、6、4，滿足三角形三邊關系，此時三角形的周長為16；
綜上可知該等腰三角形的周長為14或16．
故答案為：14或16．
【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩腰相等是解題的關鍵，注意分類討論．
13．（3分）如圖，點A、E、B、F在同一條直線上，AC∥DF，AC＝DF，要使△ABC≌△FED，則可以補充一個條件： AB＝EF ．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，由AC∥DF，得∠A＝∠F，從而解決此題．
【解答】解：補充條件：AB＝EF．
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
在△ABC和△FED中，
，
∴△ABC≌△FED（SAS）．
故答案為：AB＝EF．
【點評】本題主要考查全等三角形的判定、平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定、平行線的性質(zhì)是解決本題的關鍵．
14．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD為∠ABC的平分線，則∠BDC＝ 75° ．
【分析】由AB＝AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠C，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，然后利用角平分線的定義求出∠DBC，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出∠BDC．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
而BD為∠ABC的平分線，
∴∠DBC＝×70°＝35°，
∴∠BDC＝180°﹣70°﹣35°＝75°．
故答案為75°．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩底角相等．也考查了三角形的內(nèi)角和定理．
15．（3分）如圖，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，∠B＝30°，且AD＝1，那么BD＝ 3 ．
【分析】利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解AB的長，再利用BD＝AB﹣AD計算可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝2AC，∠A＝90°﹣30°＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∴AC＝2AD，
∴AB＝4AD，
∵AD＝1，
∴AB＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．
故答案為：3．
【點評】本題主要考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)，求解AB的長是解題的關鍵．
16．（3分）如圖，△ABC中，DE、FG分別是AB、AC的垂直平分線，BC＝4cm，∠BAC＝100°．則△ADF的周長是 4 cm，∠DAF＝ 20 °．
【分析】由在△ABC中，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AD＝BD，AF＝CF，繼而求得∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，又由∠BAC＝110°，即可求得∠B+∠C，則可得∠BAD+∠CAF的度數(shù)，繼而求得∠DAF；由AD＝BD，AF＝CF，即可得△ADF的周長＝BC．
【解答】解：∵在△ABC中，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，
∴AD＝BD，AF＝CF，
∴∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，
∵∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝80°，
∴∠BAD+∠CAF＝80°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAF）＝20°，
∴△ADF的周長＝AD+DF+AF＝BD+DF+CF＝BC＝4cm，
故答案為：4，20．
【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．掌握線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解決問題的關鍵．
17．（3分）如圖，∠A＝∠B，AB＝60，E，F(xiàn)分別為線段AB和射線BD上的一點，若點E從點B出發(fā)向點A運動，同時點F從點B出發(fā)沿射線BD運動，二者速度之比為3：7，當點E運動到點A時，兩點同時停止運動．在射線AC上取一點G，使△AEG與△BEF全等，則AG的長為 18或70 ．
【分析】設BE＝3t，則BF＝7t，使△AEG與△BEF全等，由∠A＝∠B可知，分兩種情況：情況一：當BE＝AG，BF＝AE時，列方程解得t，可得AG；情況二：當BE＝AE，BF＝AG時，列方程解得t，可得AG．
【解答】解：設BE＝3t，則BF＝7t，因為∠A＝∠B，使△AEG與△BEF全等，可分兩種情況：
情況一：當BE＝AG，BF＝AE時，
∵BF＝AE，AB＝60，
∴7t＝60﹣3t，
解得：t＝6，
∴AG＝BE＝3t＝3×6＝18；
情況二：當BE＝AE，BF＝AG時，
∵BE＝AE，AB＝60，
∴3t＝60﹣3t，
解得：t＝10，
∴AG＝BF＝7t＝7×10＝70，
綜上所述，AG＝18或AG＝70．
故答案為：18或70．
【點評】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想是解答此題的關鍵．
18．（3分）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥DC于D，點O是線段AD上一點，點P是BA延長線上一點，若OP＝OC，則下列結論：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△POC是等邊三角形；④AB＝OA+AP．其中正確的是 ①③④ ．
【分析】①利用等邊對等角得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，則∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，據(jù)此即可求解；
②因為點O是線段AD上一點，所以BO不一定是∠ABD的角平分線，可作判斷；
③證明∠POC＝60°且OP＝OC，即可證得△OPC是等邊三角形；
④證明△OPA≌△CPE，則AO＝CE，得AC＝AE+CE＝AO+AP．
【解答】解：①如圖1，連接OB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，故①正確；
②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∵點O是線段AD上一點，
∴∠ABO與∠DBO不一定相等，
則∠APO與∠DCO不一定相等，故②不正確；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等邊三角形，故③正確；
④如圖2，在AC上截取AE＝PA，
∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等邊三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AO+AP，
∴AB＝AO+AP，故④正確；
故答案為：①③④．
【點評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確作出輔助線是解決問題的關鍵．
三、解答題（共46分，第19題4分，第20-25題，每題5分，第26，27題，每題6分）
19．（4分）如圖，已知∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE．求證：∠B＝∠D．
【分析】利用SAS判定△ABC≌△ADE，再根據(jù)全等三角形的對應邊相等，對應角相等，即可證得∠B＝∠D．
【解答】證明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE．
∵AB＝AD，AC＝AE，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
∴∠B＝∠D．
【點評】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
20．（5分）如圖，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠CAE＝144°，求∠ADB與∠ACD的度數(shù)．
【分析】根據(jù)角平分線的定義，由AD平分∠CAE，得∠EAD＝＝72°．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠EAD＝∠B+∠ADB，故∠ADB＝∠EAD﹣∠B＝42°．根據(jù)平角的定義，得∠CAE＝144°，那么∠BAC＝180°﹣∠CAE＝36°．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠ACD＝∠B+∠BAC＝30°+36°＝66°．
【解答】解：∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD＝＝＝72°．
∵∠EAD＝∠B+∠ADB，
∴∠ADB＝∠EAD﹣∠B＝72°﹣30°＝42°．
∵∠CAE＝144°，
∴∠BAC＝180°﹣∠CAE＝36°．
∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝30°+36°＝66°．
【點評】本題主要考查角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)是解決本題的關鍵．
21．（5分）已知：如圖，點B是∠MAN邊AM上的一定點（其中∠MAN＜45°），
求作：△ABC，使其滿足：①點C在射線AN上，②∠ACB＝2∠A．
下面是小兵設計的尺規(guī)作圖過程．
作法：
①作線段AB的垂直平分線l，直線l交射線AN于點D；
②以點B為圓心，BD長為半徑作弧，交射線AN于另一點C；
③連接BC，則△ABC即為所求三角形．
根據(jù)小兵設計的尺規(guī)作圖過程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面的證明．
證明：∵直線l為線段AB的垂直平分線，
∴AD＝BD（ 線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等 ），（填推理的依據(jù)）
∴∠A＝∠ ABD ，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A；
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠BDC （ 等邊對等角 ），（填推理的依據(jù)）
∴∠ACB＝2∠A．
【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．
（2）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可．
【解答】解：（1）如圖，△ABC即為所求．
（2）∵直線l為線段AB的垂直平分線，
∴AD＝BD（線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等），
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠BDC （等邊對等角），
∴∠ACB＝2∠A．
故答案為：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等，∠ABD，等邊對等角．
【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，線段的垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．
22．（5分）如圖，在△ABC中，D是邊AB上一點，E是邊AC的中點，作CF∥AB交DE的延長線于點F．若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求DB的長．
【分析】由ASA證△ADE≌△CFE，得CF＝AD＝7，再證AB＝AC＝10，即可得出結論．
【解答】解：∵E是邊AC的中點，
∴AE＝CE＝5，
∴AC＝2CE＝10，
∵CF∥AB，
∴∠A＝∠FCE，
在△ADE與△CFE中，，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴CF＝AD＝7，
又∵∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC＝10，
∴DB＝AB﹣AD＝10﹣7＝3．
【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)等知識，證明三角形全等是解題的關鍵，屬于中考?？碱}型．
23．（5分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l是第一、三象限的角平分線．已知△ABC的三個頂點坐標分別為A（3，0），B（5，3），C（6，1）．
（1）若△ABC與△A'B'C'關于y軸對稱，畫出△A'B'C'；
（2）若直線l上存在點P，使AP+BP最小，則點P的坐標為 （3，3） ，AP+BP的最小值為 5 ．
【分析】（1）利用軸對稱的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應點A′，B′，C′即可；
（2）作點B關于直線l的對稱點B″，連接AB″交直線l于點P，連接PB，此時PA+PB的值最小，最小值為線段AB″的長．
【解答】解：（1）如圖，△A'B'C'即為所求；
（2）如圖，點P即為所求．P（3，3），最小值為5，
故答案為：（3，3），5．
【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，軸對稱最短問題等知識，解題的關鍵學會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．
24．（5分）在學習完全等三角形及軸對稱的知識后，小明經(jīng)過思考得出猜想：“如果一個三角形一邊上的中點到另兩條邊的距離相等，那么這個三角形是等腰三角形”．
老師說小明的猜想是正確的．請你幫助小明完成以上猜想的證明．
已知：
求證：
證明：
【分析】根據(jù)題意寫出已知，求證，然后根據(jù)題意，作出合適的輔助線，再根據(jù)HL可以證明Rt△DEB≌Rt△DFC，從而可以得到∠B＝∠C，再根據(jù)等角對等邊得到AB＝AC，從而可以判段△ABC的形狀．
【解答】已知：在△ABC中，點D為BC的中點，點D到邊AB和AC的距離相等，
求證：△ABC是等腰三角形．
證明：作DE⊥AB于點E，作DF⊥AC于點F，
則∠DEB＝∠DFC，
由題意可得，BD＝CD，DE＝DE，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定，解答本題的關鍵是明確題意，寫出已知、求證和證明過程．
25．（5分）如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，垂足為D，判斷AB、CD和BD這三條線段的數(shù)量關系（用等式表示），并證明．
【分析】在CDC截取DH＝DB，連接AH，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AB＝AH，即可證得∠AHB＝∠B，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)證得∠HAC＝∠C，即可證得AH＝CH，從而證得AB+BD＝CH+DH＝CD．
【解答】解：AB+BD＝CD，
證明：在CD上截取DH＝DB，連接AH，
∵AD⊥BC，
∴AB＝AH，
∴∠AHB＝∠B，
∵∠B＝2∠C，
∴∠AHB＝∠C，
∵∠AHB＝∠C+∠HAC，
∴∠HAC＝2∠C，
∴AH＝CH，
∴AB＝CH，
∴AB+BD＝CH+DH＝CD．
【點評】本題考查的是等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關鍵．
26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，3），點B在x軸上，過點B作BC⊥AB，且BC＝AB．這樣得到的點C稱為點A關于點B的“伴隨點”．
（1）如圖1，當點B的坐標為（1，0）時，請在圖中畫出點A關于點B的“伴隨點”，并寫出“伴隨點”的坐標： （4，1）或（﹣2，﹣1） ；
（2）在下列各點中：①（2，﹣1），②（﹣3，﹣1），③（5，2），能成為點A關于點B的“伴隨點”的是 ①③ （填序號）；
（3）若點B坐標為（a，0），直接寫出點A關于點B的“伴隨點”的坐標（用a表示）．
【分析】（1）利用網(wǎng)格作BC⊥AB得到點A關于點B的“伴隨點”C和C′，然后寫出C點和C′的坐標；
（2）利用“伴隨點”的定義進行判斷；
（3）利用等腰直角三角形的性質(zhì)，把B點向左（或右）平移3個單位，再向下（或上）平移|a|個單位可得到C點坐標．
【解答】解：（1）如圖1，點C和點C′為所作，“伴隨點”的坐標為（4，1）或（﹣2，﹣1）；
故答案為：（4，1）或（﹣2，﹣1）；
（2）當B點坐標為（2，0）時，點A關于點B的“伴隨點”可以為（5，2）；當B點坐標為（﹣1，0）時，點A關于點B的“伴隨點”可以為（2，﹣1）；
故答案為：①③；
（3）點A關于點B的“伴隨點”的坐標為（a+3，a）或（a﹣3，﹣a）．
【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了坐標與圖形性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)．
27．（6分）在△ABC中，∠ABC為銳角，AB＝5，BC＝3，作外角∠PBA的平分線MB，在MB上找一點D，使得DC＝DA，過點D作DE⊥BP交于點E．
（1）在圖1中，依題意補全圖形；
（2）直接寫出BE的值 1 ；
（3）如圖2，當∠ABC為鈍角時，猜想AB，BC，BE之間的數(shù)量關系，并說明理由．
【分析】（1）依照題意補全圖形；
（2）在射線BP上截取BH＝AB＝5，連接DH，由“SAS”可證△ABD≌△HBD，可得AD＝HD，由等腰三角形的性質(zhì)可得CE＝EH，即可求解；
（3）在射線BP上截取BH＝AB，連接DH，由“SAS”可證△ABD≌△HBD，可得AD＝HD，由等腰三角形的性質(zhì)可得CE＝EH，即可求解．
【解答】解：（1）如圖所示：
（2）如圖1﹣1，在射線BP上截取BH＝AB＝5，連接DH，
∵BD平分∠ABP，
∴∠ABD＝∠DBH，
在△ABD和△HBD中，
，
∴△ABD≌△HBD（SAS），
∴AD＝HD，
∵AD＝CD，
∴CD＝DH，
又∵DE⊥CP，
∴CE＝EH，
∴BH＝HE+BE＝BC+BE+BE，
∴5＝2BE+3，
∴BE＝1，
故答案為：1；
（3）如圖2，在射線BP上截取BH＝AB，連接DH，
∵BD平分∠ABP，
∴∠ABD＝∠DBH，
在△ABD和△HBD中，
，
∴△ABD≌△HBD（SAS），
∴AD＝HD，
∵AD＝CD，
∴CD＝DH，
又∵DE⊥CP，
∴CE＝EH，
∴BH＝HE+BE＝BC+BE+BE＝AB，
∴AB＝2BE+BC．
【點評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2023/7/10 12:20:33；用戶：笑涵數(shù)學；郵箱：15699920825；學號：36906111如圖，在△ABC中，D為BC的中點，若AC＝3，AD＝4．則AB的長不可能是（ ）
A.5 B.7 C.8 D.9
如圖，在△ABC中，D為BC的中點，若AC＝3，AD＝4．則AB的長不可能是（ ）
A.5 B.7 C.8 D.9

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