一、選擇題
1．在平行四邊形中，點E滿足，則( )
A.B.C.D.
2．在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若，，，則( )
A.60°B.75°C.60°或120°D.15°或75°
3．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為( )
A.B.C.D.
4．已知數(shù)據(jù)1，2，3，5，m（m為整數(shù)）的平均數(shù)是極差的倍，從這5個數(shù)中任取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)之和不小于7的概率為( )
A.B.C.D.
5．已知函數(shù)的一段圖象過點,如圖所示,則函數(shù)( )
A.B.
C.D.
6．已知中，，，，點M為AB中點，連接CM.將沿直線CM折起，使得點A到達的位置，且平面平面，則二面角的余弦值為( )
A.B.C.D.
7．已知正四棱臺的體積為，上、下底面邊長分別為，，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為( )
A.B.C.D.
8．如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在t秒時相對于平衡位置的高度h厘米由關(guān)系式確定，其中，，.小球從最低點出發(fā)，經(jīng)過2秒后，第一次回到最低點，則下列說法中正確的是( )
A.
B.秒與秒時小球偏離于平衡位置的距離之比為2
C.當時，若小球有且只有三次到達最高點，則
D.當時，若，時刻小球偏離于平衡位置的距離相同，則
二、多項選擇題
9．某高中舉行的數(shù)學史知識答題比賽，對參賽的2000名考生的成績進行統(tǒng)計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，，，，，，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作為代表值，則下列說法中正確的是( )
A.考生參賽成績的平均分約為72.8分
B.考生參賽成績的第75百分位數(shù)約為82.5分
C.分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的頻率為0.2
D.用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為200的樣本，則成績在區(qū)間應(yīng)抽取30人
10．如圖，在棱長為2的正方體中，M為的中點，則下列說法中正確的是( )
A.若點O為的中點，則平面
B.連接，則直線與平面成角正弦值為
C.若點N為線段上的動點（包含端點），則的最小值為
D.若點Q在側(cè)面正方形內(nèi)（包含邊界），且，則點Q的軌跡長度為
11．設(shè)點D是所在平面內(nèi)一點，O是平面上一個定點，則下列說法正確的有( )
A.若，則D是BC邊上靠近B的三等分點
B.若，（且），則直線AD經(jīng)過的垂心
C.若，且，，則是面積的一半
D.若平面內(nèi)一動點P滿足，（且），則動點P的軌跡一定通過的外心
三、填空題
12．在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若且,則的取值范圍為___________.
13．在四邊形中，，點P是四邊形所在平面上一點，滿足.設(shè)s，t分別為四邊形與的面積，則________.
14．已知菱形ABCD的邊長為2，.將沿著對角線AC折起至，連結(jié).設(shè)二面角的大小為，當時，則四面體的外接球的表面積為________.
四、解答題
15．如圖，在三棱柱中，，，，平面底面，M，N分別是，的中點，P是與的交點.
(1)證明：平面平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
16．2024年3月31日，貴州銅仁梵凈山春季馬拉松在梵凈山賽道成功舉行，其中志愿者的服務(wù)工作是馬拉松成功舉辦的重要保障.銅仁市文體廣電旅游局承辦了志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)和第80百分位數(shù)；
(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法選取20人，擔任本市的宣傳者.若本市宣傳者中第二組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為62和40，第四組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為80和50，請據(jù)此估計這次第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差.
17．在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手（1到5號）登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名.觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中選3名歌手.
（1）求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；
（2）X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求“”的事件概率.
18．如圖，在四棱柱中，側(cè)棱平面ABCD，，，，，E為棱的中點，M為棱CE的中點.
(1)證明：；
(2)求異面直線BM與AD所成角的余弦值；
(3)求點到平面的距離.
19．已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，且，求面積的取值范圍.
參考答案
1．答案：B
解析：由題意得，故選B
2．答案：D
解析：在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若，，，
利用正弦定理：，整理得，
所以或120°.
當時，，當時，.
故選：D.
3．答案：A
解析：依題意，，則，
所以的虛部為.
故選：A
4．答案：A
解析：當時，，得（舍），
當時，，得，
當時，，得（舍），
，
從1，2，3，5，4中任取2個數(shù)結(jié)果:
，，，，，，，，，，共10種，
符合題意，，，，共4種，
所以概率為.
故選：A.
5．答案：D
解析：由圖知,,則.
由圖知,在取得最大值,且圖象經(jīng)過,故,
所以,,故,,
又因,所以,
函數(shù)又經(jīng)過,故,得.
所以函數(shù)的表達式為.
故選:D.
6．答案：B
解析：取的中點D，過點D作的垂線，垂足為E，連接，
則，
因為在中，，，，點M為AB中點，
所以，，則為等邊三角形，
所以，，，，
將沿直線CM折起，使得點A到達的位置，則為等邊三角形，，，，，，
因為平面平面，且平面，，平面平面，
所以平面，
因為平面，所以，
又因為，平面，所以平面，
又因為平面，所以，則二面角的平面角為，
在直角三角形中，，
所以，
故選：B
7．答案：A
解析：在正四棱臺中，，，體積為，
故
則，，
連接、相交于點E，、相交于點F，
設(shè)外接球的球心為O，若O在臺體外，
設(shè)O到底面的距離為h，
則半徑為，
即，解得，
若O在臺體內(nèi)，O到底面的距離為h，
則半徑為，
即，解得，舍去，
綜上所述，，故，所以.
故選：A.
8．答案：B
解析：由題可知小球運動的周期，又，所以，解得，
當時，，即，，所以，
則，故A錯誤；
因為，，
所以秒與秒時小球偏離于平衡位置的距離之比為，故B正確；
若，則，又當時，小球有且只有三次到達最高點，
所以，解得，即，故C錯誤；
因為，令，，
則，，
滿足且，時刻小球偏離于平衡位置的距離相同，
此時，故D錯誤.
故選：B
9．答案：BC
解析：對A，平均成績
為，故A錯誤；
對B，由頻率分布直方圖知第75百分位數(shù)位于內(nèi)，
則第75百分位數(shù)為，故B正確；
對C，分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的頻率為，故C正確；
對D，區(qū)間應(yīng)抽取人，故D錯誤.
故選：BC
10．答案：ACD
解析：對于A，四邊形是正方體的對角面，則四邊形是矩形，
，由點O、M分別為、的中點，得，平面，
平面，因此平面，A正確；
對于B，連接，則，由平面，平面，
得，又，平面，則平面，
過M作交于E，連接，于是平面，
是直線與平面所成的角，，，
，B錯誤；
對于C，把正方形與正方形置于同一平面內(nèi)，且在直線兩側(cè)，
連接，則的最小值為，C正確；
對于D，延長與的延長線交于H，由，，得為平行四邊形，
，取中點G，連接交于F，連接，
由，，得四邊形是平行四邊形，，F(xiàn)為的中點，
由平面，平面，得，又，
，平面，則平面，而平面，
則，同理，因此，，而，
平面，于是平面，又，則平面，
又平面，因此點Q的軌跡是平面與正方形相交所得線段，
而，所以點Q的軌跡長度為，D正確.
故選：ACD
11．答案：ABC
解析：對于A，由可得，，
即得，故點D是BC邊上靠近B的三等分點，故A正確；
對于B，因，
則
，
即，故直線AD經(jīng)過的垂心，即B正確；
對于C，因，，則，
設(shè)，則，因，故M，B，C三點共線，
如圖1所示，，故的邊上的高是的邊上的高的一半，
故是面積的一半，即C正確；
對于D，由可得，，
如圖2，取，，則有，以，為兩鄰邊作，
易知是菱形，故平分，且故得，，
故動點P的軌跡為的平分線，即動點P的軌跡一定通過的內(nèi)心，故D錯誤.
故選：ABC.
12．答案：
解析：由余弦定理得,將代入,則,
故,又由正弦定理得,且,
整理得,因為,故或（舍去）,得,
于是,由于,
則,.
13．答案：
解析：在四邊形中，，則四邊形是梯形，且，令，，
記M，N，X，Y分別是AB，CD，BD，AC的中點，顯然，，，
于是點M，X，Y，N順次共線并且，
顯然，，而，則，
因此點P在線段XY上，且，設(shè)A到MN的距離為h，
由面積公式可知.
故答案為：
14．答案：/
解析：
連接交于點O，由題意，點O為中點，且，，則即二面角的平面角.
如圖，設(shè)M，N分別是和的外心，分別過點M作平面，過點N作平面，，
則點P為四面體的外接球球心.
由，，，平面，故得，平面，
又平面，平面，故得，平面平面，平面平面，
故P，N，O，M四點共面.
由可知，，，
故四面體的外接球的半徑為：，
于是四面體的外接球的表面積為.
故答案為：
15．答案：(1)證明見解析；
(2)
解析：（1）
連接，，
因為M，N分別是，的中點，P是與的交點，
所以為的中位線，所以，
又因為平面，平面，所以平面，
又因為且，所以四邊形為平行四邊形，所以，
因為平面，平面，所以平面，
又因為，所以平面平面；
（2）因為，，所以是等邊三角形，
取的中點為O，連接，則，，
又因為平面底面且交線為，所以底面，
因為，，，所以，
所以，所以，
所以取的三分之一等分點E，，連接，則
以O(shè)為坐標原點，以所在的直線為x軸，以所在的直線為y軸，以所在的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，，，
則，，，，
設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，
，
令，則，，所以，
同理可得，，
令，則，，所以，
所以，，，
所以，
所以平面與平面夾角的余弦值.
16．答案：(1)69.5；77.5；
(2)
解析：（1）由圖得，
解得，
則，
，
，
設(shè)第80百分位數(shù)為x，則，
，解得，
故這100名候選者面試成績的平均數(shù)為69.5，第80百分位數(shù)為77.5.
（2）設(shè)第二組、第四組所有面試者的面試成績的平均數(shù)、方差分別為，，，，
且兩組的頻率之比為，
則第二組和第四組所有面試者的面試成績的平均數(shù)為，
第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差為：
，
故第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差為.
17．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號歌手”，B表示事件“觀眾乙選中3號歌手”
則，
事件A與B相互獨立，A與相互獨立
則表示事件“甲選中3號歌手，且乙沒選中3號歌手”
即觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率是
（2）設(shè)C表示事件“觀眾丙選中3號歌手”，則
依題意，A，B，C相互獨立，，，相互獨立，且，，，彼此互斥
故“”的事件的概率為
18．答案：(1)證明見解析；
(2)；
(3).
解析：（1）由底面，平面，得，，
而，即直線，，兩兩垂直，
以點A為坐標原點，直線，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖，
則，，，，，，，，
，，
顯然，即，所以.
（2），，，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
（3），，，
設(shè)平面的法向量，則，令，得，
所以點到平面的距離.
19．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因為，
所以，
即.
令，解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）結(jié)合（1）問，因為
所以，即，
所以，即.
因為在銳角中，，所以.
因為，所以.
在中，由正弦定理可得，即，
在中易得，
，
因為為銳角三角形，且，且易得，
所以，得，所以，
易得，即，
所以.
故面積的取值范圍為.

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