一、選擇題
1．盒中有10個螺絲釘，其中有3個是壞的，現(xiàn)從盒中隨機地抽取4個，那么概率是eq \f(3,10)的事件為( )
A．恰有1個是壞的 B．4個全是好的
C．恰有2個是好的 D．至多有2個是壞的
2．如圖，我國古代珠算算具算盤每個檔(掛珠的桿)上有7顆算珠，用梁隔開，梁上面兩顆叫上珠，下面5顆叫下珠，若從某一檔的7顆算珠中任取3顆，至少含有一顆上珠的概率為( )
A.eq \f(5,7) B.eq \f(4,7)
C.eq \f(2,7) D.eq \f(1,7)
3．某12人的興趣小組中，有5名“三好生”，現(xiàn)從中任意選6人參加競賽，用X表示這6人中“三好生”的人數(shù)，則eq \f(C\\al(3,5)C\\al(3,7),C\\al(6,12))表示的概率是( )
A．P(X＝2) B．P(X＝3)
C．P(X≤2) D．P(X≤3)
4．一盒中有7個乒乓球．其中5個未使用過，2個已使用過，現(xiàn)從盒子中任取3個球來用，用完后再裝回盒中．記盒中已使用過的球的個數(shù)為X，則下列結論錯誤的是( )
A．X的所有可能取值是3,4,5
B．X最有可能的取值是4
C．X等于3的概率為eq \f(4,7)
D．X的數(shù)學期望是eq \f(29,7)
5．學校要從10名候選人中選2名同學組成學生會，其中高二(1)班有4名候選人，假設每名候選人都有相同的機會被選到，若X表示選到高二(1)班的候選人的人數(shù)，則E(X)＝( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(8,9)
C.eq \f(3,8) D.eq \f(4,5)
6．一袋中裝有5個紅球和3個黑球(除顏色外無區(qū)別)，任取3球，記其中黑球數(shù)為X，則E(X)為( )
A.eq \f(9,8) B.eq \f(7,8)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(62,56)
7．10件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)任取n件，若2件次品全部被抽中的概率超過0.4，則n的最小值為( )
A．6 B．7
C．8 D．9
8．(多選題)一袋中有6個大小相同的黑球，編號為1,2,3,4,5,6，還有4個同樣大小的白球，編號為7,8,9,10，現(xiàn)從中任取4個球，則下列結論中正確的是( )
A．取出的最大號碼X服從超幾何分布
B．取出的黑球個數(shù)Y服從超幾何分布
C．取出2個白球的概率為eq \f(1,14)
D．若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則總得分最大的概率為eq \f(1,14)
二、填空題
9．把半圓弧分成4等份，以這些分點(包括直徑的兩端點)為頂點，作出三角形，從這些三角形中任取3個不同的三角形，則這3個不同的三角形中鈍角三角形的個數(shù)X的期望為 .
10．在某年級的聯(lián)歡會上設計了一個抽獎游戲，在一個口袋中裝有10個紅球和20個白球，這些球除顏色外完全相同．一次從中摸出5個球，至少摸到3個紅球就中獎．則中獎的概率大約是 .(保留一位小數(shù))
11．一袋中有除顏色不同其他都相同的2個白球，2個黃球，1個紅球，從中任意取出3個，有黃球的概率是eq \f(9,10)，若ξ表示取到黃球的個數(shù)，則E(ξ)＝ .
三、解答題
12．袋中有4個紅球，3個黑球，從袋中隨機取球，設取到一個紅球得2分，取到一個黑球得1分，從袋中任取4個球．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6分的概率．
13．某校從學生會宣傳部6名成員(其中男生4人，女生2人)中，任選3人參加某省舉辦的演講比賽活動．
(1)設所選3人中女生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被選中的概率；
(3)設“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，求P(B)和P(B|A)．
14．一個盒子里裝有相同大小的10個黑球，12個紅球，4個白球，從中任取2個，其中白球的個數(shù)記為X，則下列概率等于eq \f(C\\al(1,22)C\\al(1,4)＋C\\al(2,22),C\\al(2,26))的是( )
A．P(0eq \f(3,10)，故D選項不正確．故選C.
2．如圖，我國古代珠算算具算盤每個檔(掛珠的桿)上有7顆算珠，用梁隔開，梁上面兩顆叫上珠，下面5顆叫下珠，若從某一檔的7顆算珠中任取3顆，至少含有一顆上珠的概率為( A )
A.eq \f(5,7) B.eq \f(4,7)
C.eq \f(2,7) D.eq \f(1,7)
解析：由題，則P＝1－eq \f(C\\al(3,5),C\\al(3,7))＝1－eq \f(2,7)＝eq \f(5,7).故選A.
3．某12人的興趣小組中，有5名“三好生”，現(xiàn)從中任意選6人參加競賽，用X表示這6人中“三好生”的人數(shù)，則eq \f(C\\al(3,5)C\\al(3,7),C\\al(6,12))表示的概率是( B )
A．P(X＝2) B．P(X＝3)
C．P(X≤2) D．P(X≤3)
解析：6人中“三好生”的人數(shù)X服從超幾何分布，其中參數(shù)為N＝12，M＝5，n＝6，所以P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,5)C\\al(3,7),C\\al(6,12)).
4．一盒中有7個乒乓球．其中5個未使用過，2個已使用過，現(xiàn)從盒子中任取3個球來用，用完后再裝回盒中．記盒中已使用過的球的個數(shù)為X，則下列結論錯誤的是( C )
A．X的所有可能取值是3,4,5
B．X最有可能的取值是4
C．X等于3的概率為eq \f(4,7)
D．X的數(shù)學期望是eq \f(29,7)
解析：記未使用過的乒乓球為A，已使用過的為B，任取3個球的所有可能是：1A2B,2A1B,3A；A使用后成為B，故X的所有可能取值是3,4,5；P(X＝3)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(2,2),C\\al(3,7))＝eq \f(1,7)，P(X＝4)＝eq \f(C\\al(2,5)C\\al(1,2),C\\al(3,7))＝eq \f(4,7)，P(X＝5)＝eq \f(C\\al(3,5),C\\al(3,7))＝eq \f(2,7)，所以X最有可能的取值是4；E(X)＝3×eq \f(1,7)＋4×eq \f(4,7)＋5×eq \f(2,7)＝eq \f(29,7).故選C.
5．學校要從10名候選人中選2名同學組成學生會，其中高二(1)班有4名候選人，假設每名候選人都有相同的機會被選到，若X表示選到高二(1)班的候選人的人數(shù)，則E(X)＝( D )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(8,9)
C.eq \f(3,8) D.eq \f(4,5)
解析：方法一(公式法)：由題意得，隨機變量X服從超幾何分布，則E(X)＝eq \f(nM,N)＝2×eq \f(4,10)＝eq \f(4,5).
方法二：X服從超幾何分布．隨機變量X的所有可能取值為0,1,2，P(X＝0)＝eq \f(C\\al(2,6),C\\al(2,10))＝eq \f(1,3)， P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,6)C\\al(1,4),C\\al(2,10))＝eq \f(8,15)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(0,6)C\\al(2,4),C\\al(2,10))＝eq \f(2,15).分布列如下：
∴E(X)＝1×eq \f(8,15)＋2×eq \f(2,15)＝eq \f(4,5).故選D.
6．一袋中裝有5個紅球和3個黑球(除顏色外無區(qū)別)，任取3球，記其中黑球數(shù)為X，則E(X)為( A )
A.eq \f(9,8) B.eq \f(7,8)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(62,56)
解析：由題意可知，隨機變量X的可能取值有0,1,2,3，則P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,5),C\\al(3,8))＝eq \f(5,28)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(2,5)C\\al(1,3),C\\al(3,8))＝eq \f(15,28)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(2,3),C\\al(3,8))＝eq \f(15,56)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,8))＝eq \f(1,56).因此，隨機變量X的數(shù)學期望為E(X)＝0×eq \f(5,28)＋1×eq \f(15,28)＋2×eq \f(15,56)＋3×eq \f(1,56)＝eq \f(9,8).故選A.
7．10件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)任取n件，若2件次品全部被抽中的概率超過0.4，則n的最小值為( B )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：根據(jù)題意得P＝eq \f(C\\al(n－2,8)C\\al(2,2),C\\al(n,10))>0.4，
所以eq \f(8！,?n－2?！?10－n?！)>0.4×eq \f(10！,n！?10－n?！)，
所以1>0.4×eq \f(10×9,n×?n－1?)，所以n2－n－36>0，
即n>eq \f(1＋\r(145),2)，所以n的最小值為7.故選B.
8．(多選題)一袋中有6個大小相同的黑球，編號為1,2,3,4,5,6，還有4個同樣大小的白球，編號為7,8,9,10，現(xiàn)從中任取4個球，則下列結論中正確的是( BD )
A．取出的最大號碼X服從超幾何分布
B．取出的黑球個數(shù)Y服從超幾何分布
C．取出2個白球的概率為eq \f(1,14)
D．若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則總得分最大的概率為eq \f(1,14)
解析：一袋中有6個大小相同的黑球，編號為1,2,3,4,5,6，還有4個同樣大小的白球，編號為7,8,9,10，現(xiàn)從中任取4個球，對于A，取出的最大號碼X不服從超幾何分布，錯誤；對于B，取出的黑球個數(shù)Y服從超幾何分布，正確；對于C，取出2個白球的概率為P＝eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4),C\\al(4,10))＝eq \f(3,7)，錯誤；對于D，若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則取出四個黑球的總得分最大，∴總得分最大的概率為P＝eq \f(C\\al(4,6),C\\al(4,10))＝eq \f(1,14)，正確．故選BD.
二、填空題
9．把半圓弧分成4等份，以這些分點(包括直徑的兩端點)為頂點，作出三角形，從這些三角形中任取3個不同的三角形，則這3個不同的三角形中鈍角三角形的個數(shù)X的期望為eq \f(21,10).
解析：以這些分點(包括直徑的兩端點)為頂點，一共能畫出Ceq \\al(3,5)＝10個三角形，其中鈍角三角形有7個，所以X＝0,1,2,3，P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,10))＝eq \f(1,120)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,7)C\\al(2,3),C\\al(3,10))＝eq \f(7,40)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,7)C\\al(1,3),C\\al(3,10))＝eq \f(21,40)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,7),C\\al(3,10))＝eq \f(7,24)，所以E(X)＝0×eq \f(1,120)＋1×eq \f(7,40)＋2×eq \f(21,40)＋3×eq \f(7,24)＝eq \f(21,10).
10．在某年級的聯(lián)歡會上設計了一個抽獎游戲，在一個口袋中裝有10個紅球和20個白球，這些球除顏色外完全相同．一次從中摸出5個球，至少摸到3個紅球就中獎．則中獎的概率大約是0.2.(保留一位小數(shù))
解析：設摸出紅球的個數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中N＝30，M＝10，n＝5.于是中獎的概率為P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝eq \f(C\\al(3,10)C\\al(5－3,30－10),C\\al(5,30))＋eq \f(C\\al(4,10)C\\al(5－4,30－10),C\\al(5,30))＋eq \f(C\\al(5,10)C\\al(5－5,30－10),C\\al(5,30))≈0.2.
11．一袋中有除顏色不同其他都相同的2個白球，2個黃球，1個紅球，從中任意取出3個，有黃球的概率是eq \f(9,10)，若ξ表示取到黃球的個數(shù)，則E(ξ)＝eq \f(6,5).
解析：一袋中有除顏色不同其他都相同的2個白球，2個黃球，1個紅球，從中任意取出3個，樣本點總數(shù)n＝Ceq \\al(3,5)＝10，其中有黃球包含的樣本點個數(shù)m＝Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,3)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,3)＝9.∴有黃球的概率是P＝eq \f(m,n)＝eq \f(9,10).ξ表示取到黃球的個數(shù)，則ξ的所有可能取值為0,1,2，
P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,5))＝eq \f(1,10)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(2,3),C\\al(3,5))＝eq \f(3,5)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,3),C\\al(3,5))＝eq \f(3,10)，
∴E(ξ)＝0×eq \f(1,10)＋1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＝eq \f(6,5).
三、解答題
12．袋中有4個紅球，3個黑球，從袋中隨機取球，設取到一個紅球得2分，取到一個黑球得1分，從袋中任取4個球．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6分的概率．
解：(1)由題知，X可能取值為5,6,7,8，
P(X＝5)＝eq \f(C\\al(3,3)·C\\al(1,4),C\\al(4,7))＝eq \f(4,35)，P(X＝6)＝eq \f(C\\al(2,3)·C\\al(2,4),C\\al(4,7))＝eq \f(18,35)，
P(X＝7)＝eq \f(C\\al(1,3)·C\\al(3,4),C\\al(4,7))＝eq \f(12,35)，P(X＝8)＝eq \f(C\\al(4,4),C\\al(4,7))＝eq \f(1,35).
故分布列為
(2)P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝eq \f(12,35)＋eq \f(1,35)＝eq \f(13,35).故得分大于6分的概率為eq \f(13,35).
13．某校從學生會宣傳部6名成員(其中男生4人，女生2人)中，任選3人參加某省舉辦的演講比賽活動．
(1)設所選3人中女生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被選中的概率；
(3)設“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，求P(B)和P(B|A)．
解：(1)ξ的所有可能取值為0,1,2，依題意得
P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2),C\\al(3,6))＝eq \f(3,5)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,2),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5).
∴ξ的分布列為
(2)設“甲、乙都不被選中”為事件C，則
P(C)＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,6))＝eq \f(4,20)＝eq \f(1,5).
∴所求概率為P(eq \x\t(C))＝1－P(C)＝1－eq \f(1,5)＝eq \f(4,5).
(3)P(B)＝eq \f(C\\al(2,5),C\\al(3,6))＝eq \f(10,20)＝eq \f(1,2)；P(B|A)＝eq \f(C\\al(1,4),C\\al(2,5))＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5).
14．一個盒子里裝有相同大小的10個黑球，12個紅球，4個白球，從中任取2個，其中白球的個數(shù)記為X，則下列概率等于eq \f(C\\al(1,22)C\\al(1,4)＋C\\al(2,22),C\\al(2,26))的是( B )
A．P(0

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