分值150分
一、單選題（每題5分，40分）
1. 在容量為50的樣本中，某組的頻率為，則該組樣本的頻數(shù)為（ ）．
A. 9B. 10C. 18D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)頻數(shù)、樣本容量、頻率的關(guān)系，結(jié)合題設(shè)數(shù)據(jù)，即得解
【詳解】由題意，頻數(shù)＝樣本容量×頻率．
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查了頻數(shù)、樣本容量、頻率的關(guān)系，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題
2. 已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】可求出集合，然后進(jìn)行并集的運(yùn)算求出，從而可得出中元素的個(gè)數(shù).
【詳解】解：∵，，
∴，
∴中元素的個(gè)數(shù)為：5.
故選：B.
3. 已知函數(shù)，則（ ）
A. f(x)的最小正周期為B. 曲線關(guān)于對(duì)稱C. f(x)的最大值為D. 曲線關(guān)于對(duì)稱
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
【詳解】解：因?yàn)?br>所以
所以函數(shù)的最小正周期，最大值為
又，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，
故正確的為D；
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
4. 已知向量，，若向量，的夾角為，則有( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量的夾角公式和兩角和的余弦公式以及誘導(dǎo)公式，再根據(jù)向量的夾角的范圍即可求出．
【詳解】解：因?yàn)?，?br>，，
，
，
，
，
，
故選：C．
5. 已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則符合條件的的對(duì)應(yīng)值可以為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，對(duì)應(yīng)系數(shù)相等即可求出，結(jié)合選項(xiàng)即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榈膱D象與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
所以，
即，所以
，即，
所以，所以選項(xiàng)D符合.
故選：D.
6. 不等式組的解集是，則m的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先將不等式組化簡(jiǎn)，進(jìn)而根據(jù)不等式組的解集求得答案.
【詳解】由題意，，因?yàn)椴坏仁浇M的解集為，則，所以.
故選：D.
7. 設(shè)全集，集合，集合
，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法以及集合的并集、補(bǔ)集運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可得：，
所以.
故選：B
8. 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)論
【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，
即函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
由于，
在同一坐標(biāo)系作出函數(shù)圖象：
由圖象可知，交點(diǎn)個(gè)數(shù)有3個(gè).
故選：C
二、多選題（每題6分，18分）
9. 已知復(fù)數(shù)，則下列敘述正確的是（ ）
A. 的虛部為B. 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后再逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可.
【詳解】，
對(duì)于A. 的虛部為，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B . 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，所以B 正確；
對(duì)于C . ，所以，所以C 正確；
對(duì)于D . ，所以D 錯(cuò)誤；
故答案為：BC.
10. 下列各結(jié)論正確的是（ ）
A. “”是“”的充要條件
B. 的最小值為2
C. 命題“，有”的否定是“，有”
D. 若，，則
【答案】AD
【解析】
【分析】直接利用充分條件和必要條件的定義，對(duì)勾函數(shù)，命題的否定，作差法證明不等式分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，“”“”，可知，“”是“”的充要條件，則選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)，令 ，其中，則，在上單調(diào)遞增，故最小值為， 則選項(xiàng)不正確；
對(duì)于選項(xiàng)，命題“，有”的否定為“，有”，則選項(xiàng)不正確；
對(duì)于選項(xiàng)， ，即，則選項(xiàng)正確.
故選：.
11. 如圖，在正三棱臺(tái)中，，M，N分別是，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 直線平面
B.
C. 該棱臺(tái)的高是
D. 該棱臺(tái)的表面積是
【答案】AD
【解析】
【分析】將棱臺(tái)補(bǔ)全為棱錐，求出棱錐的高，即可判斷C，根據(jù)面面平行證明A，根據(jù)異面直線所成角判斷B，根據(jù)棱臺(tái)的表面積公式判斷D；
【詳解】解：如圖將棱臺(tái)補(bǔ)全為棱錐，依題意可得，取的中點(diǎn)，連接，設(shè)頂點(diǎn)在底面的射影為，則為的一個(gè)三等分點(diǎn)，
則，所以，
所以棱臺(tái)的高是，故C錯(cuò)誤；
取的中點(diǎn)，連接、，所以，平面，平面，所以平面，同理可證平面，
，平面，
所以平面平面，又平面，所以平面，故A正確；
取的中點(diǎn)，連接、，所以，則為異面直線與所成的角（或補(bǔ)角），
因?yàn)椋?br>，
，
顯然，即，故B錯(cuò)誤；
如圖棱臺(tái)的一個(gè)側(cè)面中，，過點(diǎn)作，
則，
所以，，
，
所以棱臺(tái)的表面積是，故D正確；
故選：AD
三、填空題（每題5分，15分）
12. 已知扇形的半徑為，圓心角為，則扇形的弧長為____________ ；面積為____________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】求出扇形圓心角弧度數(shù)，利用扇形的弧長和面積公式可求得結(jié)果.
【詳解】扇形的弧度數(shù)為，設(shè)扇形的弧長為，則，
則扇形的弧長為，扇形的面積為.
故答案為：；.
13. 已知向量，滿足，且，，則與的夾角為____________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再由夾角公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，且，?br>所以，即，解得，
所以，又，所以.
故答案為：
14. 若，則的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【詳解】對(duì)，等號(hào)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得，即，利用換元法，令，則，代入，由二次函數(shù)的配方，，即的最大值是，故答案為．
四、解答題（77分）
15. 求下列各值．
（1）；
（2）；
（3）
（4）；
（5）；
（6）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式求解.
【小問1詳解】
解：；
【小問2詳解】
；
【小問3詳解】
；
【小問4詳解】
；
小問5詳解】
；
【小問6詳解】
.
16. 已知函數(shù)．
（1）求；
（2）求的解集．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）將自變量的值代入函數(shù)解析式即可得解；
（2）根據(jù)分式不等式的解法計(jì)算即可.
【小問1詳解】
由，
得，；
【小問2詳解】
，即，
所以，解得或，
所以的解集為．
17. 如圖，在三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，欲過點(diǎn)作一截面與平面平行．
（1）問應(yīng)當(dāng)怎樣畫線，并說明理由；
（2）求所作截面與平面將三棱柱分成的三部分的體積之比．
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，，則平面平面，，，即為應(yīng)畫的線．證明，平面．連接，則平行等于，證明四邊形是平行四邊形，然后證明平面，即可得證．
（2）設(shè)棱柱底面積為，高為．通過．然后轉(zhuǎn)化求解所作截面與平面將三棱柱分成的三部分的體積之比．
【小問1詳解】
解：在三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，
連接，，，則平面平面，，，即為應(yīng)畫的線．
理由如下：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以．
又因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以?br>平面，平面．平面．
連接，則且，又且
所以且，
所以四邊形是平行四邊形，從而．
又平面，平面．
平面．又因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面平面．
【小問2詳解】
解：設(shè)棱柱的底面積為，高為．
則．
所以三棱柱夾在平面與平面間的體積為
所作截面與平面將三棱柱分成的三部分的體積之比為．
18. 在中，角，，所對(duì)邊分別是，，，滿足.
（1）求的值；
（2）若，，求和的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；
（2）根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再由余弦定理得，即可求出、.
【小問1詳解】
解：因?yàn)?，由正弦定理可得?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以；
【小問2詳解】
解：因?yàn)?，所以，所以?
由余弦定理及，可得，
所以，所以，代入可得.
19. 閱讀是人類獲取知識(shí)、啟智增慧、培養(yǎng)道德的重要途徑.1995年，聯(lián)合國教科文組織宣布4月23日為“世界讀書日”，致力于向全世界推廣閱讀、出版和對(duì)知識(shí)產(chǎn)權(quán)的保護(hù).某學(xué)校為了打造“書香校園”，使學(xué)生養(yǎng)成好的閱讀習(xí)慣，健康成長，從學(xué)校內(nèi)隨機(jī)抽取了200名學(xué)生一周的課外閱讀時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，了解學(xué)生的課外閱讀情況，收集了他們閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）等數(shù)據(jù)，并將樣本數(shù)據(jù)分成0,2，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：
（1）求值及200名學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)；
（2）為進(jìn)一步了解這200名學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間的情況，從課外閱讀時(shí)間在，兩組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了6人，選取其中兩人組成小組，現(xiàn)求其中兩名組員全在內(nèi)的概率.
【答案】（1），小時(shí)；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用給定的頻率分布直方圖，結(jié)合各小矩形面積和為1求出，再估計(jì)一周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù).
（2）求出指定的兩組內(nèi)各抽取的人數(shù)，利用列舉法、結(jié)合古典概率求解即得.
【小問1詳解】
由頻率分布直方圖得：，解得，
平均數(shù)
（小時(shí)），
所以，200名學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)為小時(shí).
【小問2詳解】
在這兩組采用分層抽樣的方法抽取6人，
則從課外閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中抽取5人，記為，
課外閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中抽取1人，記為，
于是有，
共15種，且每種結(jié)果的發(fā)生是等可能的，
而滿足兩名組員都在內(nèi)的情況有，共10種，
所以兩名組員全在內(nèi)的概率為.

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