(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)設(shè)函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，試判斷F(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
思路分析
?求f′?x?，判斷f′?x?的符號(hào)
↓
?等價(jià)變形F?x?＝0，構(gòu)造新函數(shù)h?x?＝xsin x－excs x
↓
?分類討論h?x?的單調(diào)性
解 (1)函數(shù)f(x)＝eq \f(ex,x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，
f′(x)＝eq \f(exx－ex,x2)＝eq \f(ex?x－1?,x2)，
令f′(x)＝0，得x＝1.
當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)0，
h′(x)＝ex(sin x－cs x)＋(xcs x＋sin x)>0，
則h(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上單調(diào)遞增．
又heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝eq \f(π,2)>0，
heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)·eq \f(π,4)－eq \f(\r(2),2)· SKIPIF 1 < 0
所以h(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上存在一個(gè)零點(diǎn)．
綜上，h(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，
即F(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.
[子題1] (2021·全國(guó)甲卷改編)已知a>0且a≠1，函數(shù)f(x)＝eq \f(xa,ax)(x>0)，若曲線y＝f(x)與直線y＝1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．
解 f(x)＝eq \f(xa,ax)＝1?ax＝xa?xln a＝aln x?eq \f(ln x,x)＝eq \f(ln a,a)，
設(shè)函數(shù)g(x)＝eq \f(ln x,x)，
則g′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)，
令g′(x)＝0，得x＝e，
在(0，e)上，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；
在(e，＋∞)上，g′(x)

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