2025高考數(shù)學一輪復習- 復數(shù)-專項訓練【含解析】-試卷下載-教習網(wǎng)

1．已知z＝(2－i)(1＋3i)，則z的虛部為( )
A．－1 B．－i
C．5D．5i
2．已知a＋eq \r(5)i＝－2＋bi(a，b∈R)，則|a＋bi|＝( )
A．1B．eq \r(7)
C．3 D．9
3．已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z與復平面內(nèi)的點(2，－1)對應，則復數(shù)eq \f(1－2i,z)對應的點在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
4．已知復數(shù)z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)，則“a＝2”是“z為純虛數(shù)”的( )
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．設復數(shù)z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－i,1＋i)))n＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))n，i為虛數(shù)單位，n∈N，則由z的所有可能取值構(gòu)成的集合為( )
A．{1,0，－1}B．{0,2，－2}
C．{0,1＋i,1－i}D．{0,2＋2i,2－2i}
6．(多選)設復數(shù)z滿足z＝－1－2i，i為虛數(shù)單位，則下列命題正確的是( )
A．|z|＝eq \r(5)
B．z的虛部為2
C．z的共軛復數(shù)為－1＋2i
D．復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第四象限
7．(多選)設z∈C，則下列說法中正確的是( )
A．|z|2＝eq \x\t(z)·z
B．|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|
C．若zeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,2)＝0，則z1＝z2＝0
D．若|z|＝1，則|z－i|≤2
8．i是虛數(shù)單位，若復數(shù)(1－2i)(a＋i)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為________．
9．設O是坐標原點，向量eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))對應的復數(shù)分別為2－3i，－3＋2i．那么向量eq \(BA,\s\up7(―→))對應的復數(shù)是________．
10．若復數(shù)z＝2＋(z＋1)i，其中i為虛數(shù)單位，則復數(shù)z的模為________．
11．若i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足|z＋eq \r(3)＋i|≤eq \r(3)，則|z－2i|的最大值為( )
A．2B．3
C．2eq \r(3)D．3eq \r(3)
12．設復數(shù)z滿足|eq \x\t(z)－2i|＝3，且z在復平面內(nèi)對應的點為(x，y)，則( )
A．(x－2)2＋y2＝9B．(x＋2)2＋y2＝9
C．x2＋(y－2)2＝9D．x2＋(y＋2)2＝9
13．(多選)已知復數(shù)z＝cs θ＋isin θ(其中i為虛數(shù)單位)，下列說法正確的是( )
A．z·eq \x\t(z)＝1
B．z＋eq \f(1,z)為實數(shù)
C．若θ＝eq \f(8π,3)，則復數(shù)z在復平面上對應的點落在第一象限
D．若θ∈(0，π)，復數(shù)z是純虛數(shù)，則θ＝eq \f(π,2)
14．若復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R，i為虛數(shù)單位)滿足|z－2i|＝|z|，寫出一個滿足條件的復數(shù)z＝________．
15．已知(a－i)(1－2i)＝－3＋bi，a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則a＋b＝________；若復數(shù)z＝a＋bi，則z在復平面內(nèi)對應的點位于第________象限．
課時過關(guān)檢測(三十七)
復數(shù)【解析版】
1．已知z＝(2－i)(1＋3i)，則z的虛部為( )
A．－1 B．－i
C．5D．5i
解析：C z＝(2－i)(1＋3i)＝2＋6i－i－3i2＝5＋5i，虛部為5．故選C．
2．已知a＋eq \r(5)i＝－2＋bi(a，b∈R)，則|a＋bi|＝( )
A．1B．eq \r(7)
C．3 D．9
解析：C 因為a＋eq \r(5)i＝－2＋bi(a，b∈R)，所以a＝－2，b＝eq \r(5)，|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(4＋5)＝3．故選C．
3．已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z與復平面內(nèi)的點(2，－1)對應，則復數(shù)eq \f(1－2i,z)對應的點在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
解析：D 由復數(shù)z與復平面內(nèi)的點(2，－1)對應，可知z＝2－i，所以eq \f(1－2i,2－i)＝eq \f(?1－2i??2＋i?,?2－i??2＋i?)＝eq \f(4,5)－eq \f(3,5)i，其對應的點為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(3,5)))．故選D．
4．已知復數(shù)z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)，則“a＝2”是“z為純虛數(shù)”的( )
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
解析：A 因為復數(shù)z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)為純虛數(shù)，等價于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－4＝0，,a－3≠0，))即a＝±2，由充分條件和必要條件的定義知“a＝2”是“a＝±2”的充分不必要條件，所以“a＝2”是“z為純虛數(shù)”的充分不必要條件．故選A．
5．設復數(shù)z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－i,1＋i)))n＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))n，i為虛數(shù)單位，n∈N，則由z的所有可能取值構(gòu)成的集合為( )
A．{1,0，－1}B．{0,2，－2}
C．{0,1＋i,1－i}D．{0,2＋2i,2－2i}
解析：B z＝in＋(－i)n，i為虛數(shù)單位，n∈N，當n＝4k(k∈N)時，z＝2；當n＝4k＋1(k∈N)時，z＝0；當n＝4k＋2(k∈N)時，z＝－2；當n＝4k＋3(k∈N)時，z＝0．故選B．
6．(多選)設復數(shù)z滿足z＝－1－2i，i為虛數(shù)單位，則下列命題正確的是( )
A．|z|＝eq \r(5)
B．z的虛部為2
C．z的共軛復數(shù)為－1＋2i
D．復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第四象限
解析：AC 由題意|z|＝eq \r(?－1?2＋?－2?2)＝eq \r(5)，虛部為－2，共軛復數(shù)是－1＋2i，對應點坐標為(－1，－2)，在第三象限．故選A、C．
7．(多選)設z∈C，則下列說法中正確的是( )
A．|z|2＝eq \x\t(z)·z
B．|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|
C．若zeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,2)＝0，則z1＝z2＝0
D．若|z|＝1，則|z－i|≤2
解析：AD A選項，設z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq \x\t(z)＝a－bi，|z|2＝a2＋b2，eq \x\t(z)·z＝a2＋b2，所以|z|2＝eq \x\t(z)·z，故A正確；
B選項，令z1＝1＋i，z2＝1－i，則|z1＋z2|＝2，|z1|＋|z2|＝2eq \r(2)，不滿足|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|，故B錯誤；
C選項，若z1＝i，z2＝1，則zeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,2)＝0，但不滿足z1＝z2＝0，故C錯誤；
D選項，若|z|＝1，不妨令z＝cs θ＋sin θ·i，則|z－i|＝eq \r(cs2θ＋?sin θ－1?2)＝eq \r(2－2sin θ)≤2，故D正確．故選A、D．
8．i是虛數(shù)單位，若復數(shù)(1－2i)(a＋i)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為________．
解析：(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，由已知，得a＋2＝0,1－2a≠0，∴a＝－2．
答案：－2
9．設O是坐標原點，向量eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))對應的復數(shù)分別為2－3i，－3＋2i．那么向量eq \(BA,\s\up7(―→))對應的復數(shù)是________．
解析：∵向量eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))對應的復數(shù)分別為2－3i，－3＋2i，∴eq \(OA,\s\up7(―→))＝(2，－3)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(－3,2)，∴eq \(BA,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))＝(5，－5)，其對應的復數(shù)是5－5i．
答案：5－5i
10．若復數(shù)z＝2＋(z＋1)i，其中i為虛數(shù)單位，則復數(shù)z的模為________．
解析：因為z＝2＋(z＋1)i，所以z(1－i)＝2＋i，所以z＝eq \f(2＋i,1－i)＝eq \f(?2＋i??1＋i?,?1－i??1＋i?)＝eq \f(1＋3i,2)，故|z|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2)＝eq \f(\r(10),2)．
答案：eq \f(\r(10),2)
11．若i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足|z＋eq \r(3)＋i|≤eq \r(3)，則|z－2i|的最大值為( )
A．2B．3
C．2eq \r(3)D．3eq \r(3)
解析：D |z＋eq \r(3)＋i|≤eq \r(3)表示以點M(－eq \r(3)，－1)為圓心，R＝eq \r(3)為半徑的圓及其內(nèi)部，|z－2i|表示上述圓面內(nèi)的點到N(0,2)的距離，據(jù)此作出如圖所示的示意圖，則|z－2i|max＝MN＋R＝eq \r([0－?－\r(3)?]2＋[2－?－1?2]2)＋eq \r(3)＝3eq \r(3)．故選D．
12．設復數(shù)z滿足|eq \x\t(z)－2i|＝3，且z在復平面內(nèi)對應的點為(x，y)，則( )
A．(x－2)2＋y2＝9B．(x＋2)2＋y2＝9
C．x2＋(y－2)2＝9D．x2＋(y＋2)2＝9
解析：D 因為z在復平面內(nèi)對應的點為(x，y)，所以z＝x＋yi，則eq \x\t(z)＝x－yi，所以eq \x\t(z)－2i＝x＋(－y－2)i，所以|eq \x\t(z)－2i|＝eq \r(x2＋?y＋2?2)＝3，整理得x2＋(y＋2)2＝9．故選D．
13．(多選)已知復數(shù)z＝cs θ＋isin θ(其中i為虛數(shù)單位)，下列說法正確的是( )
A．z·eq \x\t(z)＝1
B．z＋eq \f(1,z)為實數(shù)
C．若θ＝eq \f(8π,3)，則復數(shù)z在復平面上對應的點落在第一象限
D．若θ∈(0，π)，復數(shù)z是純虛數(shù)，則θ＝eq \f(π,2)
解析：ABD 對選項A，z·eq \x\t(z)＝(cs θ＋isin θ)(cs θ－isin θ)＝cs2θ－(isin θ)2＝cs2θ＋sin2θ＝1，故A正確；對選項B，因為z＋eq \f(1,z)＝cs θ＋isin θ＋eq \f(1,cs θ＋isin θ)＝cs θ＋isin θ＋eq \f(cs θ－isin θ,?cs θ＋isin θ??cs θ－isin θ?)＝cs θ＋isin θ＋cs θ－isin θ＝2cs θ，所以z＋eq \f(1,z)為實數(shù)．故B正確；
對選項C，因為θ＝eq \f(8π,3)為第二象限角，所以cs eq \f(8π,3)0，所以z＝cs eq \f(8π,3)＋isin eq \f(8π,3)在復平面對應的點落在第二象限．故C錯誤；
對選項D，復數(shù)z是純虛數(shù)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs θ＝0，,sin θ≠0，))又因為θ∈(0，π)，所以θ＝eq \f(π,2)，故D正確．故選A、B、D．
14．若復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R，i為虛數(shù)單位)滿足|z－2i|＝|z|，寫出一個滿足條件的復數(shù)z＝________．
解析：z＝a＋bi，故z－2i＝a＋(b－2)i．由|z－2i|＝|z|知， eq \r(a2＋?b－2?2)＝eq \r(a2＋b2)，化簡得b＝1，故只要b＝1，即z＝a＋i(a可為任意實數(shù))均滿足題意，可取z＝1＋i．
答案：1＋i(答案不唯一)
15．已知(a－i)(1－2i)＝－3＋bi，a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則a＋b＝________；若復數(shù)z＝a＋bi，則z在復平面內(nèi)對應的點位于第________象限．
解析：由(a－i)(1－2i)＝－3＋bi，得a－2－(1＋2a)i＝－3＋bi，由復數(shù)相等的充要條件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2＝－3，,－?1＋2a?＝b，))解得a＝－1，b＝1，所以a＋b＝0，所以z＝－1＋i，復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為(－1,1)，位于第二象限．
答案：0 二

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