重慶市萬州國本中學校2023-2024學年九年級下學期入學考試數(shù)學試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

（全卷共三個大題，滿分150分，考試時間120分鐘）
一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）
1. 若數(shù)a的平方等于，那么數(shù)a可能是（）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查平方根，熟練掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵，根據(jù)已知條件計算的平方根即可得到a的值，從而得到答案．
【詳解】解：∵的平方等于，
∴為的平方根，
∵的平方根為，
∴，
故選：C．
2. 使得有意義的b的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】二次根式有意義即根式下的數(shù)要大于或等于0，據(jù)此條件列出不等式，即可得解．
【詳解】∵二次根式有意義，
∴，解得，
即b的取值范圍為：，
故選：D．
【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件及解不等式的知識，熟練掌握二次根式有意義的條件是解答本題的關(guān)鍵．
3. 若兩個相似三角形的相似比是，則這兩個三角形的周長比是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)“相似三角形的周長比等于相似比”解答即可．
【詳解】解：兩個相似三角形的相似比是，
這兩個三角形的周長比是，
故選：B．
4. 估計的值在（）
A. 0和1之間B. 1和2之間
C. 2和3之間D. 3和4之間
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查無理數(shù)的估算，先估算的大小，再利用不等式的基本性質(zhì)解答．
【詳解】解：，，
，
，
，
故選C．
5. 一次函數(shù)y＝kx＋b，y隨x的增大而減小，且kb＞0，則在直角坐標系內(nèi)它的大致圖象是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)函數(shù)為減函數(shù)判斷出k＜0，再根據(jù)kb＞0判斷出b＜0，再根據(jù)一次函數(shù)圖象的特點解答即可．
【詳解】解：∵一次函數(shù)y＝kx＋b，y隨x的增大而減小，
∴k＜0，
又∵kb＞0，∴b＜0，
∴函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限．
故選：C．
【點睛】主要考查了一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它的性質(zhì)才能靈活解題．一次函數(shù)的圖象是一條直線，當k＞0時，y隨x的增大而增大；當k＜0時，y隨x的增大而減?。?br>一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象有四種情況：
①當k＞0，b＞0，函數(shù)y＝kx＋b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限；
②當k＞0，b＜0，函數(shù)y＝kx＋b的圖象經(jīng)過第一、三、四象限；
③當k＜0，b＞0時，函數(shù)y＝kx＋b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限；
④當k＜0，b＜0時，函數(shù)y＝kx＋b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限．
6. 如圖，在中，對角線，相交于點O，若添加一個條件，使得一定為菱形，該條件是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定方法一一判斷即可．
【詳解】解：A. ，可以判斷平行四邊形是矩形，不能判斷是菱形，故該選項錯誤；
B. ，可以判斷平行四邊形是矩形，不能判斷是菱形，故該選項錯誤；
C. ，可以判斷平行四邊形是菱形；
D. ，只能推出，無法判定是菱形．
故選C．
【點睛】此題主要考查了菱形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法：①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四條邊都相等的四邊形是菱形；③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．
7. 平面直角坐標系中，A、B、C三點坐標分別為，，，以這三點為平行四邊形的三個頂點，則第四個頂點不可能在（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，判定點所在象限，畫出圖形是解題的關(guān)鍵，注意分類討論．
根據(jù)題意畫出圖形，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意畫出圖形：
、、三點位置如圖所示，要使四邊形為平行四邊形，
則點有三種可能，
即分別以、、為對角線的平行四邊形，
第四個頂點不可能在第一象限．
故選：A．
8. 如圖，過上一點P的切線與直徑AB的延長線交于點C，點D是圓上一點，且，則的度數(shù)為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理．
連接，由圓周角定理得出，再由切線的性質(zhì)得，即可由三角形內(nèi)角和定理求解．
【詳解】解：如圖，連接，
∴
∵是的切線，
∴
∴
∴
故選：A．
9. 如圖，矩形中，，點是上的一點，，的垂直平分線交的延長線于點，連接交于點，若是的中點，則的長是（）
A. B. 12C. 10D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)線段中點的性質(zhì)可得，然后利用“角邊角”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，設(shè)，表示出，再利用勾股定理列式求，然后表示出，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得，然后列出方程求出x的值，從而求出，再根據(jù)矩形的對邊相等可得．
【詳解】解：∵矩形中，G是的中點，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
設(shè)，
則，
在中，
，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
解得，
經(jīng)檢驗：是方程的解，
∴，
∴．
故選D．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．
10. 對于以下式子：，下列說法正確的有（）
（1）如果．則無論y取何常數(shù)，A，B，C，D調(diào)整順序后可組成一列數(shù)，這列數(shù)后項減去前項的差均相等；
（2）代數(shù)式一定是非負數(shù)；
（3）如果A為第1項，B為第2項，C為第3項，第1項與第2項的和減去第3項的結(jié)果為第4項，第2項與第3項的和減去第4項的結(jié)果為第5項，……，依此類推，則第2024項為．
A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)題意進行計算求解判斷即可．
【詳解】解：（1）當時，，，，，
當排列為時，，故（1）正確；
（2）
∵，
∴代數(shù)式一定是非負數(shù)，故（2）正確；
（3）這列數(shù)為：，，，，，，，，，，??
兩個為一組，每組中的系數(shù)都為1，的系數(shù)互為相反數(shù)，且絕對值一次增加3，
∴第2024項為，故（3）正確；
故選：D
二、填空題（共8小題）
11. 計算__________．
【答案】1
【解析】
【分析】本題涉及零指數(shù)冪、負指數(shù)冪、二次根式化簡3個考點．在計算時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果．
【詳解】解：原式
故答案為：1
【點睛】本題主要考查了實數(shù)綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、二次根式、絕對值等考點的運算．
12. 已知a是方程的一個實數(shù)根，則的值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的解，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到，再把變形為，然后利用整體代入的方法計算．
【詳解】解：是方程的一個實數(shù)根，
，
即，
∴
故答案為：．
13. 從，0，這三個數(shù)中，任取兩個不同的數(shù)分別作為，的值，恰好使得關(guān)于的方程有實數(shù)解的概率為_______．
【答案】
【解析】
【分析】先畫出樹狀圖，然后利用，找到符合條件的情況，然后根據(jù)概率公式計算即可．
【詳解】解：畫樹狀圖如下：
從三個數(shù)中任取兩個數(shù)共有6種等可能的情況，
∵方程有實數(shù)根，
∴△＝，
∴當a＝-2，b＝0時，，
當a＝-2，b＝2時，，
當a＝0，b＝-2時，，
當a＝0，b＝2時，，
當a＝2，b＝-2時，，
當a＝2，b＝0時，，
即使得方程有實數(shù)解的情況有4種，
∴使得方程有實數(shù)解的概率為：，
故答案為：．
【點睛】本題考查概率公式的應(yīng)用、一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是綜合運用相關(guān)知識解題．
14. 據(jù)統(tǒng)計，沙坪壩區(qū)磁器口2023年國慶接待游客約91萬人次，2021年國慶接待游客約50萬人次，若設(shè)2021年國慶至2023年國慶，磁器口接待游客的年平均增長率為x，根據(jù)題意，可列方程為___________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．利用2023國慶待游客人次數(shù)年國慶接待游客人次數(shù)年均增長率，即可列出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：．
故答案為：．
15. 如圖，在中，，的平分線交邊于點D，于點E，點F在邊上，若，，則線段AB的長是___________．
【答案】9
【解析】
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，先由角平分線的性質(zhì)得到，再證明得到，進一步證明，得到，則．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，的平分線交邊于點D，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：9．
16. 如圖，在矩形中，，，以點A為圓心，的長為半徑畫弧交邊于點E，則圖中陰影部分的面積是___________．（結(jié)果保留π）
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了扇形的面積的計算及矩形的性質(zhì)，用矩形的面積減去扇形的面積即可求得陰影部分的面積．
【詳解】在矩形中，，，
，
，
在中
，
，
，
，
，
，
，
故答案：
17. 若關(guān)于的不等式組有且僅有4個整數(shù)解，且關(guān)于的分式方程有非負整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是________．
【答案】4
【解析】
【分析】本題考查解不等式組和解分式方程，先解不等式組，解得取的整數(shù)，再解分式方程，根據(jù)分式方程的解，確定的取值范圍，最后綜合兩個的取值范圍，即可解題．
【詳解】解：
整理得，
不等式組有且僅有4個整數(shù)解，
，整理得，
又，
，
，
整理得，
關(guān)于的分式方程有非負整數(shù)解，
有，解得，即，故，
，整理得，且為2的倍數(shù)，為整數(shù)，
綜上所述，可取，，
則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是，
故答案為：4．
18. 一個四位正整數(shù)M，如果千位數(shù)字與十位數(shù)字之和的兩倍等于百位數(shù)字與個位數(shù)字之和，則稱M為“共進退數(shù)”，并規(guī)定等于M的前兩位數(shù)所組成的數(shù)字與后兩位數(shù)所組成的數(shù)字之和，等于M的前兩位數(shù)所組成的數(shù)字與后兩位數(shù)所組成的數(shù)字之差，如果，那么M各數(shù)位上的數(shù)字之和為______；有一個四位正整數(shù)(，，，且為整數(shù))是一個“共進退數(shù)”，且是一個平方數(shù)，是一個整數(shù)，則滿足條件的數(shù)N是______．
【答案】 ①. 15 ②. 1125
【解析】
【分析】本題考查整式的加減，一元一次方程的應(yīng)用，解不等式組等知識，由四位正整數(shù)M為“共進退數(shù)”推出，由推出，從而解得，，繼而得解；由推出N的各位數(shù)字，繼而表示出與，由是一個“共進退數(shù)”推出，利用是一個平方數(shù)推出，從而得到z的值和，從而利用是整數(shù)求出x，從而得解．推導(dǎo)出與是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)M的千位數(shù)字是a，百位數(shù)字是b，十位數(shù)字是c，個位數(shù)字是d，則，
∵四位正整數(shù)M為“共進退數(shù)”，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，即M各數(shù)位上的數(shù)字之和為15．
∵，
即N的千位數(shù)字是，百位數(shù)字是1，十位數(shù)字是y，個位數(shù)字是，
∴，
，
又∵是一個“共進退數(shù)”，
∴，
化簡得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
又∵是一個平方數(shù)，，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，，
解得：，
∴，
∴，
又∵是整數(shù)，
∴是7的倍數(shù)，
∴x=0，，
∴．
故答案為：15；1125．
三、解答題（共6小題）
19. 計算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)單項式乘以多項式，平方差公式以及整式的加減計算法則求解即可；
（2）先計算小括號內(nèi)的分式運算，然后計算分式的除法即可．
【小問1詳解】
解：原式
；
【小問2詳解】
解：原式
．
【點睛】本題主要考查了整式的混合運算，分式的混合運算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．
20. 學習了平行四邊形后，小慶進行了拓展性探究．他發(fā)現(xiàn)，過一個頂點同時向平行四邊形的兩邊作垂線段，如果這兩條垂線段相等，那么這個平行四邊形是菱形．其解決問題的思路是通過證明平行四邊形的一組鄰邊所在的三角形全等即可得出結(jié)論．
請根據(jù)他的思路完成以下作圖和填空．
用直尺和圓規(guī)，過點C作邊上的垂線，垂足為點F．（只保留作圖痕跡）
已知：如圖，在中，于點E，于點F，．
求證：四邊形是菱形．
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴①．
又∵，，
∴．
又∵②，
∴③
∴④．
又∵四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是菱形．
【答案】圖見解析，①；②；③；④
【解析】
【分析】本題考查的作已知直線的垂線，菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，先作線段的垂線，再根據(jù)推理步驟逐一填寫推理過程與推理依據(jù)即可．
【詳解】證明：如圖，即為所求，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是菱形．
21. 為了激發(fā)同學們對古詩詞學習的興趣，2023年9月我市某中學開展了“課外古詩詞賞析比賽”．為了解學生課外古詩詞的學習情況，現(xiàn)從該校七、八年級中各隨機抽取10名學生的比賽成績（成績?yōu)榘俜种?，學生得分均為整數(shù)且用x表示，）進行整理、描述和分析，并將其共分成四組：A：，B：，C：，D：）下面給出了部分信息：
七年級10名學生的比賽成績是：84，85，86，88，89，95，96，99，99，99．
八年級10名學生的比賽成績在C組中的數(shù)據(jù)是：90，94，94．
七、八年級抽取的學生比賽成績統(tǒng)計表
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）______，______，______；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為該校七、八年級中哪個年級學生古詩詞掌握得較好？請說明理由（一條理由即可）；
（3）該校七年級有1420名學生、八年級有1300名學生參加了此次“課外古詩詞賞析比賽”，請估計參加此次比賽成績不低于90分的學生人數(shù)是多少？
【答案】（1）40，94，99
（2）八年級學生的古詩詞掌握得較好．理由：從平均數(shù)看，七、八年級平均分相同；從中位數(shù)看，八年級中位數(shù)高于七年級；從眾數(shù)看，八年級中位數(shù)高于七年級，所以八年級學生的古詩詞掌握得較好．
（3）1620人
【解析】
【分析】本題考查了統(tǒng)計表與扇形統(tǒng)計圖，中位數(shù)與眾數(shù)以及做決策、用樣本估計總體．
（1）先利用扇形統(tǒng)計圖求出八年級組的人數(shù)，進而求出的值；再利用中位數(shù)和眾數(shù)的定義，求出、的值；
（2）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)進行分析即可；
（3）用七、八年級學生人數(shù)分別乘以比賽成績不低于90分的學生人數(shù)的占比，即相加即可得出答案．
【小問1詳解】
解：八年級組的人數(shù)為：人，
，
，
八年級抽取的學生的比賽成績中，排在第五、六名的成績?yōu)?、?br>，
七年級抽取的學生的比賽成績中，出現(xiàn)的次數(shù)最多，
，
故答案：40，94，99；
【小問2詳解】
解：八年級學生的古詩詞掌握得較好．
理由：從平均數(shù)看，七、八年級平均分相同；從中位數(shù)看，八年級中位數(shù)高于七年級；從眾數(shù)看，八年級中位數(shù)高于七年級，所以八年級學生的古詩詞掌握得較好．
【小問3詳解】
解：人，
即參加此次比賽成績不低于90分的學生人數(shù)大約是人．
22. 山城步道是重慶的特色，市民可以在步道里面休閑、運動，享受美好生活．半山崖線步道沙坪壩段全長2000米，由甲、乙兩個工程隊合作完成，甲工程隊修建的步道長度比乙工程隊修建的步道長度的2倍少400米．
（1）求甲、乙兩工程隊各修建步道多少米？
（2）實際修建過程中，甲工程隊每天比乙工程隊多修5米，最終甲工程隊完成任務(wù)時間是乙工程隊完成任務(wù)時間的倍，則甲工程隊每天修建步道多少米？
【答案】（1）甲工程隊修建步道1200米，乙工程隊修建步道800米．
（2）25米
【解析】
【分析】本題考查了一元一次方程應(yīng)用及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系，列出方程；
（1）乙工程隊各修建步道x米，則甲工程隊各修建步道米，根據(jù)全長2000米甲工程隊修建乙工程隊修建，列出關(guān)于x的一元一次方程，解方程即得乙隊修建的長度，然后代入中求出甲工程隊修建的長度即可；
（2）設(shè)甲工程隊每天修建步道a米，則乙工程隊每天修建步道米．利用工作時間工作總量工作效率，結(jié)合甲工程隊完成任務(wù)時間是乙工程隊完成任務(wù)時間的倍，列分式方程，解方程即可；
【小問1詳解】
設(shè)乙工程隊各修建步道x米，則甲工程隊修建步道米；
由題意，得
解這個方程，得
（米）
答：甲工程隊各修建步道1200，乙工程隊各修建步道800米．
【小問2詳解】
設(shè)甲工程隊每天修建步道a米，則乙工程隊每天修建步道米．
由題意，得
解這個方程，得
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意．
答：甲工程隊每天修建步道25米．
23. 如圖1，平行四邊形中，，，連接，，動點P以每秒1個單位的速度從點C出發(fā)沿折線運動，設(shè)點P運動時間為x秒，的面積為，
（1）請直接寫出關(guān)于x的函數(shù)表達式，并注明自變量x的取值范圍；
（2）在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數(shù)圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；
（3）的函數(shù)圖象如圖2所示，當時請直接寫出x的取值范圍．（結(jié)果保留一位小數(shù)，誤差小于0.2）
【答案】（1）
（2）圖見解析，當時，隨x增大而減小，當時，隨x增大而增大．
（3）或
【解析】
【分析】（1）分兩種情況：當點P由運動時，即；當點P由運動時，即；利用三角形面積公式求出函數(shù)解析式即可；
（2）用描點法作出函數(shù)的圖象即可；
（3）利用圖象法求解即可．
【小問1詳解】
解：由勾股定理，得
，
∵平行四邊形，
∴，
當點P由運動時，即，
，
即；
當點P由運動時，即，
過點A作于E，過點B作交延長線于F，如圖，
∵，
∴，
∴，
∵平行四邊形，
∴，
∵，，
∴四邊形是矩形，
∴，
，
即；
綜上，關(guān)于x的函數(shù)表達式為．
【小問2詳解】
解：如圖所示：
由圖可得：當時，隨x增大而減小，當時，隨x增大而增大．
【小問3詳解】
解：由圖象可得：當時，或．
【點睛】本題考查動點函數(shù)圖象，求動點函數(shù)解析式，利用圖象法求不等式解集，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題，矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積．
24. 今年10月“愉悅創(chuàng)造營”的同學們積極參加勞動實踐，在校園“耕讀園”里播種了近百粒蘿卜種子．某周日下午返校時涵涵和靜靜約好一起去“耕讀園”看看蘿卜的生長情況．如圖，已知“耕讀園”在點A處，涵涵家位于點A正南方一條東西走向的街道上，且在耕讀園西南方向800米的C處；靜靜家位于點D正北方米且位于“耕讀園”南偏西方向上的點E處，圖中點A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，
（1）求靜靜家離耕讀園的距離是多少？（結(jié)果保留根號）
（2）涵涵周日下午出門，先以80米/分鐘的速度從C出發(fā)，往正西方向走到點D處后再向正北方向到靜靜家樓下兩人碰面，然后兩人以此速度一起前往“耕讀園”，請問她們能在前到達耕讀園嗎？（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到十分位）
【答案】（1）
（2）能
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．
（1）過E作于H，在中，利用勾股定理可得，再求出證明四邊形為矩形可求出，然后在中利用銳角三角函數(shù)即可求解；
（2）在中利用銳角三角函數(shù)求出，進而可求出的長，然后根據(jù)時間=路程÷速度求出所需的時間即可求解．
【小問1詳解】
過E作于H，則，
由題意，得米，米，，．
∵中，，，
∴，
∴，在中，，
∴，
∵，，
∴四邊形為矩形．
∴，，
∵，，，
∴（米），
答：靜靜家離耕讀園距離為米．
【小問2詳解】
∵，，，
∴，
∵矩形，，
∴，
∴總用時：（分），
∵（分），
∴，
∴她們能在前到達耕讀園．
25. 已知拋物線與軸交于點、點（點在點的左側(cè)，點在原點右側(cè)），與軸交于點，且．
（1）求拋物線的表達式；
（2）如圖1，點是直線上方拋物線上一點，過點作平行于軸交于點，點是的中點，過點作的平行線交軸于點，過點作平行于軸交于點，求的最大值及此時點的坐標；
（3）如圖2，點坐標為，將原拋物線沿射線方向平移個單位長度，得到新拋物線，在拋物線是否存在點，滿足，若存在，直接寫出點的坐標并寫出其中一個點的求解過程，若不存在請說明理由．
【答案】（1）
（2）的最大值為9，此時
（3）或
【解析】
【分析】（1）求出B的坐標，再由待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）設(shè)，則，，進而求出，求出直線的表達式為，可求，則，進而求出，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）先求出平移后的拋物線表達式為，求出，可知，當時，，把代入，可求M的坐標；設(shè)的垂直平分線與軸交于點G，連接，則，進而得出，在中，利用勾股定理得出，則可求G的坐標，求直線表達式，與平移后的拋物線表達式聯(lián)立方程組求解即可．
【小問1詳解】
解：當時，，
∴C0,6，
∴，
∵，
∴，
∴，
把代入，得，
解得，
∴拋物線的表達式為；
【小問2詳解】
解：設(shè)直線的表達式為，
則，解得，
∴直線的表達式為，
設(shè)，則，
∵點是的中點，
∴，
∴，
∵，
設(shè)直線的表達式為，
∴，
∴，
∴，
當時，，解得
∵軸，
∴，
∴，
∴
，
∵點是直線上方拋物線上一點，
∴，
∴當時，的最大值為9，此時；
【小問3詳解】
解：存在點，滿足，
理由如下：
，
對于，當時，，
解得，，
∴A-2,0，
∴，
∴，
∵拋物線沿射線方向平移個單位長度，
∴拋物線沿x軸正半軸平移2個單位長度，沿y軸負半軸平移2個單位長度，
∴平移后的拋物線表達式為，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
當時，，
當時，，解得，，
∴；
設(shè)的垂直平分線與軸交于點G，連接，
∴，
∴
在中，，
∴，
解得，
∴，
設(shè)直線表達式為，
則，解得，
∴直線表達式為，
聯(lián)立方程組，解得或，
∴，
綜上，M的坐標為或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)圖象的平移，平行線的性質(zhì)，解直角三角形等知識，靈活運用所學知識解決問題是解題的關(guān)鍵．
26. 已知，中，，，交于點，．

（1）如圖1，將BD繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得線段，且點在的延長線上，求的長．
（2）如圖2，在（1）的條件下，連接CE，為AB上一點，且滿足：，作于點，求證：．
（3）如圖3，在（1）的條件下，、分別為線段、上的兩個動點，且滿足，當最小時，為平面內(nèi)一動點，將沿翻折得，請直接寫出的最大值．
【答案】（1）
（2）見解析（3）
【解析】
【分析】（1）證明是等邊三角形，即可求解；
（2）延長至M使得，連接BM、、CF，證明，進而證明，得出則，，即可求解；
（3）以為圓心的長為半徑，作，作，證明，得出當三點共線時，最小，進而可得的最大值為，證明是等腰直角三角形，解直角三角形，得出，即可求解．
【小問1詳解】
解：∵中，，，
∴
∵交于點，
∴，
∵將BD繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得線段，且點在的延長線上，
∴，
∴是等邊三角形，
∴；
【小問2詳解】
延長至M使得，連接BM、、CF，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
是等邊三角形，
在中，
，
∴，
∴，，
∵
∴，
∴BM∥AE，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴
【小問3詳解】
解：如圖所示，以為圓心的長為半徑，作，作，

∴，，
又∵
∴
∴，
∴，
∴當三點共線時，最小，
∵為平面內(nèi)一動點，將沿翻折得，
∴，在上，
又∵垂直平分，則，
∴的最大值為，
過點作于點，
在中，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
在中，，則
設(shè)，則
解得：
∵
∴
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，一點到圓上的最值問題，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．年級
七年級
八年級
平均數(shù)
92
92
中位數(shù)
92
b
眾數(shù)
c
100

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