一、選擇題
1．等差數(shù)列的首項(xiàng)，且，則( )
A.4044B.4045C.4046D.4047
2．2023年第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行,亞運(yùn)會(huì)的吉祥物琮琮、蓮蓮、宸宸深受大家喜愛,某商家統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月銷量,如表所示：若y與x線性相關(guān),且線性回歸方程為,則下列說法不正確的是( )
A.由題中數(shù)據(jù)可知,變量y與x負(fù)相關(guān)
B.當(dāng)時(shí),殘差為0.2
C.可以預(yù)測當(dāng)時(shí)銷量約為2.1萬只
D.線性回歸方程中
3．已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為( )
A.B.1C.2D.3
4．函數(shù)（,）圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差為,且點(diǎn)是函數(shù)圖象的對稱中心,則函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間為( )
A.B.C.D.
5．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為( )
A.B.
C.D.
6．已知函數(shù)，下列關(guān)于的四個(gè)命題，其中是假命題是( )
A.函數(shù)在上是增函數(shù)
B.函數(shù)的最小值為0
C.如果時(shí)，，則t的最小值為2
D.函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)
7．2024年3月12日植樹節(jié)期間，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)政府為了發(fā)展農(nóng)村經(jīng)濟(jì)，根據(jù)當(dāng)?shù)氐牡乩韮?yōu)勢計(jì)劃從A，B，C三種經(jīng)濟(jì)作物中選取兩種進(jìn)行種植推廣.通過調(diào)研得到當(dāng)?shù)卮迕裨敢夥N植A，B，C的概率均分別為,,，若從當(dāng)?shù)卮迕裰须S機(jī)選取4人進(jìn)行交流，則其中至少有2人愿意種值A(chǔ)，且至少有1人愿意種植B時(shí)概率為( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù)，若數(shù)列,為遞增數(shù)列，則稱函數(shù)為“數(shù)列保增函數(shù)”，已知函數(shù)為“數(shù)列保增函數(shù)”，則的取值范圍是( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．一個(gè)不透明的口袋中有8個(gè)大小相同的球，其中紅球5個(gè)，白球2個(gè)，黑球1個(gè)，則下列選項(xiàng)正確的有( )
A.從該口袋中任取3個(gè)球，設(shè)取出的紅球個(gè)數(shù)為，則數(shù)學(xué)期望
B.每次從該口袋中任取一個(gè)球，記錄下顏色后放回口袋，先后取了3次，設(shè)取出的紅球次數(shù)為，則方差
C.從該口袋中任取3個(gè)球，設(shè)取出的球的顏色有X種，則數(shù)學(xué)期望
D.每次從該口袋中任取一個(gè)球，不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出的白球的個(gè)數(shù)為Y，則數(shù)學(xué)期望
10．已知函數(shù)在處取到極大值1，則以下結(jié)論正確的是( )
A.B.C.D.
11．如圖，四棱臺(tái)的側(cè)棱長均相等，四邊形和四邊形都是矩形，，，，，，則下列結(jié)論正確的是( )
A.該四棱臺(tái)的體積為1344
B.該四棱臺(tái)的側(cè)面積為
C.該四棱臺(tái)外接球的表面積為
D.若在該四棱臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球體，則該球體半徑的最大值為
三、填空題
12．已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓,若圓錐的表面積為,則該圓錐的體積為________.
13．已知函數(shù)滿足，若，則________.
14．已知有窮數(shù)列的首項(xiàng)為1,末項(xiàng)為12,且任意相鄰兩項(xiàng)之間滿足,則符合上述要求的不同數(shù)列的個(gè)數(shù)為________.
四、解答題
15．如圖，在三棱柱中，已知平面，，，，點(diǎn)D，E分別在棱和棱上，且，，M為線段的中點(diǎn).
（1）求證：；
（2）求二面角的平面角的正弦值.
16．已知雙曲線過點(diǎn)，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，直線與直線的斜率之和為3.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過雙曲線右焦點(diǎn)的直線l交雙曲線右支于P，Q（P在第一象限）兩點(diǎn)，，E是雙曲線上一點(diǎn)，的重心在x軸上，求點(diǎn)E的坐標(biāo).
17．某種資格證考試分為筆試和面試兩部分，考試流程如下：每位考生一年內(nèi)最多有2次筆試的機(jī)會(huì)，最多有2次面試的機(jī)會(huì).考生先參加筆試，一旦某次筆試通過，不再參加以后的筆試，轉(zhuǎn)而參加面試；一旦某次面試通過，不再參加以后的面試，便可領(lǐng)取資格證書，否則就繼續(xù)參加考試.若2次筆試均未通過，或通過了筆試但2次面試均未通過，則考試失敗.甲決定參加考試，直至領(lǐng)取資格證書或考試失敗，他每次參加筆試通過的概率均為，每次參加面試通過的概率均為，且每次考試是否通過相互獨(dú)立.
(1)求甲在一年內(nèi)考試失敗的概率.
(2)求甲在一年內(nèi)參加考試次數(shù)X的分布列及期望.
(3)已知參加首次面試的N名考生全都來自A，B兩個(gè)地區(qū)，其中來自A地區(qū)的考生人數(shù)為.根據(jù)資格證考試要求：所有面試人員提前到場，并隨機(jī)給每人安排一個(gè)面試號(hào)碼，按面試號(hào)碼k由小到大依次進(jìn)行面試，每人面試時(shí)長10分鐘，面試完成后自行離場.記隨機(jī)變量Y表示從面試的第一名考生開始面試到最后一名A地區(qū)考生完成面試所用的時(shí)間，忽略其他損耗的時(shí)間，用表示Y的數(shù)學(xué)期望，證明：.
18．已知函數(shù).
(1)用單調(diào)性的定義判斷在上的單調(diào)性，并求在上的值域；
(2)若函數(shù)的最小作為m，且對恒成立，求a的取值范圍.
19．現(xiàn)有n枚游戲幣,,,，游戲幣是有偏向的，向上拋出后，它落下時(shí)正面朝上的概率為.甲、乙利用這n枚游戲幣玩游戲.
(1)將,,這3枚游戲幣向上拋出，記落下時(shí)正面朝上的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列；
(2)將這n枚游戲幣向上拋出，規(guī)定若落下時(shí)正面朝上的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝，請判斷這個(gè)游戲規(guī)則是否公平，并說明理由.
參考答案
1．答案：B
解析：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，
所以,
又，
所以，解得,
所以，
故選:B.
2．答案：B
解析：對于選項(xiàng)A,從數(shù)據(jù)看,y隨x的增大而減小,所以變量y與x負(fù)相關(guān),故A正確;
對于選項(xiàng)B,由表中數(shù)據(jù)知,,
所以樣本中心點(diǎn)為,將樣本中心點(diǎn)代入中得,
所以線性回歸方程為,所以,殘差,故B錯(cuò)誤;
對于選項(xiàng)C,當(dāng)時(shí)銷量約為（萬只）,故C正確.
對于選項(xiàng)D,由B選項(xiàng)可知,故D正確.
故選：B.
3．答案：B
解析：設(shè)正三棱臺(tái)的高為h，三條側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)P，作平面ABC于點(diǎn)O，PO交平面于點(diǎn)，連接，，如圖所示.由，可得，，又，，所以正三棱臺(tái)的體積，解得，故.由正三棱臺(tái)的性質(zhì)可知，O為底面ABC的中心，則，因?yàn)槠矫鍭BC，所以是與平面ABC所成的角，在中，，故選B.
4．答案：A
解析：因?yàn)椋?）圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差為,
所以,所以,所以,
則,
因?yàn)辄c(diǎn)是函數(shù)圖象的對稱中心,
所以,
所以,,故,,
又因,所以,
所以,
令,,
則,,
因?yàn)?所以,
所以函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間為.
故選：A.
5．答案：A
解析：由函數(shù)的圖象可得：
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則，
由①或②
解①得，，解②得，，
綜上，不等式的解集為.
故選：A.
6．答案：D
解析：對于A，因?yàn)?，求?dǎo)得，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A正確；
對于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
結(jié)合A選項(xiàng)得函數(shù)的最小值為0，故B正確；
對于C，當(dāng)時(shí)，，則的圖像如下所示：
如果時(shí)，，由圖可知t的最小值為2，故C正確；
對于D，由圖可知只有一個(gè)零點(diǎn)，故D不正確.
故選：D.
7．答案：D
解析：4人中，至少有2人愿意種植A，且至少有1人愿意種植B的可能性共有3種：
①有2人愿意種植A，愿意種植B，C的各有1人，
②有2人愿意種植A，有2人愿意種植B，
③有3人愿意種植A，有1人愿意種植B，
故所求概率P.
故選：D.
8．答案：B
解析：依題意，恒成立，
即，恒成立，
所以，恒成立，
又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，
所以，即的取值范圍是.
故選：B
9．答案：ABD
解析：對選項(xiàng)A，從該口袋中任取3個(gè)球，取出的紅球個(gè)數(shù)的可能取值為0，1，2，3，
則，，，，
則，故A正確；
對選項(xiàng)B，每次從該口袋中任取一個(gè)球，是紅球的概率為，則取出的紅球次數(shù)為，
則方差，故B正確;
對選項(xiàng)C，從該口袋中任取3個(gè)球，取出的球的顏色有X種，X的可能取值為1，2，3，
則，，則，
則，故C錯(cuò)誤；
對選項(xiàng)D，每次從該口袋中任取一個(gè)球，不放回，拿出紅球即停，拿出白球的個(gè)數(shù)Y的可能取值為0，1，2，
則，
，，
則，故D正確；
故選：ABD
10．答案：ABC
解析：因?yàn)?，則.
函數(shù)在處取到極大值1.則，則A正確；
兩式子相減，得到，即，則B正確；
由前面知道，，則，
由于函數(shù)在處取到極大值，則函數(shù)的附近單調(diào)性為“左增右減”.
則，對于時(shí)，，
即，即，即，
即，則.則C正確，D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
11．答案：ABD
解析：如圖1，連接，交于點(diǎn)O，連接，交于點(diǎn)，連接.
由題意可得，，
則，.在直角梯形中，，
該棱臺(tái)的體積，A正確.
梯形的高為，梯形的高為，
則梯形的面積，
梯形的面積，
該四棱臺(tái)的側(cè)面積為，B正確.
設(shè)該四棱臺(tái)外接球的球心為，半徑為R，結(jié)合題意可得在線段上，
設(shè)，則，由勾股定理得，解得，
則，該四棱臺(tái)外接球的表面積為，C錯(cuò)誤.
因?yàn)椋援?dāng)該球體的半徑最大時(shí)，該球體與平面及平面相切，
設(shè)切點(diǎn)分別為Q，P，該球體的球心為，半徑為r，
過點(diǎn)Q，P，O，的截面與棱，，，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N，
連接，交于點(diǎn)T，如圖2.
，，由,則，,
解得，所以，同理求得.
因?yàn)?，所以，即，解得?br>經(jīng)檢驗(yàn)，，符合題意，D正確，
故選：ABD
12．答案：/
解析：設(shè)圓錐母線長為R,底面圓半徑長r,
因?yàn)閭?cè)面展開圖是一個(gè)半圓,此半圓半徑為R,半圓弧長為,
所以,即,因?yàn)楸砻娣e是側(cè)面積與底面積的和,
所以,所以,,則圓錐的高,
所以.
故答案為:
13．答案：99
解析：由題可知：
，
令，可得，即，
所以.
故答案為：99.
14．答案：144
解析：依題意,首項(xiàng)和末項(xiàng)相差11,而任意相鄰兩項(xiàng)之間滿足,,
當(dāng)時(shí),即后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差均為1,數(shù)列的個(gè)數(shù)為1;
當(dāng)時(shí),即后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差出現(xiàn)一個(gè)2,九個(gè)1,數(shù)列的個(gè)數(shù)為;
當(dāng)時(shí),即后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差出現(xiàn)兩個(gè)2,七個(gè)1,數(shù)列的個(gè)數(shù)為;
當(dāng)時(shí),即后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差出現(xiàn)三個(gè)2,五個(gè)1,數(shù)列的個(gè)數(shù)為;
當(dāng)時(shí),即后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差出現(xiàn)四個(gè)2,三個(gè)1,數(shù)列的個(gè)數(shù)為;
當(dāng)時(shí),即后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差出現(xiàn)五個(gè)2,一個(gè)1,數(shù)列的個(gè)數(shù)為,
所以符合上述要求的不同數(shù)列的個(gè)數(shù)為.
故答案為:144
15．答案：（1）證明見解析；
（2）
解析：以C為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，
，，，
（1），，
從而，所以.
（2）依題意，是平面的一個(gè)法向量，
，
設(shè)為平面的法向量，
則即
不妨設(shè)，可得.
則，
.
所以，二面角的正弦值為.
16．答案：(1)；
(2)或
解析：（1）依題意左、右頂點(diǎn)分別為，，
所以，解得，
將代入得，解得，
故雙曲線方程為；
（2）設(shè)，，直線l的方程為，
將代入整理得，，
，，又由，
代入上式得，解得，，
因?yàn)榈闹匦脑趚軸上，所以，
所以，代入雙曲線得，
故或.
17．答案：(1)；
(2)分布列見解析，；
(3)證明見解析
解析：（1）甲每次參加筆試未通過的概率均為，每次參加面試未通過的概率均為.
甲2次筆試均未通過的概率為，
甲通過了第一次筆試，但2次面試均未通過的概率為，
甲未通過第一次筆試，通過了第二次筆試，但2次面試均未通過的概率為，
所以甲在一年內(nèi)考試失敗的概率為.
（2）由題意得X的可能取值為2，3，4，
，
，
，
X的分布列為
故.
（3）由題意得Y的可能取值為，，…，10N，
則Y的分布列為，其中，
所以
.
故.
18．答案：(1)在上單調(diào)遞增，；
(2)
解析：（1）設(shè)，是上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且.
（方法一）
，
因?yàn)?，為增函?shù)，所以，，
所以，即，所以在上單調(diào)遞增.
（方法二），
因?yàn)?，所以，?br>所以，又，，
所以，所以在上單調(diào)遞增.
故在上的值域?yàn)?，?
（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br>所以的定義域也為.
因?yàn)榈淖钚≈禐閙，所以的最小值也為m.
因?yàn)闉殛P(guān)于t的增函數(shù)，所以為增函數(shù)，
又，所以.
由，
得，
依題意可得，
解得，則a的取值范圍是.
19．答案：(1)分布列見解析；
(2)答案見解析
解析：（1）記事件為“第枚游戲幣向上拋出后，正面朝上”，則，，2，，.
X可取0，1，2，3.
由事件相互獨(dú)立，
則.
.
.
.
故分布列為：
（2）因?yàn)檎娉蟼€(gè)數(shù)為奇數(shù)，則甲勝.
現(xiàn)在考慮依次拋這n枚游戲幣，即按照，，，的順序拋這n枚游戲幣.
記拋第枚游戲幣后，正面朝上的游戲幣個(gè)數(shù)為奇數(shù)的概率為，.
舉兩個(gè)例子：
表示拋后，正面朝上的游戲幣個(gè)數(shù)為奇數(shù)的概率，故只能正面朝上，；
表示拋后，正面朝上的游戲幣個(gè)數(shù)為奇數(shù)的概率，此時(shí)有兩種情況：
①前面拋出游戲幣正面朝上個(gè)數(shù)為奇數(shù)，反面朝上；
②前面拋出正面朝上個(gè)數(shù)為偶數(shù)，正面朝上.
故.
故當(dāng)時(shí)，有，
（第一項(xiàng)“”表示前次正面朝上游戲幣個(gè)數(shù)為奇數(shù)，從而加上0仍為奇數(shù)；
第二項(xiàng)“”表示前次正面朝上游戲幣為偶數(shù)，從而加上1為奇數(shù)）.
故.
即，即，.
記，則，，
故數(shù)列為首項(xiàng)是，公差為的等差數(shù)列，故，
則，故，，則，故公平.
時(shí)間x
1
2
3
4
5
銷售量y/萬只
5
4.5
4
3.5
2.5
X
2
3
4
P
X
0
1
2
3
P

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