?專題十三 《解析幾何》講義
13.4 雙曲線
知識梳理.雙曲線
1．雙曲線的定義
平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a(2a＜|F1F2|)的點(diǎn)P的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．
2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a＞0，b＞0)．
3．雙曲線的幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
范圍
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
對稱性
對稱軸：x軸，y軸；對稱中心：原點(diǎn)
焦點(diǎn)
F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
軸
線段A1A2，B1B2分別是雙曲線的實(shí)軸和虛軸；實(shí)軸長為2a，虛軸長為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝＝ ∈(1，＋∞)
e是表示雙曲線開
口大小的一個(gè)量，
e越大開口越大.
漸近線
y＝±x
y＝±x
a，b，c的關(guān)系
a2＝c2－b2




題型一. 雙曲線及其性質(zhì)
1．過雙曲線左焦點(diǎn)F的直線交雙曲線的左支于M、N兩點(diǎn)，F(xiàn)2為其右焦點(diǎn)，則|MF2|+|NF2|﹣|MN|的值為　8?。?br /> 【解答】解：根據(jù)雙曲線定義有|MF2|﹣|MF|＝2a，|NF2|﹣|NF|＝2a，
兩式相加得|MF2|+|NF2|﹣|MN|＝4a＝8．
答案：8．
2．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，其中M在左支上，N在右支上，若點(diǎn)F2在線段MN的中垂線上，則MN＝（　?。?br /> A． B．8 C． D．4
【解答】解：如圖，由雙曲線方程可得a．
由雙曲線的定義可知：|F2M|﹣|F1M|＝2a＝4，
|F1N|﹣|F2N|＝2a＝4，
∴|F2M|＝|F1M|+4，|F1N|＝|F2N|+4，
∵點(diǎn)F2在線段MN的中垂線上，∴|F2M|＝|F2N|，
∴|F1N|＝|F1M|+8，
∴|MN|＝|F1N|﹣|F1M|＝8．
故選：A．

3．過雙曲線的右頂點(diǎn)作x軸的垂線與C的一條漸近線相交于A，若以C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為2的圓經(jīng)過A、O兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是　x21?。?br /> 【解答】解：雙曲線的右頂點(diǎn)為（a，0），右焦點(diǎn)F為（c，0），
由x＝a和一條漸近線yx，可得A（a，b），
以C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為2的圓經(jīng)過A、O兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），
則|AF|＝|OF|＝c＝2，
即有2，
c2＝a2+b2＝4，
解得a＝1，b，
即有雙曲線的方程為x21，
故答案為：x21．
4．P是雙曲線的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓（x+5）2+y2＝4和（x﹣5）2+y2＝1上的點(diǎn)，則|PM|﹣|PN|的最大值為　9?。?br /> 【解答】解：雙曲線中，
∵a＝3，b＝4，c＝5，
∴F1（﹣5，0），F(xiàn)2（5，0），
∵|PF1|﹣|PF2|＝2a＝6，
∴|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|﹣|NF2|，
∴﹣|PN|≤﹣|PF2|+|NF2|，
所以，|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|﹣|NF2|
＝6+1+2
＝9．
故答案為：9．
5．已知F是雙曲線C：x21的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，A（0，6）．當(dāng)△APF周長最小時(shí)，該三角形的面積為　12?。?br /> 【解答】解：由題意，設(shè)F′是左焦點(diǎn)，則△APF周長＝|AF|+|AP|+|PF|＝|AF|+|AP|+|PF′|+2
≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F(xiàn)′三點(diǎn)共線時(shí)，取等號），
直線AF′的方程為與x21聯(lián)立可得y2+6y﹣96＝0，
∴P的縱坐標(biāo)為2，
∴△APF周長最小時(shí)，該三角形的面積為12．
故答案為：12．


題型二. 焦點(diǎn)三角形
1．已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線交雙曲線C的左支于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，則△BF1F2的面積為　?。?br /> 【解答】解：|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，
可得三角形ABF2為直角三角形，∠BAF2＝90°，
設(shè)|AF1|＝m，|BF1|＝n，可得m+n＝4，
3﹣m＝5﹣n＝2a，解得m＝1，n＝3，
則△BF1F2的面積為SS3×41×3．
故答案為：．
2．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上任意一點(diǎn)，M是線段PF1的中點(diǎn)，則以PF1為直徑的圓與圓x2+y2＝a2的位置關(guān)系是（　?。?br /> A．相離 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
【解答】解：∵P在雙曲線右支上，∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，
∵M(jìn)是線段PF1的中點(diǎn)，∴，
∵O是線段F1F2的中點(diǎn)，∴，
∴，
即圓心距等于兩圓的半徑之差，
∴以線段PF1為直徑的圓與圓x2+y2＝a2的位置關(guān)系是相內(nèi)切．
故選：B．

3．已知雙曲線C的左右焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)M為雙曲線C上任一點(diǎn)，則|MF1|?|MF2|的最小值為（　?。?br /> A．1 B． C．2 D．3
【解答】解：根據(jù)題意可得F1（，0），F(xiàn)2（，0），設(shè)M（x，y），其中x（﹣∞，]∪[，+∞），則y21，
則|MF1|?|MF2|??，
因?yàn)閤∈（﹣∞，]∪[，+∞），所以3，
則當(dāng)x＝±時(shí)，|MF1|?|MF2|取最小值，最小值1，
故選：A．
4．從雙曲線1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2＝a2的切線，切點(diǎn)為T，延長FT交雙曲線右支于P點(diǎn)，若M為線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|MO|﹣|MT|等于（　　）

A．c﹣a B．b﹣a C．a(chǎn)﹣b D．c﹣b
【解答】解：如圖所示，設(shè)F′是雙曲線的右焦點(diǎn)，連接PF′．
∵點(diǎn)M，O分別為線段PF，F(xiàn)F′的中點(diǎn)，
由三角形中位線定理得到：|OM||PF′|（|PF|﹣2a）|PF|﹣a
＝|MF|﹣a，
∴|OM|﹣|MT|＝|MF|﹣|MT|﹣a＝|FT|﹣a，連接OT，因?yàn)镻T是圓的切線，
則OT⊥FT，
在Rt△FOT中，|OF|＝c，|OT|＝a，
∴|FT|b．
∴|OM|﹣|MT|＝b﹣a．
故選：B．


題型三. 漸近線性質(zhì)
1．過雙曲線C：1的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點(diǎn)A．若以C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A，O兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的方程為（　?。?br /> A．1 B．1
C．1 D．1
【解答】解：∵以C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A，O兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），
∴半徑R＝c＝4，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣4）2+y2＝16，
設(shè)B（a，0），yb，即A（a，b），
則（a﹣4）2+b2＝16，
即a2﹣8a+16+b2＝16，
即c2﹣8a＝0，即8a＝16，
則a＝2，b2＝16﹣4＝12，
則雙曲線C的方程為1，
故選：D．
2．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，若|PF1||OP|，則C的離心率為　?。?br /> 【解答】解：雙曲線C：1（a＞0．b＞0）的一條漸近線方程為y，
∴點(diǎn)F2到漸近線的距離d，即|PF2|＝b，
∴|OP|a，cos∠PF2O，
∵|PF1||OP|，
∴|PF1|a，
在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|?|F1F2|COS∠PF2O，
∴6a2＝b2+4c2﹣2×b×2c4c2﹣3b2＝4c2﹣3（c2﹣a2），
即3a2＝c2，得e，
故答案為：．

3．已知斜率為1的直線l與雙曲線1（a＞0，b＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為M（1，3），則雙曲線的漸近線方程為（　?。?br /> A．y＝±3x B．y＝±x C．y＝± D．y＝±x
【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，
兩式相減可得：0，
∵斜率為1的直線l與雙曲線1（a＞0，b＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，A、B的中點(diǎn)為M（1，3），
∴k?kOM3，
∴yx＝±x．
故選：B．
4．已知雙曲線1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，若過F且傾斜角為60°的直線分別與雙曲線的左右兩支相交，則此雙曲線離心率的取值范圍是?。?，+∞）?。?br /> 【解答】解：依題意，斜率為的直線l過雙曲線1（a＞0，b＞0）
的右焦點(diǎn)為F且與雙曲線的左右兩支分別相交，
結(jié)合圖形分析可知，
雙曲線的一條漸近線的斜率必大于，
即，
因此該雙曲線的離心率e2．
故答案為：（2，+∞）．


題型四. 構(gòu)建等量關(guān)系求離心率
1．設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)是F，左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，過F做x軸的垂線交雙曲線于B，C兩點(diǎn)，若A1B⊥A2C，則雙曲線的離心率為　?。?br /> 【解答】解：由題意可知：左、右頂點(diǎn)分別是A1（﹣a，0），A2（a，0），
當(dāng)x＝c時(shí)，代入雙曲線方程，解得：y＝±，
設(shè)B（c，），C（c，），
則直線A1B的斜率k1，
直線A2C的斜率k2，
由A1B⊥A2C，則k1×k2＝﹣1，即1，
則1，
雙曲線的離心率e，
故答案為：．
2．過雙曲線M：x21的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線l，若l與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C，且|AB|＝|BC|，則雙曲線M的離心率是（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解：過雙曲線的左頂點(diǎn)A（﹣1，0）作斜率為1的直線l：y＝x+1，
若l與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于點(diǎn)B（x1，y1），C（x2，y2），
聯(lián)立方程組
代入消元得（b2﹣1）x2﹣2x﹣1＝0，
∴，
∴x1+x2＝﹣2x1x2，
又|AB|＝|BC|，則B為AC中點(diǎn)，2x1＝﹣1+x2，
代入解得，
∴b2＝9，雙曲線M的離心率e，
故選：A．
3．已知F1、F2是雙曲線1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正△MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線時(shí)，雙曲線的離心率e＝　?。?br /> 【解答】解：以線段F1F2為邊作正△MF1F2，則M在y軸上，
可設(shè)|F1F2|＝2c，則M（0，c），
又F1（﹣c，0），則邊MF1的中點(diǎn)為（，c），
代入雙曲線方程，可得，
1，由于b2＝c2﹣a2，e，
則有e24，即有e4﹣8e2+4＝0，
解得，e2＝4，由于e＞1，即有e＝1．
故答案為：1．
4．(2019·全國卷Ⅰ) 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A、B兩點(diǎn)．若，，則雙曲線C的離心率為（　　）
A． B． C．2 D．
【解答】解：∵，OF1＝OF2，∠BF1F2＝∠BF1F2，
∴△AF1O∽△BF1F2，
又∵，
∴OA⊥F1B，
∴，即，
∴直線F1B的方程為，
聯(lián)立直線F1B與漸近線y，即，解得，
∵，
∴，化簡可得b2＝3a2，
由雙曲線的性質(zhì)，可得c2﹣a2＝b2＝3a2，即c2＝4a2，
∴c＝2a，
∴．
故選：C．
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題型五. 離心率的取值范圍
1．設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若|PF1|＝4|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍是（　?。?br /> A． B．（1，2] C． D．[2，+∞）
【解答】解：∵|PF1|＝4|PF2|，
∴由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|＝3|PF2|＝2a，
∴|PF2|a，
∵點(diǎn)P在雙曲線的右支上，
∴|PF2|≥c﹣a，
∴a≥c﹣a，即a≥c，
∴e，
∵e＞1，
∴1＜e，
∴雙曲線的離心率e的取值范圍為（1，]．
故選：A．
2．已知雙曲線（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M為雙曲線右支上一點(diǎn)，若|F1F2|＝2|OM|，tan∠MF2F1≥2，則雙曲線C的離心率的取值范圍為?。?，]　．
【解答】解：法一：∵|F1F2|＝2|OM|，∴，
∴，，
∵|MF1|﹣|MF2|＝2a，
∴，
設(shè)，則，
∴，∴1＜e2≤5，∴．
法二：∵|F1F2|＝2|OM|，∴，令|MF1|＝r1，|MF2|＝r2，
∠MF2F1＝θ，tanθ≥2，r1＝2csinθ，r2＝2ccosθ，
∴2a＝r1﹣r2＝2c（sinθ﹣cosθ），∴，∴，
∴．
故答案為：（1，]．
3．F1，F(xiàn)2是雙曲線1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)P滿足a2，則雙曲線離心率的取值范圍為（　?。?br /> A．[，+∞） B．[，+∞） C．（1，] D．（1，]
【解答】解：設(shè)PF1＝r1，PF2＝r2，則a2?r1r2cos∠F1PF2＝﹣a2，
再根據(jù)余弦定理得r1r2?a2，即r12+r22＝4c2﹣2a2，①，
又由雙曲線的定義可得：|r1﹣r2|＝2a，即r12+r22﹣2r1r2＝4a2，②
又r1+r2≥2c，即r12+r22+2r1r2≥4c2，③
②+③得2（r12+r22）≥4a2+4c2，將①代入得：2（4c2﹣2a2）≥4a2+4c2，
化簡得：c2≥2a2，∴e2≥2，∴e．
故選：B．


課后作業(yè). 雙曲線
1．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)，F(xiàn)2與拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)重合，點(diǎn)M在E上，MF2與x軸垂直，|MF2|＝2，則E的離心率為（　?。?br /> A． B． C． D．2
【解答】解：F2與拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)重合，
則F2（，0），
即c，
∴|F1F2|＝2c＝2，
∵M(jìn)F2與x軸垂直，|MF2|＝2，
∴|MF1|＝2a+2，
∴（2a+2）2＝22+（2）2，
解得a＝1，
∴e，
故選：C．

2．已知M（x0，y0）是雙曲線C：y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是C上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若∠F1MF2為鈍角，則y0的取值范圍是　?。?br /> 【解答】解：由題意，∵∠F1MF2為鈍角，
∴?（x0，﹣y0）?（x0，﹣y0）＝x02﹣3+y02＝3y02﹣1＜0，且3y02﹣1≠﹣1
∴y0且y0≠﹣1．
∴y0的取值范圍是．
故答案為：．
3．設(shè)F1、F2分別為雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與圓O：x2+y2＝a2相切，l與C的漸近線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)是P，若PF2⊥x軸，則雙曲線的離心率等于（　?。?br /> A． B．2 C．2 D．4
【解答】解：依題意雙曲線的漸近線方程：ax﹣by＝0，因?yàn)镻F2⊥x軸，可得
P（c，），直線PF1：的斜率為：k，直線方程為：y（x+c），直線與圓x2+y2＝a2相切，
所以a，
整理得：
（bc）2＝a2（4a2+b2），則c4﹣2a2c2﹣3a4＝0，即e4﹣2e2﹣3＝0，
e＞1，
解得e，
故選：A．

4．已知雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且滿足|F1F2|＝2|OP|．若直線PF2與雙曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解：雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，
且滿足|F1F2|＝2|OP|．可得PF1⊥PF2，直線PF2與雙曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，
可得PF2的斜率：，設(shè)PF1＝m，PF2＝n，可得，m﹣n＝2a，m2+n2＝4c2，
消去m，n，可得：，解得b＝2a，即c2﹣a2＝4a2，
所以雙曲線的離心率為：e．
故選：C．
5．已知雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B是C的一條漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓過F且交C的左支于M，N兩點(diǎn)，若|MN|＝2，△ABF的面積為8，則C的漸近線方程為（　?。?br /> A．y B．y C．y＝±2x D．y
【解答】解：設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為F'，由雙曲線的對稱性，可得四邊形AFBF'是矩形，
∴S△ABF＝S△ABF'，
即bc＝8，
由，可得y＝±，
則|MN|2，即b2＝c，
∴b＝2，c＝4，
∴a2，
∴C的漸近線方程為y＝±x，
故選：B．

6．過雙曲線的右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于C，D兩點(diǎn)，若|AB||，則雙曲線離心率的取值范圍為　　．
【解答】解：易知，因?yàn)闈u近線，所以 ，
由化簡得，即，
所以，從而，
解得．
故答案為：．
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