2021-2022學(xué)年北京市海淀外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）下列圖形中具有穩(wěn)定性的是　　A．三角形 B．平行四邊形 C．梯形 D．五邊形2．（3分）下列圖形中與已知圖形全等的是　　A． B． C． D．3．（3分）下列各組線(xiàn)段中，能構(gòu)成三角形的是　　A．1，1，3 B．2，3，5 C．3，4，9 D．5，6，104．（3分）能把一個(gè)三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形的是三角形的　　A．角平分線(xiàn) B．中線(xiàn) C．高線(xiàn) D．重心5．（3分）下列四個(gè)圖形中，線(xiàn)段是的高的是　　A． B． C． D．6．（3分）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖，能得出的依據(jù)是　　A． B． C． D．7．（3分）下列條件不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是　　A．兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等 B．斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等 C．斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等 D．兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等8．（3分）如圖所示，，分別是，上的點(diǎn)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，若，，下面三個(gè)結(jié)論：①；②；③，正確的是　　A．①和③ B．②和③ C．①和② D．①，②和③二、填空題（共8小題.每小題3分，共24分）9．（3分）如圖，已知，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得，你添加的條件是　　．（不添加任何字母和輔助線(xiàn)）10．（3分）已知直角三角形的一個(gè)銳角的度數(shù)為，則其另一個(gè)銳角的度數(shù)為　　度．11．（3分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和跟它的外角和相等，則這個(gè)多邊形是 　　邊形．12．（3分）如圖是由6個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形組合成的圖形，　　．13．（3分）如圖，中，，平分，，垂足為，，，則的長(zhǎng)為 　　．14．（3分）在中，已知，，是邊上的中線(xiàn)，則取值范圍是 　　．15．（3分）如圖，，，，與相交于點(diǎn)，則　　．16．（3分）當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角是另外一個(gè)內(nèi)角的時(shí)，我們稱(chēng)此三角形為“友好三角形”， 為友好角．如果一個(gè)“友好三角形”中有一個(gè)內(nèi)角為，那么這個(gè)“友好三角形”的“友好角”的度數(shù)為 　　．三、解答題（共6小題，17、18每小題4分，19、20、21、22每小題4分，共32分）17．（4分）求出下列圖形中的值． 18．（4分）如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，按要求作圖．（1）利用尺規(guī)作圖在邊上找一點(diǎn)，使點(diǎn)到、的距離相等．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）在網(wǎng)格中，的下方，直接畫(huà)出，使與全等．19．（6分）看對(duì)話(huà)答題：小梅說(shuō)：這個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于．小紅說(shuō)：不對(duì)，你少加了一個(gè)角．問(wèn)題：（1）他們?cè)谇髱走呅蔚膬?nèi)角和？（2）少加的那個(gè)內(nèi)角是多少度？20．（6分）已知：如圖，，分別過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)作，，兩垂線(xiàn)相交于點(diǎn)．求證：．21．（6分）如圖，，，三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，且．（1）線(xiàn)段，，有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）請(qǐng)你猜想滿(mǎn)足什么條件時(shí)，，并證明．22．（6分）如圖，大小不同的兩塊三角板和直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)處，，，連接、，點(diǎn)恰好在線(xiàn)段上．（1）找出圖中的全等三角形，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)，則的長(zhǎng)度為 　　．（3）猜想與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．四．能力展示題（共3小題，第23、24每小題6分，25題8分，共20分）23．（6分）在中，．（1）如圖1，、的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，則　　；（2）如圖2，的外角、的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，則　　；（3）探究如圖3，的內(nèi)角的平分線(xiàn)與其外角的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，設(shè)，則的度數(shù)是 　　．（用的代數(shù)式表示）24．（6分）若三邊均不相等的三角形三邊、、滿(mǎn)足為最長(zhǎng)邊，為最短邊），則稱(chēng)它為“不均衡三角形”．例如，一個(gè)三角形三邊分別為7，5，4，因?yàn)?/span>，所以這個(gè)三角形為“不均衡三角形”．（1）以下4組長(zhǎng)度的小木棍能組成“不均衡三角形”的為 　　（填序號(hào)）．①，，；②，，；③，，；④，，．（2）已知“不均衡三角形”三邊分別為，16，，直接寫(xiě)出的整數(shù)值為 　　．25．（8分）數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問(wèn)題：已知：如圖1，在中，，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，作，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：．經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考后，老師讓同學(xué)們小組交流．小輝同學(xué)說(shuō)出了對(duì)于第二問(wèn)的想法：“我想通過(guò)構(gòu)造含有邊和的全等三角形，因此我過(guò)點(diǎn)作于（如圖2所示），如果能證明和全等，問(wèn)題就解決了．但是這兩個(gè)三角形證不出來(lái)相等的邊，好像這樣作輔助線(xiàn)行不通．”小亮同學(xué)說(shuō)：“既然這樣作輔助線(xiàn)證不出來(lái)，再考慮有沒(méi)有其他添加輔助線(xiàn)的方法．”請(qǐng)你順著小亮同學(xué)的思路在圖3中繼續(xù)嘗試，并完成（1）、（2）問(wèn)的證明．
參考答案與解析一．選擇題（共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）下列圖形中具有穩(wěn)定性的是　　A．三角形 B．平行四邊形 C．梯形 D．五邊形【解答】解：．三角形具有穩(wěn)定性，故本選項(xiàng)符合題意；．平行四邊形不具有穩(wěn)定性，故本選項(xiàng)不符合題意；．梯形不具有穩(wěn)定性，故本選項(xiàng)不符合題意；．五邊形不具有穩(wěn)定性，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．2．（3分）下列圖形中與已知圖形全等的是　　A． B． C． D．【解答】解：、圓里面的正方形與已知圖形不能重合，錯(cuò)；、與已知圖形能完全重合，正確；、中間是長(zhǎng)方形，與已知圖形不重合，錯(cuò)；、中間是長(zhǎng)方形，與已知圖形不重合，錯(cuò)．故選：．3．（3分）下列各組線(xiàn)段中，能構(gòu)成三角形的是　　A．1，1，3 B．2，3，5 C．3，4，9 D．5，6，10【解答】解：、，無(wú)法構(gòu)成三角形，不合題意；、，無(wú)法構(gòu)成三角形，不合題意；、，無(wú)法構(gòu)成三角形，不合題意；、，可以構(gòu)成三角形，符合題意；故選：．4．（3分）能把一個(gè)三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形的是三角形的　　A．角平分線(xiàn) B．中線(xiàn) C．高線(xiàn) D．重心【解答】解：能把一個(gè)三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形的是三角形的中線(xiàn)．故選：．5．（3分）下列四個(gè)圖形中，線(xiàn)段是的高的是　　A． B． C． D．【解答】解：線(xiàn)段是的高的圖是選項(xiàng)．故選：．6．（3分）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖，能得出的依據(jù)是　　A． B． C． D．【解答】解：作圖的步驟：①以為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交、于點(diǎn)、；②任意作一點(diǎn)，作射線(xiàn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)；③以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交前弧于點(diǎn)；④過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)．所以就是與相等的角；作圖完畢．在與△，，△，，顯然運(yùn)用的判定方法是．故選：．7．（3分）下列條件不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是　　A．兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等 B．斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等 C．斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等 D．兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等【解答】解：、根據(jù)定理可知，兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，本選項(xiàng)不符合題意；、根據(jù)定理可知，斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，本選項(xiàng)不符合題意；、根據(jù)定理可知，斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，本選項(xiàng)不符合題意；、兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，本選項(xiàng)符合題意；故選：．8．（3分）如圖所示，，分別是，上的點(diǎn)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，若，，下面三個(gè)結(jié)論：①；②；③，正確的是　　A．①和③ B．②和③ C．①和② D．①，②和③【解答】解：連接，，是的平分線(xiàn)，，①正確．，②正確．只是過(guò)點(diǎn)，并沒(méi)有固定，明顯③不成立．故選：．二、填空題（共8小題.每小題3分，共24分）9．（3分）如圖，已知，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得，你添加的條件是　或或　．（不添加任何字母和輔助線(xiàn)）【解答】解：，，可以添加，此時(shí)滿(mǎn)足；添加條件，此時(shí)滿(mǎn)足；添加條件，此時(shí)滿(mǎn)足，故答案為或或；10．（3分）已知直角三角形的一個(gè)銳角的度數(shù)為，則其另一個(gè)銳角的度數(shù)為　53　度．【解答】解：直角三角形的一個(gè)銳角的度數(shù)為，其另一個(gè)銳角的度數(shù)，故答案為：53．11．（3分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和跟它的外角和相等，則這個(gè)多邊形是 　4　邊形．【解答】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)題意，解得．故答案為：4．12．（3分）如圖是由6個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形組合成的圖形，　　．【解答】解：如圖，根據(jù)題意得，，，，為等腰直角三角形，，在和中，，，，，，．故答案為．13．（3分）如圖，中，，平分，，垂足為，，，則的長(zhǎng)為 　4　．【解答】解：是的平分線(xiàn)，，，，在和中，，，，，故答案為4．14．（3分）在中，已知，，是邊上的中線(xiàn)，則取值范圍是 　　．【解答】解：延長(zhǎng)到使，連接，如圖，是邊上的中線(xiàn)，，在和中，，，，，即，．故答案為．15．（3分）如圖，，，，與相交于點(diǎn)，則　40　．【解答】解：設(shè)交于，，，，，，又，，，，故答案為：40．16．（3分）當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角是另外一個(gè)內(nèi)角的時(shí)，我們稱(chēng)此三角形為“友好三角形”， 為友好角．如果一個(gè)“友好三角形”中有一個(gè)內(nèi)角為，那么這個(gè)“友好三角形”的“友好角”的度數(shù)為 　或或　．【解答】解：①角是，則友好角度數(shù)為；②角是，則，所以，友好角；③角既不是也不是，則，所以，，解得，綜上所述，友好角度數(shù)為或或．故答案為：或或．三、解答題（共6小題，17、18每小題4分，19、20、21、22每小題4分，共32分）17．（4分）求出下列圖形中的值． 【解答】解：（1）；（2），；（3），解得．18．（4分）如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，按要求作圖．（1）利用尺規(guī)作圖在邊上找一點(diǎn)，使點(diǎn)到、的距離相等．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）在網(wǎng)格中，的下方，直接畫(huà)出，使與全等．【解答】解：（1）如圖點(diǎn)即為所求；（2）或△即為所求；19．（6分）看對(duì)話(huà)答題：小梅說(shuō)：這個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于．小紅說(shuō)：不對(duì)，你少加了一個(gè)角．問(wèn)題：（1）他們?cè)谇髱走呅蔚膬?nèi)角和？（2）少加的那個(gè)內(nèi)角是多少度？【解答】解：（1）設(shè)少加這個(gè)內(nèi)角為，這個(gè)多邊形的邊數(shù)為則，，，，為整數(shù)，．（2），少加這個(gè)內(nèi)角為135度．20．（6分）已知：如圖，，分別過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)作，，兩垂線(xiàn)相交于點(diǎn)．求證：．【解答】證明：連接，，，在和中21．（6分）如圖，，，三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，且．（1）線(xiàn)段，，有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）請(qǐng)你猜想滿(mǎn)足什么條件時(shí)，，并證明．【解答】（1）解：．理由：，，．，，三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，，； （2）猜想：，則．，，．又，，當(dāng)滿(mǎn)足時(shí)，．22．（6分）如圖，大小不同的兩塊三角板和直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)處，，，連接、，點(diǎn)恰好在線(xiàn)段上．（1）找出圖中的全等三角形，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)，則的長(zhǎng)度為 　8　．（3）猜想與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】解：（1），理由如下：，，即，在與中，，；（2），，故答案為：8；（3），理由如下：與相交于點(diǎn)，在與中，，，，，．四．能力展示題（共3小題，第23、24每小題6分，25題8分，共20分）23．（6分）在中，．（1）如圖1，、的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，則　125　；（2）如圖2，的外角、的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，則　　；（3）探究如圖3，的內(nèi)角的平分線(xiàn)與其外角的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，設(shè)，則的度數(shù)是 　　．（用的代數(shù)式表示）【解答】解：（1），．平分，平分，，．．．故答案為：．（2），，．平分，平分，，．．．故答案為：．（3）平分，平分，，．，．．故答案為：．24．（6分）若三邊均不相等的三角形三邊、、滿(mǎn)足為最長(zhǎng)邊，為最短邊），則稱(chēng)它為“不均衡三角形”．例如，一個(gè)三角形三邊分別為7，5，4，因?yàn)?/span>，所以這個(gè)三角形為“不均衡三角形”．（1）以下4組長(zhǎng)度的小木棍能組成“不均衡三角形”的為 　②　（填序號(hào)）．①，，；②，，；③，，；④，，．（2）已知“不均衡三角形”三邊分別為，16，，直接寫(xiě)出的整數(shù)值為 　　．【解答】解：（1）①，，，不能組成“不均衡三角形”；②，，，能組成“不均衡三角形”；③，，，不能組成“不均衡三角形”；④，，，不能組成“不均衡三角形”．故答案為：②；（2）①，解得，，解得，故不合題意舍去；②，解得，，解得，，為整數(shù)，，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，22，16，14可構(gòu)成三角形；③，解得，，解得，，為整數(shù)，或13或14，都可以構(gòu)成三角形．綜上所述，的整數(shù)值為10或12或13或14．故答案為：10或12或13或14．25．（8分）數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問(wèn)題：已知：如圖1，在中，，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，作，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：．經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考后，老師讓同學(xué)們小組交流．小輝同學(xué)說(shuō)出了對(duì)于第二問(wèn)的想法：“我想通過(guò)構(gòu)造含有邊和的全等三角形，因此我過(guò)點(diǎn)作于（如圖2所示），如果能證明和全等，問(wèn)題就解決了．但是這兩個(gè)三角形證不出來(lái)相等的邊，好像這樣作輔助線(xiàn)行不通．”小亮同學(xué)說(shuō)：“既然這樣作輔助線(xiàn)證不出來(lái)，再考慮有沒(méi)有其他添加輔助線(xiàn)的方法．”請(qǐng)你順著小亮同學(xué)的思路在圖3中繼續(xù)嘗試，并完成（1）、（2）問(wèn)的證明．【解答】證明：（1），．，．．（2）如圖3，在上截取，連接，，，即．，．．，．．由（1）可得：．．． 
 

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