1．概率和頻率
(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀(guān)察某一事件A是否出現(xiàn)，稱(chēng)n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱(chēng)事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．
(2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來(lái)估計(jì)概率P(A)．
2．事件的關(guān)系與運(yùn)算
3．概率的幾個(gè)基本性質(zhì)
(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)概率的加法公式
如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)對(duì)立事件的概率
若事件A與事件B互為對(duì)立事件，則P(A)＝1－P(B)．
4．古典概型
具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱(chēng)為古典概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)古典概型：
(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；
(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．
5．古典概型的概率公式
P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的個(gè)數(shù),基本事件的總數(shù)).
微思考
1．隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率與概率有何區(qū)別與聯(lián)系？
提示 隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率是隨機(jī)的，而概率是客觀(guān)存在的確定的常數(shù)，但在大量隨機(jī)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在事件A發(fā)生的概率附近．
2．隨機(jī)事件A，B互斥與對(duì)立有何區(qū)別與聯(lián)系？
提示 當(dāng)隨機(jī)事件A，B互斥時(shí)，不一定對(duì)立；當(dāng)隨機(jī)事件A，B對(duì)立時(shí)，一定互斥．也即兩事件互斥是兩事件對(duì)立的必要不充分條件．
題組一 思考辨析
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值．( √ )
(2)兩個(gè)事件的和事件是指兩個(gè)事件都得發(fā)生．( × )
(3)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三個(gè)結(jié)果是等可能事件．( × )
(4)試驗(yàn)“口袋中有2個(gè)紅球，2個(gè)白球，每次從中任取一球，觀(guān)察顏色后放回，直到取出紅球”是古典概型．( × )
題組二 教材改編
2．下列事件中，不是隨機(jī)事件的是( )
A．長(zhǎng)度為3,4,5的三條線(xiàn)段可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形
B．經(jīng)過(guò)有信號(hào)燈的路口，遇上紅燈
C．下周六是晴天
D．一枚硬幣拋擲兩次，兩次都正面向上
答案 A
3．某射手在一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是0.2,0.3,0.1，則該射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為( )
A．0.9 B．0.3 C．0.6 D．0.4
答案 D
解析 設(shè)“該射手在一次射擊中不夠8環(huán)”為事件A，則事件A的對(duì)立事件eq \x\t(A)是“該射手在一次射擊中不小于8環(huán)”．
∵事件eq \x\t(A)包括射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)，這三個(gè)事件是互斥的，
∴P(eq \x\t(A))＝0.2＋0.3＋0.1＝0.6，
∴P(A)＝1－P(eq \x\t(A))＝1－0.6＝0.4，即該射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為0.4.
4．甲、乙兩人做出拳(錘子、剪刀、布)游戲，則甲贏(yíng)的概率為_(kāi)_______．
答案 eq \f(1,3)
解析 設(shè)平局(用△表示)為事件A，甲贏(yíng)(用⊙表示)為事件B，乙贏(yíng)(用※表示)為事件C.容易得到如圖．
甲贏(yíng)含3個(gè)基本事件(圖中的⊙)，P(B)＝eq \f(3,9)＝eq \f(1,3).
題組三 易錯(cuò)自糾
5．安排甲、乙、丙、丁四人參加周一至周六的公益活動(dòng)，每天只需一人參加，其中甲參加三天活動(dòng)，乙、丙、丁每人參加一天，那么甲連續(xù)三天參加活動(dòng)的概率為( )
A.eq \f(1,15) B.eq \f(1,5) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)
答案 B
解析 由題意可得，甲連續(xù)三天參加活動(dòng)的所有情況為：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共四種情況，∴所求概率P＝eq \f(4·A\\al(3,3),C\\al(3,6)·A\\al(3,3))＝eq \f(1,5).故選B.
6．拋擲一枚骰子，記A為事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，B為事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”，則P(A∪B)＝________，P(A∩B)＝________.
答案 eq \f(2,3) eq \f(1,6)
解析 由題意知，事件A表示“出現(xiàn)的是1點(diǎn)，3點(diǎn)或5點(diǎn)”；事件B表示“出現(xiàn)的是3點(diǎn)或6點(diǎn)”．
所以事件A∪B表示“出現(xiàn)的是1點(diǎn)，3點(diǎn)，5點(diǎn)或6點(diǎn)”，包含4個(gè)基本事件；事件A∩B表示“出現(xiàn)的是3點(diǎn)”，包含1個(gè)基本事件．
又拋擲一枚骰子的結(jié)果有6種，
所以P(A∪B)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3)，P(A∩B)＝eq \f(1,6).
題型一 隨機(jī)事件
命題點(diǎn)1 隨機(jī)事件的關(guān)系
例1 (1)從一堆產(chǎn)品(其中正品與次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是對(duì)立事件的是( )
A．恰好有1件次品和恰好有2件次品
B．至少有1件次品和全是次品
C．至少有1件正品和至少有1件次品
D．至少有1件次品和全是正品
答案 A
解析 依據(jù)互斥和對(duì)立事件的定義知，B，C都不是互斥事件；D不但是互斥事件而且是對(duì)立事件；只有A是互斥事件但不是對(duì)立事件．
(2)一個(gè)人連續(xù)射擊三次，則事件“至少擊中兩次”的對(duì)立事件是( )
A．恰有一次擊中 B．三次都沒(méi)擊中 C．三次都擊中 D．至多擊中一次
答案 D
解析 根據(jù)題意，一個(gè)人連續(xù)射擊三次，事件“至少擊中兩次”包括“擊中兩次”和“擊中三次”兩個(gè)事件，其對(duì)立事件為“一次都沒(méi)有擊中和擊中一次”，即“至多擊中一次”．
命題點(diǎn)2 隨機(jī)事件的頻率與概率
例2 某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率．
(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率；
(2)設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫(xiě)出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率．
解 (1)這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表中數(shù)據(jù)可知，最高氣溫低于25的頻率為eq \f(2＋16＋36,90)＝0.6.
所以這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率的估計(jì)值為0.6.
(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，
若最高氣溫低于20，則Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高氣溫不低于25，則Y＝450×(6－4)＝900，
所以，利潤(rùn)Y的所有可能值為－100,300,900.
Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為eq \f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8.
因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8.
命題點(diǎn)3 互斥事件與對(duì)立事件的概率
例3 某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷(xiāo)售中，購(gòu)滿(mǎn)100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得，1 000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開(kāi)獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．記1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A，B，C，求：
(1)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；
(2)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率．
解 (1)設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”為事件M，則M＝A∪B∪C，
依題意，P(A)＝eq \f(1,1 000)，P(B)＝eq \f(10,1 000)，P(C)＝eq \f(50,1 000)，
因?yàn)锳，B，C兩兩互斥，
所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq \f(1＋10＋50,1 000)＝eq \f(61,1 000).
故1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為eq \f(61,1 000).
(2)設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事件N，則事件N與“1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)或中一等獎(jiǎng)”為對(duì)立事件，
所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1 000)＋\f(10,1 000)))＝eq \f(989,1 000).
故1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為eq \f(989,1 000).
思維升華 (1)判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；若兩個(gè)事件中有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件互為對(duì)立事件．對(duì)立事件一定是互斥事件．
(2)概率與頻率的關(guān)系：頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加越來(lái)越接近概率，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來(lái)反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值．
(3)求復(fù)雜互斥事件的概率的兩種方法：①將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件概率的加法公式求解概率．②若將一個(gè)較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥事件的和事件時(shí)分類(lèi)太多，而其對(duì)立面的分類(lèi)較少，可考慮先求其對(duì)立事件的概率，即運(yùn)用“正難則反”的思想．常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)袋中裝有3個(gè)白球和4個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，給出下列四組事件：①“恰有1個(gè)白球”和“全是白球”；②“至少有1個(gè)白球”和“全是黑球”；③“至少有1個(gè)白球”和“至少有2個(gè)白球”；④“至少有1個(gè)白球”和“至少有1個(gè)黑球”．在上述每組事件中，互為對(duì)立事件的是( )
A．① B．② C．②③ D．①④
答案 B
解析 ①互斥但不對(duì)立；②互為對(duì)立事件，③不是互斥事件，④不是互斥事件．
(2)某學(xué)校共有教職工120人，對(duì)他們進(jìn)行年齡結(jié)構(gòu)和受教育程度的調(diào)查，其結(jié)果如下表：
現(xiàn)從該校教職工中任取1人，則下列結(jié)論正確的是( )
A．該教職工具有本科學(xué)歷的概率低于60%
B．該教職工具有研究生學(xué)歷的概率超過(guò)50%
C．該教職工的年齡在50歲以上的概率超過(guò)10%
D．該教職工的年齡在35歲及以上且具有研究生學(xué)歷的概率超過(guò)10%
答案 D
解析 A中，該教職工具有本科學(xué)歷的概率P＝eq \f(75,120)＝eq \f(5,8)＝62.5%>60%，故錯(cuò)誤；B中，該教職工具有研究生學(xué)歷的概率P＝eq \f(45,120)＝eq \f(3,8)＝37.5%300為嚴(yán)重污染．一環(huán)保人士記錄了某地2020年某月10天的AQI的莖葉圖如圖所示．
(1)利用該樣本估計(jì)該地本月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良(AQI≤100)的天數(shù)；(按這個(gè)月總共有30天計(jì)算)
(2)若從樣本中的空氣質(zhì)量不佳(AQI>100)的這些天中，隨機(jī)地抽取兩天深入分析各種污染指標(biāo)，求這兩天的空氣質(zhì)量等級(jí)恰好不同的概率．
解 (1)從莖葉圖中發(fā)現(xiàn)該樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)的天數(shù)為1，空氣質(zhì)量良的天數(shù)為3，故該樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的頻率為eq \f(4,10)＝eq \f(2,5)，估計(jì)該月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率為eq \f(2,5)，從而估計(jì)該月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)為30×eq \f(2,5)＝12.
(2)該樣本中為輕度污染的共4天，分別記為a1，a2，a3，a4；
為中度污染的共1天，記為b；為重度污染的共1天，記為c.
從中隨機(jī)抽取兩天的所有可能結(jié)果有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b)，(a1，c)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，a4)，(a3，b)，(a3，c)，(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共15個(gè)．
其中空氣質(zhì)量等級(jí)恰好不同的結(jié)果有(a1，b)，(a1，c)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，b)，(a3，c)，(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共9個(gè)．
所以這兩天的空氣質(zhì)量等級(jí)恰好不同的概率為eq \f(9,15)＝eq \f(3,5).
課時(shí)精練
1．從6個(gè)籃球，2個(gè)排球中任選3個(gè)球，則下列事件中是必然事件的是( )
A．3個(gè)都是籃球 B．至少有1個(gè)排球
C．3個(gè)都是排球 D．至少有1個(gè)籃球
答案 D
解析 根據(jù)題意分析可得A，B是隨機(jī)事件，C是不可能事件，D是必然事件．
2．(2020·全國(guó)Ⅰ)設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線(xiàn)的概率為( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(1,2) D.eq \f(4,5)
答案 A
解析 從O，A，B，C，D這5個(gè)點(diǎn)中任取3點(diǎn)，取法有(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C，D)，共10種，其中取到的3點(diǎn)共線(xiàn)的有(O，A，C)，(O，B，D)，共2種，所以所求概率為eq \f(2,10)＝eq \f(1,5).
3．(2020·重慶模擬)第六屆世界互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)發(fā)布了15項(xiàng)世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果，其中有5項(xiàng)成果均屬于芯片領(lǐng)域，分別為華為的鯤鵬920、特斯拉全自動(dòng)駕駛芯片、寒武紀(jì)云端AI芯片、思元270、賽靈思的Versa自適應(yīng)計(jì)算加速平臺(tái)．現(xiàn)有3名學(xué)生從這15項(xiàng)世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果中分別任選1項(xiàng)進(jìn)行了解，且學(xué)生之間的選擇互不影響，則至少有1名學(xué)生選擇芯片領(lǐng)域的概率為( )
A.eq \f(89,91) B.eq \f(2,91) C.eq \f(98,125) D.eq \f(19,27)
答案 D
解析 現(xiàn)有3名學(xué)生從這15項(xiàng)世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果中分別任選1項(xiàng)進(jìn)行了解，且學(xué)生之間的選擇互不影響，則基本事件總數(shù)n＝15×15×15＝3 375，至少有1名學(xué)生選擇芯片領(lǐng)域的對(duì)立事件是沒(méi)有學(xué)生選擇芯片領(lǐng)域，則至少有1名學(xué)生選擇芯片領(lǐng)域的概率P＝1－eq \f(103,3 375)＝eq \f(19,27).
4．(2021·西安模擬)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學(xué)生平均分成兩個(gè)志愿者小組到校外參加兩項(xiàng)活動(dòng)，則乙、丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,12)
答案 B
解析 基本事件總數(shù)n＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(2,2))·Aeq \\al(2,2)＝6，乙、丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(2,2)·Aeq \\al(2,2)＝2，∴乙、丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率P＝eq \f(m,n)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
5．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為eq \f(1,7)，都是白子的概率是eq \f(12,35)，則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A.eq \f(1,7) B.eq \f(12,35) C.eq \f(17,35) D．1
答案 C
解析 設(shè)“從中取出2粒都是黑子”為事件A，“從中取出2粒都是白子”為事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”為事件C，則C＝A∪B，且事件A與B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(1,7)＋eq \f(12,35)＝eq \f(17,35).即任意取出2粒恰好是同一色的概率為eq \f(17,35).
6．(多選)下列說(shuō)法正確的是( )
A．若事件A與B互斥，則A∪B是必然事件
B．《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》《紅樓夢(mèng)》是我國(guó)四大名著．若在這四大名著中，甲、乙、丙、丁分別任取一本進(jìn)行閱讀，設(shè)事件E＝“甲取到《紅樓夢(mèng)》”，事件F＝“乙取到《紅樓夢(mèng)》”，則E與F是互斥但不對(duì)立事件
C．?dāng)S一枚骰子，記錄其向上的點(diǎn)數(shù)，記事件A＝“向上的點(diǎn)數(shù)不大于5”，事件B＝“向上的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)”，則B?A
D．10個(gè)產(chǎn)品中有2個(gè)次品，從中抽取一個(gè)產(chǎn)品檢查其質(zhì)量，則含有2個(gè)基本事件
答案 BCD
解析 對(duì)于A(yíng)，事件A與B互斥時(shí)，A∪B不一定是必然事件，故A不正確；對(duì)于B，事件E與F不會(huì)同時(shí)發(fā)生，所以E與F是互斥事件，但除了事件E與F之外還有“丙取到紅樓夢(mèng)”“丁取到紅樓夢(mèng)”，所以E與F不是對(duì)立事件，故E與F是互斥但不對(duì)立事件，B正確；對(duì)于C，事件A＝{1,2,3,4,5}，事件B＝{2,3,5}，所以B包含于A(yíng)，C正確；對(duì)于D，基本事件為{正品，次品}，有2個(gè)，故D正確．
7．(2019·江蘇)從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是________．
答案 eq \f(7,10)
解析 記3名男同學(xué)為A，B，C,2名女同學(xué)為a，b，則從中任選2名同學(xué)的情況有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10種，其中至少有1名女同學(xué)的情況有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共7種，故所求概率為eq \f(7,10).
8．據(jù)統(tǒng)計(jì)，某食品企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴次數(shù)為0,1,2的概率分別為0.4,0.5,0.1.則該企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴不超過(guò)1次的概率為_(kāi)_______．
答案 0.9
解析 方法一 記“該食品企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)為0”為事件A，“該食品企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)為1”為事件B，“該食品企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)為2”為事件C，“該食品企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)不超過(guò)1”為事件D，而事件D包含事件A與B，所以P(D)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.
方法二 記“該食品企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投拆的次數(shù)為2”為事件C，“該食品企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴不超過(guò)1次”為事件D，由題意知C與D是對(duì)立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.1＝0.9.
9．將A，B，C，D這4名同學(xué)從左至右隨機(jī)地排成一排，則“A與B相鄰且A與C之間恰好有1名同學(xué)”的概率是________．
答案 eq \f(1,4)
解析 A，B，C，D 4名同學(xué)排成一排有Aeq \\al(4,4)＝24(種)排法．當(dāng)A，C之間是B時(shí)，有2×2＝4(種)排法，當(dāng)A，C之間是D時(shí)，有2種排法，所以所求概率為eq \f(4＋2,24)＝eq \f(1,4).
10．已知甲、乙、丙各有一張自己的身份證，現(xiàn)把三張身份證收起來(lái)后，再隨機(jī)分給甲、乙、丙每人一張，則恰有一人取到自己身份證的概率為_(kāi)_______．
答案 eq \f(1,2)
解析 甲、乙、丙各有一張自己的身份證，現(xiàn)把三張身份證收起來(lái)后，再隨機(jī)分給甲、乙、丙每人一張，基本事件總數(shù)n＝Aeq \\al(3,3)＝6，恰有一人取到自己身份證包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,1)Ceq \\al(1,1)＝3，所以恰有一人取到自己身份證的概率為P＝eq \f(m,n)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).
11．海關(guān)對(duì)同時(shí)從A，B，C三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如下表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè)．
(1)求這6件樣品中來(lái)自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量；
(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè)，求這2件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率．
解 (1)A，B，C三個(gè)地區(qū)商品的總數(shù)量為50＋150＋100＝300，抽樣比為eq \f(6,300)＝eq \f(1,50)，
所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是50×eq \f(1,50)＝1,150×eq \f(1,50)＝3,100×eq \f(1,50)＝2.
所以A，B，C三個(gè)地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別是1,3,2.
(2)方法一 設(shè)6件來(lái)自A，B，C三個(gè)地區(qū)的樣品分別為
A；B1，B2，B3；C1，C2.
則從6件樣品中抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15個(gè)．
每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)相等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．
記事件D為“抽取的這2件商品來(lái)自相同地區(qū)”，則事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4個(gè)．
所以P(D)＝eq \f(4,15)，
即這2件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率為eq \f(4,15).
方法二 這2件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率為eq \f(C\\al(2,3)＋C\\al(2,2),C\\al(2,6))＝eq \f(3＋1,15)＝eq \f(4,15).
12．某學(xué)校的籃球隊(duì)、羽毛球隊(duì)、乒乓球隊(duì)各有10名隊(duì)員，某些隊(duì)員不止參加一支球隊(duì)，具體情況如圖所示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一名隊(duì)員，求：
(1)該隊(duì)員只屬于一支球隊(duì)的概率；
(2)該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)的概率．
解 分別令“抽取一名隊(duì)員只屬于籃球隊(duì)、羽毛球隊(duì)、乒乓球隊(duì)”為事件A，B，C.由圖知3支球隊(duì)共有球員20名．
則P(A)＝eq \f(5,20)，P(B)＝eq \f(3,20)，P(C)＝eq \f(4,20).
(1)令“抽取一名隊(duì)員，該隊(duì)員只屬于一支球隊(duì)”為事件D.
則D＝A＋B＋C，因?yàn)槭录嗀，B，C兩兩互斥，
所以P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq \f(5,20)＋eq \f(3,20)＋eq \f(4,20)＝eq \f(3,5).
(2)令“抽取一名隊(duì)員，該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)”為事件E，則eq \x\t(E)為“抽取一名隊(duì)員，該隊(duì)員屬于3支球隊(duì)”，所以P(E)＝1－P(eq \x\t(E))＝1－eq \f(2,20)＝eq \f(9,10).
13．已知A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，則A∩B＝B的概率是( )
A.eq \f(2,9) B.eq \f(1,3) C.eq \f(8,9) D．1
答案 C
解析 因?yàn)閍∈A，b∈A，所以可用列表法得到基本事件的個(gè)數(shù)為9(如下表所示)．
因?yàn)锳∩B＝B，所以B可能是?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}．
當(dāng)B＝?時(shí)，a2－4b

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