1. 的絕對值是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了絕對值的意義，根據(jù)絕對值的意義解答即可．
【詳解】解：的絕對值是2024，
故選：A．
2. 對稱是自然界和人類社會中普遍存在的形式之一，也是重要數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造中的重要美學(xué)因素，下列四幅圖是垃圾分類標(biāo)志圖案，則四幅圖案中是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念，先尋找對稱中心，再旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合，作出選擇即可．
【詳解】解：根據(jù)中心對稱圖形的概念對各圖形分析判斷：
A、是中心對稱圖形，故不符合題意；
B、不是中心對稱圖形，故符合題意；
C、不是中心對稱圖形，故不符合題意；
D、不中心對稱圖形，故不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查了中心對稱圖形的概念，熟記相關(guān)概念是解答本題的關(guān)鍵．
3. 如果反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則k的值是（ ）
A. 7B. 5C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】直接將點代入反比例函數(shù)解析式計算k的值即可．
【詳解】解：將點代入反比例函數(shù)得：，
解得，
故選D．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)的求解，方法為函數(shù)圖像上的點可代入解析式得到方程，正確的計算是解題的關(guān)鍵．
4. 如圖所示，與是位似圖形，點O為位似中心．若，的周長為3，則的周長為（ ）
A. 12B. 6C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)位似得出兩個三角形的相似比，再根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比解答即可．
【詳解】與是位似圖形，
，，
，
∵，
∴，
與的周長比是2，
由于的周長為3，
所以的周長為6，
故選：B．
【點睛】本題考查的是位似變換、相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長比等于相似比是解題的關(guān)鍵．
5. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用冪的乘方，積的乘方，單項式乘單項式，合并同類項法則，逐一進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、，選項錯誤，不符合題意；
B、，選項錯誤，不符合題意；
C、，選項錯誤，不符合題意；
D、，選項正確，符合題意；
故選D．
【點睛】本題考查冪的乘方，積的乘方，單項式乘單項式，合并同類項．熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．
6. 估計的值在（ ）
A. 4和5之間B. 5和6之間C. 6和7之間D. 7和8之間
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，估算無理數(shù)的大小，先根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行計算，并估算無理數(shù)的大小即可得出答案．
【詳解】解：
，
∵，
∴，
∴．
故選：B．
7. 將圖①中的正方形剪開得到圖②，圖②中共有4個正方形；將圖②中的一個正方形剪開得到圖③，圖③中共有7個正方形；將圖③中一個正方形剪開得到圖④，圖④中共有10個正方形……如此下去，則第9個圖中共有正方形的個數(shù)為（ ）
A. 19個B. 22個C. 25個D. 28個
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查圖形變化的規(guī)律．依次求出圖形中正方形的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律“正方形的個數(shù)依次增加3”即可解決問題．
【詳解】解：由所給圖形可知，
第①個圖形中正方形的總個數(shù)為：；
第②個圖形中正方形的總個數(shù)為：；
第③個圖形中正方形的總個數(shù)為：；
第④個圖形中正方形的總個數(shù)為：；
，
依次類推，第個圖形中正方形的總個數(shù)為個，
當(dāng)時，
（個，
即第9個圖形中正方形的總個數(shù)為25個．
故選：C．
8. 如圖，在中，M為弦AB上一點，且，連接，過M作交于點N，則的長為（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】過點O作于點C，連接，根據(jù)得出，根據(jù)垂徑定理可得，，設(shè)，根據(jù)勾股定理可得，最后根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：過點O作于點C，連接，
∵，
∴，則，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，
在中，根據(jù)勾股定理可得：，
在中，根據(jù)勾股定理可得：，
∴，
∵，
∴，
∴（負(fù)值舍去），
故選：C．
【點睛】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理的內(nèi)容，正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形，用勾股定理求解．
9. 如圖，在正方形的邊上取一點E，連接并延長交的延長線于點F，將射線繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后交的延長線于點G，連接，若，則的大小是（ ）
A. αB. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，由“”可證，可得，由“”可證，可得，由角的數(shù)量關(guān)系可求解．．
【詳解】解：在上截取，連接，
∵四邊形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵將射線繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后交的延長線于點G，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
10. 已知兩個分式：：將這兩個分式進(jìn)行如下操作：
第一次操作：將這兩個分式作和，結(jié)果記為；作差，結(jié)果記為；（即，
第二次操作：將，作和，結(jié)果記為；作差，結(jié)果記為；（即，
第三次操作：將，作和，結(jié)果記為；作差，結(jié)果記為；（即，（依此類推）
將每一次操作的結(jié)果再作和，作差，繼續(xù)依次操作下去，通過實際操作，有以下結(jié)論：
①；②當(dāng)時，；③在第為正整數(shù)）次和第次操作的結(jié)果中：為定值；④在第為正整數(shù)）次操作的結(jié)果中：，．
以上結(jié)論正確的個數(shù)有（ ）個．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用第一次、第二次、第三次操作，找到規(guī)律，然后判斷即可．本題考查的分式的和與差，解題的關(guān)鍵是細(xì)心運(yùn)算，找到數(shù)字規(guī)律．
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
，
可知，故選項①正確；
當(dāng)時，，故選項②不正確；
當(dāng)時，不是定值，故選項③不正確；
，
，
，
，
，
，
，
故選項④正確，
故選：B．
二．填空題（共8小題，每小題4分，共32分）
11. 計算：_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查的是實數(shù)的運(yùn)算，先分別根據(jù)零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計算法則及特殊角的三角函數(shù)值計算出各數(shù)，再根據(jù)實數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計算即可．
【詳解】解：
．
故答案為：．
12. 若正n邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)均為．則n的值是_______．
【答案】9
【解析】
【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式以及正多邊形的性質(zhì)，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式結(jié)合“正n邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)均為”，列式計算，即可作答．
【詳解】解：∵正n邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)均為
∴
解得
故答案：9．
13. 近期，我國多地出現(xiàn)了因肺部感染支原體病毒爆發(fā)的支原體肺炎流感．現(xiàn)有一個人因感染了支原體病毒，感冒發(fā)燒，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人被感染，則每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)是 _______人．
【答案】12
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)是x人，則第一輪傳染中有x人被傳染，第二輪傳染中有人被傳染，根據(jù)題意可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)是x人，則第一輪傳染中有x人被傳染，
根據(jù)題意得：，
整理得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
∴每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)是12人，
故答案為：12．
14. 盒子里裝4張形狀、大小、質(zhì)地完全相同的卡片，上面分別標(biāo)著數(shù)字，，、，從中隨機(jī)抽出一個后放回，再隨機(jī)抽出一個，則兩次抽出的卡片上的數(shù)字都是同類二次根式的概率為__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先把和化為最簡二次根式，然后再用列表法，結(jié)合同類二次根式的定義，得出共有種等可能情況，其中兩次抽出的卡片上的數(shù)字都是同類二次根式的有種，再根據(jù)概率公式計算即可．
【詳解】解：∵，，
列表圖如下：
共有種等可能情況，其中兩次抽出的卡片上的數(shù)字都是同類二次根式的有種，
∴兩次抽出的卡片上的數(shù)字都是同類二次根式的概率為．
故答案為：
【點睛】本題考查了用列表法求概率、概率公式、同類二次根式，解本題的關(guān)鍵在找出所有等可能情況和所求情況數(shù)．
15. 如圖，在中，點E為的中點，點F為上一點，與相交于點H．若，，，則的長為____．
【答案】20
【解析】
【分析】延長交的延長線于點G．證明，得出，求出，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得出，代入求出結(jié)果即可．
【詳解】如圖，延長交的延長線于點G．
四邊形為平行四邊形，
．
，．
點E為邊的中點，
．
在和中，，
，
．
，，
．
，
．
，
，即，
解得．
【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證明．
16. 如圖，半徑為5的扇形中，，點C在上，點E在上，點D在弧上，四邊形是正方形，則圖中陰影部分的面積為________．

【答案】
【解析】
【分析】連接，交于點F．由正方形的性質(zhì)得出，．即根據(jù)扇形面積公式求出扇形的面積即可．
【詳解】如圖，連接，交于點F．

∵四邊形是正方形，
∴，，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，扇形的面積公式．理解是解題關(guān)鍵．
17. 若關(guān)于x的一元一次不等式組，至少有2個整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是___________．
【答案】4
【解析】
【分析】先解不等式組，確定a的取值范圍，再把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，解得，由分式方程有正整數(shù)解，確定出a的值，相加即可得到答案．
【詳解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式的解集為，
∵不等式組至少有2個整數(shù)解，
∴，
解得：；
∵關(guān)于y的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，
∴
解得：，
即且，
解得：且
∴a的取值范圍是，且
∴a可以?。?，3，
∴，
故答案為：4．
【點睛】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
18. 對于一個四位自然數(shù)，如果滿足各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同且均不為0，它的千位數(shù)字與個位數(shù)字之和等于百位數(shù)字與十位數(shù)字之和，那么稱這個數(shù)為“平衡數(shù)”．對于一個“平衡數(shù)”，從千位數(shù)字開始順次取出三個數(shù)字構(gòu)成四個三位數(shù)，把這四個三位數(shù)的和與222的商記為．例如：，因為，所以1526是一個“平衡數(shù)”，從千位數(shù)字開始順次取出三個數(shù)字構(gòu)成的四個三位數(shù)分別為152、526、261、615，這四個三位數(shù)的和為：，，所以．若是最大的“平衡數(shù)”，則______；若都是“平衡數(shù)”，其中，，（，，，，都是整數(shù)），規(guī)定：，當(dāng)是一個完全平方數(shù)時，則的最小值為_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本題考查了新定義問題，一定要認(rèn)真讀題，理解“平衡數(shù)”的定義，并用來解決問題，找出平衡數(shù)中各數(shù)字之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．理解“平衡數(shù)”的定義，寫出最大的平衡數(shù)，并根據(jù)的定義計算即可；根據(jù)的定義求出，，根據(jù)計算即可．
【詳解】解：根據(jù)如果n滿足各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同且均不為0，它的千位數(shù)字與個位數(shù)字之和等于百位數(shù)字與十位數(shù)字之和，那么稱這個數(shù)n為“平衡數(shù)”．
∴最大的平衡數(shù)為，
∴；
由題意得：，
∴，
∵s是平衡數(shù)，
∴
∴
同理，，
∵t都是平衡數(shù)，
∴，
∴
∵，，，，
∴，
∴
∴
∴
同理可得，
∴
∴
∵是一個完全平方數(shù)，
∴，
∵，，
∴，或，
當(dāng)，時，
∴
當(dāng)，時，
∴
∵
∴k的最小值為．
故答案為：，
三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線）．請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．
19. 計算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算、分式的乘除混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）先運(yùn)用完全平方公式以及單項式乘多項式 展開，再合并同類項，即可作答．
（2）先通分括號內(nèi)，再運(yùn)算除法，即可作答．
【小問1詳解】
解：
；
【小問2詳解】
解：
．
20. 如圖，在四邊形中，，．

（1）尺規(guī)作圖：在上截取，連接，作的角平分線，分別交于點F、G，連接．（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）所作圖形中，求證：．（請補(bǔ)全下面的證明過程，不寫證明理由）
證明：∵是的角平分線，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴，
∴ ，
又∵，
∴ ，
∴四邊形是平行四邊形，
∴．
【答案】（1）圖形見解析
（2），，，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖的基本要求，規(guī)范作圖解答即可．
（2）根據(jù)作圖，結(jié)合平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等量代換解答即可．
本題考查了基本作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握基本作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
根據(jù)題意，作圖如下：
．
【小問2詳解】
證明：∵是的角平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴．
21. 熊貓作為我國獨有的珍稀動物，因其萌態(tài)可掬深受全世界人們的喜愛．成都大熊貓繁育研究基地的“和花、和葉”，重慶動物園的“渝可、渝愛”，北京動物園的“萌蘭”等被稱為“熊貓界的頂流”倍受人們的關(guān)注．某校舉辦了“珍愛自然，珍愛熊貓，共創(chuàng)美好家園”的知識競賽，從該校七、八年級中各隨機(jī)抽取10名學(xué)生的成績（百分制，單位：分）進(jìn)行整理、描述和分析（成績得分用表示，共分成四組；；；）．下面給出了部分信息：
七年級10名學(xué)生的成績是：82，86，87，88，89，93，93，94，98，100．
八年級10名學(xué)生的成績在組中的數(shù)據(jù)是：91，94，93，92．
八年級抽取的學(xué)生成績扇形統(tǒng)計圖：
七、八年級抽取的學(xué)生成績統(tǒng)計表：
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）填空： ， ， ；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)．你認(rèn)為該校七年級和八年級中哪個年級學(xué)生掌握知識較好？請說明理由（一條即可）；
（3）已知該校七年級有800人，八年級有900人參加了此次知識競賽活動，請估計兩個年級參加競賽活動的成績不低于90分的共有多少人？
【答案】（1），，；
（2）八年級學(xué)生掌握知識較好，理由見解答（答案不唯一）；
（3）兩個年級參加競賽活動的成績不低于90分的共有人．
【解析】
【分析】本題考查用樣本估計總體、扇形統(tǒng)計圖、中位數(shù)、眾數(shù)的意義和計算方法，以及利用方差作決策，從統(tǒng)計圖表中獲取數(shù)量之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可；
（2）根據(jù)平均數(shù)、方差的意義求解即可（答案不唯一）；
（3）總?cè)藬?shù)乘以樣本中成績不低于90分的人數(shù)所占比例得到七、八年級各自成績不低于90分的人數(shù)，再相加即可解題．
【小問1詳解】
解：由題知，八年級組所占百分比為：．
八年級組所占百分比為：，
，
七年級10名學(xué)生的成績中出現(xiàn)次數(shù)最多，
，
由中位數(shù)定義可知；
故答案為：，，；
【小問2詳解】
解：八年級學(xué)生掌握知識較好，
由表格知，八年級學(xué)生成績的平均數(shù)與七年級相等，而八年級學(xué)生成績的方差小于七年級，所以八年級學(xué)生成績更加穩(wěn)定（答案不唯一）；
【小問3詳解】
解：七年級成績不低于90分的有：（人）；
八年級成績不低于90分的：（人）；
（人）；
答：兩個年級參加競賽活動的成績不低于90分的共有人．
22. 某家具生產(chǎn)車間有名工人生產(chǎn)家用餐桌和椅子，張桌子和把椅子配成一套．已知一名工人一天可以生產(chǎn)張桌子或把椅子．
（1）分別安排多少名工人生產(chǎn)桌子和椅子可使一天生產(chǎn)的桌椅正好配套？
（2）今年一套餐桌的成本比去年提高了，去年總投入了萬元，今年投入的比去年多10萬元，結(jié)果生產(chǎn)的餐桌比去年少套，則今年的成本是每套多少萬元？
【答案】（1）安排名工人生產(chǎn)桌子，名工人生產(chǎn)椅子可使一天生產(chǎn)的桌椅正好配套；
（2）今年的成本定每套萬元．
【解析】
【分析】（）設(shè)安排名工人生產(chǎn)椅子，則安排名工人生產(chǎn)椅子，根據(jù)題意列出一元一次方程，然后求解即可；
（）設(shè)去年的成本是每套萬元，則今年的成本是每套萬元，根據(jù)題意列分式方程，解方程并檢驗即可；
本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解清楚題意，找到其中的等量關(guān)系列出方程．
【小問1詳解】
設(shè)安排名工人生產(chǎn)椅子，則安排名工人生產(chǎn)椅子，
由題意得，
解得：，
∴，
答：安排名工人生產(chǎn)桌子，名工人生產(chǎn)椅子可使一天生產(chǎn)的桌椅正好配套；
【小問2詳解】
設(shè)去年的成本是每套萬元，則今年的成本是每套萬元 ，
根據(jù)題意得，
解得： ，
經(jīng)檢驗，是原分式方程的解 ，
∴，
答： 今年的成本定每套萬元．
23. 如圖，菱形的面積為24，對角線，動點E，F(xiàn)分別以每秒1個單位長度的速度同時從點A出發(fā)，點E沿折線方向運(yùn)動，點F沿折線著方向運(yùn)動，當(dāng)兩者相遇時停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為x秒，點E，F(xiàn)的距離為y．

（1）請直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式并注明自變量x的取值范圍；
（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出當(dāng)時x的取值范圍．
【答案】（1）
（2）畫函數(shù)圖象見解析，當(dāng)時，y隨x的增大而增大；當(dāng)時，y隨x的增大而減小
（3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，得出總的運(yùn)動時間為10秒，分兩種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可；
（2）在直角坐標(biāo)系中描點連線即可，再根據(jù)函數(shù)的增減性即可得出其性質(zhì)；
（3）結(jié)合圖象利用分別求解即可．
【小問1詳解】
連接交于，
在菱形中，菱形的面積為24，對角線，
，
，，
，
總的運(yùn)動時間為： 秒），
連接，
當(dāng)點在上，點在上運(yùn)動時，由題意是等腰三角形，
即時，由，
，，
，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)點在上，點在上運(yùn)動時，是等腰三角形，
即時，由，
同理，
，
，
，
綜上所述；
【小問2詳解】
函數(shù)圖象如圖：

當(dāng)時，隨的增大而增大；
當(dāng)時，隨的增大而減小；
【小問3詳解】
當(dāng)時的取值范圍為：或．
【點睛】此題是四邊形綜合題，考查了動點問題，一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)及等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確理解動點問題是解題的關(guān)鍵．
24. 如圖，一貨船從港口A出發(fā)，以40海里/小時的速度向正北方向航行，經(jīng)過1小時到達(dá)B處，測得小島C在B的東北方向，且在點A的北偏東方向．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）
（1）求的距離（結(jié)果保留整數(shù)）；
（2）由于貨船在B處突發(fā)故障，于是立即以30海里/小時的速度沿趕往小島C維修，同時向維修站D發(fā)出信號，在D處的維修船接到通知后立即準(zhǔn)備維修材料，之后以50海里/小時的速度沿前往小島C，已知D在A的正東方向上，C在D的北偏西方向，通知時間和維修船準(zhǔn)備材料時間一共6分鐘，請計算說明維修船能否在貨船之前到達(dá)小島C．
【答案】（1）的距離為77海里
（2）維修船能在貨船之前到達(dá)小島C
【解析】
【分析】（1）過C作交延長線于M，由題意可得，設(shè)，則，通過勾股定理和三角函數(shù)進(jìn)行列方程求解即可；
（2）結(jié)合三角函數(shù)和平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解并比較即可得到解答．
【小問1詳解】
過C作交延長線于M，
由題意得，海里，
由題意得，在中，，
∴，
設(shè) ，則，
在中，，
∴，
解得，
∴海里，
在中，，
∴海里；
【小問2詳解】
∵海里，
∴海里，
∵，
∴，
∴，
∴海里，
∵，，
∴，
∴，
∴海里，
貨船從B到C用時：（小時），
∵6分鐘小時，
∴（小時）
∴（海里），
∵（海里），
∴能在貨船之前到達(dá)小島C．
【點睛】本題考查了三角函數(shù)的綜合、勾股定理的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用和平行線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵．
25. 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過，與軸交于點、點，與軸交于點．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖1，連接，點為拋物線上之間的一個動點，過點作軸交于點，過點作交直線于點，求的最大值，并求出此時點的坐標(biāo)；
（3）如圖2，將原拋物線沿射線方向平移個單位得到新拋物線，點為新拋物線的對稱軸與軸的交點，連接，點為新拋物線對稱軸右側(cè)平面內(nèi)一點，當(dāng)與相似時，請直接寫出所有滿足條件的點坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）的最大值為，點P的坐標(biāo)為，
（3）點Q的坐標(biāo)是或或
【解析】
【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法解答即可；
（2）設(shè)點P的坐標(biāo)是，其中，得到，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可得到答案；
（3）分兩種情況分別畫圖，進(jìn)行解答即可．
【小問1詳解】
解：將、點代入函數(shù)解析式得到，
，
解得，
∴
【小問2詳解】
當(dāng)，，
當(dāng)，，解得或，
∴點A點的坐標(biāo)是，
設(shè)直線的解析式為，
∴
∴，
∴直線的解析式為
同理可得的解析式為
設(shè)點P的坐標(biāo)是，其中
∵軸，
∴
∵
∴，
∴，
∴
當(dāng)時，由最大值，
此時點P的坐標(biāo)為，
【小問3詳解】
直線的解析式為
∴
∵原拋物線沿射線方向平移個單位得到新拋物線，
∴原拋物線沿y軸正方向平移，沿x軸正方向平移
∴，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∴，
∵，
∴
∴直角三角形，
∴，
設(shè)點Q的坐標(biāo)為，
當(dāng)時，如圖1，過點D作軸于點F，過點Q作軸于點E，

∴，
∴，
∴
解得
∴點Q的坐標(biāo)是
∴，
∴
解得
∴點Q的坐標(biāo)是
當(dāng)時，如圖2，過點D作軸于點M，過點Q作于點G，

∴，
∴，
∴
解得
∴點Q的坐標(biāo)是
當(dāng)時，
解得
∴點Q坐標(biāo)是（不合題意，舍去）
綜上可知，點Q坐標(biāo)是或或
26. 如圖，在中，，點是射線上一動點，為射線上一動點．
（1）如圖1，當(dāng)在線段上，且，連接，，過點作于點，，求線段的長．
（2）如圖2，當(dāng)，連接并延長到，使，連接．請猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
（3）如圖3，若，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，若為的中點，為平面內(nèi)任意一點，把沿直線翻折后得到，當(dāng)最小時，求點到的距離．
【答案】（1）
（2），理由見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）求出，由求出，利用即可求出答案；
（2）連接，過點F作交的延長線于點G，證明，則，證明，則，進(jìn)一步得到是等腰直角三角形，即可得到結(jié)論；
（3）以點C為坐標(biāo)原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，得到，過點A作軸，過點D作于點M，過點作于點N，證明，得到，證明點在直線上，作點A關(guān)于直線的對稱點，連接，得到，得到，則在以點F為圓心，4為半徑的圓上，當(dāng)三點共線時，最小，進(jìn)一步求解即可．
【小問1詳解】
解：∵在中，，，，
∴
∴，
∵
∴
∴，
∴,
∵
∴
∵，
∴
∴
【小問2詳解】
，理由如下；
如圖2，連接，過點F作交的延長線于點G，
∵，
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
【小問3詳解】
以點C為坐標(biāo)原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
∵
∴
過點A作軸，過點D作于點M，過點作于點N，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴點的橫坐標(biāo)為
∴點在直線上，
作點A關(guān)于直線的對稱點，連接，
∴，
∵F是的中點，
∴，
∵沿直線翻折后得到，
∴，
∴在以點F為圓心，4為半徑的圓上，
當(dāng)三點共線時，最小，
設(shè)直線的解析式為，
∵，
∴
解得
∴直線的解析式為，
設(shè)點的坐標(biāo)為，
∴,
即
解得，，
∴點的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的解析式為，
∵，
∴
解得
∴直線的解析式為，
過點作直線的平行線
∴
解得，
∴解析式為，
則平行直線與y軸交點為，
∴
過點G作于點H，
∵
∴,
∴，
解得，，
∴點到直線的距離為
【點睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)等知識，準(zhǔn)確添加輔助線和數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵．和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
七年級
91
91

29.8
八年級
91

95
17.8

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