[考情分析] 1.主要考查兩個計數(shù)原理、排列、組合的簡單應用，時常與概率相結合，以選擇題、填空題為主.2.二項式定理主要考查通項公式、二項式系數(shù)等知識，近幾年也與函數(shù)、不等式、數(shù)列交匯考查.3.概率重點考查古典概型、條件概率的基本應用．
考點一 排列與組合問題
核心提煉
解決排列、組合問題的一般過程
(1)認真審題，弄清楚要做什么事情；
(2)要做的事情是需要分步還是分類，還是分步分類同時進行，確定分多少步及多少類；
(3)確定每一步或每一類是排列(有序)問題還是組合(無序)問題，元素總數(shù)是多少及取出多少元素．
例1 (1)甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申請在國慶期間到A，B，C三個路口協(xié)助交警值勤，他們申請值勤路口的意向如下表：
這4名志愿者的申請被批準，且值勤安排也符合他們的意向，若要求A，B，C三個路口都要有志愿者值勤，則不同的安排方法有( )
A．14種 B．11種
C．8種 D．5種
答案 B
解析 由題意得，
以C路口為分類標準：C路口值勤分得人數(shù)情況有2種，兩個人或一個人，
若C路口值勤分得人數(shù)為2，丙、丁在C路口，那么甲、乙只能在A，B路口值勤，此時有兩種安排方法．
若C路口值勤分得人數(shù)為1，丙或丁在C路口，具體情況如下．
丙在C路口：
A(丁)B(甲乙)C(丙)；
A(甲丁)B(乙)C(丙)；
A(乙丁)B(甲)C(丙)．
丁在C路口：
A(甲乙)B(丙)C(丁)；
A(丙)B(甲乙)C(丁)；
A(甲丙)B(乙)C(丁)；
A(乙)B(甲丙)C(丁)；
A(乙丙)B(甲)C(丁)；
A(甲)B(乙丙)C(丁)．
所以一共有2＋3＋6＝11(種)安排方法．
(2)(2022·衡陽模擬)2022年2月4日，中國北京第24屆奧林匹克冬季運動會開幕式以二十四節(jié)氣的方式開始倒計時，創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾，某中學為了弘揚我國二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”、“驚蟄”、“清明”、“立夏”、“芒種”、“小暑”六張知識展板分別放置在六個并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“驚蟄”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有多少種？( )
A．192 B．240 C．120 D．288
答案 A
解析 由題意得，只考慮“立春”和“驚蟄”時，利用捆綁法得到Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(5,5)＝240(種)，
當“立春”和“驚蟄”相鄰，且“清明”與“驚蟄”也相鄰時，有2種排法，即“驚蟄”在中間，“立春”“清明”分布兩側，此時再用捆綁法，將三者捆在一起，即2Aeq \\al(4,4)＝48(種)，
所以最終滿足題意的排法為240－48＝192(種)．
規(guī)律方法 排列、組合問題的求解方法與技巧
(1)合理分類與準確分步；(2)排列、組合混合問題要先選后排；(3)特殊元素優(yōu)先安排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；(6)定序問題除法處理；(7)“小集團”排列問題先整體后局部；(8)正難則反，等價轉化．
跟蹤演練1 (1)2021年1月18號，國家航天局探月與航天工程中心表示，中國首輛火星車全球征名活動已經完成了初次評審．評審委員會遴選出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、風火輪、追夢、天行、星火共10個名稱，將其作為中國首輛火星車的命名范圍．某同學為了研究這些初選名稱的涵義，計劃從中選3個名稱依次進行分析，其中有1個是祝融，其余2個從剩下的9個名稱中隨機選取，則祝融不是第3個被分析的情況有( )
A．144種 B．336種
C．672種 D．1 008種
答案 A
解析 選取的3個名稱中含有祝融的共有Ceq \\al(2,9)種不同的情況．分析選取的3個名稱的不同情況有Aeq \\al(3,3)種，其中祝融是第3個被分析的情況有Aeq \\al(2,2)種，故祝融不是第3個被分析的情況有Ceq \\al(2,9)(Aeq \\al(3,3)－Aeq \\al(2,2))＝144(種)．
(2)(2022·廣東聯(lián)考)現(xiàn)要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去國家高山滑雪館、國家速滑館、首鋼滑雪大跳臺三個場館參加活動，要求每個場館都有人去，且這四人都在這三個場館，則甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺的種數(shù)為( )
A．12 B．14 C．16 D．18
答案 B
解析 因為甲和乙都沒去首鋼滑雪大跳臺，則安排方法分兩類：
若有兩個人去首鋼滑雪大跳臺，則肯定是丙、丁，即甲、乙分別去國家高山滑雪館與國家速滑館，
有Aeq \\al(2,2)＝2(種)；
若有一個人去首鋼滑雪大跳臺，從丙、丁中選，有Ceq \\al(1,2)＝2(種)，然后剩下的一個人和甲、乙被安排去國家高山滑雪館與國家速滑館，有Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)＝6(種)，則共有2×6＝12(種)．綜上，甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺的種數(shù)為12＋2＝14.
考點二 二項式定理
核心提煉
1．求二項展開式中特定項或項的系數(shù)問題的思路
(1)利用通項公式將Tk＋1項寫出并化簡．
(2)令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出k.
(3)代回通項公式即得所求．
2．對于兩個因式的積的特定項問題，一般對某個因式用通項公式，再結合因式相乘，分類討論求解．
例2 (1)(2022·新高考全國Ⅰ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為________(用數(shù)字作答)．
答案 －28
解析 (x＋y)8展開式的通項Tk＋1＝Ceq \\al(k,8)x8－kyk，k＝0,1，…，7,8.令k＝6，得T6＋1＝Ceq \\al(6,8)x2y6；令k＝5，得T5＋1＝Ceq \\al(5,8)x3y5，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為Ceq \\al(6,8)－Ceq \\al(5,8)＝－28.
(2)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,x4)))n的展開式中第四項的系數(shù)為120，所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為512，則實數(shù)a的值為________，展開式中的常數(shù)項為________．
答案 1 45
解析 因為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,x4)))n的展開式的所有項的二項式系數(shù)之和為2n，且奇數(shù)項和偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和相等，所以2n－1＝512，解得n＝10，
所以展開式中第四項T4＝Ceq \\al(3,10)x7eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x4)))3，
所以Ceq \\al(3,10)a3＝120，解得a＝1，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x4)))10的展開式的通項為
Tk＋1＝Ceq \\al(k,10)x10－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x4)))k＝Ceq \\al(k,10)x10－5k，
令10－5k＝0，解得k＝2，
所以展開式中的常數(shù)項為Ceq \\al(2,10)＝45.
易錯提醒 二項式(a＋b)n的通項公式Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk (k＝0,1,2，…，n)，它表示的是二項式的展開式的第k＋1項，而不是第k項；其中Ceq \\al(k,n)是二項式展開式的第k＋1項的二項式系數(shù)，而二項式的展開式的第k＋1項的系數(shù)是字母冪前的常數(shù)，要區(qū)分二項式系數(shù)與系數(shù)．
跟蹤演練2 (1)(2022·淄博模擬)若(1－x)8＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a8(1＋x)8，則a6等于( )
A．－448 B．－112 C．112 D．448
答案 C
解析 (1－x)8＝(x－1)8＝[(1＋x)－2]8
＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a8(1＋x)8，
a6＝Ceq \\al(2,8)×(－2)2＝112.
(2)已知(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，則下列結論正確的是________．
①展開式中各項系數(shù)和為1；
②展開式中所有項的二項式系數(shù)和為22 023；
③a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝－2；
④a0＋eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a2 023,22 023)＝0.
答案 ②③④
解析 令x＝1得a0＋a1＋…＋a2 023＝－1，
∴①錯誤；
二項式系數(shù)和為Ceq \\al(0,2 023)＋Ceq \\al(1,2 023)＋…＋Ceq \\al(2 023,2 023)＝22 023，
∴②正確；
令x＝0得a0＝1，
∴a1＋a2＋…＋a2 023＝－2，
∴③正確；
令x＝eq \f(1,2)有a0＋eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a2 023,22 023)＝0，
∴④正確．
考點三 概率
核心提煉
1．古典概型的概率公式
P(A)＝eq \f(事件A包含的樣本點數(shù),試驗的樣本點總數(shù)).
2．幾何概型概率公式
P(A)＝eq \f(構成事件A的區(qū)域長度?面積或體積?,試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度?面積或體積?)
3．條件概率公式
設A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，
則P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?).
例3 (1)(2022·新高考全國Ⅰ)從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質的概率為( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
答案 D
解析 從7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有Ceq \\al(2,7)＝21(種)取法，取得的2個數(shù)互質的情況有{2,3}，{2,5}，{2,7}，{3,4}，{3,5}，{3,7}，{3,8}，{4,5}，{4,7}，{5,6}，{5,7}，{5,8}，{6,7}，{7,8}，共14種，根據(jù)古典概型的概率公式，得這2個數(shù)互質的概率為eq \f(14,21)＝eq \f(2,3).
(2)(2022·臨沂模擬)甲和乙兩個箱子中各有質地均勻的9個球，其中甲箱中有4個紅球，2個白球，3個黑球，乙箱中有4個紅球，3個白球，2個黑球，先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，分別以A1，A2，A3表示從甲箱中取出的球是紅球、白球、黑球的事件，再從乙箱中隨機取出一球，以B表示取出的球是紅球的事件，則下列結論正確的是________．(填序號)
①A1，A2，A3兩兩互斥；②P(B|A2)＝eq \f(2,5)；
③P(B)＝eq \f(1,2)；④B與A1相互獨立．
答案 ①②
解析 A1，A2，A3中任何兩個事件都不可能同時發(fā)生，因此它們兩兩互斥，①正確；
P(B|A2)＝eq \f(P?BA2?,P?A2?)＝eq \f(\f(2,9)×\f(4,10),\f(2,9))＝eq \f(2,5)，②正確；
P(B)＝eq \f(4,9)×eq \f(5,10)＋eq \f(2,9)×eq \f(4,10)＋eq \f(3,9)×eq \f(4,10)＝eq \f(4,9)，③錯誤；
又P(A1)＝eq \f(4,9)，P(A1B)＝eq \f(4,9)×eq \f(5,10)＝eq \f(2,9)，
P(A1)P(B)＝eq \f(4,9)×eq \f(4,9)＝eq \f(16,81)，
∴P(A1B)≠P(A1)P(B)，
∴A1與B不相互獨立，④錯誤．
規(guī)律方法 求概率的方法與技巧
(1)古典概型、幾何概型、條件概率分別用各自的公式求解．
(2)根據(jù)事件間關系，利用概率的加法、乘法公式及對應事件的概率公式求解．
跟蹤演練3 (1)有一個底面圓的半徑為1, 高為2的圓柱，點O1，O2分別為這個圓柱上底面和下底面的圓心，在這個圓柱內隨機取一點P，則點P到點O1，O2的距離都大于1的概率為( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
答案 A
解析 由題設，到O1，O2的距離都大于1的部分為圓柱體去掉以底面為最大軸截面的兩個半球體，
所以到O1，O2的距離都大于1的部分的體積為V＝2π×12－eq \f(4,3)π×13＝eq \f(2π,3)，
故點P到點O1，O2的距離都大于1的概率P＝eq \f(\f(2π,3),2π)＝eq \f(1,3).
(2)(2022·莆田模擬)從0,1,2，…，9這十個數(shù)字中隨機抽取3個不同的數(shù)字，記A為事件：“恰好抽的是2,4,6”，記B為事件：“恰好抽取的是6,7,8”，記C為事件：“抽取的數(shù)字里含有6”．則下列說法正確的是( )
A．P(AB)＝P(A)P(B)
B．P(C)＝eq \f(1,10)
C．P(C)＝P(AB)
D．P(A|C)＝P(B|C)
答案 D
解析 由題知，從10個數(shù)中隨機地抽取3個數(shù)，共有Ceq \\al(3,10)＝120(種)可能情況，
對于A選項，“恰好抽的是2,4,6”和“恰好抽取的是6,7,8”為互斥事件，則P(AB)＝0，而P(A)P(B)≠0，故A選項錯誤；
對于B選項，P(C)＝eq \f(C\\al(2,9),C\\al(3,10))＝eq \f(36,120)＝eq \f(3,10)，故B選項錯誤；
對于C選項，P(AB)＝0，P(C)＝eq \f(3,10)，故C選項錯誤；
對于D選項，由于P(AC)＝P(BC)＝eq \f(1,C\\al(2,9))＝eq \f(1,36)，故由條件概率公式得P(A|C)＝P(B|C)，故D選項正確．
專題強化練
一、選擇題
1．(2022·福州質檢)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(1,\r(x))))6展開式中的常數(shù)項為( )
A．－540 B．－15 C．15 D．135
答案 D
解析 二項式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(1,\r(x))))6展開式的通項公式為
Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)(3x)6－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(x))))k
＝(－1)k·36－kCeq \\al(k,6)·，k≤6，k∈N，
由6－eq \f(3,2)k＝0，
解得k＝4，
則T5＝(－1)4×32×Ceq \\al(4,6)＝135，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(1,\r(x))))6展開式中的常數(shù)項為135.
2.(2022·玉林模擬)有詩云：“芍藥乘春寵，何曾羨牡丹．”芍藥不僅觀賞性強，且具有藥用價值．某地打造了以芍藥為主的花海大世界．其中一片花海是正方形，它的四個角的白色部分都是以正方形的頂點為圓心、正方形邊長的一半為半徑的圓弧與正方形的邊所圍成的(如圖所示)．白色部分種植白芍，中間陰影部分種植紅芍．倘若你置身此正方形花海之中，則恰好處在紅芍中的概率是( )
A．1－eq \f(π,4) B.eq \f(π,4)－eq \f(1,2) C.eq \f(π,2)－1 D.eq \f(π,4)
答案 A
解析 由題意，設正方形的邊長為2，可得以正方形的頂點為圓心的圓的半徑為r＝1，
可得正方形的面積為S＝2×2＝4，
陰影部分的面積為S1＝S－4×eq \f(1,4)πr2＝4－π，
根據(jù)面積比的幾何概型，可得恰好處在紅芍中的概率是P＝eq \f(S1,S)＝eq \f(4－π,4)＝1－eq \f(π,4).
3．池州九華山是著名的旅游勝地．天氣預報4月1日起連續(xù)4天，每天下雨的概率為0.6，現(xiàn)用隨機模擬的方法估計4天中恰有3天下雨的概率：在0～9十個整數(shù)值中，假定0,1,2,3,4,5表示當天下雨，6,7,8,9表示當天不下雨．在隨機數(shù)表中從某位置按從左到右的順序讀取如下20組四位隨機數(shù)：
據(jù)此估計4天中恰有3天下雨的概率為( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(2,5) C.eq \f(7,20) D.eq \f(9,20)
答案 B
解析 由表中數(shù)據(jù)可得4天中恰有3天下雨的有9533,9522,0018,0018,3281,8425,2436,0753，共8組，
所以估計4天中恰有3天下雨的概率為eq \f(8,20)＝eq \f(2,5).
4．(2022·荊州聯(lián)考)某人民醫(yī)院召開抗疫總結表彰大會，有7名先進個人受到表彰，其中有一對夫妻．現(xiàn)要選3人上臺報告事跡，要求夫妻兩人中至少有1人報告，若夫妻同時被選，則兩人的報告順序需要相鄰，這樣不同的報告方案共有( )
A．80種 B．120種
C．130種 D．140種
答案 D
解析 若夫妻中只選一人，
則有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,5)Aeq \\al(3,3)＝120(種)不同的方案；
若夫妻二人全選，且兩人報告順序相鄰，則有Ceq \\al(1,5)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)＝20種不同的方案，故總計有140(種)不同的方案．
5．(2022·惠州模擬)(a－x)(2＋x)6的展開式中x5的系數(shù)是12，則實數(shù)a的值為( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 C
解析 利用二項式定理展開得(a－x)(2＋x)6＝
(a－x)(Ceq \\al(0,6)26＋Ceq \\al(1,6)25x＋Ceq \\al(2,6)24x2＋Ceq \\al(3,6)23x3＋Ceq \\al(4,6)22x4＋Ceq \\al(5,6)2x5＋Ceq \\al(6,6)x6)，
則x5的系數(shù)為aCeq \\al(5,6)2－Ceq \\al(4,6)22＝12，∴a＝6.
6．(2022·新高考全國Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有( )
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
答案 B
解析 先將丙和丁捆在一起，有Aeq \\al(2,2)種排列方式，然后將其與乙、戊排列，有Aeq \\al(3,3)種排列方式，最后將甲插入中間兩空，有Ceq \\al(1,2)種排列方式，所以不同的排列方式共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)Ceq \\al(1,2)＝24(種)．
7．(2022·山東省實驗中學診斷)已知(a＋b)n的展開式中第五項的二項式系數(shù)最大，則n的所有可能取值的和為( )
A．15 B．16 C．17 D．24
答案 D
解析 若展開式中只有第五項的二項式系數(shù)最大，則eq \f(n,2)＋1＝5，解得n＝8；若展開式中第四項和第五項的二項式系數(shù)最大，則eq \f(n＋3,2)＝5，解得n＝7；若展開式中第五項和第六項的二項式系數(shù)最大，則eq \f(n＋1,2)＝5，解得n＝9.故n的所有可能取值的和為7＋8＋9＝24.
8．(2022·仙桃模擬)定義：eq \x\t(abcde)＝10 000a＋1 000b＋100c＋10d＋e(a，b，c，d，e∈Z) ，當a>bdbd

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