1.兩條異面直線所成角的求法
2.直線和平面所成角的求法如圖 6-7-1(1)、(2)所示，設(shè)直線 l 的方向向量為 e，平面α的法向量為 n，直線 l 與平面α所成的角為φ，向量 e 與
(1)如圖 6-7-2(1)，AB，CD 分別是二面角α-l-β的兩個
面內(nèi)與棱 l 垂直的直線，則二面角的大小θ＝
4.利用空間向量求距離(1)點到平面的距離如圖 6-7-3 所示，已知 AB 為平面α的一條斜線段，n
為平面α的法向量，則 B 到平面α的距離為 d＝
圖 6-7-3(2)線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距進行求解.注意體積法在求點到平面距離時的應(yīng)用.
(3)若二面角 A-BC-D 的大小為α，平面 ABC 內(nèi)的直線l 與平面 BCD 所成角為β，則α≥β，當 l⊥BC 時，取等號.
題組一 走出誤區(qū)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的
)(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直
(3)兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面所成的
答案：(1)×　 (2)×　 (3)×　 (4)√
題組二 走進教材2.(教材改編題)平面α經(jīng)過三點 A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1，0)，則平面α的法向量 u 可以是________.答案：(0，1，－1)
題組三 真題展現(xiàn)4.(2020 年新高考Ⅰ)日晷(如圖 6-7-4)是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為 O)，地球上一點 A 的緯度是指 OA 與地球赤道所在平面所成角，點 A 處的水平面是指過點 A 且與 OA 垂直的平面，在點 A 處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點 A 處的緯度為
北緯 40°，則晷針與點 A 處的水平面所成角為(
5.(2021 年新高考Ⅰ)如圖 6-7-5 所示，在三棱錐 A-BCD中，平面 ABD⊥平面 BCD，AB＝AD，O 為 BD 的中點.
(1)證明：OA⊥CD；
(2)若△OCD 是邊長為 1 的等邊三角形，點 E 在棱 AD上，DE＝2EA，且二面角 E-BC-D 的大小為 45°，求三棱錐A-BCD 的體積.
(1)證明：因為 AB＝AD，O 為 BD 的中點，所以 OA⊥BD，
又平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD，
所以 OA⊥平面 BCD，又 CD?平面 BCD，所以 OA⊥CD.
(2)解：取 OD的中點F，因為△OCD為正三角形，所
過 O 作 OM∥CF 與 BC 交于點 M，則 OM⊥OD，所以 OM，OD，OA 兩兩垂直，
以點 O 為坐標原點，分別以 OM，OD，OA 為 x 軸、
y 軸、z 軸建立空間直角坐標系如圖 D55 所示，
考點一 利用向量求空間的角考向 1 向量法求異面直線所成的角
(2)有公共邊的等邊三角形 ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，則異面直線 AB 和 CD 所成角的余弦值為________.解析：設(shè)等邊三角形的邊長為 2.取 BC 的中點 O，連接 OA，OD.因為等邊三角形 ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，所以 OA，OC，OD 兩兩垂直，以點 O 為坐標原點，OD，OC，OA所在直線分別為 x 軸、y 軸、z 軸建立如圖
6-7-7所示的空間直角坐標系.
【題后反思】(1)求異面直線所成角的思路：①選好基底或建立空間直角坐標系；②求出兩直線的方向向量 v1，v2；
(2)兩異面直線所成角的關(guān)注點：
兩異面直線所成角的范圍θ∈
范圍是[0，π]，當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是該異面直線的夾角；當異面直線的方向向量的夾角為鈍角時，其補角才是異面直線的夾角.
考向 2 向量法求線面角[例 2](2021 年浙江聯(lián)考)如圖 6-7-8 所示，底面 ABCDAD＝2DE.(1)求證：BD∥平面 PEC；(2)求直線 DP 與平面 PEC 所成角
解析：連接 AC 交 BD 于 O，∵四邊形 ABCD 為菱形，∴△ABC 為正三角形，以點 O 為坐標原點，建立如圖
6-7-9 所示的空間直角坐標系.設(shè) PA ＝AD＝2DE＝2，
【題后反思】線面角涉及斜線的射影，故找出平面的垂線是解題的基本思路，而這往往正是解題難點所在，故常用向量法求解斜線與平面所成角的問題.解題的關(guān)鍵是確定斜線的一個方向向量 a 和平面的一個法向量 b，再通過計算線面角
成的角)求解，要特別注意 a 和 b 的夾角與線面角的關(guān)系.
考向 3 向量法求二面角
[例 3](2021 年合肥調(diào)研)如圖 6-7-10 所示，在三棱錐P-ABC 中，BC⊥平面 PAB，平面 PAC⊥平面 ABC.
(1)證明：PA ⊥平面 ABC；
(2)若 D 為 PC 的中點，且 PA ＝2 AB，AB＝BC，求
二面角 A-BD-C 的余弦值.
(1)證明：如圖 6-7-11，過點 B 作 BO⊥AC 于 O.
∵平面 PAC⊥平面 ABC，平面 PAC∩平面 ABC＝AC，
∴BO⊥平面 PAC，∴BO⊥PA .
又∵BC⊥平面 PAB，PA ?平面 PAB，∴BC⊥PA .又∵BC∩BO＝B，BC，BO?平面 ABC，∴PA ⊥平面 ABC.
(2)∵AB＝BC，BO⊥AC，∴O 為 AC 中點.又∵D 為 PC 的中點，∴DO∥PA .由(1)知，PA ⊥平面 ABC，
∴DO⊥平面 ABC，∴DO⊥BO，DO⊥AO，
【題后反思】利用向量法確定二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小.(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.
(3)將二面角轉(zhuǎn)化為線面角求解.如圖 6-7-12 所示，要求二面角 P-AB-C，可作 PH⊥AB，則二面角 P-AB-C 的大小即為 PH 與平面 ABC 所成角θ的大小，PH 易求，可用體
積法求 P 到平面 ABC 的距離 h，則 sin θ＝
1.(考向 1)在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB＝AA1＝2，點P，Q分別為A1B1，BC的中點，則異面直線BP與AC1所成角的余弦值為________.
解析：如圖 D56，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，
2.(考向 2)(2021 年廣州廣雅中學(xué)等三校聯(lián)考)如圖
6-7-13 所示，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD＝CD＝CB
(1)求證：BC⊥平面 ACFE；
(2)求直線 BD 與平面 BEF 所成角的正弦值.
(1)證明：在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD＝CD＝CB＝2，∠ABC＝60°，∴四邊形 ABCD 是等腰梯形，∠ADC＝120°，∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，∴∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，∴AC⊥BC(也可以利用余弦定理求出 AC，BC 再證明).
又∵矩形 ACFE 中，CF＝AE＝2，又 BF＝2＝2，∴CF2＋BC2＝BF2，∴CB⊥CF，又∵AC∩CF＝F，AC，CF?平面 ACFE，∴BC⊥平面 ACFE.
(2)解：以點 C 為坐標原點，以 CA 所在直線為 x 軸，以 CB 所在直線為 y 軸，以 CF 所在直線為 z 軸，建立空間直角坐標系.如圖 D57 所示.圖 D57
(1)求證：GE∥側(cè)面 AA1B1B；
(2)求平面 B1GE 與底面 ABC 所成銳二面角的正切值；(3)在直線 AG 上是否存在點 T，使得 B1T⊥AG？若存
在，指出點 T 的位置；若不存在，說明理由.
【題后反思】求點面距一般的方法
(1)作點到平面的垂線，點到垂足的距離即為點到平面
(2)等體積法.(3)向量法.
其中向量法在易建立空間直角坐標系的規(guī)則圖形中較
【變式訓(xùn)練】如圖 6-7-16 所示，在四棱錐 P-ABCD 中，已知 AB＝
⊥底面 ABCD，PO＝2，M 為棱 PC 的中點.圖 6-7-16
(1)求直線 PB 與平面 ADM 所成角的正弦值；(2)求二面角 D-AM-C 的正弦值；
(3)記棱 PD 的中點為 N，若點 Q 在線段 OP 上，且
NQ∥平面 ADM，求線段 OQ 的長.
解：連接 DB，因為 AB＝BC，AD＝DC，O 為 AC 的中點，所以點O在DB上，且DB⊥AC.又PO⊥平面ABCD，則 OB，OC，OP 兩兩垂直.
軸、y 軸、z 軸正方向，建立空間直角坐標系如圖 D59 所示.由題意得 OB＝1，OD＝2，
則O(0,0,0)，A(0，－2,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，D(－2,0,0)，
P(0,0,2)，M(0,1,1).
⊙立體幾何中的動態(tài)問題
A.圓的一部分C.拋物線的一部分
B.橢圓的一部分D.雙曲線的一部分
(1)直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).
(2)立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點軌跡的
判斷，求軌跡的長度及動角的范圍等.
(3)一般是根據(jù)線、面垂直，線、面平行的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡(還可以利用空間向量的坐標運算求出動點的軌跡方程).
【高分訓(xùn)練】1.如圖 6-7-19 所示，四棱錐 P-ABCD 的底面是邊長為2 的正方形，PA ⊥平面 ABCD，且 PA ＝4，M 是PB上的一個動點(不與 P，B 重合)，過點 M 作平面α∥平面 PAD，截棱錐所得圖形的面積為 y，若平面α與平面 PAD 之間的距離
為 x，則函數(shù) y＝f(x)的圖象是(
解析：過 M 作 MN⊥AB，交 AB 于 N，則 MN⊥平面ABCD，過 N 作 NQ∥AD，交 CD 于 Q，過 Q 作 QH∥PD，交 PC 于 H，連接 MH，則平面 MNQH 是所作的平面α，如圖 D60，
∴函數(shù) y＝f(x)的圖象如圖 D61 所示.故選 C.
2.已知 ABCD⊥平面 ADEF，AB⊥AD，CD⊥AD，且AB＝1，AD＝CD＝2，ADEF 是正方形，在正方形 ADEF內(nèi)部有一點 M，滿足 MB，MC 與平面 ADEF 所成的角相
等，則點 M 的軌跡長度為(
解析：根據(jù)題意，以D為原點，分別以DA，DC，DE所在直線為 x 軸、y 軸、z 軸，建立空間直角坐標系 D-xyz，如圖 D62(1)所示，則 B(2,1,0)，C(0,2,0)，設(shè) M(x,0，z)，易知直線 MB，MC 與平面 ADEF 所成的角分別為∠AMB，∠DMC，均為銳角，且∠AMB＝∠DMC，所以 sin∠AMB

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