1. 幾個重要的不等式
（1） SKIPIF 1 < 0
（2）基本不等式：如果 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 (當(dāng)且僅當(dāng)“ SKIPIF 1 < 0 ”時取“”).
特例： SKIPIF 1 < 0 同號）.
（3）其他變形：
① SKIPIF 1 < 0 (溝通兩和 SKIPIF 1 < 0 與兩平方和 SKIPIF 1 < 0 的不等關(guān)系式)
② SKIPIF 1 < 0 (溝通兩積 SKIPIF 1 < 0 與兩平方和 SKIPIF 1 < 0 的不等關(guān)系式)
③ SKIPIF 1 < 0 (溝通兩積 SKIPIF 1 < 0 與兩和 SKIPIF 1 < 0 的不等關(guān)系式)
④重要不等式串： SKIPIF 1 < 0 即
調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號成立的條件).
2. 均值定理
已知 SKIPIF 1 < 0 .
（1）如果 SKIPIF 1 < 0 (定值)，則 SKIPIF 1 < 0 (當(dāng)且僅當(dāng)“ SKIPIF 1 < 0 ”時取“=”).即“和為定值，積有最大值”.
（2）如果 SKIPIF 1 < 0 (定值)，則 SKIPIF 1 < 0 (當(dāng)且僅當(dāng)“ SKIPIF 1 < 0 ”時取“=”).即積為定值，和有最小值”.
【典型例題】
例1．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點 SKIPIF 1 < 0 在半圓 SKIPIF 1 < 0 上，點 SKIPIF 1 < 0 在直徑 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則該圖形可以完成的無字證明為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））若實數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知a，b，c均為正數(shù)，且abc＝4(a＋b)，則a＋b＋c的最小值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例5．（2021·山西大同·高三階段練習(xí)（理））已知點 SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．4
例6．（2021·四川·樂山市教育科學(xué)研究所一模（文））已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例7．（2021·貴州遵義·高三階段練習(xí)（文））已知a，b為正實數(shù)，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
例8．（2021·重慶·西南大學(xué)附中高三階段練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
例9．（2021·江西·高三階段練習(xí)（理））已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 時取得最小值，則 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．6B．8C．16D．36
2．（2021·黑龍江·大慶實驗中學(xué)高三階段練習(xí)（文））三國時期趙爽所制的弦圖由四個全等的直角三角形構(gòu)成，該圖可用來解釋下列哪個不等式（ ）
A．如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ；
B．如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ；
C．對任意實數(shù) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時等號成立；
D．如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2020·廣東·普寧市第二中學(xué)高三階段練習(xí)）下列不等式一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最大值為（ ）
A．3B．2C．1D．-1
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 有（ ）
A．最大值 SKIPIF 1 < 0 B．最小值 SKIPIF 1 < 0 C．最大值2D．最小值2
6．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式 SKIPIF 1 < 0 m2+7m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）A．﹣8≤m≤1B．m≤﹣8或m≥1C．﹣1≤m≤8D．m≤﹣1或m≥8
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知非負(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．3B．4C．10D．16
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè) SKIPIF 1 < 0 均為正實數(shù)，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．8B．16C．9D．6
9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若正數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若對滿足 SKIPIF 1 < 0 的任意正數(shù) SKIPIF 1 < 0 及任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為正數(shù)，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多選題
12．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則下列不等式中一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空題
13．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若a>0，b>0，且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是________（填序號）.
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ≥2；④a2＋b2≥8.
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 _______
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若正數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值是________．
16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）的圖象恒過定點A，若點A在直線 SKIPIF 1 < 0 上，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則mn的最大值為___________.
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 的最小值為______．
18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為_________
19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為______．20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為___________.
21．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為____________．
22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是________．
23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為正實數(shù)，滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是__________．
24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值域是_______．
25．（2021·四川·成都七中一模（文））已知實數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為___________.
26．（2020·遼寧·開原市第二高級中學(xué)三模）如圖，將一矩形花壇 SKIPIF 1 < 0 擴(kuò)建成一個更大的矩形花壇 SKIPIF 1 < 0 ，要求點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且對角線 SKIPIF 1 < 0 過點 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么當(dāng) SKIPIF 1 < 0 _______時，矩形花壇的 SKIPIF 1 < 0 面積最小，最小面積為______.

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