1．（3分）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將于2022年02月04日～2022年02月20日在中華人民共和國(guó)北京市和張家口市聯(lián)合舉行．在會(huì)徽的圖案設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)者常常利用對(duì)稱性進(jìn)行設(shè)計(jì)，下列四個(gè)圖案是歷屆會(huì)徽?qǐng)D案上的一部分圖形，其中不是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列圖形中，具有穩(wěn)定性的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．x+x2＝x3B．x2?x3＝x6C．x9÷x3＝x3D．（x3）2＝x6
4．（3分）下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A．2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1）D．x2+y2＝（x﹣y）2+2xy
5．（3分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，這個(gè)多邊形是（ ）
A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形
6．（3分）如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠1＞∠4+∠5D．∠2＜∠5
7．（3分）如圖，AB＝AC，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，下列條件不能判斷△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠CB．BE＝CDC．AD＝AED．BD＝CE
8．（3分）如圖，有A、B、C三個(gè)居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個(gè)小區(qū)之間修建一個(gè)購(gòu)物超市，使超市到三個(gè)小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（ ）
A．在AC，BC兩邊高線的交點(diǎn)處
B．在AC，BC兩邊中線的交點(diǎn)處
C．在AC，BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處
D．在∠A，∠B兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處
9．（3分）如圖，已知∠MON及其邊上一點(diǎn)A．以點(diǎn)A為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OM，ON于點(diǎn)B和C，再以點(diǎn)C為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．錯(cuò)誤的結(jié)論是（ ）
A．S△AOC＝S△ABCB．∠OCB＝90°
C．∠MON＝30°D．OC＝2BC
10．（3分）已知長(zhǎng)方形ABCD可以按圖示方式分成九部分，在a，b變化的過(guò)程中，下面說(shuō)法正確的有（ ）
①圖中存在三部分的周長(zhǎng)之和恰好等于長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)
②長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)寬之比可能為2
③當(dāng)長(zhǎng)方形ABCD為正方形時(shí)，九部分都為正方形
④當(dāng)長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)為60時(shí)，它的面積可能為100．
A．①②B．①③C．②③④D．①③④
二、填空題（本題共18分，每小題3分）
11．（3分）計(jì)算：（3a2+2a）÷a＝ ．
12．（3分）如果等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4、8，那么它的周長(zhǎng)是 ．
13．（3分）ax＝5，ay＝3，則ax﹣y＝ ．
14．（3分）如圖，在△ABC中，BA＝BC＝6，∠ABC＝120°，D為AC中點(diǎn)，則BD＝ ．
15．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線MN交AC于D點(diǎn)．若BD平分∠ABC，則∠A＝ °．
16．（3分）如圖1，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，若AB＝AC+CD，那么∠ACB與∠ABC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小明通過(guò)觀察分析，形成了如下解題思路：
如圖2，延長(zhǎng)AC到E，使CE＝CD，連接DE．由AB＝AC+CD，可得AE＝AB．又因?yàn)锳D是∠BAC的平分線，可得△ABD≌△AED，進(jìn)一步分析就可以得到∠ACB與∠ABC的數(shù)量關(guān)系．
（1）判定△ABD與△AED全等的依據(jù)是 ；
（2）∠ACB與∠ABC的數(shù)量關(guān)系為： ．
三、解答題（17題8分，18題4分，19-21每題5分，22-24每題6分，25題7分，共52分）
17．（8分）計(jì)算：
①a3?a+（﹣a2）3÷a2．
②．
18．（4分）分解因式：x2y﹣4xy+4y．
19．（5分）化簡(jiǎn)求值：（2x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣4x（x﹣1），其中x＝6．
20．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O（0，0），A（﹣1，2），B（2，1）．
（1）在圖中畫(huà)出△AOB關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1OB1，并直接寫(xiě)出點(diǎn)A1和點(diǎn)B1的坐標(biāo)；（不寫(xiě)畫(huà)法，保留畫(huà)圖痕跡）
（2）在x軸上存在點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ．
21．（5分）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．求證：∠A＝∠D．
22．（6分）下面是小明同學(xué)設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．
已知：如圖1，直線l和直線l外一點(diǎn)P．
求作：直線PQ，使直線PQ∥直線l．
作法：如圖2．
①在直線l上取一點(diǎn)A，連接PA；
②作PA的垂直平分線MN，分別交直線l，線段PA于點(diǎn)B，O；
③以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑作弧，交直線MN于另一點(diǎn)Q；
④作直線PQ，所以直線PQ為所求作的直線．
根據(jù)上述作圖過(guò)程，回答問(wèn)題：
（1）用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖2中的圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明：證明：
∵直線MN是PA的垂直平分線，
∴PO＝ ．
∵OQ＝ ，∠POQ＝∠AOB．
∴△POQ≌△AOB（SAS）．
∴ ＝ ．
∴PQ∥l（ ）（填推理的依據(jù)）．
23．（6分）已知：如圖，△ABC是等邊三角形，BD⊥AC，E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且∠CED＝30°．
（1）求證：DB＝DE．
（2）在圖中過(guò)D作DF⊥BE交BE于F，若CF＝3，求△ABC的周長(zhǎng)．
24．（6分）對(duì)于代數(shù)式，不同的表達(dá)形式能表現(xiàn)出它的不同性質(zhì)．例如代數(shù)式A＝x2﹣4x+5，若將其寫(xiě)成A＝（x﹣2）2+1的形式，就能看出不論字母x取何值，它都表示正數(shù)；若將它寫(xiě)成A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2的形式，就能與代數(shù)式B＝x2﹣2x+2建立聯(lián)系．下面我們改變x的值，研究一下A，B兩個(gè)代數(shù)式取值的規(guī)律：
（1）完成上表；
（2）觀察表格可以發(fā)現(xiàn)：若x＝m時(shí)，B＝x2﹣2x+2＝n，則x＝m+1時(shí)，A＝x2﹣4x+5＝n．我們把這種現(xiàn)象稱為代數(shù)式A參照代數(shù)式B取值延后，此時(shí)延后值為1．
①若代數(shù)式D參照代數(shù)式B取值延后，相應(yīng)的延后值為2，求代數(shù)式D；
②已知代數(shù)式ax2﹣10x+b 參照代數(shù)式3x2﹣4x+c 取值延后，請(qǐng)直接寫(xiě)出b﹣c的值： ．
25．（7分）已知，如圖，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，過(guò)點(diǎn)C的直線CH和AC的夾角∠ACH＝α，請(qǐng)按要求完成下列各題：
（1）請(qǐng)按要求作圖：作出點(diǎn)A關(guān)于直線CH的軸對(duì)稱點(diǎn)D，連接AD、BD、CD，其中BD交直線CH于點(diǎn)E，連接AE；
（2）請(qǐng)問(wèn)∠ADB的大小是否會(huì)隨著α的改變而改變？如果改變，請(qǐng)用含α的式子表示∠ADB；如果不變，請(qǐng)求出∠ADB的大小．
（3）請(qǐng)證明△ACE的面積和△BCE的面積滿足：．
26．（10分）選取二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a≠0）中的兩項(xiàng)，配成完全平方式的過(guò)程叫配方．例如選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方：x2﹣4x+2＝x2﹣4x+4﹣4+2＝（x2﹣4x+4）﹣2＝（x﹣2）2﹣2．根據(jù)上述材料，解決下面問(wèn)題：
（1）寫(xiě)出二次三項(xiàng)式x2﹣2x+2配方的過(guò)程和結(jié)果．
（2）已知a2﹣4a+20＝8b﹣b2，求a，b的值．（寫(xiě)出過(guò)程）
（3）如圖1，已知A（0，a），B（b，0），且a、b滿足（2）的結(jié)論，連接AB，如圖2，若D（0，﹣6），DE⊥AB于點(diǎn)E，B、C關(guān)于y軸對(duì)稱，M是線段DE上的一點(diǎn)，且DM＝AB，連接AM，試判斷線段AC與AM關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（4）如圖3，在（3）的條件下，若N是線段DM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是MA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且DN＝AP，連接PN交y軸于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥y軸于點(diǎn)H，當(dāng)N點(diǎn)在線段DM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，QH的長(zhǎng)度是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2021-2022學(xué)年北京市清華附中朝陽(yáng)學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共30分．每小題3分）第1-10題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).
1．（3分）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將于2022年02月04日～2022年02月20日在中華人民共和國(guó)北京市和張家口市聯(lián)合舉行．在會(huì)徽的圖案設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)者常常利用對(duì)稱性進(jìn)行設(shè)計(jì)，下列四個(gè)圖案是歷屆會(huì)徽?qǐng)D案上的一部分圖形，其中不是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形的概念．
2．（3分）下列圖形中，具有穩(wěn)定性的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用三角形的穩(wěn)定性解答即可．
【解答】解：A、三角形具有穩(wěn)定性，故此選項(xiàng)符合題意；
B、四邊形不具有穩(wěn)定性，故此選項(xiàng)不合題意；
C、五邊形不具有穩(wěn)定性，故此選項(xiàng)不合題意；
D、六邊形具有不穩(wěn)定性，故此選項(xiàng)不合題意．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，關(guān)鍵是掌握當(dāng)三角形三邊的長(zhǎng)度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來(lái)，故三角形具有穩(wěn)定性．
3．（3分）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．x+x2＝x3B．x2?x3＝x6C．x9÷x3＝x3D．（x3）2＝x6
【分析】運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法，除法，冪的乘方的運(yùn)算法則運(yùn)算即可．
【解答】解：A．x與x2不能合并同類項(xiàng)，所以此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．x2?x3＝x5，所以此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．x9÷x3＝x6，所以此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．（x3）2＝x6，所以此選項(xiàng)正確；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法，除法，冪的乘方的運(yùn)算法則，熟練掌握法則是解答此題的關(guān)鍵．
4．（3分）下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A．2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1）D．x2+y2＝（x﹣y）2+2xy
【分析】根據(jù)因式分解是將一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為幾個(gè)整式的乘積的形式，根據(jù)定義，逐項(xiàng)分析即可．
【解答】解：A、2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1，等號(hào)的右邊不是整式的積的形式，故此選項(xiàng)不符合題意；B、（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，這是整式的乘法，故此選項(xiàng)不符合題意；C、x2﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1），是因式分解，故此選項(xiàng)符合題意；D、x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，等號(hào)的右邊不是整式的積的形式，故此選項(xiàng)不符合題意；故選C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查因式分解的意義，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是看是否是由一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的乘積的形式．
5．（3分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，這個(gè)多邊形是（ ）
A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°和外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，
由題意得，（n﹣2）?180°＝2×360°，
解得n＝6，
所以，這個(gè)多邊形是六邊形．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟記內(nèi)角和公式和外角和定理并列出方程是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠1＞∠4+∠5D．∠2＜∠5
【分析】根據(jù)對(duì)頂角定義和外角的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可．
【解答】解：A．∵∠1和∠2是對(duì)頂角，
∴∠1＝∠2，
故A正確；
B．∵∠2是△AOD的外角，
∴∠2＞∠3，
故B錯(cuò)誤；
C．∵∠1＝∠4+∠5，
故C錯(cuò)誤；
D．∵∠2是△BOC的外角，
∴∠2＞∠5；
故D錯(cuò)誤；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)頂角的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，能熟記對(duì)頂角的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
7．（3分）如圖，AB＝AC，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，下列條件不能判斷△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠CB．BE＝CDC．AD＝AED．BD＝CE
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根據(jù)全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加條件，逐一證明即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A為公共角，
A、如添∠B＝∠C，利用ASA即可證明△ABE≌△ACD；
B、如添BE＝CD，因?yàn)镾SA，不能證明△ABE≌△ACD，所以此選項(xiàng)不能作為添加的條件；
C、如添加AD＝AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD；
D、如添BD＝CE，可證明AD＝AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形判定定理的理解和掌握，此類添加條件題，要求學(xué)生應(yīng)熟練掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
8．（3分）如圖，有A、B、C三個(gè)居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個(gè)小區(qū)之間修建一個(gè)購(gòu)物超市，使超市到三個(gè)小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（ ）
A．在AC，BC兩邊高線的交點(diǎn)處
B．在AC，BC兩邊中線的交點(diǎn)處
C．在AC，BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處
D．在∠A，∠B兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處
【分析】要求到三小區(qū)的距離相等，首先思考到A小區(qū)、B小區(qū)距離相等，根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理知滿足條件的點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，同理到B小區(qū)、C小區(qū)的距離相等的點(diǎn)在線段BC的垂直平分線上，于是到三個(gè)小區(qū)的距離相等的點(diǎn)應(yīng)是其交點(diǎn)，答案可得．
【解答】解：根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．
則超市應(yīng)建在AC，BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；此題是一道實(shí)際應(yīng)用題，做題時(shí)，可分別考慮，先滿足到兩個(gè)小區(qū)的距離相等，再滿足到另兩個(gè)小區(qū)的距離相等，交點(diǎn)即可得到．
9．（3分）如圖，已知∠MON及其邊上一點(diǎn)A．以點(diǎn)A為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OM，ON于點(diǎn)B和C，再以點(diǎn)C為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．錯(cuò)誤的結(jié)論是（ ）
A．S△AOC＝S△ABCB．∠OCB＝90°
C．∠MON＝30°D．OC＝2BC
【分析】由題意可知OA＝AC＝AB＝BC，△ABC是等邊三角形，△OAC是等腰三角形，即可判斷選項(xiàng)．
【解答】解：由題意可知OA＝AC＝AB＝BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠CAB＝60°，
∴∠MON＝∠OCA＝30°，
∴∠OCB＝30°+60°＝90°．
∴S△AOC＝S△ABC，
∴A，B，C，正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）已知長(zhǎng)方形ABCD可以按圖示方式分成九部分，在a，b變化的過(guò)程中，下面說(shuō)法正確的有（ ）
①圖中存在三部分的周長(zhǎng)之和恰好等于長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)
②長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)寬之比可能為2
③當(dāng)長(zhǎng)方形ABCD為正方形時(shí)，九部分都為正方形
④當(dāng)長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)為60時(shí)，它的面積可能為100．
A．①②B．①③C．②③④D．①③④
【分析】根據(jù)正方形定義和長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式判斷①③，假設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬比是2，推導(dǎo)出與已知的矛盾，排除②，根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為60，推導(dǎo)出該長(zhǎng)方形的面積大于100，從而說(shuō)明④錯(cuò)誤．
【解答】解：①四邊形AEFG、FHKM、SKWC的周長(zhǎng)之和等于長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)；
②長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a+2b，寬為2a+b，若該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬之比為2，則a+2b＝2（2a+b）
解得a＝0．這與題意不符，故②的說(shuō)法不正確；
③當(dāng)長(zhǎng)方形ABCD為正方形時(shí)，2a+b＝a+2b
所以a＝b，所以九部分都為正方形，故③的說(shuō)法正確；
④當(dāng)長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)為60時(shí)，即2（2a+b+a+2b）＝60
整理，得a+b＝10
所以四邊形GHWD的面積為100．
故當(dāng)長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)為60時(shí)，它的面積不可能為100，故④的說(shuō)法不正確．
綜上正確的是①③．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)和面積即等式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．掌握正方形的判定、長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式和正方形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵．
二、填空題（本題共18分，每小題3分）
11．（3分）計(jì)算：（3a2+2a）÷a＝ 3a+2 ．
【分析】直接利用整式的除法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．
【解答】解：（3a2+2a）÷a
＝3a2÷a+2a÷a
＝3a+2．
故答案為：3a+2．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的除法，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
12．（3分）如果等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4、8，那么它的周長(zhǎng)是 20 ．
【分析】解決本題要注意分為兩種情況4為底或8為底，還要考慮到各種情況是否滿足三角形的三邊關(guān)系來(lái)進(jìn)行解答．
【解答】解：∵等腰三角形有兩邊分別分別是4和8，
∴此題有兩種情況：
①4為底邊，那么8就是腰，則等腰三角形的周長(zhǎng)為4+8+8＝20，
②8底邊，那么4是腰，4+4＝8，所以不能?chē)扇切螒?yīng)舍去．
∴該等腰三角形的周長(zhǎng)為20，
故答案為：20
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形性質(zhì)；解題時(shí)涉及分類討論的思想方法．求三角形的周長(zhǎng)，不能盲目地將三邊長(zhǎng)相加起來(lái)，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗(yàn)三邊長(zhǎng)能否組成三角形的好習(xí)慣，把不符合題意的舍去．
13．（3分）ax＝5，ay＝3，則ax﹣y＝ ．
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則解答即可．
【解答】解：∵ax＝5，ay＝3，
∴ax﹣y＝ax÷ay＝5÷3＝．
故答案為：
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．
14．（3分）如圖，在△ABC中，BA＝BC＝6，∠ABC＝120°，D為AC中點(diǎn)，則BD＝ 3 ．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠A＝30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BD⊥AC，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BD＝BA，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵BA＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝（180°﹣∠ABC）＝30°，
∵BA＝BC，D為AC的中點(diǎn)，
∴BD⊥AC，
即∠BDA＝90°，
∴BD＝BA，
∵BA＝6，
∴BD＝3，
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能求出∠A＝30°是解此題的關(guān)鍵．
15．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線MN交AC于D點(diǎn)．若BD平分∠ABC，則∠A＝ 36 °．
【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得AD＝BD，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠A＝∠ABD，然后表示出∠ABC，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等可得∠C＝∠ABC，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列出方程求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵AB的垂直平分線MN交AC于D點(diǎn)．
∴∠A＝∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠C＝2∠A＝∠ABC，
設(shè)∠A為x，
可得：x+x+x+2x＝180°，
解得：x＝36°，
故答案為：36
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．注意垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．
16．（3分）如圖1，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，若AB＝AC+CD，那么∠ACB與∠ABC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小明通過(guò)觀察分析，形成了如下解題思路：
如圖2，延長(zhǎng)AC到E，使CE＝CD，連接DE．由AB＝AC+CD，可得AE＝AB．又因?yàn)锳D是∠BAC的平分線，可得△ABD≌△AED，進(jìn)一步分析就可以得到∠ACB與∠ABC的數(shù)量關(guān)系．
（1）判定△ABD與△AED全等的依據(jù)是 SAS ；
（2）∠ACB與∠ABC的數(shù)量關(guān)系為： ∠ACB＝2∠ABC ．
【分析】（1）根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1））∵AB＝AE，∠BAD＝∠EAD，AD＝AD，所以判定△ABD與△AED全等的依據(jù)是SAS．
故答案為：SAS．
（2）∵△ABD≌△AED，
∴∠B＝∠E，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠E，
∴∠ACB＝2∠E，
∴∠ACB＝2∠ABC．
故答案為：SAS，∠ACB＝2∠ABC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（17題8分，18題4分，19-21每題5分，22-24每題6分，25題7分，共52分）
17．（8分）計(jì)算：
①a3?a+（﹣a2）3÷a2．
②．
【分析】①直接利用同底數(shù)冪的乘除法運(yùn)算法則計(jì)算，再利用合并同類項(xiàng)法則計(jì)算得出答案；
②直接利用二次根式的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)分別計(jì)算，再利用有理數(shù)的加減計(jì)算得出答案．
【解答】解：①a3?a+（﹣a2）3÷a2
＝a4﹣a6÷a2
＝a4﹣a4
＝0；
②
＝+4﹣1
＝3．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、同底數(shù)冪的乘除法運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
18．（4分）分解因式：x2y﹣4xy+4y．
【分析】首先提取公因式y(tǒng)，再把余下的式子用完全平方公式：（a2﹣2ab+b2）＝（a﹣b）2進(jìn)行二次分解即可．
【解答】解：x2y﹣4xy+4y，
＝y(tǒng)（x2﹣4x+4），
＝y(tǒng)（x﹣2）2．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．
19．（5分）化簡(jiǎn)求值：（2x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣4x（x﹣1），其中x＝6．
【分析】先根據(jù)完全平方公式，平方差公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（2x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣4x（x﹣1）
＝4x2﹣4x+1+x2﹣4﹣4x2+4x
＝x2﹣3，
當(dāng)x＝6時(shí)，原式＝62﹣3＝33．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的化簡(jiǎn)與求值，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．
20．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O（0，0），A（﹣1，2），B（2，1）．
（1）在圖中畫(huà)出△AOB關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1OB1，并直接寫(xiě)出點(diǎn)A1和點(diǎn)B1的坐標(biāo)；（不寫(xiě)畫(huà)法，保留畫(huà)圖痕跡）
（2）在x軸上存在點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （1，0） ．
【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置即可；
（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短可知：作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接BB'交x軸于點(diǎn)P，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解（1）如圖所示，即為所求，
由圖形知，A1（1，2），B1（﹣2，1）；
（2）如圖，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接BB'交x軸于點(diǎn)P，
由圖形知，點(diǎn)P即為所求，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0），
故答案為：（1，0）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了作圖﹣軸對(duì)稱變換，軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（5分）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．求證：∠A＝∠D．
【分析】證明△ABC≌△DEF（SAS），可得∠A＝∠D．
【解答】證明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．
22．（6分）下面是小明同學(xué)設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．
已知：如圖1，直線l和直線l外一點(diǎn)P．
求作：直線PQ，使直線PQ∥直線l．
作法：如圖2．
①在直線l上取一點(diǎn)A，連接PA；
②作PA的垂直平分線MN，分別交直線l，線段PA于點(diǎn)B，O；
③以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑作弧，交直線MN于另一點(diǎn)Q；
④作直線PQ，所以直線PQ為所求作的直線．
根據(jù)上述作圖過(guò)程，回答問(wèn)題：
（1）用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖2中的圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明：證明：
∵直線MN是PA的垂直平分線，
∴PO＝ OA ．
∵OQ＝ OB ，∠POQ＝∠AOB．
∴△POQ≌△AOB（SAS）．
∴ ∠QPO ＝ ∠BAO ．
∴PQ∥l（ 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 ）（填推理的依據(jù)）．
【分析】（1）直接用作法，作出圖形，即可得出結(jié)論；
（2）利用SAS判斷出△POQ≌△AOB，得出∠QPO＝∠BAO，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形如圖2所示：
（2）證明：∵直線MN是PA的垂直平分線，
∴PO＝AO，
∵OQ＝OB，∠POQ＝∠AOB，
∴△POQ≌△AOB（SAS），
∴∠QPO＝∠BAO，
∴PQ∥l（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
故答案為：AO，∠AOB，OB，∠QPO，∠BAO，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，平行線的判定，掌握基本作圖是解本題的關(guān)鍵．
23．（6分）已知：如圖，△ABC是等邊三角形，BD⊥AC，E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且∠CED＝30°．
（1）求證：DB＝DE．
（2）在圖中過(guò)D作DF⊥BE交BE于F，若CF＝3，求△ABC的周長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°，再根據(jù)角之間的關(guān)系求得∠DBC＝∠CED，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得到DB＝DE．
（2）由DF的長(zhǎng)可求出CD，進(jìn)而可求出AC的長(zhǎng)，則△ABC的周長(zhǎng)即可求出．
【解答】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵BD⊥AC，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝30°（等腰三角形三線合一）．
又∵∠CED＝30°，
∴DB＝DE（等角對(duì)等邊）；
（2）過(guò)D作DF⊥BE交BE于F，
∵∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°，
∴∠CDF＝30°，
∵CF＝3，
∴DC＝6，
∵AD＝CD，
∴AC＝12，
∴△ABC的周長(zhǎng)＝3AC＝36．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行解答．
24．（6分）對(duì)于代數(shù)式，不同的表達(dá)形式能表現(xiàn)出它的不同性質(zhì)．例如代數(shù)式A＝x2﹣4x+5，若將其寫(xiě)成A＝（x﹣2）2+1的形式，就能看出不論字母x取何值，它都表示正數(shù)；若將它寫(xiě)成A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2的形式，就能與代數(shù)式B＝x2﹣2x+2建立聯(lián)系．下面我們改變x的值，研究一下A，B兩個(gè)代數(shù)式取值的規(guī)律：
（1）完成上表；
（2）觀察表格可以發(fā)現(xiàn)：若x＝m時(shí)，B＝x2﹣2x+2＝n，則x＝m+1時(shí)，A＝x2﹣4x+5＝n．我們把這種現(xiàn)象稱為代數(shù)式A參照代數(shù)式B取值延后，此時(shí)延后值為1．
①若代數(shù)式D參照代數(shù)式B取值延后，相應(yīng)的延后值為2，求代數(shù)式D；
②已知代數(shù)式ax2﹣10x+b 參照代數(shù)式3x2﹣4x+c 取值延后，請(qǐng)直接寫(xiě)出b﹣c的值： 7 ．
【分析】（1）分別將x代入即可求得；
（2）①D＝（x﹣2）2﹣2（x﹣2）+2＝x2﹣6x+10；
②由①可得a＝3，設(shè)延后值為k，3m2﹣4m+c＝3（m+k）2﹣10（m+k）+b，則可求b﹣c＝7．
【解答】解：（1）將x＝2代入B＝x2﹣2x+2中，得B＝4﹣4+2＝2；
將x＝1代入A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2得，A＝2，
將x＝2代入A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2得，A＝1，
將x＝3代入A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2得，A＝2，
故答案為2，2，1，2；
（2）①∵代數(shù)式D參照代數(shù)式B取值延后，相應(yīng)的延后值為2，
﹣6m﹣4＝﹣10，m＝1，b＝3m^2+4m+cb﹣c＝7
∴D＝（x﹣2）2﹣2（x﹣2）+2＝x2﹣6x+10；
②由①可得a＝3，
∴ax2﹣10x+b＝3x2﹣10x+b，
∵代數(shù)式ax2﹣10x+b參照代數(shù)式3x2﹣4x+c取值延后，
設(shè)延后值為k，
∵x＝m時(shí)，3x2﹣4x+c＝3m2﹣4m+c，
x＝m+k時(shí)，ax2﹣10x+b＝3（m+k）2﹣10（m+k）+b，
∴3m2﹣4m+c＝3（m+k）2﹣10（m+k）+b，
∴6k﹣10＝﹣4，
∴k＝1，
∵c＝3k2﹣10k+b，
∴b﹣c＝7，
故答案為7．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查代數(shù)式求值和數(shù)字的變化規(guī)律；理解題意，能夠準(zhǔn)確地列出代數(shù)式，并進(jìn)行求解即可．
25．（7分）已知，如圖，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，過(guò)點(diǎn)C的直線CH和AC的夾角∠ACH＝α，請(qǐng)按要求完成下列各題：
（1）請(qǐng)按要求作圖：作出點(diǎn)A關(guān)于直線CH的軸對(duì)稱點(diǎn)D，連接AD、BD、CD，其中BD交直線CH于點(diǎn)E，連接AE；
（2）請(qǐng)問(wèn)∠ADB的大小是否會(huì)隨著α的改變而改變？如果改變，請(qǐng)用含α的式子表示∠ADB；如果不變，請(qǐng)求出∠ADB的大?。?br>（3）請(qǐng)證明△ACE的面積和△BCE的面積滿足：．
【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；
（2）證明△ADE是等腰直角三角形，可得結(jié)論；
（3）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)H．由S△ACE﹣S△CEB＝S△DCE﹣S△ECB＝?DE?CH﹣?EB?CH＝?CH?（DE﹣BE）＝?CH?（DH+EH﹣BH+EH）＝CH?EH＝CH2，可得結(jié)論．
【解答】（1）解：圖形如圖所示：
（2）解：結(jié)論：∠ADB＝45°，是定值．
理由：設(shè)AE交BC于點(diǎn)O．
∵A，D關(guān)于CH對(duì)稱，
∴CA＝CD，EA＝ED，∠AEH＝∠DEH，
∴∠CAD＝∠CDA，∠EAD＝∠EDA，
∴∠EAC＝∠EDC，
∵CA＝CB，
∴CD＝CB，
∴∠CDE＝∠CBE，
∴∠CAO＝∠EBO，
∵∠AOC＝∠BOE，
∴∠ACO＝∠BEO＝90°，
∵∠AED＝90°，
∴∠ADE＝∠DAE＝45°，
∴∠ADB＝45°．
（3）證明：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)H．
∵CD＝CB，
∴DH＝BH，
∵∠CEH＝45°，
∴CH＝EH，EC＝CH，
由對(duì)稱的性質(zhì)可知，△ACE≌△DCE，
∴S△ACE＝S△DCE，
∴S△ACE﹣S△CEB＝S△DCE﹣S△ECB＝?DE?CH﹣?EB?CH＝?CH?（DE﹣BE）＝?CH?（DH+EH﹣BH+EH）＝CH?EH＝CH2＝EC2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣軸對(duì)稱變換，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱變換的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
26．（10分）選取二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a≠0）中的兩項(xiàng)，配成完全平方式的過(guò)程叫配方．例如選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方：x2﹣4x+2＝x2﹣4x+4﹣4+2＝（x2﹣4x+4）﹣2＝（x﹣2）2﹣2．根據(jù)上述材料，解決下面問(wèn)題：
（1）寫(xiě)出二次三項(xiàng)式x2﹣2x+2配方的過(guò)程和結(jié)果．
（2）已知a2﹣4a+20＝8b﹣b2，求a，b的值．（寫(xiě)出過(guò)程）
（3）如圖1，已知A（0，a），B（b，0），且a、b滿足（2）的結(jié)論，連接AB，如圖2，若D（0，﹣6），DE⊥AB于點(diǎn)E，B、C關(guān)于y軸對(duì)稱，M是線段DE上的一點(diǎn)，且DM＝AB，連接AM，試判斷線段AC與AM關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（4）如圖3，在（3）的條件下，若N是線段DM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是MA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且DN＝AP，連接PN交y軸于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥y軸于點(diǎn)H，當(dāng)N點(diǎn)在線段DM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，QH的長(zhǎng)度是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）利用完全平方公式配方可求解；
（2）利用完全平方公式配方，由非負(fù)性可求解；
（3）結(jié)論：AC＝AM，AC⊥AM．由已知條件得到AD＝BC，推出△CAB≌△AMD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC＝AM，∠ACO＝∠MAD，由于∠ACO+∠CAO＝90°，得到∠MAD+∠CAO＝∠MAC＝90°即可得到結(jié)論；
（4）過(guò)P作PG⊥y軸于G，證得△PAG≌△NDH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PG＝HN，AG＝HD，證得△PQG≌△NHQ，得到QG＝QH＝GH＝4即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）x2﹣2x+2＝x2﹣2x+1﹣1+2＝（x﹣1）2+1；
（2）∵a2﹣4a+20＝8b﹣b2，
∴（a﹣2）2+（b﹣4）2＝0，
∴a＝2，b＝4；
（3）AC＝AM，AC⊥AM．理由如下：
∵A（0，2），B（4，0），D（0，﹣6），
∴OA＝2，OD＝6，OB＝4，
∵AD＝OA+OD＝8，BC＝2OB＝8，
∴AD＝BC，
在△CAB與△AMD中，
，
∴△CAB≌△AMD（SAS），
∴AC＝AM，∠ACO＝∠MAD，
∵∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠MAD+∠CAO＝∠MAC＝90°，
∴AC＝AM，AC⊥AM；
（3）是定值，定值為4．理由如下：
由（2）知，AM＝AC＝AB＝DM，
∴∠ADM＝∠DAM，
∵∠DAM＝∠PAG，
∴∠PAG＝∠ADM
過(guò)P作PG⊥y軸于G，
在△PAG與△NDH中，
，
∴△PAG≌△NDH（AAS），
∴PG＝HN，AG＝HD，
∴AD＝GH＝8，
在△PQG與△NQH中，
，
∴△PQG≌△NHQ（AAS），
∴QH＝QG＝GH＝4，
【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，主要考查了考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考?jí)狠S題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/9/28 17:48:15；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號(hào)：36906111x
﹣2
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2
3
B＝x2﹣2x+2
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A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2
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B＝x2﹣2x+2
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A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2
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