一.基本概念
（1） SKIPIF 1 < 0 叫虛數(shù)單位，滿足 SKIPIF 1 < 0 ，當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 .
（2）形如 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)叫復數(shù)，記作 SKIPIF 1 < 0 .
= 1 \* GB3 ①復數(shù) SKIPIF 1 < 0 與復平面上的點 SKIPIF 1 < 0 一一對應， SKIPIF 1 < 0 叫z的實部，b叫z的虛部； SKIPIF 1 < 0 Z點組成實軸； SKIPIF 1 < 0 叫虛數(shù)； SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對應點組成虛軸（不包括原點）。兩個實部相等，虛部互為相反數(shù)的復數(shù)互為共軛復數(shù).
= 2 \* GB3 ②兩個復數(shù) SKIPIF 1 < 0 相等 SKIPIF 1 < 0 （兩復數(shù)對應同一點）
= 3 \* GB3 ③復數(shù)的模：復數(shù) SKIPIF 1 < 0 的模，也就是向量 SKIPIF 1 < 0 的模，即有向線段 SKIPIF 1 < 0 的長度，其計算公式為 SKIPIF 1 < 0 ，顯然， SKIPIF 1 < 0 .
二.基本性質(zhì)
1.復數(shù)運算
（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
其中 SKIPIF 1 < 0 ，叫z的模； SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的共軛復數(shù) SKIPIF 1 < 0 .
（3） SKIPIF 1 < 0 .
實數(shù)的全部運算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運算法則）都適用于復數(shù).
2.復數(shù)的幾何意義
（1）復數(shù) SKIPIF 1 < 0 對應平面內(nèi)的點 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）復數(shù) SKIPIF 1 < 0 對應平面向量 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）復平面內(nèi)實軸上的點表示實數(shù)，除原點外虛軸上的點表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示復數(shù).
（4）復數(shù) SKIPIF 1 < 0 的模 SKIPIF 1 < 0 表示復平面內(nèi)的點 SKIPIF 1 < 0 到原點的距離.
【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習）復數(shù) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 為虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)的對應點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
例2．（2022·全國·高三專題練習）已知復數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
（多選題）例3．（2022·全國·高三專題練習）若復數(shù)z滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A．|z|=2 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 是純虛數(shù)
C．復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第三象限D(zhuǎn)．若復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在角α的終邊上，則sinα= SKIPIF 1 < 0
例4．（2022·上海·高三專題練習）已知復數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ___________.
例5．（2022·江蘇·高三專題練習）已知 SKIPIF 1 < 0 其中 SKIPIF 1 < 0 是實數(shù)， SKIPIF 1 < 0 是虛數(shù)單位，則 SKIPIF 1 < 0 _________
例6．（2022·全國·高三專題練習）若復數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 為虛數(shù)單位，則 SKIPIF 1 < 0 的虛部為_____________.
例7．（2022·全國·高三專題練習）復數(shù) SKIPIF 1 < 0 在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是_____________.
【技能提升訓練】
一、單選題
1．（2022·全國·模擬預測）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，復數(shù) SKIPIF 1 < 0 的實部為 SKIPIF 1 < 0 ，虛部為 SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·全國·高三專題練習）設 SKIPIF 1 < 0 ，則z的共軛復數(shù)的虛部為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全國·高三專題練習）下列命題中∶①兩個復數(shù)不能比較大小；②若 SKIPIF 1 < 0 ，則當且僅當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 為純虛數(shù)；③ SKIPIF 1 < 0 則 SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤若實數(shù) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 對應，則實數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應；
其中正確命題的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．（2022·全國·高三專題練習）若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·全國·高三專題練習（文））已知復數(shù) SKIPIF 1 < 0 的共軛復數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 （i為虛數(shù)單位），則復數(shù) SKIPIF 1 < 0 的虛部為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·浙江·高三專題練習）設 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為復數(shù)，則下列命題中一定成立的是（ ）
A．如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0
B．如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0
C．如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0
D．如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
7．（2022·浙江·高三專題練習）復數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，若復數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則在復平面內(nèi)，復數(shù) SKIPIF 1 < 0 對應的點與復數(shù) SKIPIF 1 < 0 對應的點（ ）
A．關于實軸對稱B．關于虛軸對稱
C．關于原點對稱D．關于點 SKIPIF 1 < 0 對稱
8．（2022·全國·高三專題練習（理））在復平面內(nèi)，平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 的三個頂點，A，B，C對應的復數(shù)分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 為虛數(shù)單位)，則點D對應的復數(shù)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．（2022·全國·高三專題練習）若復數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 為虛數(shù)單位），則在復平面內(nèi) SKIPIF 1 < 0 所對應的點為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 10．（2022·全國·高三專題練習）在復平面內(nèi)，復數(shù) SKIPIF 1 < 0 是虛數(shù)單位），則 SKIPIF 1 < 0 的共軛復數(shù) SKIPIF 1 < 0 在復平面內(nèi)對應的點位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
11．（2022·全國·高三專題練習）在復平面內(nèi)，復數(shù) SKIPIF 1 < 0 對應的點的坐標是 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．（2022·全國·高三專題練習（理））設復數(shù)z滿足 SKIPIF 1 < 0 ，z在復平面內(nèi)對應的點為(x，y)，則
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
13．（2022·全國·高三專題練習）若復數(shù) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 為虛數(shù)單位），則復數(shù) SKIPIF 1 < 0 在復平面上對應的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
14．（2022·全國·高三專題練習）歐拉公式 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 是自然對數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的．它將三角函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位，當 SKIPIF 1 < 0 時，就有 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)上述背景知識，試判斷 SKIPIF 1 < 0 表示的復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
15．（2022·全國·高三專題練習）歐拉公式 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 是虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知， SKIPIF 1 < 0 表示的復數(shù)位于復平面中的（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
16．（2022·全國·模擬預測）已知復數(shù) SKIPIF 1 < 0 在復平面上對應的點在直線 SKIPIF 1 < 0 上，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．3
17．（2022·全國·高三專題練習）設復數(shù) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是虛數(shù)單位），則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 18．（2022·全國·高三專題練習）設 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
19．（2022·全國·高三專題練習）已知復數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
20．（2022·浙江·高三專題練習）已知復數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，滿足 SKIPIF 1 < 0 ，復數(shù)z的實部為 SKIPIF 1 < 0 ，則復數(shù)z的虛部是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
21．（2022·全國·高三專題練習）已知 SKIPIF 1 < 0 為虛數(shù)單位，復數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．3
22．（2022·全國·高三專題練習（文））若復數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A．0B．2C．4D．6
23．（2021·全國·高三專題練習）已知復數(shù) SKIPIF 1 < 0 是關于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 的一個根，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．25B．5C． SKIPIF 1 < 0 D．41
24．（2021·全國·高三階段練習（理））復數(shù) SKIPIF 1 < 0 的共軛復數(shù)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多選題
25．（2022·全國·高三專題練習）若實數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的共軛復數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的值可能為 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
26．（2022·全國·高三專題練習）已知復數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是純虛數(shù)B． SKIPIF 1 < 0 對應的點位于第二象限
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
27．（2022·江蘇·高三專題練習）若復數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是
A． SKIPIF 1 < 0 的虛部為 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 為純虛數(shù)D． SKIPIF 1 < 0 的共軛復數(shù)為 SKIPIF 1 < 0
28．（2021·江蘇·海安高級中學高三階段練習）設 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是復數(shù)，則下列說法中正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
29．（2021·福建·泉州鯉城北大培文學校高三期中）設 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的共軛復數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 是實數(shù)D． SKIPIF 1 < 0 是純虛數(shù)
30．（2021·全國·高三專題練習）設 SKIPIF 1 < 0 是復數(shù)，則下列命題中的真命題是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
31．（2021·重慶·模擬預測）已知復數(shù) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 為虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)的對應的點為 SKIPIF 1 < 0 ，復數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 在復平面內(nèi)對應的點 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．復數(shù) SKIPIF 1 < 0 的虛部為 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0
32．（2021·全國·高三專題練習（理））設 SKIPIF 1 < 0 為復數(shù)，則下列命題中正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為2
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
33．（2021·湖南·高三階段練習）已知復數(shù) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 為虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應的點為 SKIPIF 1 < 0 ，復數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則下列結(jié)論正確的是（ ）A． SKIPIF 1 < 0 點的坐標為 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的共軛復數(shù)）
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0
三、填空題
34．（2022·浙江·高三專題練習）已知 SKIPIF 1 < 0 是虛數(shù)單位， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 __________.
35．（2022·全國·高三專題練習（文）） SKIPIF 1 < 0 為虛數(shù)單位，若關于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有實根，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 ___________，
36．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）若復數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 為虛數(shù)單位，則 SKIPIF 1 < 0 _________．
37．（2022·全國·高三專題練習） SKIPIF 1 < 0 是虛數(shù)單位，若復數(shù) SKIPIF 1 < 0 是純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為___________.
38．（2022·全國·高三專題練習（理））復數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 為實數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 ______．
39．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知復數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是正實數(shù)，則復數(shù) SKIPIF 1 < 0 __________.
40．（2022·全國·高三專題練習）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為虛數(shù)單位，若 SKIPIF 1 < 0 為實數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 的值為__________．
41．（2022·全國·高三專題練習）已知m∈R，復數(shù)z＝（2+i）m2﹣m（1﹣i）﹣（1+2i）（其中i為虛數(shù)單位），若復數(shù)z在復平面上對應的點位于第四象限，則實數(shù)m的取值范圍是_____
42．（2022·全國·高三專題練習）若復數(shù) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，i為虛數(shù)單位）滿足 SKIPIF 1 < 0 ，寫出一個滿足條件的復數(shù) SKIPIF 1 < 0 __________．
43．（2021·上海市建平中學高三階段練習）若 SKIPIF 1 < 0 是關于 SKIPIF 1 < 0 的實系數(shù)方程 SKIPIF 1 < 0 的一個復數(shù)根，則 SKIPIF 1 < 0 ___________.
44．（2021·重慶梁平·高三階段練習） SKIPIF 1 < 0 是虛數(shù)單位，已知復數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ________．
45．（2021·全國·高三專題練習）i是虛數(shù)單位， SKIPIF 1 < 0 ________．

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