一、知識梳理
1．離散型隨機(jī)變量
(1)隨機(jī)變量
特點(diǎn)：隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化的變量．
表示：常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
(2)離散型隨機(jī)變量的特點(diǎn)
所有取值可以一一列舉出來．
2．離散型隨機(jī)變量的分布列
(1)定義：若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則下表
稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，有時也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
(2)性質(zhì)：
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))pi＝1.
3．常見的兩類特殊分布列
(1)兩點(diǎn)分布
若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則其分布列為
其中p＝P(X＝1)稱為成功概率．
(2)超幾何分布
一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,M)Ceq \\al(n－k,N－M),Ceq \\al(n,N))，k＝0，1，2，…，m，即：
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．
常用結(jié)論
1．隨機(jī)變量的線性關(guān)系
若X是隨機(jī)變量，Y＝aX＋b，a，b是常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量．
2．分布列性質(zhì)的兩個作用
(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值．
(2)隨機(jī)變量ξ所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率．
二、教材衍化
1．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：
則p＝________．
解析：由分布列的性質(zhì)知，eq \f(1,12)＋eq \f(1,6)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)＋p＝1，
所以p＝1－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
2．有一批產(chǎn)品共12件，其中次品3件，每次從中任取一件，在取到合格品之前取出的次品數(shù)X的所有可能取值是________．
解析：因?yàn)榇纹饭灿?件，所以在取到合格品之前取到次品數(shù)為0，1，2，3.
答案：0，1，2，3
3．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為
則P(|X－3|＝1)＝________．
解析：由eq \f(1,3)＋m＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,6)＝1，解得m＝eq \f(1,4)，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,6)＝eq \f(5,12).
答案：eq \f(5,12)
一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機(jī)變量．( )
(2)離散型隨機(jī)變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的．( )
(3)離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和．( )
(4)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布．( )
(5)由下表給出的隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
二、易錯糾偏
eq \a\vs4\al(常見誤區(qū))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)隨機(jī)變量的概念不清；
(2)超幾何分布類型掌握不準(zhǔn)；
(3)分布列的性質(zhì)不清致誤．
1．袋中有3個白球、5個黑球，從中任取兩個，可以作為隨機(jī)變量的是( )
A．至少取到1個白球 B．至多取到1個白球
C．取到白球的個數(shù) D．取到的球的個數(shù)
解析：選C．A，B兩項(xiàng)表述的都是隨機(jī)事件，D項(xiàng)是確定的值2，并不隨機(jī)；C項(xiàng)是隨機(jī)變量，可能取值為0，1，2.故選C．
2．一盒中有12個乒乓球，其中9個新的、3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨機(jī)變量，則P(X＝4)＝________．
解析：{X＝4}表示從盒中取了2個舊球，1個新球，故P(X＝4)＝eq \f(Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,9),Ceq \\al(3,12))＝eq \f(27,220).
答案：eq \f(27,220)
3．設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(X＝0)＝________．
解析：由已知得X的所有可能取值為0，1，且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
考點(diǎn)一 離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)(基礎(chǔ)型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))在對具體問題的分析中，理解取有限值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念．
核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象
設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為
求：(1)2X＋1的分布列；
(2)P(1＜X≤4)．
【解】 由分布列的性質(zhì)知：
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，
解得m＝0.3.
(1)2X＋1的分布列：
(2)P(1＜X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.1＋0.3＋0.3＝0.7.
【遷移探究】 (變問法)在本例條件下，求|X－1|的分布列．
解：|X－1|的分布列：
eq \a\vs4\al()
離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用
(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗(yàn)，以保證每個概率值均為非負(fù)值．
(2)若X為隨機(jī)變量，則2X＋1仍然為隨機(jī)變量，求其分布列時可先求出相應(yīng)的隨機(jī)變量的值，再根據(jù)對應(yīng)的概率寫出分布列．
1．設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，其分布列為
則q的值為( )
A．1 B．eq \f(3,2)±eq \f(\r(33),6)
C．eq \f(3,2)－eq \f(\r(33),6) D．eq \f(3,2)＋eq \f(\r(33),6)
解析：選C．由分布列的性質(zhì)知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－3q≥0，,q2≥0，,\f(1,3)＋2－3q＋q2＝1，))
解得q＝eq \f(3,2)－eq \f(\r(33),6).
2．離散型隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為P(X＝n)＝eq \f(a,n(n＋1))(n＝1，2，3，4)，其中a是常數(shù)，則P(eq \f(1,2)＜X＜eq \f(5,2))的值為________．
解析：由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1×2)＋\f(1,2×3)＋\f(1,3×4)＋\f(1,4×5)))×a＝1，知eq \f(4,5)a＝1，得a＝eq \f(5,4).
故Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＜X＜\f(5,2)))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq \f(1,2)×eq \f(5,4)＋eq \f(1,6)×eq \f(5,4)＝eq \f(5,6).
答案：eq \f(5,6)
考點(diǎn)二 超幾何分布(基礎(chǔ)型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))通過實(shí)例理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用．
核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模
在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗(yàn)的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示．
(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列．
【解】 (1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M，
則P(M)＝eq \f(Ceq \\al(4,8),Ceq \\al(5,10))＝eq \f(5,18).
(2)由題意知X可取的值為0，1，2，3，4，則
P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(5,6),Ceq \\al(5,10))＝eq \f(1,42)，
P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(4,6)Ceq \\al(1,4),Ceq \\al(5,10))＝eq \f(5,21)，
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(3,6)Ceq \\al(2,4),Ceq \\al(5,10))＝eq \f(10,21)，
P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(3,4),Ceq \\al(5,10))＝eq \f(5,21)，
P(X＝4)＝eq \f(Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(4,4),Ceq \\al(5,10))＝eq \f(1,42).
因此X的分布列為
【遷移探究1】 (變問法)若用X表示接受乙種心理暗示的男志愿者人數(shù)，求X的分布列．
解：由題意可知X的取值為1，2，3，4，5，則
P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(4,4),Ceq \\al(5,10))＝eq \f(1,42)，
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(3,4),Ceq \\al(5,10))＝eq \f(5,21)，
P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(3,6)Ceq \\al(2,4),Ceq \\al(5,10))＝eq \f(10,21)，
P(X＝4)＝eq \f(Ceq \\al(4,6)Ceq \\al(1,4),Ceq \\al(5,10))＝eq \f(5,21)，
P(X＝5)＝eq \f(Ceq \\al(5,6),Ceq \\al(5,10))＝eq \f(1,42).
因此X的分布列為
【遷移探究2】 (變問法)若用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)與男志愿者人數(shù)之差，求X的分布列．
解：由題意可知X的取值為3，1，－1，－3，－5，
則P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(1,6),Ceq \\al(5,10))＝eq \f(1,42)，P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(2,6),Ceq \\al(5,10))＝eq \f(5,21)，
P(X＝－1)＝eq \f(Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(3,6),Ceq \\al(5,10))＝eq \f(10,21)，P(X＝－3)＝eq \f(Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(4,6),Ceq \\al(5,10))＝eq \f(5,21)，
P(X＝－5)＝eq \f(Ceq \\al(5,6),Ceq \\al(5,10))＝eq \f(1,42).
因此X的分布列為
eq \a\vs4\al()
(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù)．
(2)超幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體個數(shù)X的概率分布．
(3)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型．
(2020·鄭州模擬)為創(chuàng)建國家級文明城市，某城市號召出租車司機(jī)在高考期間至少進(jìn)行一次“愛心送考”，該城市某出租車公司共200名司機(jī)，他們進(jìn)行“愛心送考”的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示．
(1)求該出租車公司的司機(jī)進(jìn)行“愛心送考”的人均次數(shù)；
(2)從這200名司機(jī)中任選兩人，設(shè)這兩人進(jìn)行送考次數(shù)之差的絕對值為隨機(jī)變量X，求X的分布列．
解：(1)由統(tǒng)計(jì)圖得200名司機(jī)中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，所以該出租車公司的司機(jī)進(jìn)行“愛心送考”的人均次數(shù)為eq \f(20×1＋100×2＋80×3,200)＝2.3.
(2)從該公司任選兩名司機(jī)，記“這兩人中一人送考1次，另一人送考2次”為事件A，“這兩人中一人送考2次，另一人送考3次”為事件B，
“這兩人中一人送考1次，另一人送考3次”為事件C，“這兩人送考次數(shù)相同”為事件D，
由題意知X的所有可能取值為0，1，2，
P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(Ceq \\al(1,20)Ceq \\al(1,100),Ceq \\al(2,200))＋eq \f(Ceq \\al(1,100)Ceq \\al(1,80),Ceq \\al(2,200))＝eq \f(100,199)，
P(X＝2)＝P(C)＝eq \f(Ceq \\al(1,20)Ceq \\al(1,80),Ceq \\al(2,200))＝eq \f(16,199)，
P(X＝0)＝P(D)＝eq \f(Ceq \\al(2,20)＋Ceq \\al(2,100)＋Ceq \\al(2,80),Ceq \\al(2,200))＝eq \f(83,199)，
所以X的分布列為
考點(diǎn)三 求離散型隨機(jī)變量的分布列(應(yīng)用型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))會求取有限個值的離散型隨機(jī)變量的分布列．
核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模
(2020·安陽模擬)某公司為了準(zhǔn)確把握市場，做好產(chǎn)品計(jì)劃，特對某產(chǎn)品做了市場調(diào)查：先銷售該產(chǎn)品50天，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)每天的銷售量x分布在[50，100)內(nèi)，且銷售量x的分布頻率
f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(n,10)－0.5，10n≤x＜10(n＋1)，n為偶數(shù)，,\f(n,20)－a，10n≤x＜10(n＋1)，n為奇數(shù).))
(1)求a的值并估計(jì)銷售量的平均數(shù)；
(2)若銷售量大于或等于70，則稱該日暢銷，其余為滯銷．在暢銷日中用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8天，再從這8天中隨機(jī)抽取3天進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，設(shè)這3天來自X個組，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望(將頻率視為概率)．
【解】 (1)由題意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(10n≥50，,10(n＋1)≤100，))
解得5≤n≤9，n可取5，6，7，8，9，
結(jié)合f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(n,10)－0.5，10n≤x＜10(n＋1)，n為偶數(shù)，,\f(n,20)－a，10n≤x＜10(n＋1)，n為奇數(shù)，))
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,10)－0.5))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,10)－0.5))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,20)－a))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,20)－a))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,20)－a))＝1，則a＝0.15.
可知銷售量分別在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)內(nèi)的頻率分別是0.1，0.1，0.2，0.3，0.3，
所以銷售量的平均數(shù)為55×0.1＋65×0.1＋75×0.2＋85×0.3＋95×0.3＝81.
(2)銷售量分布在[70，80)，[80，90)，[90，100)內(nèi)的頻率之比為2∶3∶3，所以在各組抽取的天數(shù)分別為2，3，3.
X的所有可能取值為1，2，3，
P(X＝1)＝eq \f(2,Ceq \\al(3,8))＝eq \f(2,56)＝eq \f(1,28)，
P(X＝3)＝eq \f(2×3×3,Ceq \\al(3,8))＝eq \f(18,56)＝eq \f(9,28)，
P(X＝2)＝1－eq \f(1,28)－eq \f(9,28)＝eq \f(9,14).
X的分布列為
數(shù)學(xué)期望E(X)＝1×eq \f(1,28)＋2×eq \f(9,14)＋3×eq \f(9,28)＝eq \f(16,7).
eq \a\vs4\al()
求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟
(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值；
(2)求X取每個值的概率；
(3)寫出X的分布列．求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對應(yīng)的概率，在求解時，要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識．
(2020·廣州市綜合檢測(一))為了引導(dǎo)居民合理用電，國家決定實(shí)行合理的階梯電價，居民用電原則上以住宅為單位(一套住宅為一戶)．
某市隨機(jī)抽取10戶同一個月的用電情況，得到統(tǒng)計(jì)表如下：
(1)若規(guī)定第一階梯電價每度0.5元，第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元，第三階梯超出第二階梯的部分每度0.8元，試計(jì)算某居民用電戶用電410度時應(yīng)交電費(fèi)多少元？
(2)現(xiàn)要從這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯電量的戶數(shù)的分布列．
解：(1)210×0.5＋(400－210)×0.6＋(410－400)×0.8＝227(元)．
(2)設(shè)取到第二階梯電量的戶數(shù)為ξ，可知第二階梯電量的用戶有3戶，則ξ可取0，1，2，3，
P(ξ＝0)＝eq \f(Ceq \\al(3,7),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(7,24)，
P(ξ＝1)＝eq \f(Ceq \\al(2,7)Ceq \\al(1,3),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(21,40)，
P(ξ＝2)＝eq \f(Ceq \\al(1,7)Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(7,40)，
P(ξ＝3)＝eq \f(Ceq \\al(3,3),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(1,120)，
故ξ的分布列為
[基礎(chǔ)題組練]
1．(2020·陜西咸陽模擬)設(shè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列為P(ξ＝k)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(k)，其中k＝0，1，2，那么a的值為( )
A．eq \f(3,5) B．eq \f(27,13)
C．eq \f(9,19) D．eq \f(9,13)
解析：選D．因?yàn)殡S機(jī)變量ξ的概率分布列為P(ξ＝k)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(k)，其中k＝0，1，2，所以P(ξ＝0)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(0)＝a，P(ξ＝1)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(1)＝eq \f(a,3)，P(ξ＝2)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(a,9)，所以a＋eq \f(a,3)＋eq \f(a,9)＝1，解得a＝eq \f(9,13).故選D．
2．在15個村莊中有7個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用X表示這10個村莊中交通不方便的村莊數(shù)，則下列概率中等于eq \f(Ceq \\al(4,7)Ceq \\al(6,8),Ceq \\al(10,15))的是( )
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
解析：選C．X服從超幾何分布，P(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,7)Ceq \\al(10－k,8),Ceq \\al(10,15))，故k＝4，故選C．
3．一袋中裝有5個球，編號為1，2，3，4，5，在袋中同時取出3個，以ξ表示取出的三個球中的最小號碼，則隨機(jī)變量ξ的分布列為( )
A．
B．
C．
D．
解析：選C．隨機(jī)變量ξ的可能取值為1，2，3，P(ξ＝1)＝eq \f(Ceq \\al(2,4),Ceq \\al(3,5))＝eq \f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(3,5))＝eq \f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq \f(Ceq \\al(2,2),Ceq \\al(3,5))＝eq \f(1,10)，故選C．
4．已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，其中次品數(shù)為ξ，已知P(ξ＝1)＝eq \f(16,45)，且該產(chǎn)品的次品率不超過40%，則這10件產(chǎn)品的次品率為( )
A．10% B．20%
C．30% D．40%
解析：選B．設(shè)10件產(chǎn)品中有x件次品，則P(ξ＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,x)·Ceq \\al(1,10－x),Ceq \\al(2,10))＝eq \f(x(10－x),45)＝eq \f(16,45)，所以x＝2或8.因?yàn)榇纹仿什怀^40%，所以x＝2，所以次品率為eq \f(2,10)＝20%.
5．(多選)(2020·山東煙臺期中)某人參加一次測試，在備選的10道題中，他能答對其中的5道，現(xiàn)從備選的10道題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測試，規(guī)定至少答對2題才算合格，則下列選項(xiàng)正確的是( )
A．答對0題和答對3題的概率相同，都為eq \f(1,8)
B．答對1題的概率為eq \f(3,8)
C．答對2題的概率為eq \f(5,12)
D．合格的概率為eq \f(1,2)
解析：選CD．設(shè)此人答對題目的個數(shù)為ξ，則ξ＝0，1，2，3，p(ξ＝0)＝eq \f(Ceq \\al(0,5)Ceq \\al(3,5),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(1,12)，P(ξ＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(2,5),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(5,12)，P(ξ＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,5),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(5,12)，P(ξ＝3)＝eq \f(Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(0,5),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(1,12)，則答對0題和答對3題的概率相同，都為eq \f(1,12)，故A錯誤；答對1題的概率為eq \f(5,12)，故B錯誤；答對2題的概率為eq \f(5,12)，故C正確；合格的概率P＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq \f(5,12)＋eq \f(1,12)＝eq \f(1,2)，故D正確；故選CD．
6．在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，X表示取到的次品數(shù)，則P(X＝2)＝________．
解析：由題意知，X服從超幾何分布，
其中N＝10，M＝3，n＝4，
故P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(2,7),Ceq \\al(4,10))＝eq \f(3,10).
答案：eq \f(3,10)
7．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，則所選3人中女生人數(shù)不超過1人的概率是________．
解析：設(shè)所選女生人數(shù)為X，則X服從超幾何分布，
則P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(0,2)Ceq \\al(3,4),Ceq \\al(3,6))＋eq \f(Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(4,5).
答案：eq \f(4,5)
8．隨機(jī)變量X的分布列如下：
其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范圍是________．
解析：因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，所以b＝eq \f(1,3)，
所以P(|X|＝1)＝a＋c＝eq \f(2,3).
又a＝eq \f(1,3)－d，c＝eq \f(1,3)＋d，
根據(jù)分布列的性質(zhì)，得0≤eq \f(1,3)－d≤eq \f(2,3)，0≤eq \f(1,3)＋d≤eq \f(2,3)，
所以－eq \f(1,3)≤d≤eq \f(1,3).
答案：eq \f(2,3) [－eq \f(1,3)，eq \f(1,3)]
9．在一個盒子中，放有標(biāo)號分別為1，2，3的三張卡片，現(xiàn)從這個盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號分別為x，y，記X＝|x－2|＋|y－x|.
(1)求隨機(jī)變量X的最大值，并求事件“X取得最大值”的概率；
(2)求隨機(jī)變量X的分布列．
解：(1)由題意知，x，y可能的取值為1，2，3，
則|x－2|≤1，|y－x|≤2，所以X≤3，且當(dāng)x＝1，y＝3或x＝3，y＝1時，X＝3，因此，隨機(jī)變量X的最大值為3.
有放回地抽兩張卡片的所有情況有3×3＝9(種)，
所以P(X＝3)＝eq \f(2,9).故隨機(jī)變量X的最大值為3，事件“X取得最大值”的概率為eq \f(2,9).
(2)X的所有可能取值為0，1，2，3.
當(dāng)X＝0時，只有x＝2，y＝2這一種情況；
當(dāng)X＝1時，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四種情況；
當(dāng)X＝2時，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2兩種情況；
當(dāng)X＝3時，有x＝1，y＝3或x＝3，y＝1兩種情況．所以P(X＝0)＝eq \f(1,9)，P(X＝1)＝eq \f(4,9)，P(X＝2)＝eq \f(2,9)，P(X＝3)＝eq \f(2,9).所以X的分布列為：
10.(2020·福州模擬)某市某超市為了回饋新老顧客，決定在2020年元旦來臨之際舉行“慶元旦，迎新年”的抽獎派送禮品活動．為設(shè)計(jì)一套趣味性抽獎送禮品的活動方案，該超市面向該市某高中學(xué)生征集活動方案，該中學(xué)某班數(shù)學(xué)興趣小組提供的方案獲得了征用．方案如下：將一個4×4×4的正方體各面均涂上紅色，再把它分割成64個相同的小正方體．經(jīng)過攪拌后，從中任取兩個小正方體，記它們的著色面數(shù)之和為ξ，記抽獎一次中獎的禮品價值為η.
(1)求P(ξ＝3)．
(2)凡是元旦當(dāng)天在該超市購買物品的顧客，均可參加抽獎．記抽取的兩個小正方體著色面數(shù)之和為6，設(shè)為一等獎，獲得價值50元的禮品；記抽取的兩個小正方體著色面數(shù)之和為5，設(shè)為二等獎，獲得價值30元的禮品；記抽取的兩個小正方體著色面數(shù)之和為4，設(shè)為三等獎，獲得價值10元的禮品，其他情況不獲獎．求某顧客抽獎一次獲得的禮品價值的分布列．
解：(1)64個小正方體中，三面著色的有8個，兩面著色的有24個，一面著色的有24個，另外8個沒有著色，
所以P(ξ＝3)＝eq \f(Ceq \\al(1,8)·Ceq \\al(1,8)＋Ceq \\al(1,24)·Ceq \\al(1,24),Ceq \\al(2,64))＝eq \f(640,2 016)＝eq \f(20,63).
(2)ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6，η的取值為50，30，10，0，
P(η＝50)＝P(ξ＝6)＝eq \f(Ceq \\al(2,8),Ceq \\al(2,64))＝eq \f(28,2 016)＝eq \f(1,72)，
P(η＝30)＝P(ξ＝5)＝eq \f(Ceq \\al(1,8)·Ceq \\al(1,24),Ceq \\al(2,64))＝eq \f(192,2 016)＝eq \f(2,21)，
P(η＝10)＝P(ξ＝4)＝eq \f(Ceq \\al(2,24)＋Ceq \\al(1,8)·Ceq \\al(1,24),Ceq \\al(2,64))＝eq \f(468,2 016)＝eq \f(13,56)，
P(η＝0)＝1－eq \f(1,72)－eq \f(2,21)－eq \f(13,56)＝eq \f(83,126).
所以η的分布列如下：
[綜合題組練]
1．某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理．
(1)若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，n∈N*)的函數(shù)解析式；
(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，求X的分布列．
解：(1)當(dāng)日需求量n≥17時，利潤y＝(10－5)×17＝85；當(dāng)日需求量n＜17時，利潤y＝10n－85，所以y關(guān)于n的解析式為
y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(10n－85，n＜17，,85，n≥17))(n∈N*)．
(2)X可取55，65，75，85，P(X＝55)＝0.1，P(X＝65)＝0.2，P(X＝75)＝0.16，P (X＝85)＝0.54.
X的分布列為：
2.(2020·湖南邵陽聯(lián)考)為了讓貧困地區(qū)的孩子們過一個溫暖的冬天，某校陽光志愿者社團(tuán)組織了“這個冬天不再冷”冬衣募捐活動，共有50名志愿者參與．志愿者的工作內(nèi)容有兩項(xiàng)：①到各班宣傳，倡議同學(xué)們積極捐獻(xiàn)冬衣；②整理、打包募捐上來的衣物．每位志愿者根據(jù)自身實(shí)際情況，只參與其中的某一項(xiàng)工作，相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：
(1)如果用分層抽樣的方法從這50名志愿者中抽取5人，再從這5人中隨機(jī)選2人，求至少有1人是參與班級宣傳的志愿者的概率；
(2)若參與班級宣傳的志愿者中有12名男生，8名女生，從中選出2名志愿者，用X表示女生人數(shù)，寫出隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
解：(1)用分層抽樣的方法，抽樣比是eq \f(5,50)＝eq \f(1,10)，
所以5人中參與班級宣傳的志愿者有20×eq \f(1,10)＝2(人)，
參與整理、打包衣物的志愿者有30×eq \f(1,10)＝3(人)，
故所求概率P＝1－eq \f(Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(2,5))＝eq \f(7,10).
(2)X的所有可能取值為0，1，2，
則P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(2,12),Ceq \\al(2,20))＝eq \f(33,95)，
P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,12)Ceq \\al(1,8),Ceq \\al(2,20))＝eq \f(48,95)，
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,8),Ceq \\al(2,20))＝eq \f(14,95)，
所以X的分布列為
所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq \f(33,95)＋1×eq \f(48,95)＋2×eq \f(14,95)＝eq \f(4,5).
3．(2020·安徽宿州三調(diào))為了適當(dāng)疏導(dǎo)電價矛盾，保障電力供應(yīng)，支持可再生能源發(fā)展，促進(jìn)節(jié)能減排，安徽省推出了省內(nèi)居民階梯電價的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)：以一個年度為計(jì)費(fèi)周期、月度滾動使用．第一階梯：年用電量在2 160度以下(含2 160度)，執(zhí)行第一檔電價0.565 3元/度；第二階梯：年用電量在2 161度到4 200度內(nèi)(含4 200度)，超出2 160度的電量執(zhí)行第二檔電價0.615 3元/度；第三階梯：年用電量在4 200度以上，超出4 200度的電量執(zhí)行第三檔電價0.865 3元/度．
某市的電力部門從本市的用戶中隨機(jī)抽取10戶，統(tǒng)計(jì)其同一年度的用電情況，列表如下：
(1)計(jì)算表中編號10的用戶該年應(yīng)交的電費(fèi)；
(2)現(xiàn)要在這10戶中任意選取4戶，對其用電情況進(jìn)行進(jìn)一步分析，求取到第二階梯的戶數(shù)的分布列．
解：(1)因?yàn)榈诙n電價比第一檔電價每度多0.05元，
第三檔電價比第一檔電價每度多0.3元，
編號為10的用戶一年的用電量是4 600度，
所以該戶該年應(yīng)交電費(fèi)
4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3＝2 822.38(元)．
(2)設(shè)取到第二階梯的戶數(shù)為X，
易知第二階梯的有4戶，則X的所有可能取值為0，1，2，3，4.
P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(0,4)Ceq \\al(4,6),Ceq \\al(4,10))＝eq \f(1,14)，
P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(3,6),Ceq \\al(4,10))＝eq \f(8,21)，
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,6),Ceq \\al(4,10))＝eq \f(3,7)，
P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,6),Ceq \\al(4,10))＝eq \f(4,35)，
P(X＝4)＝eq \f(Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(0,6),Ceq \\al(4,10))＝eq \f(1,210)，
故X的分布列是
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
0
1
P
1－p
p
X
0
1
…
m
P
eq \f(Ceq \\al(0,M)Ceq \\al(n－0,N－M),Ceq \\al(n,N))
eq \f(Ceq \\al(1,M)Ceq \\al(n－1,N－M),Ceq \\al(n,N))
…
eq \f(Ceq \\al(m,M)Ceq \\al(n－m,N－M),Ceq \\al(n,N))
X
1
2
3
4
5
P
eq \f(1,12)
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
p
X
1
2
3
4
P
eq \f(1,3)
m
eq \f(1,4)
eq \f(1,6)
X
2
5
P
0.3
0.7
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
X
－1
0
1
P
eq \f(1,3)
2－3q
q2
X
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,42)
eq \f(5,21)
eq \f(10,21)
eq \f(5,21)
eq \f(1,42)
X
1
2
3
4
5
P
eq \f(1,42)
eq \f(5,21)
eq \f(10,21)
eq \f(5,21)
eq \f(1,42)
X
3
1
－1
－3
－5
P
eq \f(1,42)
eq \f(5,21)
eq \f(10,21)
eq \f(5,21)
eq \f(1,42)
X
0
1
2
P
eq \f(83,199)
eq \f(100,199)
eq \f(16,199)
X
1
2
3
P
eq \f(1,28)
eq \f(9,14)
eq \f(9,28)
階梯級別
第一階梯
第二階梯
第三階梯
月用電范圍/度
[0，210]
(210，400]
(400，＋∞)
居民用電戶編號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
用電量/度
53
86
90
124
132
200
215
225
300
410
ξ
0
1
2
3
P
eq \f(7,24)
eq \f(21,40)
eq \f(7,40)
eq \f(1,120)
ξ
1
2
3
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
ξ
1
2
3
4
P
eq \f(1,10)
eq \f(1,5)
eq \f(3,10)
eq \f(2,5)
ξ
1
2
3
P
eq \f(3,5)
eq \f(3,10)
eq \f(1,10)
ξ
1
2
3
P
eq \f(1,10)
eq \f(3,10)
eq \f(3,5)
X
－1
0
1
P
a
b
c
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,9)
eq \f(4,9)
eq \f(2,9)
eq \f(2,9)
η
50
30
10
0
P
eq \f(1,72)
eq \f(2,21)
eq \f(13,56)
eq \f(83,126)
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
頻數(shù)
10
20
16
16
15
13
10
X
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
到班級宣傳
整理、打包衣物
總計(jì)
20人
30人
50人
X
0
1
2
P
eq \f(33,95)
eq \f(48,95)
eq \f(14,95)
用戶編號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年用電
量/度
1 000
1 260
1 400
1 824
2 180
2 423
2 815
3 325
4 411
4 600
X
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,14)
eq \f(8,21)
eq \f(3,7)
eq \f(4,35)
eq \f(1,210)

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