1.數(shù)列與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化相結(jié)合，考查等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．
2．?dāng)?shù)列與新定義問題相結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化、遷移能力，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．
3．?dāng)?shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合，考查學(xué)生綜合分析解決問題的能力，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．
題型一 等差、等比數(shù)列的綜合問題
[典例] 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)等差數(shù)列{bn}的各項(xiàng)為正，其前n項(xiàng)和為Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比數(shù)列，求Tn.
[解] (1)由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，
兩式相減得an＋1－an＝2an，則an＋1＝3an(n≥2)．
當(dāng)n＝1時(shí)，a2＝2S1＋1＝3＝3a1，滿足上式，
故{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，所以an＝3n－1.
(2)設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d.
由T3＝15，即b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，
故b1＝5－d，b3＝5＋d.
又a1＝1，a2＝3，a3＝9，且由a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比數(shù)列可得(1＋5－d)(9＋5＋d)＝(3＋5)2，
解得d＝2或d＝－10.
因?yàn)榈炔顢?shù)列{bn}的各項(xiàng)為正，
所以d>0.
所以d＝2，b1＝3，所以Tn＝3n＋eq \f(n?n－1?,2)×2＝n2＋2n.
[方法技巧]
等差、等比數(shù)列的綜合問題的解題技巧
(1)將已知條件轉(zhuǎn)化為等差與等比數(shù)列的基本量之間的關(guān)系，利用方程思想和通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式求解．求解時(shí)，應(yīng)“瞄準(zhǔn)目標(biāo)”，靈活應(yīng)用數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，簡(jiǎn)化運(yùn)算過程．求解過程中注意合理選擇有關(guān)公式，正確判斷是否需要分類討論．
(2)一定條件下，等差數(shù)列與等比數(shù)列之間是可以相互轉(zhuǎn)化的，即{an}為等差數(shù)列? {aan }(a>0且a≠1)為等比數(shù)列；{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列?{lgaan}(a>0且a≠1)為等差數(shù)列．
[針對(duì)訓(xùn)練]
已知無窮數(shù)列{an}中，a1，a2，…，am是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，am＋1，am＋2，…，a2m是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列(其中m≥3，m∈N*)，并對(duì)任意的n∈N*，均有an＋2m＝an成立．
(1)當(dāng)m＝14時(shí)，求a1 000；
(2)若a52＝128，試求m的值．
解：由題設(shè)得an＝3n－1(1≤n≤m)，am＋n＝2n(1≤n≤m)．
(1)當(dāng)m＝14時(shí)，數(shù)列的周期為28.
因?yàn)? 000＝28×35＋20，而a20是等比數(shù)列中的項(xiàng)，
所以a1 000＝a20＝a14＋6＝26＝64.
(2)顯然，a52＝128不是數(shù)列{an}中等差數(shù)列的項(xiàng)．
設(shè)am＋k是第一個(gè)周期中等比數(shù)列中的第k項(xiàng)，則am＋k＝2k.
因?yàn)?28＝27，所以等比數(shù)列中至少有7項(xiàng)，即m≥7，則一個(gè)周期中至少有14項(xiàng)．
所以a52最多是第三個(gè)周期中的項(xiàng)．
若a52是第一個(gè)周期中的項(xiàng)，則a52＝am＋7＝128，
所以m＝52－7＝45；
若a52是第二個(gè)周期中的項(xiàng)，則a52＝a3m＋7＝128，
所以3m＝45，m＝15；
若a52是第三個(gè)周期中的項(xiàng)，則a52＝a5m＋7＝128，
所以5m＝45，m＝9.
綜上，m的值為45或15或9.
題型二 數(shù)列的新定義問題
[典例] Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝1，S7＝28.記bn＝[lg an]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.
(1)求b1，b11，b101；
(2)求數(shù)列{bn}的前1 000項(xiàng)和．
[思路點(diǎn)撥]
[解] (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，
由已知得7＋21d＝28，解得d＝1.
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n.
b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2.
(2)記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，
則T1 000＝b1＋b2＋…＋b1 000＝[lg a1]＋[lg a2]＋…＋[lg a1 000]，
當(dāng)0≤lg an

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