數(shù)學(xué)丨河南省漯河市高級(jí)中學(xué)2024屆高三上學(xué)期８月開(kāi)學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試卷及答案

這是一份數(shù)學(xué)丨河南省漯河市高級(jí)中學(xué)2024屆高三上學(xué)期８月開(kāi)學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試卷及答案，共16頁(yè)。試卷主要包含了函數(shù)的圖象大致是等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?漯河市高級(jí)中學(xué) 2023—2024 學(xué)年高三（上）摸底考試
數(shù) 學(xué)

考生注意：
1.開(kāi)考前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需要改動(dòng)，用橡皮檫干凈后，再涂選其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在試卷上無(wú)效。
3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。


一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.下面四個(gè)命題正確的是( )
A.10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)集合是
B.0與表示同一個(gè)集合
C.方程的解集是
D.由1，2，3組成的集合可表示為或
2.若復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，且滿足，則( )
A. B. C. D.
3.已知四面體的所有棱長(zhǎng)都等于2，E是棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CD上靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)，則等于( )
A. B. C. D.
4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”章中有一道“兩鼠穿墻”問(wèn)題：有厚墻5尺，兩只老鼠從墻的兩邊相對(duì)分別打洞穿墻，大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半。問(wèn)兩鼠在第幾天相遇？( )
A. 第2天 B.第3天 C.第4天 D.第5天
5.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐側(cè)面積的一半，那么其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為( )
A. B. C. D.
6.設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為n.若，則直線l與平面所成的角為( )
A. B. C. D.
7.若對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y都有，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( )
A. B. C. D.
8.函數(shù)的圖象大致是( )
A. B. C. D.


二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.
9.已知集合有且僅有兩個(gè)子集，則下列結(jié)論正確的是( )
A.
B.
C.若不等式的解集為，則
D.若不等式的解集為，且，則
10.雙曲線C的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，漸近線方程為，則C的離心率為( )
A. B. C. D.
11.下列說(shuō)法正確的是( )
A.點(diǎn)斜式適用于不垂直于x軸的任何直線
B.斜截式適用于不垂直于x軸的任何直線
C.兩點(diǎn)式適用于不垂直于x軸和y軸的任何直線
D.截距式適用于不過(guò)原點(diǎn)的任何直線
12.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.函數(shù)在處取得極大值
B.方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根
C.
D.若不等式在上恒成立，則

三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.
13.已知函數(shù)，，如果對(duì)任意的，，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.
14.已知函數(shù) 在 上是增函數(shù), 則a 的取值范圍是__________.
15.如圖，某空間幾何體由一個(gè)直三棱柱和一個(gè)長(zhǎng)方體組成，若，，P，Q，M，N分別是棱，，，的中點(diǎn)，則異面直線PQ與MN所成角的余弦值是___________.

16.在等差數(shù)列中，，公差為d，前n項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，則d的取值范圍為_(kāi)________.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.（10分）
已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.







18.（12分）
如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，直線.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上.

（1）若圓心C也在直線上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；
（2）若圓C上存在點(diǎn)M，使，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.







19.（12分）
已知函數(shù)，且，.
（1）求的解析式；
（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明.







20.（12分）
某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶。為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：
最高氣溫






天數(shù)
2
16
36
25
7
4
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.
(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率.
(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率.





21.（12分）
已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，y軸，且過(guò)，兩點(diǎn).
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得直線l與圓相切，與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn))?若存在，請(qǐng)求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.






22.（12分）
某新建小區(qū)規(guī)劃利用一塊空地進(jìn)行配套綠化.如圖，已知空地的一邊是直路AB，余下的外圍是拋物線的一段，AB的中垂線恰是該拋物線的對(duì)稱軸，O是AB的中點(diǎn).擬在這塊地上劃出一個(gè)等腰梯形ABCD區(qū)域種植草坪，其中A，B，C，D均在該拋物線上.經(jīng)測(cè)量，直路AB段長(zhǎng)為60米，拋物線的頂點(diǎn)P到直路AB的距離為40米.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.

（1）求該段拋物線的方程；
（2）當(dāng)CD長(zhǎng)為多少米時(shí)，等腰梯形草坪ABCD的面積最大？


參 考 答 案

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.答案：D
解析：10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，故A錯(cuò)誤；0是集合中的一個(gè)元素，故B錯(cuò)誤；由集合元素的互異性可知錯(cuò)誤，故C錯(cuò)誤；由集合元素的無(wú)序性可知D正確.故選D.
2.答案：C
解析：根據(jù)已知有：因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足：，即，故或，因?yàn)閺?fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，故復(fù)數(shù)，所以.故選C.
3.答案：D
解析：因?yàn)镋是棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CD上靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)，所以，所以.因?yàn)椋?br /> ，
，所以.故選D.
4.答案：B
解析：第一天：大老鼠1+小老鼠1=2；
第二天：大老鼠2+小老鼠1.5=3.5
第三天：大老鼠4+小老鼠1.75=5.75相遇
5.答案：D
解析：設(shè)正四棱錐的高為h，底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)面三角形底邊上的高為，則
由題意可知，，
因此有
，
即，
解得，
因?yàn)椋?br /> 所以.
所以側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為.
故選：D.
6.答案：A
解析：由題意，設(shè)直線l與平面所成的角為，則.由，得.故選A.
7.答案：A
解析：因?yàn)椋?br /> 所以，設(shè)，，則，，
令
恒成立，故單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
故所以，得到.
8.答案：C
解析：由，得.
令，則，
所以在上單調(diào)遞減.
又，，
所以存在，使得，
所以當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
故選：C.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.
9.答案：ABD
解析：由于集合有且僅有兩個(gè)子集，所以，.因?yàn)椋?，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故A正確.，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故B正確.不等式的解集為，則，故C錯(cuò)誤.不等式的解集為，即不等式的解集為，且，又因?yàn)椋?，所以，所以，故D正確.選ABD.
10.答案：AB
解析：當(dāng)雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，漸近線為，可設(shè)，，則，離心率；當(dāng)雙曲線C的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，漸近線為，可設(shè)，，則，離心率，故選AB.
11.答案：ABC
解析：A，B，C均正確，D中，與坐標(biāo)軸平行的直線也不能用截距式表示.
12.答案：AC
解析：易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，則，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以方程不可能有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，選項(xiàng)C正確；不等式在上恒成立即不等式在上恒成立，令，則，令，則，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，，所以，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選AC.
三、填空題：每小題5分，共4小題，共20分.
13.答案：
解析：求導(dǎo)函數(shù)，可得，，，，

在上單調(diào)遞增，
，
對(duì)任意的，，都有成立，
，
，
故答案為：.
14.答案：
解析：函數(shù)在上是增函數(shù)，可得解得，所以a的取值范圍函數(shù)，可得為.
15.答案：
解析：以D為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，.因?yàn)?，，所以為等腰直角三角形，所以也為等腰直角三角?又平面與平面均與x軸垂直，所以，.又P，Q，M，N分別是，，，的中點(diǎn)，所以，，，，所以，，所以，所以直線PQ與直線MN所成角的余弦值為.
16.答案：
解析：由題意知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有最大值，可得即解得.

四、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.（10分）答案：（1）
（2）
解析：（1），
，，解得，；
（2）由題可知，，
，

18.（12分）答案：（1）或，即或
（2）
解析：（1）由得則圓心.
又圓C的半徑為1，圓C的方程為.
顯然切線的斜率一定存在，設(shè)所求圓C的切線方程為，即.
，，
，或.
所求圓C的切線方程為或，即或.
（2）設(shè)，則由，得，即，故點(diǎn)M的軌跡方程為，記為圓D.
根據(jù)題意只要保證圓D與圓C有公共點(diǎn)即可.
設(shè)，則，即，解得.
圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.
19.（12分）答案：（1）
（2）單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析
解析：（1）由題意，得，即，
解得：，.故.
（2）方法一：在上單調(diào)遞增.
證明：，且，則.
由，得，，，
所以，即.故在上單調(diào)遞增.
方法二：在上單調(diào)遞增.
證明：，且，則
.
由，得，，所以.故在上單調(diào)遞增.
20.（12分）答案：（1）概率的估計(jì)值為0.6
（2）概率的估計(jì)值為0.8
解析：（1）這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表中數(shù)據(jù)可知，最高氣溫低于25的頻率為.
所以這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率的估計(jì)值為0.6.
（2）當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，若最高氣溫低于20，
則；
若最高氣溫位于區(qū)間，則；
若最高氣溫不低于25，測(cè)，所以，利潤(rùn)Y的所有可能值為-100，300，900.
Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為.
因此Y大于零的90概率的估計(jì)值為0.8.
21.（12分）答案：（1）
（2）不存在直線l滿足題意，理由見(jiàn)解析
解析：（1）設(shè)橢圓C的方程為.因?yàn)檫^(guò)，兩點(diǎn)，故解得，所以橢圓C的方程為.
（2）假設(shè)存在直線l滿足題意.
(i)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)l的方程為.
當(dāng)時(shí)，，，，
同理可得，當(dāng)時(shí)，.
(ii)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為，設(shè)，，
因?yàn)橹本€l與圓O相切，所以，即①，
聯(lián)立方程組整理得，，
由根與系數(shù)的關(guān)系得
因?yàn)椋?
所以，
所以，
整理得②，
聯(lián)立①②，得，此時(shí)方程無(wú)解.
由(i)(ii)可知，不存在直線l滿足題意.
22.（12分）答案：（1），
（2）20米時(shí)，等腰梯形草坪ABCD的面積最大
解析：（1）設(shè)該拋物線的方程為，由條件知，，，
所以，解得，故該段拋物線的方程為，.
（2）由（1）可設(shè)，所以梯形ABCD的面積，，設(shè)，，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值.故當(dāng)CD長(zhǎng)為20米時(shí)，等腰梯形草坪ABCD的面積最大.