1．（3分）現(xiàn)實生活中，對稱現(xiàn)象無處不在，中國的漢字中有些也具有對稱性，下列字是軸對稱圖形的是（ ）
A．誠B．信C．友D．善
2．（3分）已知一個正方形邊長為a+1，則該正方形的面積為（ ）
A．a(chǎn)2+2a+1B．a(chǎn)2﹣2a+1C．a(chǎn)2+1D．2a+1
3．（3分）已知等腰三角形兩邊的長分別為3和7，則此等腰三角形的周長為（ ）
A．10B．15C．17D．19
4．（3分）下列各式運算結(jié)果為a9的是（ ）
A．a(chǎn)6+a3B．a(chǎn)3?a3C．（a3）3D．a(chǎn)18÷a2
5．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分別是△ABC的中線和角平分線．若∠CAD＝20°，則∠ACE的度數(shù)是（ ）
A．20°B．35°C．40°D．70°
6．（3分）下列多項式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．﹣a2﹣b2B．x2+（﹣y）2
C．（﹣x）2+（﹣y）2D．﹣m2+1
7．（3分）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形邊長均為1，△ABC的頂點均落在格點上，若點A的坐標為（﹣2，﹣1），則到△ABC三個頂點距離相等的點的坐標為（ ）
A．（0，1）B．（1，0）C．（0，0）D．（1，﹣1）
8．（3分）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥DC于D，點O是線段AD上一點，點P是BA延長線上一點，若OP＝OC，則下列結(jié)論：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△POC是等邊三角形；④AB＝OA+AP．其中正確的是（ ）
A．①③④B．①②③C．②③④D．①②③④
二、填空題（每題3分，共24分）
9．（3分）若（2x﹣1）0＝1，則x≠ ．
10．（3分）若點A（m，n）與點B（﹣3，2）關(guān)于y軸對稱，則m+n的值是 ．
11．（3分）若（x+m）（x﹣2）的乘積中不含x的一次項，則m＝ ．
12．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E在邊BC上，∠BAD＝∠CAE，若BC＝16，DE＝6，則CE的長為 ．
13．（3分）若關(guān)于x的代數(shù)式x2+4mx+4是完全平方式，則常數(shù)m＝ ．
14．（3分）已知a2﹣2a＝5，則代數(shù)式（a﹣2）2+2（a+1）的值為 ．
15．（3分）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線MN交AB于點D，若BD＝5，AD＝3，P是直線MN上的任意點，則PA+PC的最小值是 ．
16．（3分）一個大正方形和四個全等的小正方形按圖①、②兩種方式擺放，則圖②的大正方形中未被小正方形覆蓋部分的面積是 （用a、b的代數(shù)式表示）．
三、解答題（共52分）
17．（6分）計算：
（1）2x3y?（﹣3xy2）；
（2）[（x+1）（x+2）﹣2]÷x；
（3）（a+b+2c）（a+b﹣2c）．
18．（6分）因式分解：
（1）2a3+6ab；
（2）5x2﹣5y2；
（3）﹣3x2+6xy﹣3y2．
19．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F．求證：DE＝DF．
20．（6分）運用所學(xué)乘法公式等進行簡便運算：
（1）（﹣0.125）11×811；
（2）9.92；
（3）．
21．（4分）已知，求代數(shù)式（x﹣1）2+x（x﹣4）+（x+2）（x﹣2）的值．
22．（5分）如圖，在2×2的正方形格紙中，△ABC是以格點為頂點的三角形，也稱為格點三角形，請你在該正方形格紙中畫出與△ABC成軸對稱的所有的格點三角形（用陰影表示）．
23．（4分）在等邊△ABC中，D為BC上一點，BD＝2CD，DE⊥AB于點E，CE交AD于點P，求∠APE的度數(shù)．
24．（6分）閱讀下列文字：我們知道，圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語言，我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”．例如，對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，就可以得到一個數(shù)學(xué)等式．
（1）模擬練習(xí)：如圖，寫出一個我們熟悉的數(shù)學(xué)公式： ；
（2）解決問題：如果a+b＝10，ab＝12，求a2+b2的值；
（3）類比探究：如果一個長方形的長和寬分別為（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求這個長方形的面積．
25．（5分）我們規(guī)定：若實數(shù)a與b的平方差等于80，則稱實數(shù)對（a，b）在平面直角坐標系中對應(yīng)的點為“雙曲點”；若實數(shù)a與b的平方差等于0，則稱實數(shù)對（a，b）在平面直角坐標系中對應(yīng)的點為“十字點”．
（1）若P（a，b）為“雙曲點”，則a，b應(yīng)滿足的等量關(guān)系為 ；
（2）在點A（8，4），B（﹣12，8），C（21，19），D（40，4）中，是“雙曲點”的有 ；
（3）若點B（9，k）是“雙曲點”，求k的值；
（4）若點A（x，y）為“十字點”，點B（x+5y，5y﹣x）是“雙曲點”，求x，y的值．
26．（6分）如圖，點C是線段AB上一點，△ACF與△BCE都是等邊三角形，連接AE，BF．
（1）求證：AE＝BF；
（2）若點M，N分別是AE，BF的中點，連接CM，MN，NC．
①依題意補全圖形；
②判斷△CMN的形狀，并證明你的結(jié)論．
四、附加題：（共20分，每題4分）
27．（4分）已知a＝817，b＝279，c＝913，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．a(chǎn)＞b＞cB．a(chǎn)＞c＞bC．a(chǎn)＜b＜cD．b＞c＞a
28．（4分）若實數(shù)x滿足x2﹣2x﹣1＝0，則2x3﹣2x2﹣6x+2020＝ ．
29．（4分）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為54°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為 ．
30．（4分）如圖，已知∠MON＝30°，點A1，A2，A3，…在射線ON上，點B1，B2，B3，…在射線OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均為等邊三角形，若OA1＝a，則△A2B2A3的邊長為 ，△AnBnAn+1的邊長為 ．
31．（4分）如圖，在等邊△ABC中，點D是邊BC上一點，∠BAD＝α（0°＜α＜30°），連接AD．作點C關(guān)于直線AD的對稱點為E，連接EB并延長交直線AD于點F．
（1）依題意補全圖形，直接寫出∠AFE的度數(shù)；
（2）直接寫出線段AF，BF，EF之間的等量關(guān)系．
2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)清華附中八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每題3分，共24分）
1．（3分）現(xiàn)實生活中，對稱現(xiàn)象無處不在，中國的漢字中有些也具有對稱性，下列字是軸對稱圖形的是（ ）
A．誠B．信C．友D．善
【分析】直接利用軸對稱圖形的定義得出答案．如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．
【解答】解：“誠”、“信”，“友”都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
“善”能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：D．
【點評】此題主要考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（3分）已知一個正方形邊長為a+1，則該正方形的面積為（ ）
A．a(chǎn)2+2a+1B．a(chǎn)2﹣2a+1C．a(chǎn)2+1D．2a+1
【分析】根據(jù)正方形的面積公式可求該正方形的面積，再根據(jù)完全平方公式計算即可求解．
【解答】解：該正方形的面積為（a+1）2＝a2+2a+1．
故選：A．
【點評】本題主要考查列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的面積公式．
3．（3分）已知等腰三角形兩邊的長分別為3和7，則此等腰三角形的周長為（ ）
A．10B．15C．17D．19
【分析】等腰三角形兩邊的長為3和7，具體哪條是底邊，哪條是腰沒有明確說明，因此要分兩種情況討論．
【解答】解：①當(dāng)腰是3，底邊是7時，3+3＜7，不滿足三角形的三邊關(guān)系，因此舍去．
②當(dāng)?shù)走吺?，腰長是7時，3+7＞7，能構(gòu)成三角形，則其周長＝3+7+7＝17．
故選：C．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，解題時注意：若沒有明確腰和底邊，則一定要分類進行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形，這是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）下列各式運算結(jié)果為a9的是（ ）
A．a(chǎn)6+a3B．a(chǎn)3?a3C．（a3）3D．a(chǎn)18÷a2
【分析】根據(jù)合并同類項法則、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、同底數(shù)冪的除法法則解決此題．
【解答】解：A．根據(jù)合并同類項法則，a6+a3≠a9，那么A不符合題意．
B．根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，a3?a3＝a6，那么B不符合題意．
C．根據(jù)冪的乘方，（a3）3＝a9，那么C符合題意．
D．根據(jù)同底數(shù)冪的除法，a18÷a2＝a16，那么D不符合題意．
故選：C．
【點評】本題主要考查合并同類項、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、同底數(shù)冪的除法，熟練掌握合并同類項法則、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、同底數(shù)冪的除法法則是解決本題的關(guān)鍵．
5．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分別是△ABC的中線和角平分線．若∠CAD＝20°，則∠ACE的度數(shù)是（ ）
A．20°B．35°C．40°D．70°
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB，根據(jù)角平分線的定義計算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中線，
∴∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝＝70°，
∵CE是△ABC的角平分線，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°，
故選：B．
【點評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中線和角平分線以及三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）下列多項式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．﹣a2﹣b2B．x2+（﹣y）2
C．（﹣x）2+（﹣y）2D．﹣m2+1
【分析】根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征解決此題．
【解答】解：A．根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，﹣a2﹣b2不能用平方差公式進行因式分解，那么A不符合題意．
B．根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，x2+（﹣y）2＝x2+y2不能用平方差公式進行因式分解，那么B不符合題意．
C．根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，（﹣x）2+（﹣y）2＝x2+y2不能用平方差公式進行因式分解，那么C不符合題意．
D．根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，﹣m2+1＝﹣（m2﹣1）＝﹣（m+1）（m﹣1），﹣m2+1能用平方差公式進行因式分解，那么D符合題意．
故選：D．
【點評】本題主要考查運用公式法進行因式分解，熟練掌握公式法是解決本題的關(guān)鍵．
7．（3分）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形邊長均為1，△ABC的頂點均落在格點上，若點A的坐標為（﹣2，﹣1），則到△ABC三個頂點距離相等的點的坐標為（ ）
A．（0，1）B．（1，0）C．（0，0）D．（1，﹣1）
【分析】到△ABC三個頂點距離相等的點是AB與AC的垂直平分線的交點，進而得出其坐標．
【解答】解：平面直角坐標系如圖所示，AB與AC的垂直平分線的交點為點O，
∴到△ABC三個頂點距離相等的點的坐標為（0，0），
故選：C．
【點評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．
8．（3分）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥DC于D，點O是線段AD上一點，點P是BA延長線上一點，若OP＝OC，則下列結(jié)論：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△POC是等邊三角形；④AB＝OA+AP．其中正確的是（ ）
A．①③④B．①②③C．②③④D．①②③④
【分析】①利用等邊對等角得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，則∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，據(jù)此即可求解；
②因為點O是線段AD上一點，所以BO不一定是∠ABD的角平分線，可作判斷；
③證明∠POC＝60°且OP＝OC，即可證得△OPC是等邊三角形；
④證明△OPA≌△CPE，則AO＝CE，得AC＝AE+CE＝AO+AP．
【解答】解：①如圖1，連接OB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，故①正確；
②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∵點O是線段AD上一點，
∴∠ABO與∠DBO不一定相等，
則∠APO與∠DCO不一定相等，故②不正確；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等邊三角形，故③正確；
④如圖2，在AC上截取AE＝PA，
∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等邊三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AO+AP，
∴AB＝AO+AP，故④正確；
正確的結(jié)論有：①③④，
故選：A．
【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．
二、填空題（每題3分，共24分）
9．（3分）若（2x﹣1）0＝1，則x≠ ．
【分析】直接利用零指數(shù)冪的定義得出答案．
【解答】解：∵（2x﹣1）0＝1，
∴2x﹣1≠0，
解得：x≠．
故答案為：．
【點評】此題主要考查了零指數(shù)冪，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
10．（3分）若點A（m，n）與點B（﹣3，2）關(guān)于y軸對稱，則m+n的值是 5 ．
【分析】根據(jù)關(guān)于y軸的對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等，據(jù)此求出m、n的值，代入計算可得．
【解答】解：∵點A（m，n）與點B（﹣3，2）關(guān)于y軸對稱，
∴m＝3、n＝2，
所以m+n＝3+2＝5，
故答案為：5．
【點評】本題主要考查關(guān)于x、y軸對稱的點的坐標，解題的關(guān)鍵是掌握兩點關(guān)于y軸對稱，縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù)．
11．（3分）若（x+m）（x﹣2）的乘積中不含x的一次項，則m＝ 2 ．
【分析】根據(jù)多項式乘多項式的乘法法則解決此題．
【解答】解：（x+m）（x﹣2）
＝x2﹣2x+mx﹣2m
＝x2+（m﹣2）x﹣2m．
∵（x+m）（x﹣2）的乘積中不含x的一次項，
∴m﹣2＝0．
∴m＝2．
故答案為：2．
【點評】本題主要考查多項式乘多項式，熟練掌握多項式乘多項式的乘法法則是解決本題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E在邊BC上，∠BAD＝∠CAE，若BC＝16，DE＝6，則CE的長為 5 ．
【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)和題目的已知條件ASA證得△BAD≌△CAE后即可求得CE的長．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（ASA），
∴BD＝CE，
∵BC＝16，DE＝6，
∴BD+CE＝10，
∴CE＝5．
故答案為：5．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用已知和隱含條件證得三角形全等．
13．（3分）若關(guān)于x的代數(shù)式x2+4mx+4是完全平方式，則常數(shù)m＝ ±1 ．
【分析】根據(jù)a2±2ab+b2＝（a±b）2求出m的值．
【解答】解：∵x2±4x+4＝（x±2）2，
∵x2+4mx+4是完全平方式，
∴±4x＝4mx，
∴m＝±1．
故答案為：±1．
【點評】本題考查了完全平方式，掌握a2±2ab+b2＝（a±b）2的熟練應(yīng)用，兩種情況是求m值得關(guān)鍵．
14．（3分）已知a2﹣2a＝5，則代數(shù)式（a﹣2）2+2（a+1）的值為 11 ．
【分析】先利用完全平方公式、單項式乘多項式法則化簡代數(shù)式，再代入求值．
【解答】解：（a﹣2）2+2（a+1）
＝a2﹣4a+4+2a+2
＝a2﹣2a+6．
∵a2﹣2a＝5，
∴原式＝5+6＝11．
故答案為：11．
【點評】本題考查了代數(shù)式的化簡求值，掌握完全平方公式、單項式乘多項式法則是解決本題的關(guān)鍵．
15．（3分）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線MN交AB于點D，若BD＝5，AD＝3，P是直線MN上的任意點，則PA+PC的最小值是 8 ．
【分析】如圖，連接PB．利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，可知PC＝PB，推出PA+PC＝PA+PB≥AB，即可解決問題．
【解答】解：如圖，連接PB．
∵MN垂直平分線段BC，
∴PC＝PB，
∴PA+PC＝PA+PB，
∵PA+PB≥AB＝BD+DA＝5+3＝8，
∴PA+PC≥8，
∴PA+PC的最小值為8．
故答案為：8．
【點評】本題考查軸對稱﹣最短問題，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用兩點之間線段最短解決最短問題，屬于中考?？碱}型．
16．（3分）一個大正方形和四個全等的小正方形按圖①、②兩種方式擺放，則圖②的大正方形中未被小正方形覆蓋部分的面積是 ab （用a、b的代數(shù)式表示）．
【分析】利用大正方形的面積減去4個小正方形的面積即可求解．
【解答】解：設(shè)大正方形的邊長為x1，小正方形的邊長為x2，由圖①和②列出方程組得，
解得，
②的大正方形中未被小正方形覆蓋部分的面積＝（）2﹣4×（）2＝ab．
故答案為：ab．
【點評】本題考查了平方差公式的幾何背景，正確求出大小正方形的邊長列代數(shù)式，以及整式的化簡，正確對整式進行化簡是關(guān)鍵．
三、解答題（共52分）
17．（6分）計算：
（1）2x3y?（﹣3xy2）；
（2）[（x+1）（x+2）﹣2]÷x；
（3）（a+b+2c）（a+b﹣2c）．
【分析】（1）根據(jù)單項式乘單項式的運算法則進行計算；
（2）先利用多項式乘多項式的運算法則計算乘法，然后算括號里面的，最后再算括號外面的；
（3）將原式進行整理后利用乘法公式進行計算．
【解答】解：原式＝2×（﹣3）x3+1y1+2
＝﹣6x4y3；
（2）原式＝（x2+2x+x+2﹣2）÷x
＝（x2+3x）÷x
＝x+3；
（3）原式＝[（a+b）+2c][（a+b）﹣2c]
＝（a+b）2﹣（2c）2
＝a2+2ab+b2﹣4c2．
【點評】本題考查整式的混合運算，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵．
18．（6分）因式分解：
（1）2a3+6ab；
（2）5x2﹣5y2；
（3）﹣3x2+6xy﹣3y2．
【分析】（1）直接提公因式2a即可；
（2）先提公因式，再利用平方差公式即可；
（3）先提公因式，再利用完全平方公式即可．
【解答】解：（1）原式＝2a（a2+3b）；
（2）原式＝5（x2﹣y2）
＝5（x+y）（x﹣y）；
（3）原式＝﹣3（x2﹣2xy+y2）
＝﹣3（x﹣y）2．
【點評】本題考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提．
19．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F．求證：DE＝DF．
【分析】連接AD，D是BC的中點，那么AD就是等腰三角形ABC底邊上的中線，根據(jù)等腰三角形三線合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分線，根據(jù)角平分線的點到角兩邊的距離相等，那么DE＝DF．
【解答】證明：如圖，連接AD．
∵AB＝AC，點D是BC邊上的中點，
∴AD平分∠BAC，
∵DE、DF分別垂直AB、AC于點E和F．
∴DE＝DF．
【點評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
20．（6分）運用所學(xué)乘法公式等進行簡便運算：
（1）（﹣0.125）11×811；
（2）9.92；
（3）．
【分析】（1）根據(jù)積的乘方、有理數(shù)的乘方解決此題．
（2）根據(jù)完全平方公式解決此題．
（3）根據(jù)平方差公式解決此題．
【解答】解：（1）（﹣0.125）11×811
＝
＝
＝（﹣1）11
＝﹣1．
（2）9.92
＝（10﹣0.1）2
＝102﹣2×10×0.1+0.12
＝100﹣2+0.01
＝98.01．
（3）
＝
＝
＝502+1+502﹣1
＝5000．
解法二：原式＝（512+2×51×49+492）＝（51+49）2＝50000．
【點評】本題主要考查積的乘方、有理數(shù)的乘方、完全平方公式、平方差公式，熟練掌握積的乘方、有理數(shù)的乘方、完全平方公式、平方差公式是解決本題的關(guān)鍵．
21．（4分）已知，求代數(shù)式（x﹣1）2+x（x﹣4）+（x+2）（x﹣2）的值．
【分析】先根據(jù)完全平方公式，平方差公式，單項式乘多項式進行計算，再合并同類項，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（x﹣1）2+x（x﹣4）+（x+2）（x﹣2）
＝x2﹣2x+1+x2﹣4x+x2﹣4
＝3x2﹣6x﹣3，
當(dāng)x＝﹣時，原式＝3×（﹣）2﹣6×（﹣）﹣3＝+2﹣3＝﹣．
【點評】本題考查了整式的化簡與求值，能正確根據(jù)整式的運算法則進行化簡是解此題的關(guān)鍵，注意運算順序．
22．（5分）如圖，在2×2的正方形格紙中，△ABC是以格點為頂點的三角形，也稱為格點三角形，請你在該正方形格紙中畫出與△ABC成軸對稱的所有的格點三角形（用陰影表示）．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念，結(jié)合網(wǎng)格作圖即可．
【解答】解：如圖所示．
【點評】本題主要考查作圖—軸對稱變換，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換的概念．
23．（4分）在等邊△ABC中，D為BC上一點，BD＝2CD，DE⊥AB于點E，CE交AD于點P，求∠APE的度數(shù)．
【分析】如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出∠B＝∠ACB＝60°，BC＝AC，再由直角三角形BED中，30度所對的直角邊等于斜邊的一半得到BD＝2BE，由BD＝2CD，等量代換得到BE＝CD，利用SAS得到三角形BEC與三角形ADC全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到∠BCE＝∠DAC，利用內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)即可確定出所求角的度數(shù)．
【解答】解：如圖所示，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，
∴BD＝2BE，
∵BD＝2DC，
∴BE＝DC，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（SAS），
∴∠BCE＝∠CAD，
∴∠ADC+∠BCE＝∠ADC+∠CAD＝180°﹣∠ACB＝120°，
∵∠APC為△PDC的外角，
∴∠APC＝∠ADC+∠BCE＝120°，
則∠APE＝60°．
【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
24．（6分）閱讀下列文字：我們知道，圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語言，我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”．例如，對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，就可以得到一個數(shù)學(xué)等式．
（1）模擬練習(xí)：如圖，寫出一個我們熟悉的數(shù)學(xué)公式： （a+b）2＝a2+2ab+b2 ；
（2）解決問題：如果a+b＝10，ab＝12，求a2+b2的值；
（3）類比探究：如果一個長方形的長和寬分別為（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求這個長方形的面積．
【分析】（1）根據(jù)圖形的面積的兩種不同計算方法得到完全平方公式；
（2）根據(jù)完全平方公式變形即可求解；
（3）根據(jù)矩形的周長和面積公式以及完全平方公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖，寫出一個我們熟悉的數(shù)學(xué)公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）∵a+b＝10，ab＝12，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣24＝76；
（3）設(shè)8﹣x＝a，x﹣2＝b，
∵長方形的兩鄰邊分別是8﹣x，x﹣2，
∴a+b＝8﹣x+x﹣2＝6，
∵（8﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2ab＝20，
∴ab＝8，
∴這個長方形的面積＝（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8．
【點評】本題考查了因式分解的應(yīng)用，完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
25．（5分）我們規(guī)定：若實數(shù)a與b的平方差等于80，則稱實數(shù)對（a，b）在平面直角坐標系中對應(yīng)的點為“雙曲點”；若實數(shù)a與b的平方差等于0，則稱實數(shù)對（a，b）在平面直角坐標系中對應(yīng)的點為“十字點”．
（1）若P（a，b）為“雙曲點”，則a，b應(yīng)滿足的等量關(guān)系為 a2﹣b2＝80 ；
（2）在點A（8，4），B（﹣12，8），C（21，19），D（40，4）中，是“雙曲點”的有 B（﹣12，8），C（21，19） ；
（3）若點B（9，k）是“雙曲點”，求k的值；
（4）若點A（x，y）為“十字點”，點B（x+5y，5y﹣x）是“雙曲點”，求x，y的值．
【分析】（1）根據(jù)題意解決此題．
（2）根據(jù)定義判定．
（3）根據(jù)“雙曲點”定義，列出等式92﹣k2＝80，從而解決此題．
（4）根據(jù)“雙曲點”、“十字點”定義，列出等式x2﹣y2＝0，（x+5y）2﹣（5y﹣x）2＝80，從而求得x與y．
【解答】解：（1）由題意得：a2﹣b2＝80．
故答案為：a2﹣b2＝80．
（2）∵82﹣42＝48，（﹣12）2﹣82＝80，212﹣192＝（20+1）2﹣（20﹣1）2＝80，402﹣42＝1584，
∴B（﹣12，8），C（21，19）是“雙曲點”．
故答案為：B（﹣12，8），C（21，19）．
（3）∵點B（9，k）是“雙曲點”，
∴92﹣k2＝80．
∴k2＝1．
∴k＝±1．
（4）∵點A（x，y）為“十字點”，點B（x+5y，5y﹣x）是“雙曲點”，
∴x2﹣y2＝0，（x+5y）2﹣（5y﹣x）2＝80．
∴x2﹣y2＝0，xy＝4．
∴x＝y(tǒng)＝±2．
【點評】本題主要考查有理數(shù)的乘方、完全平方公式，熟練掌握有理數(shù)的乘方、完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵．
26．（6分）如圖，點C是線段AB上一點，△ACF與△BCE都是等邊三角形，連接AE，BF．
（1）求證：AE＝BF；
（2）若點M，N分別是AE，BF的中點，連接CM，MN，NC．
①依題意補全圖形；
②判斷△CMN的形狀，并證明你的結(jié)論．
【分析】（1）證明△ACE≌△FCB可得證；
（2）①根據(jù)題干要求作圖；
②由（1）可得∠CAM＝∠CN，AM＝FN，進而證明△ACM≌△FCN可得證．
【解答】（1）證明：△ACF和△BCE是等邊三角形，
∴AC＝CF，∠ACF＝60°，∠BCE＝60°，BC＝CE，
∴∠ACF+∠FCE＝∠BCE+∠FCE，
∴∠ACE＝∠FCB，
∴△ACE≌△FCB（SAS），
∴AE＝BF；
（2）①如圖，
②△CMN是等邊三角形，理由如下：
由（1）得，
△ACE≌△FCB，AE＝BF，
∴∠CAM＝∠CFN，
∵M、N分別是AE和BF的中點，
∴AM＝AE，F(xiàn)N＝BF，
∴AM＝FN，
∵AC＝CF，
∴△ACM≌△FCN（SAS），
∴CM＝CN，∠ACM＝∠FCN，
∴∠ACM﹣∠FCM＝∠FCN﹣∠FCM，
∴∠MCN＝∠ACF＝60°，
∴△CMN是等邊三角形．
【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識及第二問的證明用到第一問的結(jié)論．
四、附加題：（共20分，每題4分）
27．（4分）已知a＝817，b＝279，c＝913，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．a(chǎn)＞b＞cB．a(chǎn)＞c＞bC．a(chǎn)＜b＜cD．b＞c＞a
【分析】根據(jù)冪的乘方、有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的大小關(guān)系解決此題．
【解答】解：∵a＝817，b＝279，c＝913，
∴a＝（34）7＝328，b＝（33）9＝327，c＝（32）13＝326．
又∵328＞327＞326，
∴a＞b＞c．
故選：A．
【點評】本題主要考查冪的乘方、有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的大小比較，熟練掌握冪的乘方、有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的大小關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
28．（4分）若實數(shù)x滿足x2﹣2x﹣1＝0，則2x3﹣2x2﹣6x+2020＝ 2022 ．
【分析】先將x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，再代入計算可求解．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，
∴原式＝2x?x2﹣2x2﹣6x+2020
＝2x（2x+1）﹣2x2﹣6x+2020
＝4x2+2x﹣2x2﹣6x+2020
＝2x2﹣4x+2020
＝2（x2﹣2x）+2020
＝2×1+2020
＝2022．
【點評】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，整體代入是解題的關(guān)鍵．
29．（4分）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為54°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為 72°或18° ．
【分析】在等腰△ABC中，AB＝AC，BD為腰AC上的高，∠ABD＝54°，討論：當(dāng)BD在△ABC內(nèi)部時，如圖1，先計算出∠BAD＝36°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可計算出∠ACB；當(dāng)BD在△ABC外部時，如圖2，先計算出∠BAD＝36°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可計算出∠ACB．
【解答】解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD為腰AC上的高，∠ABD＝54°，
當(dāng)BD在△ABC內(nèi)部時，如圖1，
∵BD為高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣54°＝36°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°；
當(dāng)BD在△ABC外部時，如圖2，
∵BD為高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣54°＝36°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠BAD＝18°，
綜上所述，這個等腰三角形底角的度數(shù)為72°或18°．
故答案為：72°或18°．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩腰相等；等腰三角形的兩個底角相等；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．
30．（4分）如圖，已知∠MON＝30°，點A1，A2，A3，…在射線ON上，點B1，B2，B3，…在射線OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均為等邊三角形，若OA1＝a，則△A2B2A3的邊長為 4a ，△AnBnAn+1的邊長為 2n﹣1a ．
【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1B1＝A2B1＝a，利用同樣的方法得到A2O＝A2B2＝2a＝21a，A3B3＝A3O＝2A2O＝4＝22a，利用此規(guī)律即可得到AnBn＝2n﹣1a．
【解答】解：∵△A1B1A2為等邊三角形，∠MON＝30°，
∴∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1B1＝A2B1＝a，
同理：A2O＝A2B2＝2＝21a，
A3B3＝A3O＝2A2O＝4a＝22a，
..．
以此類推可得△AnBnAn+1的邊長為AnBn＝2n﹣1a．
故答案為：4a；2n﹣1a．
【點評】本題考查規(guī)律型：圖形的變化類，等邊三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握三角形邊長的變化規(guī)律．
31．（4分）如圖，在等邊△ABC中，點D是邊BC上一點，∠BAD＝α（0°＜α＜30°），連接AD．作點C關(guān)于直線AD的對稱點為E，連接EB并延長交直線AD于點F．
（1）依題意補全圖形，直接寫出∠AFE的度數(shù)；
（2）直接寫出線段AF，BF，EF之間的等量關(guān)系．
【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形，利用軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理求解即可．
（2）結(jié)論：AF＝EF+BF．如圖2中，連接CF，在FA上取一點J，使得FJ＝FC，連接CJ，證明△BCF≌△ACJ（SAS），可得結(jié)論．
【解答】解：（1）圖形如圖1所示：
連接AE．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵∠BAD＝α，
∴∠CAD＝60°﹣α，
∵E，C關(guān)于AD對稱，
∴∠DAE＝∠DAC＝60°﹣α，AE＝AC＝AB
∴∠EAB＝60°﹣2α，
∴∠E＝∠ABE＝（180°﹣60°+2α）＝60°+α，
∵∠ABE＝∠AFE+∠BAD，
∴∠AFE＝60°．
（2）結(jié)論：AF＝BF+EF．
理由：如圖2中，連接CF，在FA上取一點J，使得FJ＝FC，連接CJ
∵E，C關(guān)于AF對稱，
∴∠AFC＝∠AFE＝60°，EF＝CF，
∵FJ＝FC，
∴△CFJ是等邊三角形，
∴CF＝CJ，∠FCJ＝60°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB＝60°，CB＝CA，
∴∠ACB＝∠FCJ，
∴∠BCF＝∠ACJ，
在△BCF和△ACJ中，
，
∴△BCF≌△ACJ（SAS），
∴BF＝AJ，
∴AF＝FJ+AJ＝EF+BF．
【點評】考查了作圖﹣軸對稱變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/9/28 17:49:28；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號：36906111

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