?第4課時(shí)　利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立(能成立)問(wèn)題


考點(diǎn)1　分離參數(shù)法解決恒(能)成立問(wèn)題——綜合性

已知函數(shù)f(x)＝2x－2ln x＋a，g(x)＝－ax－2，a∈R．
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)若f(x)＋g(x)＞0對(duì)任意的x∈恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：(1)因?yàn)閒(x)＝2x－2ln x＋a，定義域?yàn)?0，＋∞)，
所以f′(x)＝2－＝．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0，則f(x)單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)＞0，則f(x)單調(diào)遞增，
所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)．
(2)由題意可得，f(x)＋g(x)＞0對(duì)任意的x∈恒成立，
即a＞2＋對(duì)任意的x∈恒成立．
令h(x)＝2＋，則h′(x)＝．
令m(x)＝－2＋2ln x，則m′(x)＝．
當(dāng)x∈時(shí)，m′(x)＜0，則m(x)在上單調(diào)遞減．
又當(dāng)x＝時(shí)，m＝4－2＋2ln ＞0，
所以當(dāng)x∈時(shí)，m(x)＞0，即當(dāng)x∈時(shí)，h′(x)＞0，
所以h(x)在上單調(diào)遞增，
故h(x)＜h＝2－4ln 2，所以a≥2－4ln 2，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2－4ln 2，＋∞)．

分離參數(shù)解決恒(能)成立問(wèn)題的策略
(1)分離變量，構(gòu)造函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題．
(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；
a≥f(x)有解?a≥f(x)min；
a≤f(x)有解?a≤f(x)max．

已知函數(shù)f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝．
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)－g(x)＋ex≤0成立，求a的取值范圍．
解：(1)因?yàn)閒′(x)＝a－ex，x∈R，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)0時(shí)，令f′(x)＝0，得x＝ln a．
由f′(x)>0，得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，ln a)，
由f′(x)0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，ln a)，單調(diào)遞減區(qū)間為(ln a，＋∞)．
(2)因?yàn)榇嬖趚∈(0，＋∞)，使不等式f(x)－g(x)＋ex≤0成立，
所以ax≤，即a≤．
設(shè)h(x)＝，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≤max．
由h′(x)＝，令h′(x)＝0，得x＝．
當(dāng)x在(0，＋∞)內(nèi)變化時(shí)，h′(x)，h(x)隨x的變化情況如下表：
x
(0，)

(，＋∞)
h′(x)
＋
0
—
h(x)
↗
極大值
↘
由表可知，當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)h(x)有極大值，即最大值，為，所以a≤，
故a的取值范圍是．

考點(diǎn)2　等價(jià)轉(zhuǎn)化法解決恒(能)成立問(wèn)題——綜合性

(2022·沈陽(yáng)三模)已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)·e－ax，其中a≠0．
(1)若f(x)的極值為1，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若對(duì)任意x≥0，有f(x)≤x＋1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：(1)f(x)＝(x＋1)e－ax，則f′(x)＝－e－ax·[ax－(1－a)]，令f′(x)＝0，解得x＝－1．
①當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以f(x)的極小值為f ＝0，得x；
令g′(x)g(x2)?f(x)max>g(x)min．

已知函數(shù)f(x)＝x－(a＋1)ln x－(a∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex．
(1)當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，求f(x)的最小值；
(2)當(dāng)a0，h(a)單調(diào)遞增；
當(dāng)a∈(3－e，＋∞)時(shí)，h′(a)0，且h(3－e)＝e－2>0，
但是因?yàn)閔(2)＝0，所以0≤a≤2．

思路參考：分離參數(shù)，a≥(00．
又因?yàn)閤∈(0,1)，所以0，
所以h(x)單調(diào)遞增．
即x＝e是t′(x)＝的唯一零點(diǎn)．
當(dāng)x∈(1，e)時(shí)，t′(x)0，t(x)單調(diào)遞增．
所以a≤t(x)min＝t(e)＝2，故a∈[0,2]．

思路參考：把不等式通過(guò)等價(jià)變形后，使不等號(hào)的一邊出現(xiàn)直線的方程h(x)＝a(x－1)＋(2－e)，再分析不等號(hào)另外一邊的函數(shù)g(x)＝xln x的單調(diào)性，就會(huì)發(fā)現(xiàn)二者相切時(shí)即為參數(shù)的臨界值．
解：通過(guò)變形原不等式等價(jià)于證明：xln x≥a(x－1)＋(2－e)，x∈(0，＋∞)．
若令g(x)＝xln x和h(x)＝a(x－1)＋(2－e)．
則只需證明函數(shù)g(x)的圖象在直線h(x)的上方．
首先分析g(x)＝xln x的圖象．
由解法3可知：當(dāng)x∈(0，e－1)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(e－1，＋∞)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，
且g(x)min＝g(e－1)＝－e－1．
其次分析h(x)＝a(x－1)＋(2－e)的圖象．
因?yàn)閍≥0，所以h(x)表示過(guò)定點(diǎn)(1,2－e)的直線，
且g(x)min＝－e－1>2－e．
兩個(gè)函數(shù)的圖象大致如圖(1)所示：

圖(1)　 　　　　　圖(2)
所以如果我們能說(shuō)明當(dāng)g(x)和h(x)相切時(shí)二者只有一個(gè)切點(diǎn)，就能求出a的最大值．
設(shè)g(x)和h(x)相切于點(diǎn)P(x0，y0)，如圖(2)，
則可得
消去ln x0得2－e＝a－ea－1③．
易得a＝2為③式的解．
令t(a)＝a－ea－1＋e－2，則t′(a)＝1－ea－1．
當(dāng)t′(a)＝0時(shí)，a＝1．
當(dāng)a∈[0,1]時(shí)，t′(a)≥0，t(a)單調(diào)遞增；
當(dāng)a∈[1，＋∞)時(shí)，t′(a)0且t(1)＝e－2>0，
所以函數(shù)t(a)在區(qū)間[0,1]上無(wú)零點(diǎn)，
在區(qū)間(1，＋∞)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)a＝2．
綜上所述，a∈[0,2]．

思路參考：通過(guò)等價(jià)變形后，使不等號(hào)兩邊變化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)g(x)＝ln x－a和h(x)＝，然后通過(guò)分析這兩個(gè)函數(shù)的圖象發(fā)現(xiàn)兩條曲線相切時(shí)，即為參數(shù)的臨界值．
解：原式化為ln x－a≥對(duì)任意的x∈(0，＋∞)恒成立．
下面我們研究函數(shù)g(x)＝ln x－a和函數(shù)h(x)＝．
a≥0，顯然兩個(gè)函數(shù)在x∈(0，＋∞)上都是單調(diào)遞增的．
而且我們可以驗(yàn)證當(dāng)a＝0時(shí)上式成立，
即ln x>(證明略)．
也就是說(shuō)a＝0時(shí)，g(x)的圖象在h(x)的圖象上方．
如圖(3)：


所以當(dāng)a越來(lái)越大時(shí)，兩個(gè)圖象會(huì)越來(lái)越接近．
所以當(dāng)g(x)和h(x)的圖象相切時(shí)，a取得最大值，如圖(4)．
所以我們假設(shè)二者的圖象相切于點(diǎn)P(x0，y0)，
得
即
化簡(jiǎn)得e＋a－2＝ea－1，解得a＝2．
仿照解法4，可以證明這是唯一解．
所以a∈[0,2]．

1．本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，基本解題方法是——參變分離、數(shù)形結(jié)合、最值分析等．在求解過(guò)程中，力求“腦中有‘形’，心中有‘?dāng)?shù)’”．依托端點(diǎn)效應(yīng)，縮小范圍，借助數(shù)形結(jié)合，尋找臨界點(diǎn)．
2．基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題一般需要有良好的運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力．本題的解答體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
3．基于高考數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)體系，本題涉及函數(shù)、不等式、方程、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，滲透著函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論等思想方法，有一定的綜合性，屬于能力題．此類題在提升學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性等數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面起到了積極的作用，是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)．

已知函數(shù)f(x)＝，a∈R．若函數(shù)y＝f(x)在x＝x0(ln 2

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