知識梳理.雙曲線
1．雙曲線的定義
平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a(2a＜|F1F2|)的點(diǎn)P的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．
2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．
3．雙曲線的幾何性質(zhì)
題型一. 雙曲線及其性質(zhì)
1．過雙曲線左焦點(diǎn)F的直線交雙曲線的左支于M、N兩點(diǎn)，F(xiàn)2為其右焦點(diǎn)，則|MF2|+|NF2|﹣|MN|的值為 ．
2．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，其中M在左支上，N在右支上，若點(diǎn)F2在線段MN的中垂線上，則MN＝（ ）
A．B．8C．D．4
3．過雙曲線的右頂點(diǎn)作x軸的垂線與C的一條漸近線相交于A，若以C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為2的圓經(jīng)過A、O兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．
4．P是雙曲線的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓（x+5）2+y2＝4和（x﹣5）2+y2＝1上的點(diǎn)，則|PM|﹣|PN|的最大值為 ．
5．已知F是雙曲線C：x21的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，A（0，6）．當(dāng)△APF周長最小時，該三角形的面積為 ．
題型二. 焦點(diǎn)三角形
1．已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線交雙曲線C的左支于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，則△BF1F2的面積為 ．
2．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上任意一點(diǎn)，M是線段PF1的中點(diǎn)，則以PF1為直徑的圓與圓x2+y2＝a2的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切
C．相交D．以上都有可能
3．已知雙曲線C的左右焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)M為雙曲線C上任一點(diǎn)，則|MF1|?|MF2|的最小值為（ ）
A．1B．C．2D．3
4．從雙曲線1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2＝a2的切線，切點(diǎn)為T，延長FT交雙曲線右支于P點(diǎn)，若M為線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|MO|﹣|MT|等于（ ）
A．c﹣aB．b﹣aC．a(chǎn)﹣bD．c﹣b
題型三. 漸近線性質(zhì)
1．過雙曲線C：1的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點(diǎn)A．若以C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A，O兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的方程為（ ）
A．1B．1
C．1D．1
2．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，若|PF1||OP|，則C的離心率為 ．
3．已知斜率為1的直線l與雙曲線1（a＞0，b＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為M（1，3），則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．y＝±3xB．y＝±xC．y＝±D．y＝±x
4．已知雙曲線1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，若過F且傾斜角為60°的直線分別與雙曲線的左右兩支相交，則此雙曲線離心率的取值范圍是 ．
題型四. 構(gòu)建等量關(guān)系求離心率
1．設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)是F，左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，過F做x軸的垂線交雙曲線于B，C兩點(diǎn)，若A1B⊥A2C，則雙曲線的離心率為 ．
2．過雙曲線M：x21的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線l，若l與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C，且|AB|＝|BC|，則雙曲線M的離心率是（ ）
A．B．C．D．
3．已知F1、F2是雙曲線1（a＞0，b＞0）的兩個焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正△MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線時，雙曲線的離心率e＝ ．
4．(2019·全國卷Ⅰ) 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A、B兩點(diǎn)．若，，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
題型五. 離心率的取值范圍
1．設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若|PF1|＝4|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A．B．（1，2]C．D．[2，+∞）
2．已知雙曲線（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M為雙曲線右支上一點(diǎn)，若|F1F2|＝2|OM|，tan∠MF2F1≥2，則雙曲線C的離心率的取值范圍為 ．
3．F1，F(xiàn)2是雙曲線1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)P滿足a2，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A．[，+∞）B．[，+∞）C．（1，]D．（1，]
課后作業(yè). 雙曲線
1．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)，F(xiàn)2與拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)重合，點(diǎn)M在E上，MF2與x軸垂直，|MF2|＝2，則E的離心率為（ ）
A．B．C．D．2
2．已知M（x0，y0）是雙曲線C：y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是C上的兩個焦點(diǎn)，若∠F1MF2為鈍角，則y0的取值范圍是 ．
3．設(shè)F1、F2分別為雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與圓O：x2+y2＝a2相切，l與C的漸近線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)是P，若PF2⊥x軸，則雙曲線的離心率等于（ ）
A．B．2C．2D．4
4．已知雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且滿足|F1F2|＝2|OP|．若直線PF2與雙曲線C只有一個交點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
5．已知雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的一個焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B是C的一條漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓過F且交C的左支于M，N兩點(diǎn)，若|MN|＝2，△ABF的面積為8，則C的漸近線方程為（ ）
A．yB．yC．y＝±2xD．y
6．過雙曲線的右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于C，D兩點(diǎn)，若|AB||，則雙曲線離心率的取值范圍為 ．
標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
范圍
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
對稱性
對稱軸：x軸，y軸；對稱中心：原點(diǎn)
焦點(diǎn)
F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
軸
線段A1A2，B1B2分別是雙曲線的實(shí)軸和虛軸；實(shí)軸長為2a，虛軸長為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))∈(1，＋∞)
e是表示雙曲線開
口大小的一個量，
e越大開口越大.
漸近線
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
a，b，c的關(guān)系
a2＝c2－b2

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