一、選擇題
1．已知集合,,則( )
A.B.
C.D.
2．若,則( )
A.B.C.D.
3．已知向量,,若,則( )
A.1B.2C.3D.6
4．已知,則( )
A.B.C.D.1
5．已知一個(gè)圓柱的軸截面是正方形,一個(gè)圓錐與該圓柱的底面半徑及側(cè)面積均相等,則圓柱與圓錐的體積之比為( )
A.B.C.D.
6．已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
7．已知函數(shù)與,則下列說法錯(cuò)誤的是( )
A.與存在相同的對(duì)稱軸
B.與存在相同的對(duì)稱中心
C.與的值域相同
D.與在上有相同的單調(diào)性
8．已知函數(shù)滿足,則下列結(jié)論中正確的是( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,若,則( )
A.B.
C.D.
10．設(shè)函數(shù),則( )
A.當(dāng)時(shí),有三個(gè)零點(diǎn)
B.當(dāng)時(shí),無極值點(diǎn)
C.,使在R上是減函數(shù)
D.,圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)不變
11．到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為大于零的常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線.設(shè)和且,動(dòng)點(diǎn)M滿足,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡顯然是卡西尼卵形線,記該卡西尼卵形線為曲線C,則下列描述正確的是( )
A.曲線C的方程是
B.曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱
C.曲線C與x軸沒有交點(diǎn)
D.的面積不大于
三、填空題
12．雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別是,,過且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A?B兩點(diǎn),若為正三角形,則雙曲線的離心率為_______________.
13．若曲線在處的切線恰好與曲線也相切,則_______________.
14．盒中有3個(gè)紅球、m個(gè)黃球、n個(gè)綠球,所有球除顏色不同外其他沒有任何區(qū)別.從盒中任抽兩球,抽到兩球均為紅球的概率為.從盒中任抽3個(gè)球,記其中紅球的個(gè)數(shù)為X,則________________.
四、解答題
15．記的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,.
(1)求角C;
(2)若外接圓的面積是,求面積的最大值.
16．設(shè),為橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓C上,點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B,四邊形的面積為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若過的直線l交橢圓C于M,N兩點(diǎn),求證：為定值.
17．如圖,在三棱柱中,平面平面,平面平面.

(1)證明：平面;
(2)若,,,求直線與平面所成角的余弦值.
18．已知函數(shù),,.
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍;
(3)若對(duì)任意恒成立,求a的取值范圍.
19．馬爾科夫鏈因俄國(guó)數(shù)學(xué)家安德烈?馬爾科夫得名,其過程具備“無記憶”的性質(zhì),即第次狀態(tài)的概率分布只跟第n次的狀態(tài)有關(guān),與第,,,次狀態(tài)無關(guān).馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型,也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石,在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測(cè)等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)有A,B兩個(gè)盒子,各裝有2個(gè)黑球和1個(gè)紅球,現(xiàn)從A,B兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒子,重復(fù)進(jìn)行次這樣的操作后,記A盒子中紅球的個(gè)數(shù)為,恰有1個(gè)紅球的概率為.
(1)求,的值;
(2)求的值（用n表示）;
(3)求證：的數(shù)學(xué)期望為定值.
參考答案
1．答案：D
解析：由可得,因在R上為增函數(shù),故,
則,故.
故選：D.
2．答案：A
解析：由,得,所以,
所以.
故選：A.
3．答案：D
解析：因?yàn)?,
所以,
若,則,所以.
故選：D.
4．答案：C
解析：由,
由,
可得,
所以.
故選：C.
5．答案：B
解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r,因?yàn)閳A柱軸截面是正方形,所以圓柱的高為,
依題意圓錐的底面半徑為r,設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,
因?yàn)閳A錐與該圓柱的側(cè)面積相等,所以,解得,
則圓錐的高為,
圓柱的體積,圓錐的體積,
所以.
故選：B.
6．答案：C
解析：當(dāng)時(shí),,依題須使恒成立,則;
當(dāng)時(shí),由在上遞增,須使,
即;
又由解得.
綜上可得,a的取值范圍是.
故選：C.
7．答案：B
解析：對(duì)于A,令,,得的對(duì)稱軸為,,
令,,得的對(duì)稱軸為,,顯然與有相同的對(duì)稱軸,A正確;
對(duì)于,令,,得的對(duì)稱中心為,,
令,,得的對(duì)稱中心為,,
由得,
顯然不存在整數(shù),使成立,故與沒有相同的對(duì)稱中心,B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,與的值域顯然均為,C正確;
對(duì)于D,當(dāng)時(shí)
由在上遞增,
由在上遞減,
由在上遞增,
由在上遞減,
與均在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,D正確.
故選：B.
8．答案：A
解析：令得;
令,得,所以;
令,得,所以;
令,得,所以;
令,得.
綜上只有A正確.
故選：A.
9．答案：AB
解析：對(duì)于A,由知是1和3的中間值,故,故A正確;
對(duì)于B,C,在正態(tài)分布中,,故B正確,C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,當(dāng)時(shí),,由正態(tài)曲線的特征可得,,所以D錯(cuò)誤.
故選：AB.
10．答案：BD
解析：對(duì)于A,當(dāng)時(shí),,求導(dǎo)得,
令得或,由,得或,由,
得,于是在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
在處取得極大值,因此最多有一個(gè)零點(diǎn),A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,,當(dāng)時(shí),,即恒成立,
函數(shù)在R上單調(diào)遞增,無極值點(diǎn),B正確;
對(duì)于C,要使在R上是減函數(shù),則恒成立,
而不等式的解集不可能為R,C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,由,
得圖象對(duì)稱中心坐標(biāo)為,D正確.
故選：BD.
11．答案：ABD
解析：設(shè),由,
得,
化簡(jiǎn)得,故A正確;
該方程中把x改為或把y改為方程均不變,故B正確;
在方程中,令得,
當(dāng)時(shí),或,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故C不正確;
,故D正確.
故選：ABD.
12．答案：
解析： 為正三角形,
,又,
,
,（舍去）
故答案為：.
13．答案：-1
解析：對(duì)于：,可得,
當(dāng),則,,
可知曲線在處的切線是;
對(duì)于：,可得,
令得,
由切點(diǎn)在曲線上得.
故答案為：-1.
14．答案：
解析：設(shè)盒中共有k個(gè)球,則,解得,
依題意X滿足超幾何分布,故.
故答案為：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由,
得,
化簡(jiǎn)得,
因?yàn)?所以.
(2)設(shè)外接圓的半徑為R,則,所以,
又,所以,
所以,
又,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立,
即面積的最大值為.
16．答案：(1)
(2)證明見解析
解析：(1)設(shè)橢圓C的焦距為,因?yàn)?,
所以四邊形為平行四邊形,其面積設(shè)為S,
則,所以,
所以,
又,
解得,,
所以橢圓C的方程為.
(2),當(dāng)直線l與x軸重合時(shí),l的方程為,
此時(shí)不妨令,,則;
當(dāng)直線l與x軸不重合時(shí),l的方程可設(shè)為,
由,得,
設(shè),,則,,
,
綜上,為定值4.
17．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)如圖1,取O為內(nèi)一點(diǎn),
作,交于點(diǎn)E,作,交于點(diǎn)F,
因?yàn)槠矫嫫矫媲移矫嫫矫?平面,
所以平面,因?yàn)槠矫?所以,
同理,因?yàn)?且,平面,所以平面.
(2)因?yàn)?,兩兩垂直,以B為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,如圖2所示.
依題意,,,,
則,,,
設(shè)平面的法向量為,則,
令,則,,所以.
設(shè)直線與平面所成的角為,則.
因,故,故直線與平面所成角的余弦值為.
18．答案：(1)答案見解析
(2)
(3)
解析：(1)的定義域?yàn)?
當(dāng)時(shí),時(shí),;時(shí),;
當(dāng)時(shí),時(shí),;
當(dāng)時(shí),時(shí),;時(shí);
當(dāng)時(shí),時(shí);時(shí);
綜上,時(shí),的遞減區(qū)間是,遞增區(qū)間是;
時(shí),的遞增區(qū)間是,無遞減區(qū)間;
時(shí),的遞增區(qū)間是和,遞減區(qū)間是;
時(shí),的遞增區(qū)間是和,遞減區(qū)間是.
(2)令得,
設(shè),則,
當(dāng)時(shí),,在上遞減;當(dāng)時(shí),,在上遞增,
則.
又因時(shí),,時(shí),,作出函數(shù)的圖象,
由圖可得,要使直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),須使,
即,故a的取值范圍是.
(3)由得,
因,即得,（*）,
易得時(shí),不等式成立,
設(shè),,
則,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增,故,（*）恒成立;
當(dāng)時(shí),設(shè),
則方程有兩根,,,,可得,,
當(dāng)時(shí),,則,在上單調(diào)遞減;
又,所以當(dāng)時(shí),,不滿足條件,
綜上,a的取值范圍是.
19．答案：(1),
(2)
(3)證明見解析
解析：(1)設(shè)第次操作后A盒子中恰有2個(gè)紅球的概率為,
則沒有紅球的概率為.
由題意知,
(2)因?yàn)?
所以.
又因?yàn)?所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.
所以,
(3)因?yàn)?①
②
所以①一②,得.
又因?yàn)?所以,所以.
的可能取值是0,1,2,
所以的概率分布列為
所以.
所以的數(shù)學(xué)期望為定值1.
0
1
2
p

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