知識梳理.圓的方程
1.圓的方程：
（1）圓的標準方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以點(a，b)為圓心，r為半徑的圓的方程，叫做圓的標準方程．
（2）圓的一般方程：
當D2＋E2－4F＞0時，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程．
圓心為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑長為eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)．
2．直線與圓的位置關(guān)系(半徑為r，圓心到直線的距離為d)
（1）圓的切線方程常用結(jié)論
①過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
②過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
③過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
（2）有關(guān)弦長問題的2種求法
3．圓與圓的位置關(guān)系(兩圓半徑為r1，r2，d＝|O1O2|)
圓與圓位置關(guān)系問題的解題策略
(1)判斷兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．
(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到．
題型一. 圓的方程、軌跡方程
1．已知圓C的圓心在直線x﹣2y﹣3＝0上，且過點A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），則圓C的標準方程為 ．
2．已知圓C與圓（x﹣1）2+y2＝1關(guān)于原點對稱，則圓C的方程為（ ）
A．x2+y2＝1B．x2+（y+1）2＝1
C．x2+（y﹣1）2＝1D．（x+1）2+y2＝1
3．如圖，已知圓C與x軸相切于點T（1，0），與y軸正半軸交于兩點A，B（B在A的上方），且|AB|＝2．
（Ⅰ）求圓C的標準方程；
4．在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，動點P與兩個定點M（1，0），N（4，0）的距離之比為．
（Ⅰ）求動點P的軌跡W的方程；
5．在平面直角坐標系xOy中，已知點B（2，0），C（﹣2，0），設(shè)直線AB，AC的斜率分別為k1，k2，且k1k2，記點A的軌跡為E．
（1）求E的方程；
6．若，則S△ABC的最大值 ．
題型二. 直線與圓的位置關(guān)系
1．已知點M（a，b）在圓O：x2+y2＝1外，則直線ax+by＝1與圓O的位置關(guān)系是（ ）
A．相切B．相交C．相離D．不確定
2．若過點A（4，0）的直線l與曲線（x﹣2）2+y2＝1有公共點，則直線l的斜率的取值范圍為 ．
3．已知直線l：x﹣y+4＝0與圓C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，則C上各點到l距離的最小值為（ ）
A．1B．1C．D．2
題型三. 切線問題
1．已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，點P坐標為（2，﹣1），過點P作圓C的切線，切點為A，B．
（1）求切線PA，PB的方程；
（2）求過P點的圓的切線長；
（3）求直線AB的方程．
2．（2008?山東）若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x﹣3y＝0和x軸相切，則該圓的標準方程是（ ）
A．B．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1
C．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1D．
3．（2014?大綱版）直線l1和l2是圓x2+y2＝2的兩條切線．若l1與l2的交點為（1，3），則l1與l2的夾角的正切值等于 ．
4．（2014?新課標Ⅱ）設(shè)點M（x0，1），若在圓O：x2+y2＝1上存在點N，使得∠OMN＝45°，則x0的取值范圍是（ ）
A．[﹣1，1]B．[，]C．[，]D．[，]
5．在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2+（y﹣3）2＝2，點A是x軸上的一個動點，AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點，則線段PQ長的取值范圍是（ ）
A．[，2）B．[，2）C．[，2）D．[，2）
6．（2002?北京）已知P是直線3x+4y+8＝0上的動點，PA，PB是圓x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值為 ．
題型四. 弦長問題
1．直線l：kx+y+4＝0（k∈R）是圓C：x2+y2+4x﹣4y+6＝0的一條對稱軸，過點A（0，k）作斜率為1的直線m，則直線m被圓C所截得的弦長為（ ）
A．B．C．D．2
2．直線y＝kx+3與圓（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N兩點，若MN＜2，則k的取值范圍是 ．
3．已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，則直線l被圓C截得的弦長的最小值為（ ）
A．2B．4C．6D．8
4．已知AC、BD為圓O：x2+y2＝4的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，），則四邊形ABCD的面積的最大值為 ．
題型五. 圓與圓之間的位置關(guān)系
1．（多選）以下四個命題表述正確的是（ ）
A．直線（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m∈R）恒過定點（﹣3，﹣3）
B．圓x2+y2＝4上有且僅有3個點到直線l：x﹣y0的距離都等于1
C．曲線C1：x2+y2+2x＝0與曲線C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有三條公切線，則m＝4
D．已知圓C：x2+y2＝1，點P為直線1上一動點，過點P向圓C引兩條切線PA，PB，A，B為切點，則直線AB經(jīng)過定點
2．已知圓C1：x2+（y﹣a2）2＝a4的圓心到直線x﹣y﹣2＝0的距離為2，則圓C1與圓C2：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．內(nèi)切C．外切D．相離
3．已知圓與圓相外切，則ab的最大值為（ ）
A．2B．C．D．4
4．已知圓，圓，M，N分別是圓C1，C2上動點，P是x軸上動點，則|PN|﹣|PM|的最大值是（ ）
A．B．C．D．
題型六.直線與圓綜合問題
1．直線x﹣y+m＝0與圓x2+y2﹣2x﹣1＝0有兩個不同交點的一個充分不必要條件是（ ）
A．﹣3＜m＜1B．﹣4＜m＜2C．0＜m＜1D．m＜1
2．過直線y＝x上一點作圓（x﹣5）2+（y﹣1）2＝2的兩條切線l1，l2，當l1，l2關(guān)于直線y＝x對稱時，l1，l2的夾角的大小為 ．
3．若圓x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上至少有三個不同點到直線l：ax+by＝0的距離為．則直線l的傾斜角的取值范圍是 ．
4．（2014?北京）已知圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和兩點A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為（ ）
A．7B．6C．5D．4
5．已知直線x+y﹣k＝0（k＞0）與圓x2+y2＝4交于不同的兩點A，B，O是坐標原點，且有?2，那么k的取值范圍是（ ）
A．（，+∞）B．[，2 ）C．[，+∞）D．[，2 ）
6．在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣3＝0與x軸交于A，B兩點，若動直線l與圓C相交于M，N兩點，且△CMN的面積為4，若P為MN的中點，則△PAB的面積最大值為 ．
7．在平面直角坐標系xOy中，已知半徑為2的圓C，圓心在x軸正半軸上，且與直線xy+2＝0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）在圓C上，是否存在點P，滿足|PQ||PO|，其中，點Q的坐標是Q（﹣1，0）．若存在，指出有幾個這樣的點；若不存在，請說明理由；
（3）若在圓C上存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny＝1與圓O：x2+y2＝1相交不同兩點A，B，求m的取值范圍．并求出使得△OAB的面積最大的點M的坐標及對應(yīng)的△OAB的面積．
8．如圖，已知⊙C的圓心在原點，且與直線x+3y+40相切．
（1）求⊙C的方程；
（2）點P在直線x＝8上，過點P引⊙C的兩條切線PA、PB，切點為A、B．
①求四邊形OAPB面積的最小值；
②求證：直線AB過定點．
9．（2017?新課標Ⅲ）在直角坐標系xOy中，曲線y＝x2+mx﹣2與x軸交于A、B兩點，點C的坐標為（0，1），當m變化時，解答下列問題：
（1）能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由；
（2）證明過A、B、C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值．
10．（2015?廣東）已知過原點的動直線l與圓C1：x2+y2﹣6x+5＝0相交于不同的兩點A，B．
（1）求圓C1的圓心坐標；
（2）求線段AB 的中點M的軌跡C的方程；
（3）是否存在實數(shù) k，使得直線L：y＝k（x﹣4）與曲線 C只有一個交點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．
11．如圖，圓C：x2﹣（1+a）x+y2﹣ay+a＝0．
（Ⅰ）若圓C與x軸相切，求圓C的方程；
（Ⅱ）已知a＞1，圓C與x軸相交于兩點M，N（點M在點N的左側(cè)）．過點M任作一條直線與圓O：x2+y2＝4相交于兩點A，B．問：是否存在實數(shù)a，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出實數(shù)a的值，若不存在，請說明理由．
課后作業(yè). 直線與圓
1．已知圓C的圓心在x軸上，點在圓C上，圓心到直線2x﹣y＝0的距離為，則圓C的方程為（ ）
A．（x﹣2）2+y2＝3B．（x+2）2+y2＝9
C．（x±2）2+y2＝3D．（x±2）2+y2＝9
2．已知動直線l與圓O：x2+y2＝4相交于A，B兩點，且滿足|AB|＝2，點C為直線l上一點，且滿足，若M是線段AB的中點，則的值為（ ）
A．3B．C．2D．﹣3
3．已知兩圓x2+y2+4ax+4a2﹣4＝0和x2+y2﹣2by+b2﹣1＝0恰有三條公切線，若a∈R，b∈R，且ab≠0，則的最小值為（ ）
A．3B．1C．D．
4．已知點P（x，y）是直線kx+y+4＝0（k＞0）上一動點，PA，PB是圓C：x2+y2﹣2y＝0的兩條切線，A，B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為（ ）
A．3B．C．D．2
5．已知點P（x，y）是直線kx+y+4＝0（k＞0）上一動點，PA，PB是圓C：x2+y2﹣2y＝0的兩條切線，A、B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為多少？
6．在平面直角坐標系xOy中，M為直線x＝3上一動點，以M為圓心的圓記為圓M，若圓M截x軸所得的弦長恒為4，過點O作圓M的一條切線，切點為P，則點P到直線2x+y﹣10＝0距離最大值為 ．
7．已知圓C過坐標原點O，且與x軸，y軸分別交于點A，B，圓心坐標C（t，）（t∈R，t≠0）
（1）求證：△AOB的面積為定值；
（2）直線2x+y﹣4＝0與圓C交于點M，N，若|OM|＝|ON|，求圓C的方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)P，Q分別是直線l：x+y+2＝0和圓C上的動點，求|PB|+|PQ|的最小值及此時點P的坐標．
8．（2015·全國1）已知過點A（0，1）且斜率為k的直線l與圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于點M、N兩點．
（1）求k的取值范圍；
（2）若?12，其中O為坐標原點，求|MN|．
9．已知點，點P為曲線Γ上任意一點且滿足|PA|＝2|PB|．
（1）求曲線Γ的方程；
（2）設(shè)曲線Γ與y軸交于M、N兩點，點R是曲線Γ上異于M、N的任意一點，直線MR、NR分別交直線l：y＝3于點F、G．試問在y軸上是否存在一個定點S，使得，若存在，求出點S的坐標；若不存在，請說明理由．
相離
相切
相交
圖形
量化
方程觀點
Δeq \a\vs4\al(＜)0
Δeq \a\vs4\al(＝)0
Δeq \a\vs4\al(＞)0
幾何觀點
deq \a\vs4\al(＞)r
deq \a\vs4\al(＝)r
deq \a\vs4\al(＜)r
幾何法
直線被圓截得的半弦長eq \f(l,2)，弦心距d和圓的半徑r構(gòu)成直角三角形，即r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2＋d2
代數(shù)法
聯(lián)立直線方程和圓的方程，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得弦長|AB|＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)eq \r(?x1＋x2?2－4x1x2)或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))eq \r(?y1＋y2?2－4y1y2)
相離
外切
相交
內(nèi)切
內(nèi)含
圖形
量的關(guān)系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|

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