一、選擇題
1．排列數(shù)Aeq \\al(2,4)＝( )
A．6B．8
C．12D．24
2．3位大學(xué)生乘坐同一列動車，該動車有8節(jié)車廂，則至少有2位大學(xué)生在同一節(jié)車廂的概率為( )
A.eq \f(21,32) B.eq \f(57,64)
C.eq \f(11,32) D.eq \f(11,16)
3．貼春聯(lián)、掛紅燈籠是我國春節(jié)的傳統(tǒng)習(xí)俗．現(xiàn)準(zhǔn)備在大門的兩側(cè)各掛四盞一樣的紅燈籠，從上往下掛，可以一側(cè)掛好后再掛另一側(cè)，也可以兩側(cè)交叉著掛，則掛紅燈籠的不同方法數(shù)為( )
A．8B．1 680
C．140D．70
4．受新冠肺炎疫情影響，某學(xué)校按上級文件指示，要求錯峰放學(xué)，錯峰有序吃飯．高三年級一層樓有甲、乙、丙、丁、戊、己六個班排隊吃飯，甲班不能排在第一位，且丙班、丁班必須排在一起，則這六個班排隊吃飯的不同安排方案共有( )
A．120種B．156種
C．192種D．240種
5．計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的陳列方式有( )
A．Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(5,5)B．Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(5,5)
C．Aeq \\al(1,3)Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(5,5)D．Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(5,5)
6．由0,1,2,5四個數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，能被5整除的個數(shù)是( )
A．24B．12
C．10D．6
7．現(xiàn)有甲、乙、丙3位同學(xué)在周一至周五參加某項公益勞動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲同學(xué)安排在另外兩位前面，則不同的安排種數(shù)為( )
A．10B．20
C．40D．60
8．(多選題)5人并排站成一行，如果甲、乙兩個人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是( )
A．Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)B．60
C．72 D.eq \f(1,2)Aeq \\al(5,5)
二、填空題
9．學(xué)校要安排7位行政人員在10月1日至10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和2日．不同的安排方法共有 種．(用數(shù)字作答)
10．一排11個座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定中間的3個座位不能坐，且2人不相鄰，則不同排法的種數(shù)是 .
11．現(xiàn)有10名學(xué)生排成一排，其中有4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相鄰排在一起，則不同的排法種數(shù)為 .(列式表示即可)
三、解答題
12．用0,1,2，…，9十個數(shù)可組成多少個滿足以下條件的且沒有重復(fù)數(shù)字的排列：
(1)五位奇數(shù)？
(2)大于30 000的五位偶數(shù)？
13．有語文、數(shù)學(xué)、外語、物理、化學(xué)、生物6門課程，從中選4門安排在上午的4節(jié)課中，其中化學(xué)不排在第四節(jié)，共有多少種安排方法？
14．(多選題)A，B，C, D，E五個人并排站在一起，則下列說法正確的有( )
A．若A，B兩人站在一起有24種方法
B．若A，B之間必須隔兩個人，共有24種方法
C．若A在B左邊有60種方法
D．若A不站在最左邊，B不站最右邊，有78種方法
15．用6枚不同的珍珠串一條項鏈，共有 種不同的串法．
16．把1,2,3,4,5這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，并把它們按由小到大的順序排成一個數(shù)列．
(1)45 312是這個數(shù)列的第幾項？
(2)這個數(shù)列的第71項是多少？
(3)求這個數(shù)列的各項和．
2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-排列數(shù)公式-專項訓(xùn)練【解析版】
時間：45分鐘
一、選擇題
1．排列數(shù)Aeq \\al(2,4)＝( C )
A．6B．8
C．12D．24
解析：Aeq \\al(2,4)＝4×3＝12.故選C.
2．3位大學(xué)生乘坐同一列動車，該動車有8節(jié)車廂，則至少有2位大學(xué)生在同一節(jié)車廂的概率為( C )
A.eq \f(21,32) B.eq \f(57,64)
C.eq \f(11,32) D.eq \f(11,16)
解析：基本事件的總數(shù)有83種，大學(xué)生1個人在一節(jié)車廂的事件數(shù)為Aeq \\al(3,8).所以至少有2位大學(xué)生在同一節(jié)車廂的概率為eq \f(83－A\\al(3,8),83)＝eq \f(11,32).故選C.
3．貼春聯(lián)、掛紅燈籠是我國春節(jié)的傳統(tǒng)習(xí)俗．現(xiàn)準(zhǔn)備在大門的兩側(cè)各掛四盞一樣的紅燈籠，從上往下掛，可以一側(cè)掛好后再掛另一側(cè)，也可以兩側(cè)交叉著掛，則掛紅燈籠的不同方法數(shù)為( D )
A．8B．1 680
C．140D．70
解析：若8盞燈籠任意掛，不同的掛法有Aeq \\al(8,8)種，又因為左右兩邊4盞燈順序一定，故有eq \f(A\\al(8,8),A\\al(4,4)A\\al(4,4))＝70種．故選D.
4．受新冠肺炎疫情影響，某學(xué)校按上級文件指示，要求錯峰放學(xué)，錯峰有序吃飯．高三年級一層樓有甲、乙、丙、丁、戊、己六個班排隊吃飯，甲班不能排在第一位，且丙班、丁班必須排在一起，則這六個班排隊吃飯的不同安排方案共有( C )
A．120種B．156種
C．192種D．240種
解析：丙丁捆綁在一起看作一個班，變成5個班進(jìn)行排列，然后在后面4個位置中選1個排甲，這樣可得排法為Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(1,4)Aeq \\al(4,4)＝192種．故選C.
5．計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的陳列方式有( D )
A．Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(5,5)B．Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(5,5)
C．Aeq \\al(1,3)Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(5,5)D．Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(5,5)
解析：先把三種不同的畫捆在一起，各看成整體，但水彩畫不放在兩端，則油畫與國畫放在兩端有Aeq \\al(2,2)種不同的排法，然后對4幅油畫的排放有Aeq \\al(4,4)種不同的排法，對5幅國畫的排放有Aeq \\al(5,5)種不同的排法，所以不同的陳列方式有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(5,5)種不同的排法．故選D.
6．由0,1,2,5四個數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，能被5整除的個數(shù)是( C )
A．24B．12
C．10D．6
解析：當(dāng)個位數(shù)是0時，有Aeq \\al(3,3)＝6個，當(dāng)個位數(shù)是5時，0在十位或百位，有Aeq \\al(1,2)種放置方法，其余兩個數(shù)有Aeq \\al(2,2)種排法，故有Aeq \\al(1,2)·Aeq \\al(2,2)＝4個，所以能被5整除的個數(shù)是10.故選C.
7．現(xiàn)有甲、乙、丙3位同學(xué)在周一至周五參加某項公益勞動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲同學(xué)安排在另外兩位前面，則不同的安排種數(shù)為( B )
A．10B．20
C．40D．60
解析：第一類：甲在周一，共有Aeq \\al(2,4)種方法，第二類：甲在周二，共有Aeq \\al(2,3)種方法，第三類：甲在周三，共有Aeq \\al(2,2)種方法，共有Aeq \\al(2,4)＋Aeq \\al(2,3)＋Aeq \\al(2,2)＝20種不同的方法．故選B.
8．(多選題)5人并排站成一行，如果甲、乙兩個人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是( AC )
A．Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)B．60
C．72 D.eq \f(1,2)Aeq \\al(5,5)
解析：先除去甲、乙兩人，將剩下的3人全排列，共Aeq \\al(3,3)＝3×2×1＝6種不同的排法，再將甲、乙兩人從產(chǎn)生的4個空中選2個插入共Aeq \\al(2,4)＝12種不同的排法，所以5人并排站成一行，如果甲、乙兩個人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)＝6×12＝72.故選AC.
二、填空題
9．學(xué)校要安排7位行政人員在10月1日至10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和2日．不同的安排方法共有2_400種．(用數(shù)字作答)
解析：先安排好甲、乙的方法有Aeq \\al(2,5)種，然后安排其他5個人的方法有Aeq \\al(5,5)種，故總的方法種數(shù)為Aeq \\al(2,5)Aeq \\al(5,5)＝2 400.
10．一排11個座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定中間的3個座位不能坐，且2人不相鄰，則不同排法的種數(shù)是44.
解析：根據(jù)兩人在三個空位同側(cè)與異側(cè)進(jìn)行分類，當(dāng)兩人在三個空位左側(cè)時：共3×Aeq \\al(2,2)＝6種，同理，當(dāng)兩人在三個空位右側(cè)時：共3×Aeq \\al(2,2)＝6種，當(dāng)兩人在三個空位異側(cè)時：共4×4×Aeq \\al(2,2)＝32種，即共6＋6＋32＝44種．
11．現(xiàn)有10名學(xué)生排成一排，其中有4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相鄰排在一起，則不同的排法種數(shù)為Aeq \\al(3,4)Aeq \\al(6,6)Aeq \\al(2,7).(列式表示即可)
解析：由題可知，采用捆綁法和插空法，從4名男生中選擇3名，進(jìn)而將3個相鄰的男生捆綁在一起，看成1個男生，有Aeq \\al(3,4)種排法，這樣與第4個男生看成是2個男生，然后6個女生全排列有Aeq \\al(6,6)種排法，最后在6個女生形成的7個空隙中，插入2個男生，有Aeq \\al(2,7)種排法，綜上所述，不同的排法種數(shù)為Aeq \\al(3,4)Aeq \\al(6,6)Aeq \\al(2,7).
三、解答題
12．用0,1,2，…，9十個數(shù)可組成多少個滿足以下條件的且沒有重復(fù)數(shù)字的排列：
(1)五位奇數(shù)？
(2)大于30 000的五位偶數(shù)？
解：(1)要得到五位奇數(shù)，末位應(yīng)從1,3,5,7,9五個數(shù)字中取，有5種取法，取定末位數(shù)字后，首位就有除這個數(shù)字和0之外的8種不同取法．首末兩位取定后，十個數(shù)字還有八個數(shù)字可供中間的十位、百位與千位三個數(shù)位選取，共有Aeq \\al(3,8)種不同的排列方法．因此，由分步乘法計數(shù)原理得，共有5×8×Aeq \\al(3,8)＝13 440個沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)．
(2)要得偶數(shù)，末位應(yīng)從0,2,4,6,8中選取，而要比30 000大的五位偶數(shù)，可分兩類：
①末位數(shù)字從0,2中選取，則首位可取3,4,5,6,7,8,9中任一個，共7種選取方法，其余三個數(shù)位就有除首尾兩個數(shù)位上的數(shù)字之外的八個數(shù)字可以選取，共Aeq \\al(3,8)種取法．所以共有2×7×Aeq \\al(3,8)種不同情況．
②末位數(shù)字從4,6,8中選取，則首位應(yīng)從3,4,5,6,7,8,9中除去末位數(shù)字的六位數(shù)字中選取，其余三個數(shù)位仍有Aeq \\al(3,8)種選法，所以共有3×6×Aeq \\al(3,8)種不同情況．
由分類加法計數(shù)原理得，比30 000大的無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)共有2×7×Aeq \\al(3,8)＋3×6×Aeq \\al(3,8)＝10 752個．
13．有語文、數(shù)學(xué)、外語、物理、化學(xué)、生物6門課程，從中選4門安排在上午的4節(jié)課中，其中化學(xué)不排在第四節(jié)，共有多少種安排方法？
解：方法一(分類法)：分兩類：
第1類，化學(xué)被選上，有Aeq \\al(1,3)·Aeq \\al(3,5)種排法；
第2類，化學(xué)不被選上，有Aeq \\al(4,5)種排法．
故共有Aeq \\al(1,3)·Aeq \\al(3,5)＋Aeq \\al(4,5)＝300種不同的安排方法．
方法二(分步法)：第1步，第四節(jié)有Aeq \\al(1,5)種排法；第2步，其余三節(jié)有Aeq \\al(3,5)種排法，故共有Aeq \\al(1,5)·Aeq \\al(3,5)＝300種不同的安排方法．
方法三(間接法)：從6門課中選4門課有Aeq \\al(4,6)種排法，而化學(xué)排第四節(jié)有Aeq \\al(3,5)種排法，故共有Aeq \\al(4,6)－Aeq \\al(3,5)＝300種不同的安排方法．
14．(多選題)A，B，C, D，E五個人并排站在一起，則下列說法正確的有( BCD )
A．若A，B兩人站在一起有24種方法
B．若A，B之間必須隔兩個人，共有24種方法
C．若A在B左邊有60種方法
D．若A不站在最左邊，B不站最右邊，有78種方法
解析：對于A，先將A，B排列，再看成一個元素，和剩余的3人，一共4個元素進(jìn)行全排列，由分步乘法計數(shù)原理可知，共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)＝48種排法，不正確；對于B，若A，B之間必須隔兩個人，則先從C，D，E選出兩個人，有3種方法，把A，B和這兩個人看成一個整體，和另外一個人全排列有Aeq \\al(2,2)＝2種方法，之后A，B全排列，另外兩人全排列有Aeq \\al(2,2)×Aeq \\al(2,2)＝4種方法，綜上共有3×Aeq \\al(2,2)×Aeq \\al(2,2)×Aeq \\al(2,2)＝24種排法，正確；對于C,5人全排列，而其中A在B的左邊和A在B的右邊是等可能的，所以A在B的左邊的排法有eq \f(1,2)Aeq \\al(5,5)＝60種，正確；對于D，對A分兩種情況：一是若A站在最右邊，則剩下的4人全排列有Aeq \\al(4,4)種排法，另一個是A不在最左邊也不在最右邊，則A從中間的3個位置中任選1個，然后B從除最右邊的3個位置中任選1個，最后剩下3人全排列即可，由分類加法計數(shù)原理可知，共有Aeq \\al(4,4)＋Aeq \\al(1,3)Aeq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)＝78種排法，正確．故選BCD.
15．用6枚不同的珍珠串一條項鏈，共有60種不同的串法．
解析：首先注意，本題中的珍珠是可以翻轉(zhuǎn)的，所以此時的排列數(shù)應(yīng)為eq \f(A\\al(5,5),2)＝60(一串珍珠項鏈翻轉(zhuǎn)之后，原來的123456就變成了654321，因此求出Aeq \\al(5,5)之后還要再除以2)．
16．把1,2,3,4,5這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，并把它們按由小到大的順序排成一個數(shù)列．
(1)45 312是這個數(shù)列的第幾項？
(2)這個數(shù)列的第71項是多少？
(3)求這個數(shù)列的各項和．
解：(1)先考慮大于45 312的數(shù)，分為以下兩類：
第一類5開頭的五位數(shù)有Aeq \\al(4,4)＝24個，
第二類4開頭的五位數(shù)有45 321這一個，
∴不大于45 312的數(shù)有Aeq \\al(5,5)－Aeq \\al(4,4)－1＝120－24－1＝95個，即45 312是該數(shù)列的第95項．
(2)1開頭的五位數(shù)有Aeq \\al(4,4)＝24個，2開頭的五位數(shù)有Aeq \\al(4,4)＝24個，3開頭的五位數(shù)有Aeq \\al(4,4)＝24個，共有24×3＝72個．所以第71項是3開頭的五位數(shù)中第二大的數(shù)，即35 412.
(3)因為1,2,3,4,5各在萬位上時都有Aeq \\al(4,4)＝24個五位數(shù)，所以萬位數(shù)上的數(shù)字之和為(1＋2＋3＋4＋5)·Aeq \\al(4,4)·104.同理，它們在千位，百位，十位，個位上也都有Aeq \\al(4,4)＝24個五位數(shù)，所以這個數(shù)列的各項和為(1＋2＋3＋4＋5)·Aeq \\al(4,4)·(104＋103＋102＋101＋100)＝15×24×11 111＝3 999 960.

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