1.兩條直線的位置關(guān)系
(1)兩直線平行的充要條件
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要條件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).(2)兩直線垂直的充要條件直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件是A1A2＋B1B2＝0.
1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)
(1)當(dāng)直線l1和l2的斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2?l1∥l2.(　　)(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(　　)
(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線
(4)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)
2.(教材改編題)若 A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2，12)，則下面四個(gè)結(jié)論：①AB∥CD；②AB⊥AD；③AC∥
BD；④AC⊥BD 中正確的個(gè)數(shù)為(
3.(教材改編題)已知點(diǎn)(a,2)(a>0)到直線 l：x－y＋3＝0
的距離為 1，則 a 等于(
[例 1](1)(2021 年江西模擬)設(shè)不同直線l1 ：x－my＋1＝0，l2：(m－1)x－2y－2＝0，則“m＝2”是“l(fā)1∥l2”的
)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
(2)已知三條直線 2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－
y－1＝0 不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù) m 的取值集合為(
(1)當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時(shí)，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還要注意 x，y 的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件.
(2)在判斷兩直線的平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線
方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.
(2021年遵化期中)已知直線L1：ax＋2y＋6＝0和直線L2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0，a∈R.(1)當(dāng)L1⊥L2時(shí)，求a的值；(2)當(dāng)L1與L2平行時(shí)，求a的值.
兩直線的交點(diǎn)與距離問題
[例 2](1)若三條直線 y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0
相交于同一點(diǎn)，則點(diǎn)(m，n)到原點(diǎn)的距離的最小值為(
(2)(2021 年上海青浦高級(jí)中學(xué)月考)在平面直角坐標(biāo)系中，記 d 為點(diǎn) P(cs θ，sin θ)到直線 x－my－2＝0 的距離.
當(dāng)θ，m 變化時(shí)，d 的最大值為(
解析：因?yàn)?cs2θ＋sin2θ＝1，所以 P 為單位圓上一點(diǎn).而直線 x－my－2＝0 過點(diǎn) A(2,0)，記坐標(biāo)原點(diǎn)為 O，所以d 的最大值為|OA|＋1＝2＋1＝3.答案：C
(1)求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法：求過兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.(2)利用距離公式的注意點(diǎn)
①點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線
y＝b的距離d＝|y0－b|.
②應(yīng)用兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y
1.已知曲線y＝ax(a>0且a≠1)恒過點(diǎn)A(m，n)，則點(diǎn)A
到直線 x＋y－3＝0 的距離為________.
解析：由題意，可知曲線 y＝ax(a>0 且 a≠1)恒過點(diǎn)(0,1)，所以 A(0,1).所以點(diǎn) A 到直線 x＋y－3＝0 的距離 d＝
2.直線 l 過點(diǎn) P(－1,2)且到點(diǎn) A(2,3)和點(diǎn) B(－4,5)的距離相等，則直線 l 的方程為________.
當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí)，直線 l 的方程為 x＝－1，也符合題意.答案：x＋3y－5＝0 或 x＝－1
[例 3]過點(diǎn) P(0,1)作直線 l，使它被直線 l1：2x＋y－8＝0 和 l2：x－3y＋10＝0 截得的線段被點(diǎn) P 平分，則直線l 的方程為________.
解析：設(shè) l1 與 l 的交點(diǎn)為 A(a,8－2a)，則由題意知，點(diǎn)A 關(guān)于點(diǎn) P 的對(duì)稱點(diǎn) B(－a,2a－6)在 l2 上，代入 l2 的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得 a＝4，即點(diǎn) A(4,0)在直線 l上，所以直線 l 的方程為 x＋4y－4＝0.
答案：x＋4y－4＝0
[例 4]如圖 7-2-1，已知 A(4,0)，B(0,4)，從點(diǎn) P(2,0)射出的光線經(jīng)直線 AB 反射后再射到直線 OB 上，最后經(jīng)直線
OB 反射后又回到點(diǎn) P，則光線所經(jīng)過的路程是(圖 7-2-1
直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題
[例 5]直線 2x－y＋3＝0 關(guān)于直線 x－y＋2＝0 對(duì)稱的直線方程是________.
答案：x－2y＋3＝0
【題后反思】解決對(duì)稱問題的方法(1)中心對(duì)稱①點(diǎn)P(x，y)關(guān)于Q(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)P′(x′，y′)
②直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題來解決.
(2)軸對(duì)稱①點(diǎn) A(a，b)關(guān)于直線 Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對(duì)稱點(diǎn)為 A′(m，n)，
②直線關(guān)于直線的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題來解決.
【考法全練】1.(考向 1)若點(diǎn)(a，b)關(guān)于直線 y＝2x 的對(duì)稱點(diǎn)在 x 軸
上，則 a，b 滿足的條件為(A.4a＋3b＝0B.3a＋4b＝0C.2a＋3b＝0D.3a＋2b＝0
解析：設(shè)點(diǎn)(a，b)關(guān)于直線 y＝2x 的對(duì)稱點(diǎn)為(t,0)，
解得 4a＋3b＝0.
2.(考向 3)直線 l：x－y－2＝0 關(guān)于直線 3x－y＋3＝0對(duì)稱的直線方程是________.
答案：7x＋y＋22＝0
3.(考向 2)已知△ABC 的頂點(diǎn) A(1,2)，B(－1，－1)，直線 l：2x＋y－1＝0 是△ABC 的一個(gè)內(nèi)角平分線，求 BC 邊所在直線的方程及點(diǎn) C 到 AB 的距離.
解：∵A(1,2)，B(－1，－1)均不在直線 2x＋y－1＝0
∴2x＋y－1＝0 為∠ACB 的平分線.
設(shè) A(1,2)關(guān)于直線 2x＋y－1＝0 對(duì)稱的點(diǎn)為 A′，則
A′一定在直線 BC 上，
⊙巧用直線系求直線方程
(1)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中A1B2－A2B1≠0，待定系數(shù)λ∈R.在這個(gè)方程中，無論λ取什么實(shí)數(shù)，都得不到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直線l2.
(2)過定點(diǎn)(x0，y0)的直線系方程為 y－y0＝k(x－x0)(k 為
(3)平行直線系方程：與直線 y＝kx＋b 平行的直線系方程為 y＝kx＋m(m 為參數(shù)且 m≠b)；與直線 Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是 Ax＋By＋λ＝0(λ是參數(shù)且λ≠C).(4) 垂直直線系方程：與直線 Ax ＋By＋C ＝0(A≠0 ，B≠0)垂直的直線系方程是 Bx－Ay＋λ＝0(λ為參數(shù)).如果在求直線方程的問題中，有一個(gè)已知條件，另一
個(gè)條件待定時(shí)，那么可選用直線系方程來求解.
[例 6](1)求證：動(dòng)直線(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0(其中 m∈R)恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
將點(diǎn)A(－1,2)的坐標(biāo)代入動(dòng)直線(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0中，(m2＋2m＋3)×(－1)＋(1＋m－m2)×2＋3m2＋1＝(3－1－2)m2＋(－2＋2)m＋2＋1－3＝0，故動(dòng)直線(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0恒過定點(diǎn)A(－1,2).
(2)求經(jīng)過兩直線 l1：x－2y＋4＝0 和 l2：x＋y－2＝0 的交點(diǎn) P，且與直線 l3：3x－4y＋5＝0 垂直的直線 l 的方程.
(方法二)設(shè)所求直線方程為 4x＋3y＋m＝0，
將法一中求得的交點(diǎn) P(0,2)代入上式可得 m＝－6，故所求直線方程為 4x＋3y－6＝0.
(方法三)設(shè)直線 l 的方程為 x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直線 l 的方程為 4x＋3y－6＝0.
[引申]若將本例(2)中的“垂直”改為“平行”，則直
線 l 的方程為 3x－4y＋8＝0.
【題后反思】確定方程含參數(shù)的直線所過定點(diǎn)的方法(1)將直線方程寫成點(diǎn)斜式 y－y0＝f(λ)(x－x0)，從而確
定定點(diǎn)(x0，y0)；
(2)將直線方程整理成關(guān)于參數(shù)的方程，由方程中各項(xiàng)
系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)為 0 確定定點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)給參數(shù)取兩個(gè)不同值，再解直線方程構(gòu)成的方程
組，從而確定定點(diǎn)坐標(biāo).
【高分訓(xùn)練】1.經(jīng)過兩條直線 2x＋3y＋1＝0 和 x－3y＋4＝0 的交點(diǎn)，并且垂直于 3x＋4y－7＝0 的直線方程為________.
即 4x－3y＋9＝0.答案：4x－3y＋9＝0
2.經(jīng)過兩直線 l1 ：2x－3y＋2＝0 與 l2：3x－4y－2＝0
的交點(diǎn)，且平行于直線 4x－2y＋7＝0 的直線方程是(A.x－2y＋9＝0B.4x－2y＋9＝0C.2x－y－18＝0D.x＋2y＋18＝0
l1，l2 的交點(diǎn)坐標(biāo)是(14,10).設(shè)與直線 4x－2y＋7＝0 平行的直線 l 的方程為 4x－2y＋C＝0(C≠7).因?yàn)橹本€ l 過直線l1 與 l2 的交點(diǎn)(14,10)，所以 C＝－36.所以直線 l 的方程為4x－2y－36＝0，即 2x－y－18＝0.故選 C.答案：C
3.若直線 mx＋4y－2＝0 與直線 2x－5y＋n＝0 垂直，
垂足為(1，p)，則實(shí)數(shù) n 的值為(
解析：由直線 mx＋4y－2＝0 與直線 2x－5y＋n＝0 垂
直，得 2m－20＝0，即 m＝10.
由垂足(1，p)在直線 mx＋4y－2＝0 上，得 p＝－2，∴垂足坐標(biāo)為(1，－2).
又垂足在直線 2x－5y＋n＝0 上，得 n＝－12.
4.(2021 年瑤海區(qū)月考)若直線 l1：x＋ay＋6＝0 與 l2：
(a－2)x＋3y＋2a＝0 平行，則 l1，l2 間的距離是(

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