1．（3分）冬季奧林匹克運(yùn)動會是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運(yùn)動會，每四年舉辦一屆．第24屆冬奧會將于2022年在北京和張家口舉辦．下列四個圖分別是四屆冬奧會圖標(biāo)中的一部分，其中是軸對稱圖形的為（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．x2?x3＝x6B．x2+x2＝2x4C．x6÷x2＝x3D．（﹣2x）2＝4x2
3．（3分）已知：如圖，D、E分別在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝25°，則∠BDC的度數(shù)是（ ）
A．95°B．90°C．85°D．80°
4．（3分）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2xB．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x+2＝x（1+）
5．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，則∠DBC的度數(shù)是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
6．（3分）小聰在用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角時，具體過程是這樣的：
已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．
作法：（1）如圖，以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；
（2）畫一條射線O′A′，以點(diǎn)O′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點(diǎn)C′；
（3）以點(diǎn)C'為圓心，CD長為半徑畫弧，與第（2）步中所畫的弧相交于點(diǎn)D′；
（4）過點(diǎn)D'畫射線O′B′，則∠A′O′B′＝∠AOB．
小聰作法正確的理由是（ ）
A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，進(jìn)而可證∠A′O′B′＝∠AOB
B．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，進(jìn)而可證∠A′O′B′＝∠AOB
C．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，進(jìn)而可證∠A′O′B′＝∠AOB
D．由“等邊對等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB
7．（3分）如果m2+m＝5，那么代數(shù)式m（m﹣2）+（m+2）2的值為（ ）
A．14B．9C．﹣1D．﹣6
8．（3分）已知長方形ABCD可以按圖示方式分成九部分，在a，b變化的過程中，下面說法正確的有（ ）
①長方形ABCD的長寬之比可能為2；
②圖中存在三部分的周長之和恰好等于長方形ABCD的周長；
③當(dāng)長方形ABCD為正方形時，九部分都為正方形；
④當(dāng)長方形ABCD的周長為60時，它的面積可能為100．
A．②③B．①③C．②③④D．①③④
二、填空題（每題2分，共16分）
9．（2分）直接寫出計(jì)算結(jié)果：（2ab2）3＝ ．
10．（2分）點(diǎn)M（﹣1，﹣3）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
11．（2分）如果等腰三角形的一個底角是80°，那么頂角是 度．
12．（2分）分解因式：x2﹣6x+9＝ ．
13．（2分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，則△ABD的面積是 ．
14．（2分）已知（a+b）2＝32，a﹣b＝2，則ab＝ ．
15．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上（不與點(diǎn)B，C重合）．只需添加一個條件即可證明△ABD≌△ACD，這個條件可以是 （寫出一個即可）．
16．（2分）如圖，已知∠MON，在邊ON 上順次取點(diǎn)P1，P3，P5…，在邊OM 上順次取點(diǎn)P2，P4，P6…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…
（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一個等腰三角形是 ；
（2）若按照上述方式操作，得到的最后一個等腰三角形是△P3P4P5，則∠MON 的度數(shù)α 的取值范圍是 ．
三、解答題（17，18題每小題12分，19、20題每題4分，21題5分，22題4分，23題3分，24題5分，25題4分，26題6分，27題7分，共60分）
17．（12分）計(jì)算：
（1）6x2?3xy．
（2）（3x+1）（x﹣2）．
（3）（6x4﹣9x3）÷3x2．
（4）（x+2y）2．
18．（6分）分解因式：
（1）12xyz﹣9x2y2；
（2）a2m﹣25m．
19．（4分）如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求證：AB∥DE．
20．（4分）先化簡，再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣4a（a﹣3b），其中a＝﹣1，b＝2．
21．（5分）在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)的位置如圖所示．
（1）請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分別是A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)，不寫畫法）；
（2）直接寫出A′，B′，C′三點(diǎn)的坐標(biāo)：（ ），B′（ ），C′（ ）．
（3）點(diǎn)Q在坐標(biāo)軸上，且滿足△BCQ是等腰三角形，則所有符合條件的Q點(diǎn)有 個．
22．（4分）如圖，點(diǎn)D、E在△ABC的BC邊上，AB＝AC，AD＝AE．求證：BD＝CE．
23．（3分）如圖，某地有兩所大學(xué)和兩條交叉的公路．圖中點(diǎn)M，N表示大學(xué)，OA，OB表示公路，現(xiàn)計(jì)劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相同，到兩條公路的距離也相同，你能確定出倉庫P應(yīng)該建在什么位置嗎？請?jiān)趫D中畫出你的設(shè)計(jì)．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
24．（5分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC邊上一點(diǎn)，連接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE與BC交于點(diǎn)F．
（1）求證：CE＝AD；
（2）當(dāng)AD＝CF時，求證：BD平分∠ABC．
25．（4分）小明在學(xué)習(xí)有關(guān)整式的知識時，發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：對于關(guān)于x的多項(xiàng)式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以當(dāng)x﹣1取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，多項(xiàng)式x2﹣2x+3的值是相等的．例如，當(dāng)x﹣1＝±1，即x＝2或0時，x2﹣2x+3的值均為3；當(dāng)x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1時，x2﹣2x+3的值均為6．于是小明給出一個定義：
對于關(guān)于x的多項(xiàng)式，若當(dāng)x﹣t取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，該多項(xiàng)式的值相等，就稱該多項(xiàng)式關(guān)于x＝t對稱．例如x2﹣2x+3關(guān)于x＝1對稱．
請結(jié)合小明的思考過程，運(yùn)用此定義解決下列問題：
（1）多項(xiàng)式x2﹣4x+6關(guān)于x＝ 對稱；
（2）若關(guān)于x的多項(xiàng)式x2+2ax+3關(guān)于x＝4對稱，求a的值；
（3）整式（x2+8x+16）（x2﹣6x+9）關(guān)于x＝ 對稱．
26．（6分）課堂上，老師提出了這樣一個問題：
如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，且AB+BD＝AC．
求證：∠ABC＝2∠ACB．
小明的方法是：如圖2，在AC上截取AE，使AE＝AB，連接DE，構(gòu)造全等三角形來證明結(jié)論．
（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截長法”，那么還可以用“補(bǔ)短法”通過延長線段AB構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明．輔助線的畫法是：延長AB至F，使BF＝ ，連接DF．
請補(bǔ)全小天提出的輔助線的畫法，并在圖1中畫出相應(yīng)的輔助線；
（2）小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進(jìn)一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問題：
如圖3，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，AD，BD，CD分別平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD＝AC．求證：∠ABC＝2∠ACB．
請你解答小蕓提出的這個問題；
（3）小東將老師所給問題中的一個條件和結(jié)論進(jìn)行交換，得到的命題如下：
如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，點(diǎn)D在邊BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC．
小東判斷這個命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的．請你利用圖4對這個命題進(jìn)行證明．
27．（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l經(jīng)過點(diǎn)M（3，0），且平行于y軸．給出如下定義：點(diǎn)P（x，y）先關(guān)于y軸對稱得點(diǎn)P1，再將點(diǎn)P1關(guān)于直線l對稱得點(diǎn)P′，則稱點(diǎn)P′是點(diǎn)P關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)．
（1）已知A（﹣4，0），B（﹣2，0），C（﹣3，1），則它們關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)A′，B′，C′的坐標(biāo)分別是 ；
（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)是（a，0），其中a＜0，點(diǎn)D關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)是點(diǎn)D′，求線段DD′的長；
（3）已知點(diǎn)E（4，0），點(diǎn)F（6，0），以線段EF為邊在x軸上方作正方形EFGH，若點(diǎn)P（a，1），Q（a+1，1）關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)分別為P′，Q′，且線段P′Q′與正方形EFGH的邊有公共點(diǎn)，求a的取值范圍．
2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)八一學(xué)校八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每題3分，共16分）
1．（3分）冬季奧林匹克運(yùn)動會是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運(yùn)動會，每四年舉辦一屆．第24屆冬奧會將于2022年在北京和張家口舉辦．下列四個圖分別是四屆冬奧會圖標(biāo)中的一部分，其中是軸對稱圖形的為（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷即可得解．
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
B、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
C、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
D、是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（3分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．x2?x3＝x6B．x2+x2＝2x4C．x6÷x2＝x3D．（﹣2x）2＝4x2
【分析】選項(xiàng)A根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則判斷即可，同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；
選項(xiàng)B根據(jù)合并同類項(xiàng)法則判斷即可，合并同類項(xiàng)的法則：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變；
選項(xiàng)C根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則判斷即可，同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減；
選項(xiàng)D根據(jù)冪的乘方與積的乘方運(yùn)算法則判斷即可，冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘；積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．
【解答】解：A．x2?x3＝x5，故本選項(xiàng)不合題意；
B．x2+x2＝2x2，故本選項(xiàng)不合題意；
C．x6÷x2＝x4，故本選項(xiàng)不合題意；
D．（﹣2x）2＝4x2，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘除法以及冪的乘方與積的乘方，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
3．（3分）已知：如圖，D、E分別在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝25°，則∠BDC的度數(shù)是（ ）
A．95°B．90°C．85°D．80°
【分析】根據(jù)SAS證△ABE≌△ACD，推出∠C＝∠B，求出∠C的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠BDC＝∠A+∠C，代入求出即可．
【解答】解：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠C＝∠B，
∵∠B＝25°，
∴∠C＝25°，
∵∠A＝60°，
∴∠BDC＝∠A+∠C＝85°，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定和三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出∠C的度數(shù)和得出∠BDC＝∠A+∠C．
4．（3分）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2xB．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x+2＝x（1+）
【分析】根據(jù)因式分解是把一個多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個整式乘積的形式，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、把一個多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個整式乘積的形式，是因式分解，故此選項(xiàng)符合題意；
D、沒把一個多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個整式乘積的形式，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了因式分解的意義．嚴(yán)格按照因式分解的定義去驗(yàn)證每個選項(xiàng)是正確解答本題的關(guān)鍵．
5．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，則∠DBC的度數(shù)是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，得到∠DBA＝∠A＝40°，計(jì)算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵M(jìn)N是AB的垂直平分線，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）小聰在用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角時，具體過程是這樣的：
已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．
作法：（1）如圖，以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；
（2）畫一條射線O′A′，以點(diǎn)O′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點(diǎn)C′；
（3）以點(diǎn)C'為圓心，CD長為半徑畫弧，與第（2）步中所畫的弧相交于點(diǎn)D′；
（4）過點(diǎn)D'畫射線O′B′，則∠A′O′B′＝∠AOB．
小聰作法正確的理由是（ ）
A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，進(jìn)而可證∠A′O′B′＝∠AOB
B．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，進(jìn)而可證∠A′O′B′＝∠AOB
C．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，進(jìn)而可證∠A′O′B′＝∠AOB
D．由“等邊對等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB
【分析】先利用作法得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，然后根據(jù)全等三角形的判定方法對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：由作圖得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
則根據(jù)“SSS”可判斷△C′O′D′≌△COD．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣基本作圖：基本作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．也考查了全等三角形的判定．
7．（3分）如果m2+m＝5，那么代數(shù)式m（m﹣2）+（m+2）2的值為（ ）
A．14B．9C．﹣1D．﹣6
【分析】直接利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式計(jì)算，再把已知代入得出答案．
【解答】解：m（m﹣2）+（m+2）2
＝m2﹣2m+m2+4m+4
＝2m2+2m+4．
當(dāng)m2+m＝5時，原式＝2（m2+m）+4＝2×5+4＝10+4＝14．
故選：A．
【點(diǎn)評】此題主要考查了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，完全平方公式，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．
8．（3分）已知長方形ABCD可以按圖示方式分成九部分，在a，b變化的過程中，下面說法正確的有（ ）
①長方形ABCD的長寬之比可能為2；
②圖中存在三部分的周長之和恰好等于長方形ABCD的周長；
③當(dāng)長方形ABCD為正方形時，九部分都為正方形；
④當(dāng)長方形ABCD的周長為60時，它的面積可能為100．
A．②③B．①③C．②③④D．①③④
【分析】假設(shè)長方形的長寬比是2，推導(dǎo)出與已知的矛盾，排除①，根據(jù)正方形定義和長方形的周長公式判斷②③，根據(jù)長方形的周長為60，推導(dǎo)出該長方形的面積大于100，從而說明④錯誤．
【解答】解：如圖：
①長方形的長為a+2b，寬為2a+b，若該長方形的長寬之比為2，則a+2b＝2（2a+b），
解得a＝0．這與題意不符，故①的說法不正確；
②四邊形AEFG、FHKM、SKWC的周長之和等于長方形ABCD的周長，故②正確；
③當(dāng)長方形ABCD為正方形時，2a+b＝a+2b，
所以a＝b，所以九部分都為正方形，故③的說法正確；
④當(dāng)長方形ABCD的周長為60時，即2（2a+b+a+2b）＝60，
整理，得a+b＝10，
∴四邊形GHWD的面積為100，長方形ABCD的面積大于100，故④的說法不正確．
綜上所述，正確的是：②③．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了長方形、正方形的周長和面積即等式的性質(zhì)等知識點(diǎn)，掌握正方形的判定、長方形的周長公式和正方形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵．
二、填空題（每題2分，共16分）
9．（2分）直接寫出計(jì)算結(jié)果：（2ab2）3＝ 8a3b6 ．
【分析】利用積的乘方的法則對式子進(jìn)行運(yùn)算即可．
【解答】解：（2ab2）3
＝23×a3（b2）3
＝8a3b6．
故答案為：8a3b6．
【點(diǎn)評】本題主要考查積的乘方，解答的關(guān)鍵是對積的乘方的法則的掌握．
10．（2分）點(diǎn)M（﹣1，﹣3）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 （﹣1，3） ．
【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答．
【解答】解：點(diǎn)M（﹣1，﹣3）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，3）．
故答案為：（﹣1，3）．
【點(diǎn)評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．
11．（2分）如果等腰三角形的一個底角是80°，那么頂角是 20 度．
【分析】由已知等腰三角形的一個底角是80°，利用等腰三角形的性質(zhì)得另一個底角也是80°，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求頂角的度數(shù)
【解答】解：∵三角形是等腰三角形，
∴兩個底角相等，
∵等腰三角形的一個底角是80°，
∴另一個底角也是80°，
∴頂角的度數(shù)為180°﹣80°﹣80°＝20°．
故填20．
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；借助三角形的內(nèi)角定理求解有關(guān)角的度數(shù)問題是一種很重要的方法，要熟練掌握．
12．（2分）分解因式：x2﹣6x+9＝ （x﹣3）2 ．
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x﹣3）2．
故答案為：（x﹣3）2
【點(diǎn)評】此題考查了因式分解﹣運(yùn)用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
13．（2分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，則△ABD的面積是 2 ．
【分析】直接利用角平分線的性質(zhì)得出D到AB的距離，進(jìn)而利用三角形面積求法得出答案．
【解答】解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝1，
∵AB＝4，
∴S△ABD＝×DE×AB＝×1×4＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形面積求法，正確得出D到AB的距離是解題關(guān)鍵．
14．（2分）已知（a+b）2＝32，a﹣b＝2，則ab＝ 7 ．
【分析】由a﹣b＝2，得（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4．由（a+b）2＝32，得a2+b2+2ab＝32，那么（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝28，從而解決此題．
【解答】解：∵a﹣b＝2，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4．
∵（a+b）2＝32，
∴a2+b2+2ab＝32．
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝28．
∴ab＝7．
故答案為：7．
【點(diǎn)評】本題主要考查完全平方公式以及整式的加減運(yùn)算，熟練掌握完全平方公式以及整式的加減運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．
15．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上（不與點(diǎn)B，C重合）．只需添加一個條件即可證明△ABD≌△ACD，這個條件可以是 BD＝CD （寫出一個即可）．
【分析】由題意可得∠ABC＝∠ACD，AB＝AC，即添加一組邊對應(yīng)相等，可證△ABD與△ACD全等．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACD，
添加BD＝CD，
∴在△ABD與△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案為：BD＝CD．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定，靈活運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．
16．（2分）如圖，已知∠MON，在邊ON 上順次取點(diǎn)P1，P3，P5…，在邊OM 上順次取點(diǎn)P2，P4，P6…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…
（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一個等腰三角形是 △P1P2P3 ；
（2）若按照上述方式操作，得到的最后一個等腰三角形是△P3P4P5，則∠MON 的度數(shù)α 的取值范圍是 18°≤α＜22.5° ．
【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠OP2P3即可判斷．
（2）由題意要使得得到的最后一個等腰三角形是△P3P4P5，需要滿足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，解不等式即可解決問題．
【解答】解：（1）∵OP1＝P1P2＝P2P3，
∴∠OP2P1＝∠O＝30°，
∠P2P1P3＝∠P2P3P1＝60°，
∴∠OP2P3＝90°，
∴△P2P3P4不存在，
∴得到的最后一個等腰三角形是△P1P2P3．
故答案為△P1P2P3．
（2）由題意要使得到的最后一個等腰三角形是△P3P4P5，
需要滿足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，
∴18°≤α＜22.5°，
故答案為18°≤α＜22.5°．
【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
三、解答題（17，18題每小題12分，19、20題每題4分，21題5分，22題4分，23題3分，24題5分，25題4分，26題6分，27題7分，共60分）
17．（12分）計(jì)算：
（1）6x2?3xy．
（2）（3x+1）（x﹣2）．
（3）（6x4﹣9x3）÷3x2．
（4）（x+2y）2．
【分析】（1）利用單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算；
（2）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算法則，再算加減即可；
（3）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算，然后再計(jì)算減法即可；
（4）利用完全平方公式計(jì)算即可．
【解答】解：（1）6x2?3xy＝18x3y．
（2）（3x+1）（x﹣2）
＝3x2﹣6x+x﹣2
＝3x2﹣5x﹣2．
（3）（6x4﹣9x3）÷3x2
＝6x4÷3x2﹣9x3÷3x2
＝2x2﹣3x．
（4）（x+2y）2
＝x2+4y2+4xy．
【點(diǎn)評】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握有乘方、乘除的混合運(yùn)算中，要按照先乘方后乘除的順序運(yùn)算，其運(yùn)算順序和有理數(shù)的混合運(yùn)算順序相似．
18．（6分）分解因式：
（1）12xyz﹣9x2y2；
（2）a2m﹣25m．
【分析】（1）直接提公因式3xy即可；
（2）先提公因式m，再應(yīng)用平方差公式．
【解答】解：（1）原式＝3xy（4z﹣3xy）；
（2）原式＝m（a2﹣25）＝m（a+5）（a﹣5）．
【點(diǎn)評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵．
19．（4分）如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求證：AB∥DE．
【分析】證明它們所在的三角形全等即可．根據(jù)等式的性質(zhì)可得BC＝EF．運(yùn)用SSS證明△ABC與△DEF全等．
【解答】證明：∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC與△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ABC＝∠DEF，
∴AB∥DE．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定．全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應(yīng)角相等．
20．（4分）先化簡，再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣4a（a﹣3b），其中a＝﹣1，b＝2．
【分析】直接利用乘法公式以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則化簡，合并同類項(xiàng)，再把已知數(shù)據(jù)代入得出答案．
【解答】解：（2a+b）（2a﹣b）﹣4a（a﹣3b），
＝4a2﹣b2﹣4a2+12ab
＝﹣b2+12ab，
當(dāng)a＝﹣1，b＝2時，
原式＝﹣22+12×（﹣1）×2
＝﹣4﹣24
＝﹣28．
【點(diǎn)評】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算—化簡求值，正確運(yùn)用乘法公式計(jì)算是解題關(guān)鍵．
21．（5分）在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)的位置如圖所示．
（1）請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分別是A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)，不寫畫法）；
（2）直接寫出A′，B′，C′三點(diǎn)的坐標(biāo)：（ 4，1 ），B′（ 2，4 ），C′（ ﹣1，﹣2 ）．
（3）點(diǎn)Q在坐標(biāo)軸上，且滿足△BCQ是等腰三角形，則所有符合條件的Q點(diǎn)有 10 個．
【分析】（1）由點(diǎn)的對稱性，作出圖形即可；
（2）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，縱坐標(biāo)不變，即可求解；
（3）利用兩圓一線確定等腰三角形，作出圖形即可求解．
【解答】解：（1）如圖1：
（2）由圖可知A（﹣4，1），B（﹣2，3），C（1，﹣2），
∴A點(diǎn)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)為（4，1），B點(diǎn)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)為（2，4），C點(diǎn)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)為（﹣1，﹣2），
故答案為：（4，1），（2，4），（﹣1，﹣2）；
（3）如圖：以B為圓心，BC長為半徑做圓，此圓與坐標(biāo)軸有4個交點(diǎn)，
以C為圓心，BC長為半徑做圓，此圓與坐標(biāo)軸有4個交點(diǎn)，
作線段BC的垂直平分線，此線與坐標(biāo)軸有2個交點(diǎn)，
∴△BCQ是等腰三角形時，Q點(diǎn)坐標(biāo)有10個，
故答案為10．
【點(diǎn)評】本題考查軸對稱作圖，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，兩圓一線確定等腰三角形的方法是解題的關(guān)鍵．
22．（4分）如圖，點(diǎn)D、E在△ABC的BC邊上，AB＝AC，AD＝AE．求證：BD＝CE．
【分析】要證明線段相等，只要過點(diǎn)A作BC的垂線，利用三線合一得到P為DE及BC的中點(diǎn)，線段相減即可得證．
【解答】證明：如圖，過點(diǎn)A作AP⊥BC于P．
∵AB＝AC，
∴BP＝PC；
∵AD＝AE，
∴DP＝PE，
∴BP﹣DP＝PC﹣PE，
∴BD＝CE．
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，做題時，兩次用到三線合一的性質(zhì)，由等量減去等量得到差相等是解答本題的關(guān)鍵．
23．（3分）如圖，某地有兩所大學(xué)和兩條交叉的公路．圖中點(diǎn)M，N表示大學(xué)，OA，OB表示公路，現(xiàn)計(jì)劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相同，到兩條公路的距離也相同，你能確定出倉庫P應(yīng)該建在什么位置嗎？請?jiān)趫D中畫出你的設(shè)計(jì)．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
【分析】到兩條公路的距離相等，在這兩條公路的夾角的平分線上；到兩所大學(xué)的距離相等，在這兩所大學(xué)兩個端點(diǎn)的連線的垂直平分線上，所畫兩條直線的交點(diǎn)即為所求的位置．
【解答】解：
則點(diǎn)P為所求．
【點(diǎn)評】用到的知識點(diǎn)為：到一個角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上；到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．
24．（5分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC邊上一點(diǎn)，連接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE與BC交于點(diǎn)F．
（1）求證：CE＝AD；
（2）當(dāng)AD＝CF時，求證：BD平分∠ABC．
【分析】（1）根據(jù)HL證明Rt△CAE與Rt△ABD全等，進(jìn)而解答即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角之間的關(guān)系解答即可．
【解答】證明：（1）∵EC⊥AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACE＝∠BAC＝90°，
在Rt△CAE與Rt△ABD中，
，
∴Rt△CAE≌Rt△ABD（HL），
∴CE＝AD．
（2）由（1）得Rt△CAE≌Rt△ABD，
∴∠EAC＝∠ABD，∠E＝∠ADB．
由（1）得CE＝AD，
∵AD＝CF，
∴CE＝CF．
∴∠CFE＝∠E，
∵∠CFE＝∠AFB，
∴∠AFB＝∠E．
∵∠E＝∠ADB，
∴∠AFB＝∠ADB，
∵∠AGB＝∠EAC+∠ADB，∠AGB＝∠DBC+∠AFB，
∴∠EAC＝∠DBC．
∵∠EAC＝∠DBA，
∴∠DBA＝∠DBC，
∴BD平分∠ABC．
【點(diǎn)評】此題考查全等三角形問題，關(guān)鍵是根據(jù)HL證明三角形全等，再利用全等三角形的性質(zhì)解答．
25．（4分）小明在學(xué)習(xí)有關(guān)整式的知識時，發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：對于關(guān)于x的多項(xiàng)式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以當(dāng)x﹣1取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，多項(xiàng)式x2﹣2x+3的值是相等的．例如，當(dāng)x﹣1＝±1，即x＝2或0時，x2﹣2x+3的值均為3；當(dāng)x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1時，x2﹣2x+3的值均為6．于是小明給出一個定義：
對于關(guān)于x的多項(xiàng)式，若當(dāng)x﹣t取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，該多項(xiàng)式的值相等，就稱該多項(xiàng)式關(guān)于x＝t對稱．例如x2﹣2x+3關(guān)于x＝1對稱．
請結(jié)合小明的思考過程，運(yùn)用此定義解決下列問題：
（1）多項(xiàng)式x2﹣4x+6關(guān)于x＝ 2 對稱；
（2）若關(guān)于x的多項(xiàng)式x2+2ax+3關(guān)于x＝4對稱，求a的值；
（3）整式（x2+8x+16）（x2﹣6x+9）關(guān)于x＝ ﹣ 對稱．
【分析】（1）對多項(xiàng)式進(jìn)行配方，根據(jù)新定義判斷即可；
（2）求出x2+2bx+3的對稱軸，令對稱軸x＝4即可；
（3）對多項(xiàng)式進(jìn)行配方，根據(jù)新定義判定即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，
則多項(xiàng)式關(guān)于x＝2對稱，
故答案為：2；
（2）∵x2+2ax+3＝（x+a）2+3﹣a2，
∴關(guān)于x的多項(xiàng)式x2+2ax+3關(guān)于x＝﹣a對稱，
∴﹣a＝4，
∴a＝﹣4；
（3）原式＝（x+4）2（x﹣3）2
＝[（x+4）（x﹣3）]2
＝（x2+x﹣12）2
＝[（x+）2﹣]2，
故關(guān)于x＝﹣對稱，
故答案為：﹣．
【點(diǎn)評】本題考查了配方法的應(yīng)用，能夠?qū)Χ囗?xiàng)式進(jìn)行配方，根據(jù)新定義判斷出對稱軸是解題的關(guān)鍵．
26．（6分）課堂上，老師提出了這樣一個問題：
如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，且AB+BD＝AC．
求證：∠ABC＝2∠ACB．
小明的方法是：如圖2，在AC上截取AE，使AE＝AB，連接DE，構(gòu)造全等三角形來證明結(jié)論．
（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截長法”，那么還可以用“補(bǔ)短法”通過延長線段AB構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明．輔助線的畫法是：延長AB至F，使BF＝ BD ，連接DF．
請補(bǔ)全小天提出的輔助線的畫法，并在圖1中畫出相應(yīng)的輔助線；
（2）小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進(jìn)一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問題：
如圖3，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，AD，BD，CD分別平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD＝AC．求證：∠ABC＝2∠ACB．
請你解答小蕓提出的這個問題；
（3）小東將老師所給問題中的一個條件和結(jié)論進(jìn)行交換，得到的命題如下：
如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，點(diǎn)D在邊BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC．
小東判斷這個命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的．請你利用圖4對這個命題進(jìn)行證明．
【分析】（1）延長AB至F，使BF＝BD，連接DF，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠ABC＝2∠F，證明△ADF≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；
（2）在AC上截取AE，使AE＝AB，連接DE，證明△ADB≌△ADE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；
（3）延長AB至G，使BG＝BD，連接DG，證明△ADG≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、角平分線的定義證明．
【解答】證明：（1）延長AB至F，使BF＝BD，連接DF，
則∠BDF＝∠F，
∴∠ABC＝∠BDF+∠F＝2∠F，
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB+BD＝AC，BF＝BD，
∴AF＝AC，
在△ADF和△ADC中，
，
∴△ADF≌△ADC（SAS），
∴∠ACB＝∠F，
∴∠ABC＝2∠ACB；
（2）如圖3，在AC上截取AE，使AE＝AB，連接DE，
∵AD，BD，CD分別平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，
∴∠DAB＝∠DAE，∠DBA＝∠DBC，∠DCA＝∠DCB，
∵AB+BD＝AC，AE＝AB，
∴DB＝CE，
在△ADB和△ADE中，
，
∴△ADB≌△ADE（SAS），
∴BD＝DE，∠ABD＝∠AED，
∴DE＝CE，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠AED＝2∠ECD，
∴∠ABD＝2∠ECD，
∴∠ABC＝2∠ACB；
（3）如圖4，延長AB至G，使BG＝BD，連接DG，
則∠BDG＝∠AGD，
∴∠ABC＝∠BDG+∠G＝2∠AGD，
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠AGD＝∠ACB，
∵AB+BD＝AC，BG＝BD，
∴AG＝AC，
∴∠AGC＝∠ACG，
∴∠DGC＝∠DCG，
∴DG＝DC，
在△ADG和△ADC中，
，
∴△ADG≌△ADC（SSS），
∴∠DAG＝∠DAC，即AD平分∠BAC．
【點(diǎn)評】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、角平分線的定義，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
27．（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l經(jīng)過點(diǎn)M（3，0），且平行于y軸．給出如下定義：點(diǎn)P（x，y）先關(guān)于y軸對稱得點(diǎn)P1，再將點(diǎn)P1關(guān)于直線l對稱得點(diǎn)P′，則稱點(diǎn)P′是點(diǎn)P關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)．
（1）已知A（﹣4，0），B（﹣2，0），C（﹣3，1），則它們關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)A′，B′，C′的坐標(biāo)分別是 A′（2，0），B′（4，0），C′（3，1） ；
（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)是（a，0），其中a＜0，點(diǎn)D關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)是點(diǎn)D′，求線段DD′的長；
（3）已知點(diǎn)E（4，0），點(diǎn)F（6，0），以線段EF為邊在x軸上方作正方形EFGH，若點(diǎn)P（a，1），Q（a+1，1）關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)分別為P′，Q′，且線段P′Q′與正方形EFGH的邊有公共點(diǎn)，求a的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)二次反射點(diǎn)的定義直接得出答案；
（2）根據(jù)二次反射點(diǎn)的定義得出D′（6+a，0），則可得出答案
（3）根據(jù)二次反射點(diǎn)的定義得出P′（6+a，1），Q′（7+a，1），由題意分兩種情況列出不等式組，解不等式組可得出答案．
【解答】解：（1）∵A（﹣4，0），
∴點(diǎn)A關(guān)于y軸點(diǎn)的對稱的坐標(biāo)為（4，0），
∵（4，0）關(guān)于直線l對稱得點(diǎn)A′（2，0），
∴點(diǎn)A（﹣4，0）關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)A′（2，0）；
∵B（﹣2，0），
∴點(diǎn)B關(guān)于y軸點(diǎn)的對稱的坐標(biāo)為（2，0），
∵（2，0）關(guān)于直線l對稱得點(diǎn)B′（4，0），
∴點(diǎn)B（﹣2，0）關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)B′（4，0）；
∵C（﹣3，1），
∴點(diǎn)C關(guān)于y軸點(diǎn)的對稱的坐標(biāo)為（3，1），
∵（3，1）關(guān)于直線l對稱得點(diǎn)C′（3，1），
∴點(diǎn)C（﹣3，1）關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)C′（3，1）；
故答案為：A′（2，0），B′（4，0），C′（3，1）；
（2）∵點(diǎn)D的坐標(biāo)是（a，0），a＜0，
∴點(diǎn)D關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣a，0），
∴（﹣a，0）關(guān)于直線l對稱得點(diǎn)D′（6+a，0），
∴DD'＝6+a﹣a＝6．
（3）∵點(diǎn)P（a，1），
∴點(diǎn)P（a，1）關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)為P′（6+a，1），
∵Q（a+1，1），
∴Q（a+1，1）關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)為Q′（7+a，1），
當(dāng)P'Q'與EH有公共點(diǎn)時，
，
∴﹣3≤a≤﹣2，
當(dāng)P'Q'與FG有公共點(diǎn)時，
，
∴﹣1≤a≤0，
∴﹣3≤a≤﹣2或﹣1≤a≤0，
【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，動點(diǎn)問題，新定義二次反射點(diǎn)的理解和運(yùn)用；解題關(guān)鍵是對新定義二次反射點(diǎn)的正確理解．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/9/28 17:48:24；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號：36906111

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