1．二項(xiàng)式定理
2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等．
(2)增減性與最大值
當(dāng)n是偶數(shù)時，中間一項(xiàng) SKIPIF 1 < 0 取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間的兩項(xiàng) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相等，且同時取得最大值．
(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和
(a＋b)n的展開式的各個二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n.
微思考
1．總結(jié)(a＋b)n的展開式的特點(diǎn)．
提示 (1)項(xiàng)數(shù)為n＋1.
(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.
(3)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.
2．(a＋b)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)相同嗎？
提示 不一定．(a＋b)n的展開式的通項(xiàng)是Ceq \\al(k,n)an－kbk，其二項(xiàng)式系數(shù)是Ceq \\al(k,n)(k∈{0,1,2,3，…，n})，不一定是系數(shù)．
題組一 思考辨析
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)Ceq \\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n的展開式的第k項(xiàng)．( × )
(2)(a＋b)n的展開式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無關(guān)．( √ )
(3)二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng)．( × )
(4)(a＋b)n的展開式中某項(xiàng)的系數(shù)是該項(xiàng)中非字母因數(shù)部分，包括符號等，與該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)不同．( √ )
題組二 教材改編
2．(x－y)n的二項(xiàng)展開式中，第m項(xiàng)的系數(shù)是( )
A．Ceq \\al(m,n) B．Ceq \\al(m＋1,n)
C．Ceq \\al(m－1,n) D．(－1)m－1Ceq \\al(m－1,n)
答案 D
解析 (x－y)n二項(xiàng)展開式第m項(xiàng)的通項(xiàng)為
Tm＝Ceq \\al(m－1,n)(－y)m－1xn－m＋1，
所以系數(shù)為Ceq \\al(m－1,n)(－1)m－1.
3．(八省聯(lián)考)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展開式中x2的系數(shù)是( )
A．60 B．80 C．84 D．120
答案 D
解析 (利用公式Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m＋1,n)＝Ceq \\al(m＋1,n＋1))
(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展開式中x2的系數(shù)為Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,3)＋…＋Ceq \\al(2,9)＝Ceq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)＋…＋Ceq \\al(2,9)＝Ceq \\al(3,10)＝120.
4．Ceq \\al(1,11)＋Ceq \\al(3,11)＋Ceq \\al(5,11)＋…＋Ceq \\al(11,11)＝________.
答案 210
題組三 易錯自糾
5．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(a,\r(3,x))))n(a為常數(shù))的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，常數(shù)項(xiàng)為80，則a的值為( )
A．1 B．±1 C．2 D．±2
答案 C
解析 根據(jù)題意，該二項(xiàng)式的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則有2n＝32，可得n＝5，則二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq \\al(k,5)(eq \r(x))5－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(3,x))))k＝akCeq \\al(k,5) SKIPIF 1 < 0 ，令eq \f(15－5k,6)＝0，得k＝3，則其常數(shù)項(xiàng)為Ceq \\al(3,5)a3，根據(jù)題意，有Ceq \\al(3,5)a3＝80，可得a＝2.
6．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x2－\f(1,x)))n的展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和是32，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為_____．
答案 1
解析 因?yàn)樗卸?xiàng)式系數(shù)的和是32，所以2n＝32，解得n＝5.
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x2－\f(1,x)))5中，令x＝1可得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為(2－1)5＝1.
題型一 多項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)
命題點(diǎn)1 二項(xiàng)展開式問題
例1 (1)(2020·北京)在(eq \r(x)－2)5的展開式中，x2的系數(shù)為( )
A．－5 B．5 C．－10 D．10
答案 C
解析 Tk＋1＝Ceq \\al(k,5)(eq \r(x))5－k(－2)k＝Ceq \\al(k,5) SKIPIF 1 < 0 ·(－2)k，
令eq \f(5－k,2)＝2，解得k＝1.
所以x2的系數(shù)為Ceq \\al(1,5)(－2)1＝－10.
(2)(2019·浙江)在二項(xiàng)式(eq \r(2)＋x)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是________，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個數(shù)是________．
答案 16eq \r(2) 5
解析 該二項(xiàng)展開式的第k＋1項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq \\al(k,9)(eq \r(2))9－kxk，當(dāng)k＝0時，第1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以常數(shù)項(xiàng)為(eq \r(2))9＝16eq \r(2)；當(dāng)k＝1,3,5,7,9時，展開式的項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù)，所以系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個數(shù)為5.
命題點(diǎn)2 兩個多項(xiàng)式積的展開式問題
例2 (1)(2020·全國Ⅰ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為( )
A．5 B．10 C．15 D．20
答案 C
解析 方法一 ∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y2,x)))(x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5)，
∴x3y3的系數(shù)為10＋5＝15.
方法二 當(dāng)x＋eq \f(y2,x)中取x時，x3y3的系數(shù)為Ceq \\al(3,5)，
當(dāng)x＋eq \f(y2,x)中取eq \f(y2,x)時，x3y3的系數(shù)為Ceq \\al(1,5)，
∴x3y3的系數(shù)為Ceq \\al(3,5)＋Ceq \\al(1,5)＝10＋5＝15.
(2)(2019·全國Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展開式中x3的系數(shù)為( )
A．12 B．16 C．20 D．24
答案 A
解析 展開式中含x3的項(xiàng)可以由“1與x3”和“2x2與x”的乘積組成，則x3的系數(shù)為Ceq \\al(3,4)＋2Ceq \\al(1,4)＝4＋8＝12.
命題點(diǎn)3 三項(xiàng)展開式問題
例3 (1)(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為( )
A．10 B．20 C．30 D．60
答案 C
解析 方法一 利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解．
(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的項(xiàng)為T3＝Ceq \\al(2,5)(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的項(xiàng)為Ceq \\al(1,3)x4·x＝Ceq \\al(1,3)x5.
所以x5y2的系數(shù)為Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,3)＝30.故選C.
方法二 利用排列組合知識求解．
(x2＋x＋y)5為5個x2＋x＋y之積，其中有兩個因式取y，剩余的三個因式中兩個取x2，一個取x即可，所以x5y2的系數(shù)為Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,1)＝30.故選C.
(2)(2020·合肥檢測)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)＋1))5的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為( )
A．1 B．11 C．－19 D．51
答案 B
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)＋1))5＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))＋1))5
展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq \\al(k,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))5－k
當(dāng)k＝5時，常數(shù)項(xiàng)為Ceq \\al(5,5)＝1，
當(dāng)k＝3時，常數(shù)項(xiàng)為－Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(3,5)＝－20，
當(dāng)k＝1時，常數(shù)項(xiàng)為Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(2,4)＝30.
綜上所述，常數(shù)項(xiàng)為1－20＋30＝11.
思維升華 (1)求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，一般是化簡通項(xiàng)后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k＋1，代回通項(xiàng)即可．
(2)對于幾個多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏．
(3)對于三項(xiàng)式問題一般先變形化為二項(xiàng)式再解決．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)(x＋a)10的展開式中，x7項(xiàng)的系數(shù)為15，則a＝______.(用數(shù)字填寫答案)
答案 eq \f(1,2)
解析 通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq \\al(k,10)x10－kak，令10－k＝7，
∴k＝3，∴x7項(xiàng)的系數(shù)為Ceq \\al(3,10)a3＝15，
∴a3＝eq \f(1,8)，∴a＝eq \f(1,2).
(2)(x2＋x＋1)(x－1)4的展開式中，x3的系數(shù)為( )
A．－3 B．－2 C．1 D．4
答案 B
解析 (x－1)4的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq \\al(k,4)x4－k(－1)k，(x2＋x＋1)(x－1)4的展開式中，x3的系數(shù)為Ceq \\al(3,4)(－1)3＋Ceq \\al(2,4)(－1)2＋Ceq \\al(1,4)(－1)＝－2，故選B.
(3)(1＋2x－3x2)5的展開式中x5的系數(shù)為________．
答案 92
解析 方法一 (1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(1＋3x)5，所以x5的系數(shù)為Ceq \\al(0,5)Ceq \\al(5,5)35＋Ceq \\al(1,5)(－1)Ceq \\al(4,5)34＋Ceq \\al(2,5)(－1)2Ceq \\al(3,5)33＋Ceq \\al(3,5)(－1)3Ceq \\al(2,5)32＋Ceq \\al(4,5)(－1)4Ceq \\al(1,5)31＋Ceq \\al(5,5)(－1)5Ceq \\al(0,5)30＝92.
方法二 (1＋2x－3x2)5＝[(1＋2x)－3x2]5＝Ceq \\al(0,5)(1＋2x)5＋Ceq \\al(1,5)(1＋2x)4(－3x2)＋Ceq \\al(2,5)(1＋2x)3(－3x2)2＋…＋Ceq \\al(5,5)(－3x2)5，
所以x5的系數(shù)為Ceq \\al(0,5)Ceq \\al(5,5)25＋Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(3,4)×23×(－3)＋Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,3)×2×(－3)2＝92.
題型二 二項(xiàng)式系數(shù)與各項(xiàng)的系數(shù)問題
命題點(diǎn)1 二項(xiàng)式系數(shù)和與各項(xiàng)系數(shù)和
例4 (1)若二項(xiàng)式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(2,x)))n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為8，則該展開式每一項(xiàng)的系數(shù)之和為( )
A．－1 B．1 C．27 D．－27
答案 A
解析 依題意得2n＝8，解得n＝3.取x＝1，得該二項(xiàng)展開式每一項(xiàng)的系數(shù)之和為(1－2)3＝－1.
(2)若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，則a0＋a1＋a2＋…＋a6的值為( )
A．1 B．2 C．129 D．2 188
答案 C
解析 令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27＝128，
又(2－x)7＝[3－(x＋1)]7，
則a7(1＋x)7＝Ceq \\al(7,7)·30·[－(x＋1)]7，解得a7＝－1.
故a0＋a1＋a2＋…＋a6＝128－a7＝128＋1＝129.
命題點(diǎn)2 二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題
例5 二項(xiàng)式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))n的展開式中只有第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中x的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)的個數(shù)為( )
A．3 B．5 C．6 D．7
答案 D
解析 根據(jù)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))n的展開式中只有第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，得n＝20，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))n的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq \\al(k,20)·(eq \r(3)x)20－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3,x))))k＝(eq \r(3))20－k·Ceq \\al(k,20)· SKIPIF 1 < 0 ，要使x的指數(shù)是整數(shù)，需k是3的倍數(shù)，∴k＝0,3,6,9,12,15,18，∴x的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有7項(xiàng)．
思維升華 (1)求展開式中各項(xiàng)系數(shù)和可用“賦值法”．
(2)二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)在中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng)取得．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)(2021·隨州調(diào)研)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,\r(x))))n的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為( )
A．－126 B．－70 C．－56 D．－28
答案 C
解析 ∵只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
∴n＝8，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,\r(x))))n的展開式的通項(xiàng)為
Tk＋1＝(－1)kCeq \\al(k,8) SKIPIF 1 < 0 (k＝0,1,2，…，8)，
∴展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與相應(yīng)奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)相等，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與相應(yīng)偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，而展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，因此展開式中第4項(xiàng)和第6項(xiàng)的系數(shù)相等且最小，為(－1)3Ceq \\al(3,8)＝－56.
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和大于8，但小于32，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是( )
A．6eq \r(3,x) B.eq \f(4,\r(x)) C．4xeq \r(6,x) D.eq \f(4,\r(x))或4xeq \r(6,x)
答案 A
解析 令x＝1，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為2n，即8

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