知識梳理.拋物線
1．拋物線的定義
平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(點F不在直線l上)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.
2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
題型一. 拋物線定義及其性質(zhì)
1．已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，M在l上，線段MF與拋物線交于N點，若|MN||NF|，則|MF|＝ ．
2．如圖，過拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點F的直線l交拋物線于點A，B，交其準(zhǔn)線于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，則此拋物線方程為（ ）
A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2x
3．已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點P為拋物線上的動點，點M為其準(zhǔn)線上的動點，若△FPM為邊長是6的等邊三角形，則此拋物線的方程為 ．
4．已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準(zhǔn)線與x軸的交點為K，點A在C上且|AK||AF|，則△AFK的面積為 ．
5．在直角坐標(biāo)系xy中，曲線C1上的點均在圓C2：（x﹣5）2+y2＝9外，且對C1上任意一點M，M到直線x＝﹣5的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值，則曲線C1的方程為 ．
6．（2015·浙江）如圖，設(shè)拋物線y2＝4x的焦點為F，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是（ ）
A．B．
C．D．
題型二. 定義轉(zhuǎn)化求值
1．已知拋物線方程y2＝4x，直線l的方程為x﹣y+5＝0，在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，則d1+d2的最小值為 ．
2．已知M是拋物線x2＝4y上一點，F(xiàn)為其焦點，點A在圓C：（x+1）2+（y﹣5）2＝1上，則|MA|+|MF|的最小值是 ．
3．（2016·四川）設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是以F為焦點的拋物線y2＝2px（p＞0）上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|＝2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為（ ）
A．B．C．D．1
題型三. 焦點弦八個常用結(jié)論
1．（2007?全國卷Ⅱ）設(shè)F為拋物線y2＝4x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，若，則的值為（ ）
A．3B．4C．6D．9
2．（2016?沙坪壩區(qū)校級模擬）已知拋物線C的頂點是原點O，焦點F在x軸的正半軸上，經(jīng)過F的直線與拋物線C交于A，B兩點，如果?12，那么拋物線C的方程為（ ）
A．x2＝8yB．x2＝4yC．y2＝8xD．y2＝4x
3．（2009?黑龍江）已知直線y＝k（x+2）（k＞0）與拋物線C：y2＝8x相交于A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若|FA|＝2|FB|，則k＝（ ）
A．B．C．D．
4．（2020?青島模擬）過拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點F作傾斜角為60°的直線l交拋物線于A，B兩點，且|AF|＞|BF|，則的值為（ ）
A．3B．2C．D．
5．（2015?陜西一模）已知直線l：x﹣y﹣m＝0經(jīng)過拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點，l與C交于 A、B兩點．若|AB|＝6，則p的值為（ ）
A．B．C．1D．2
6．（2021春?孝南區(qū)校級月考）已知曲線M上任意一點P到點F（0，2）的距離比到x軸的距離大2，直線l：y＝kx+2與曲線M交于A，D兩點，與圓N：x2+y2﹣4y+3＝0交于B，C兩點（A，B在第一象限），則|AC|+4|BD|的最小值為 ．
7．（2007?山東）設(shè)O是坐標(biāo)原點，F(xiàn)是拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點，A是拋物線上的一點，與x軸正向的夾角為60°，則為 ．
8．（2018?一模擬）已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點F分別作兩條直線l1，l2，直線l1與拋物線C交于A、B兩點，直線l2與拋物線C交于D、E兩點，若l1與l2的斜率的平方和為1，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）
A．16B．20C．24D．32
9．（2012?安徽）過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點．若|AF|＝3，則△AOB的面積為（ ）
A．B．C．D．2
10．（2013?新課標(biāo)Ⅱ）設(shè)拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點（0，2），則C的方程為（ ）
A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x
11．（2013?寧波模擬）直線l過拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點F，且交拋物線于P，Q兩點，由P，Q分別向準(zhǔn)線引垂線PR、QS，垂足分別為R，S，如果|PF|＝a，|QF|＝b，M為RS的中點，則|MF|＝（ ）
A．a(chǎn)+bB．C．D．
12．（2013?大綱版）已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，點M（﹣2，2），過點F且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若?0，則k＝（ ）
A．B．C．D．2
13．（2014?遼寧）已知點A（﹣2，3）在拋物線C：y2＝2px的準(zhǔn)線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為（ ）
A．B．C．D．
題型四. 過x軸定點問題
1．已知F為拋物線y2＝x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，（其中O為坐標(biāo)原點），則△AFO與△BFO面積之和的最小值是 ．
2．已知拋物線C方程為x2＝4y，F(xiàn)為其焦點，過點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，且拋物線在A，B兩點處的切線分別交x軸于P，Q兩點，則|AP|?|BQ|的取值范圍為（ ）
A．B．[2，+∞）C．（2，+∞）D．[0，2）
題型五. 切線問題
3．已知點A（3，﹣2）在拋物線C：x2＝2py（p＞0）的準(zhǔn)線上，過點A的直線與拋物線在第一象限相切于點B，記拋物線的焦點為F，則|BF|＝（ ）
A．6B．8C．10D．12
課后作業(yè). 拋物線
1．已知點M（1，2），點P在拋物線y2＝8x上運動，點Q在圓（x﹣2）2+y2＝1上運動，則|PM|+|PQ|的最小值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．已知拋物線C：y2＝16x的焦點為F，其準(zhǔn)線l與x軸交于點A，若拋物線C上存在一點B使，則|AB|＝（ ）
A．B．8C．D．4
3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線的右支與焦點為F的拋物線x2＝2py（p＞0）交于A，B兩點，若|AF|+|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
4．已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的準(zhǔn)線方程為y＝﹣1，直線l：3x﹣4y+4＝0與拋物線C和圓x2+y2﹣2y＝0從左至右的交點依次為A、B、E、F，則拋物線C的方程為 ， ．
5．焦點為F的拋物線C：x2＝4y的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于點A，點P在拋物線C上，則的最大值為 ．
6．過拋物線y2＝4x焦點F的直線交拋物線于點A、B，交準(zhǔn)線于點P，交y軸于點Q，若，則弦長|AB|＝ ．
標(biāo)準(zhǔn)
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
方程
p的幾何意義：焦點F到準(zhǔn)線l的距離
焦點到頂點以及頂點到準(zhǔn)線的距離均為eq \a\vs4\al(\f(p,2).)
圖形
頂點
O(0,0)
對稱軸
x軸
y軸
焦點
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
離心率
e＝1
準(zhǔn)線方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
開口方向
向右
向左
向上
向下
焦半徑(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝y(tǒng)0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－y0＋eq \f(p,2)

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