知識(shí)梳理.任意角的三角函數(shù)
1．角的概念的推廣
(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．
(2)分類eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))
(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
2．弧度制的定義和公式
(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.
(2)公式：
3.任意角的三角函數(shù)
(1)定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么sin α＝y(tǒng)，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示．正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1，0)．如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線、余弦線和正切線．
4.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系：sin2α＋cs2α＝1．
(2)商數(shù)關(guān)系：eq \f(sin α,cs α)＝tan_α(α≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z)．
5．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
題型一. 同角之間的關(guān)系
1．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（1，m），且sinα，則csα＝（ ）
A．±B．C．D．
【解答】解：因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（1，m），所以O(shè)P
因?yàn)閟inα，所以：；
所以m＝﹣3．（正值舍）
故csα；
故選：C．
2．已知a是第二象限角，，則csα＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵α為第二象限角，tanα，
∴csα．
故選：B．
3．已知，，則sinα＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵，，
∴csα，即cs2α，
又∵sin2α+cs2α＝1，
∴sin2α1，即sin2α+sinα0，
解得sinα，負(fù)值舍去．
故選：C．
4．已知sinθ+csθ（0＜θ），則sinθ﹣csθ的值為 ．
【解答】解：∵sinθ+csθ0，0＜θ，
∴（sinθ+csθ）2＝sin2θ+cs2θ+2sinθcsθ＝1+2sinθcsθ，sinθ﹣csθ＜0，
∴2sinθcsθ，
∴（sinθ﹣csθ）2＝sin2θ+cs2θ﹣2sinθcsθ＝1﹣2sinθcsθ，
則sinθ﹣csθ．
故答案為：．
題型二. 齊次式
1．已知tanα＝2，則的值為（ ）
A．9B．6C．﹣2D．﹣3
【解答】解：因?yàn)閠anα＝2，
則9．
故選：A．
2．已知tanα，則（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：．
故選：B．
3．已知tanα＝﹣1，則2sin2α﹣3cs2α＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因?yàn)閠anα＝﹣1，
則2sin2α﹣3cs2α．
故選：B．
4．已知2cs2α﹣3sin2α＝1，α∈（，﹣π），那么tanα的值為（ ）
A．2B．﹣2C．D．
【解答】解：因?yàn)?cs2α﹣3sin2α＝2（1﹣sin2α）﹣3sin2α＝1，
可得sin2α，cs2α，
因?yàn)棣痢剩?，﹣π）?br>所以sinα，csα，可得tanα．
故選：D．
題型三.
1．已知csα﹣3sinα＝0，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因?yàn)閏sα﹣3sinα＝0，
所以csα＝3sinα，
則．
故選：C．
2．已知sinα+csα，則sinα?csα＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：已知sinα+csα，
兩邊平方可得：sin2α+cs2α+2sinαcsα，整理得：1+2sinα?csα，
解得：sinα?csα．
故選：C．
3．已知，則（ ）
A．﹣6B．﹣7C．﹣8D．﹣9
【解答】解：由得到：，
得，
所以．
故選：C．
4．若α∈（，π），2sinα+csα，則tanα＝（ ）
A．﹣2B．2C．D．
【解答】解：由2sinα+csα，
兩邊平方，可得：（2sinα+csα）2，即4sin2α+4sinαcsα+cs2α．
∴，
∴，則11tan2α+20tanα﹣4＝0．
解得：tanα＝﹣2或tanα．
∵α∈（，π），
∴tanα＝﹣2．
故選：A．
題型四. 誘導(dǎo)公式
1．已知sin（π+α），則（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵sin（π+α）sinα，∴sinα，
∴sinα，
故選：C．
2．已知sin（α），則cs（π+α）＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵，
∴csα，
∴cs（π+α）＝﹣csα．
故選：A．
3．，則 ．
【解答】解：∵αα＝π，
∴α＝π﹣（α），
即sin（α）＝sin[π﹣（α）]＝sin（α），
故答案為：．
4．已知，則 0 ．
【解答】解：∵（θ）+（θ），
∴θ（θ），
∴cs（θ）+sin（θ）
＝cs（θ）+sin[（θ）]
＝cs（θ）﹣cs（θ）
＝0．
故答案為：0．
課后作業(yè).任意角的三角函數(shù)
1．已知角θ的終邊上有一點(diǎn)P（﹣4a，3a）（a≠0），則2sinθ+csθ的值是（ ）
A．B．C．或D．不確定
【解答】解：角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（﹣4a，3a），故|OP|5|a|；
由三角函數(shù)的定義知
當(dāng)a＞0時(shí)，sinα，csα，得2sinα+csα；
當(dāng)a＜0時(shí)，sinα，csα，得2sinα+csα．
故選：C．
2．已知tanA＝2，則（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因?yàn)閠anA＝2，
所以．
故選：D．
3．已知A是三角形的內(nèi)角，且sinA+csA，則tanA等于 4 ．
【解答】解：A是三角形的內(nèi)角，sinA+csA，又因?yàn)閟in2A+cs2A＝1，
所以2sinAcsA，A為銳角，
所以，
所以tan2A﹣8tanA+1＝0，
所以tanA＝4．
故答案為：4．
4．已知2sinθ﹣csθ＝1，則的值為（ ）
A．B．0C．2D．0或2
【解答】解：由題意可得2sinθ﹣1＝csθ，
兩邊同時(shí)平方可得，4sin2θ﹣4sinθ+1＝cs2θ＝1﹣sin2θ，
則5sin2θ﹣4sinθ＝0，
∴sinθ＝0，csθ＝﹣1或sin，cs，
當(dāng)sinθ＝0，csθ＝﹣1時(shí)，則0，
或sin，cs，則2．
故選：D．
5．已知：，則的值為 ．
【解答】解：∵，
∴11，
故答案為 ．
6．已知，其中α是第三象限角，且，則f（α）＝ ．
【解答】解：∵tanα，
又∵，
∴sinα，
∵α是第三象限角，
∴csα，
∴f（α）＝﹣tanα．
故答案為：．
角α的弧度數(shù)公式
|α|＝eq \f(l,r)(l表示弧長(zhǎng))
角度與弧度的換算
①1°＝eq \f(π,180)rad；②1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧長(zhǎng)公式
l＝|α|r
扇形面積公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cs_α
cs_α
余弦
cs_α
－cs_α
cs_α
－cs_α
sin_α
－sin_α
正切
tan α
tan_α
－tan_α
－tan_α
口訣
函數(shù)名不變，符號(hào)看象限
函數(shù)名改變，符號(hào)看象限

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