第1講 機械振動
一、簡諧運動
1．簡諧運動
(1)簡諧運動的定義：如果質(zhì)點的位移與時間的關(guān)系遵從正弦函數(shù)的規(guī)律，即它的振動圖像(x-t圖像)是一條正弦曲線，這樣的振動就是簡諧運動。
(2)平衡位置：物體在振動過程中回復(fù)力為零的位置。
(3)回復(fù)力
2.兩種模型
(1)彈簧振子
①水平方向：如圖甲所示，回復(fù)力由彈簧的彈力提供。
②豎直方向：如圖乙所示，回復(fù)力由重力和彈簧彈力的合力提供。
(2)單擺：如圖所示，在細線的一端拴一個小球，另一端固定在懸點上，如果細線的長度不可改變，細線的質(zhì)量與小球相比可以忽略，球的直徑比擺線短得多，這樣的裝置叫作單擺。
二、簡諧運動的公式和圖像
1．表達式
2.振動圖像
(1)從平衡位置開始計時，振動表達式為x＝Asin ωt，圖像如圖甲所示。
(2)從最大位移處開始計時，振動表達式為x＝Acs ωt，圖像如圖乙所示。
三、受迫振動和共振
1．受迫振動
2．共振
(1)定義：做受迫振動的物體受到的驅(qū)動力的頻率與其固有頻率越接近，其振幅就越大，當(dāng)二者相等時，振幅達到最大，這就是共振現(xiàn)象。
(2)共振曲線：如圖所示。
微點判斷
(1)簡諧運動是勻變速運動。(×)
(2)周期、頻率是表征物體做簡諧運動快慢程度的物理量。(√)
(3)振幅等于振子運動軌跡的長度。(×)
(4)簡諧運動的回復(fù)力可以是恒力。(×)
(5)彈簧振子每次經(jīng)過平衡位置時，位移為零、動能最大。(√)
(6)單擺在任何情況下的運動都是簡諧運動。(×)
(7)物體做受迫振動時，其振動頻率與固有頻率無關(guān)。(√)
(一) 簡諧運動的規(guī)律及應(yīng)用
eq \a\vs4\al(考法?一? 簡諧運動的規(guī)律)
[多維訓(xùn)練]
1．[簡諧運動的理解]關(guān)于簡諧運動以及完成一次全振動的意義，以下說法正確的是( )
A．位移的方向總跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同
B．動能或勢能第一次恢復(fù)為原來的大小所經(jīng)歷的過程為一次全振動
C．速度和加速度第一次同時恢復(fù)為原來的大小和方向所經(jīng)歷的過程為一次全振動
D．物體運動方向指向平衡位置時，速度的方向與位移的方向相同；背離平衡位置時，速度方向與位移方向相反
解析：選C 回復(fù)力與位移方向相反，故加速度和位移方向相反，但速度與位移方向可以相同，也可以相反，物體運動方向指向平衡位置時，速度的方向與位移的方向相反，背離平衡位置時，速度方向與位移方向相同，A、D錯誤；一次全振動過程中，動能和勢能可以多次恢復(fù)為原來的大小，B錯誤；速度和加速度第一次同時恢復(fù)為原來的大小和方向所經(jīng)歷的過程為一次全振動，C正確。
2．[簡諧運動中各物理量的分析]一質(zhì)點做簡諧運動的振動方程是x＝2sin50πt＋eq \f(π,2)cm，則( )
A．在0至0.02 s內(nèi)，質(zhì)點的速度與加速度方向始終相同
B．在0.02 s時，質(zhì)點具有沿x軸正方向的最大加速度
C．在0.035 s時，質(zhì)點的速度方向與加速度方向均沿x軸正方向
D．在0.04 s時，質(zhì)點所受回復(fù)力最大，速度方向沿x軸負方向
解析：選B 由振動方程可知，振幅A＝2 cm，T＝0.04 s，初相位φ＝eq \f(π,2)，即t＝0時，質(zhì)點位于正向最大位移處，在0至0.01 s內(nèi)，速度與加速度方向相同，0.01 s至0.02 s內(nèi)，速度與加速度方向相反，A錯誤；在0.02 s時，質(zhì)點在負向最大位移處，具有正向最大加速度，B正確；在0.035 s時，質(zhì)點從平衡位置向最大位移處運動，速度方向沿x軸正方向，加速度方向沿x軸負方向，C錯誤；在0.04 s時，質(zhì)點回到正向最大位移處，回復(fù)力最大，速度為零，D錯誤。
eq \a\vs4\al(考法?二? 簡諧運動的兩種模型)
[注意] 單擺周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))的兩點說明：
(1)l為等效擺長，表示從懸點到擺球重心的距離。
(2)g為當(dāng)?shù)刂亓铀俣取?br>[多維訓(xùn)練]
3．[彈簧振子模型](多選)彈簧振子做簡諧運動，O為平衡位置，從它經(jīng)過O點時開始計時，經(jīng)過0.3 s第一次到達點M，再經(jīng)過0.2 s第二次到達點M，則彈簧振子的周期可能為( )
A．0.53 s B．1.4 s C．1.6 s D．2 s
解析：選AC 如圖甲所示，若振子從O點開始向右按所示路線振動，則振子的振動周期為T1＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.3＋\f(0.2,2)))s＝1.6 s；如圖乙所示，若振子從O點開始向左按所示路線振動，令從M運動到O的時間為t，則有eq \f(0.2 s,2)＋t＝eq \f(0.3 s－t,2)，解得t＝eq \f(0.1,3) s，振子的振動周期為T2＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0.2,2)＋\f(0.1,3)))s≈0.53 s，A、C正確。
4．[單擺模型]如圖所示，兩個擺長均為L的單擺，擺球A、B質(zhì)量分別為m1、m2，懸點均為O。在O點正下方0.19L處固定一小釘。初始時刻B靜止于最低點，其擺線緊貼小釘右側(cè)，A從圖示位置由靜止釋放(θ足夠小)，在最低點與B發(fā)生彈性正碰。兩擺在整個運動過程中均滿足簡諧運動條件，懸線始終保持繃緊狀態(tài)且長度不變，擺球可視為質(zhì)點，不計碰撞時間及空氣阻力，重力加速度為g。下列選項正確的是( )
A．若m1＝m2，則A、B在擺動過程中最大振幅之比為9∶10
B．若m1＝m2，則每經(jīng)過1.9π eq \r(\f(L,g))時間A回到最高點
C．若m1>m2，則A與B第二次碰撞不在最低點
D．若m1m2，則碰后A球向右運動，擺長變?yōu)?.81L，B球擺回最低點后向左運動時，擺長為0.81L，所以兩擺的周期均為T″＝eq \f(1,2)T＋eq \f(1,2)T′＝1.9π eq \r(\f(L,g))，即第一次在最低點碰撞后，經(jīng)過一個周期發(fā)生第二次碰撞，位置仍然在最低點，C錯誤；若m10)，質(zhì)點A位于波峰。求：
(1)從t1時刻開始，質(zhì)點B最少要經(jīng)過多長時間位于波峰；
(2)t1時刻質(zhì)點B偏離平衡位置的位移。
[解析] (1)因波速v＝20 cm/s，波長大于20 cm，所以周期T＞1 s，又由t＝0時刻后每隔0.6 s A、B兩者偏離平衡位置的位移大小相等、方向相同，可知該波周期T＝1.2 s，該波波長λ＝vT＝24 cm，故A、B的平衡位置相距eq \f(2,3)λ，從t1時刻開始，質(zhì)點B最少要經(jīng)過eq \f(2,3)T＝0.8 s位于波峰。
(2)在t1時刻(t1＞0)，質(zhì)點A位于波峰，A、B平衡位置相距eq \f(2,3)λ，可知質(zhì)點B偏離平衡位置的位移
yB＝y(tǒng)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π×\f(2,3)))＝－0.5 cm。
[答案] (1)0.8 s (2)－0.5 cm
[針對訓(xùn)練]
1．(2023·重慶高考)(多選)一列簡諧橫波在介質(zhì)中沿x軸傳播，波速為2 m/s，t＝0時的波形圖如圖所示，P為該介質(zhì)中的一質(zhì)點。則( )
A．該波的波長為14 m
B．該波的周期為8 s
C．t＝0時質(zhì)點P的加速度方向沿y軸負方向
D．0～2 s內(nèi)質(zhì)點P運動的路程有可能小于0.1 m
解析：選BD 由題圖可知eq \f(3,4)λ＝12 m，解得λ＝16 m，A錯誤；由v＝eq \f(λ,T)得T＝eq \f(λ,v)＝eq \f(16,2) s＝8 s，B正確；簡諧運動的加速度總指向平衡位置，P點位于y軸負半軸，加速度方向沿y軸正方向，C錯誤；P點位于y軸的負半軸，經(jīng)過2 s＝eq \f(T,4)，若波向x軸負方向傳播，P向遠離平衡位置方向振動，在0～2 s內(nèi)質(zhì)點P運動的路程有可能小于0.1 m，D正確；故選B、D。
2.如圖所示為海洋生態(tài)自動監(jiān)測浮標，可用于監(jiān)測水質(zhì)和氣象等參數(shù)。一列水波(視為橫波)沿海面?zhèn)鞑?，在波的傳播方向上相?.5 m的兩處分別有甲、乙兩浮標，兩浮標隨波上下運動。當(dāng)甲運動到波峰時，乙恰好運動到波谷，此時甲、乙之間只有一個波峰。觀察到甲從第1次到達波峰與第11次到達波峰的時間間隔為20 s，則該水波( )
A．振幅為4.5 m B．波長為3 m
C．頻率為2 Hz D．波速為2.25 m/s
解析：選B 根據(jù)題給條件無法得知浮標離開平衡位置的最大距離，故A錯誤；設(shè)波長為λ，則由題意可知eq \f(3,2)λ＝4.5 m，解得λ＝3 m，故B正確；設(shè)周期為T，則由題意可知10T＝20 s，解得T＝2 s，所以頻率為f＝eq \f(1,T)＝0.5 Hz，故C錯誤；波速為v＝eq \f(λ,T)＝1.5 m/s，故D錯誤。
1．波的圖像特點
(1)質(zhì)點振動nT(波傳播nλ)時，波形不變。
(2)在波的傳播方向上，當(dāng)兩質(zhì)點平衡位置間的距離為nλ(n＝1,2，3，…)時，它們的振動步調(diào)總相同；當(dāng)兩質(zhì)點平衡位置間的距離為(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2，3，…)時，它們的振動步調(diào)總相反。
(3)波源質(zhì)點的起振方向決定了它后面的質(zhì)點的起振方向，各質(zhì)點的起振方向與波源的起振方向相同。
2．根據(jù)波的圖像、傳播方向判定振動方向
[注意] 波的圖像、波的傳播方向與質(zhì)點振動方向三者之間可以互相判定。eq \a\vs4\al(考點?二? 波的圖像的應(yīng)用)
[例2] 一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，周期為T，t＝0時的波形如圖所示。t＝eq \f(T,4)時( )
A．質(zhì)點a速度方向沿y軸負方向
B．質(zhì)點b沿x軸正方向遷移了1 m
C．質(zhì)點c的加速度為零
D．質(zhì)點d的位移為－5 cm
[解析] t＝eq \f(T,4)時，質(zhì)點a沿y軸正方向運動到平衡位置，其速度方向沿y軸正方向，A錯誤；根據(jù)簡諧橫波的傳播特點可知，質(zhì)點只在平衡位置附近上下振動，不會隨波遷移， B錯誤；t＝eq \f(T,4)時，質(zhì)點c運動到平衡位置，所受合外力為零，加速度為零，C正確；t＝eq \f(T,4)時，質(zhì)點d的位移為5 cm，D錯誤。
[答案] C
[針對訓(xùn)練]
3．(2023·北京高考)位于坐標原點處的波源發(fā)出一列沿x軸正方向傳播的簡諧橫波。t＝0時波源開始振動，其位移y隨時間t變化的關(guān)系式為y＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)t))，則t＝T時的波形圖為( )
解析：選D 由于t＝0時波源從平衡位置開始振動，由振動方程可知，波源起振方向沿y軸正方向，t＝T時波的圖像沿x軸正方向傳播了一個波長，根據(jù)“上坡下，下坡上”，可知t＝T時的波形圖為選項D圖。
考點(三) 根據(jù)兩時刻的波的圖像分析問題
由t時刻的波形確定t＋Δt時刻的波形
(1)如圖所示，波向右傳播Δt＝eq \f(1,4)Teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或\f(3,4)T))的時間和向左傳播Δt＝eq \f(3,4)Teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或\f(1,4)T))的時間，波形相同。
(2)若Δt＞T，可以采取“去整留零頭”的辦法。
[例3] (多選)一列簡諧橫波沿x軸傳播，在t＝0時刻和t＝1 s時刻的波形分別如圖中實線和虛線所示。已知x＝0 處的質(zhì)點在0～1 s內(nèi)運動的路程為4.5 cm。下列說法正確的是( )
A．波沿x軸正方向傳播
B．波源振動周期為1.1 s
C．波的傳播速度大小為13 m/s
D．t＝1 s時，x＝6 m處的質(zhì)點沿y軸負方向運動
[解析] 由題意，x＝0處的質(zhì)點在0～1 s的時間內(nèi)通過的路程為4.5 cm，則結(jié)合題圖可知t ＝0時刻x＝0處的質(zhì)點沿y軸的負方向運動，則由質(zhì)點的振動和波的傳播方向關(guān)系可知，該波的傳播方向沿x軸的正方向，故A正確；由題意可知，t＝1 s為eq \f(13,12)T，解得T＝eq \f(12,13) s，由題圖可知λ＝12 m，則v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(12,\f(12,13)) m/s＝13 m/s，故C正確，B錯誤；由同側(cè)法可知t＝1 s時，x＝6 m處的質(zhì)點沿y軸正方向運動，故D錯誤。
[答案] AC
[針對訓(xùn)練]
4．圖中實線為一列簡諧橫波在某一時刻的波形曲線。經(jīng)過0.3 s后，其波形圖曲線如圖中虛線所示。已知該波的周期T大于0.3 s，若波是沿x軸正方向傳播的，則該波的速度大小為________m/s，周期為________s；若波是沿x軸負方向傳播的，該波的周期為________s。
解析：若波是沿x軸正方向傳播的，波形移動了15 cm，由此可求出波速和周期：
v1＝eq \f(0.15,0.3) m/s＝0.5 m/s；T1＝eq \f(λ,v1)＝eq \f(0.2,0.5) s＝0.4 s。
若波是沿x軸負方向傳播的，波形移動了5 cm，由此可求出波速和周期：
v2＝eq \f(0.05,0.3) m/s＝eq \f(1,6) m/s；T2＝eq \f(λ,v2)＝eq \f(0.2,\f(1,6)) s＝1.2 s。
答案：0.5 0.4 1.2
(二) 波的圖像與振動圖像的綜合應(yīng)用
1．振動圖像與波的圖像的比較
2．求解波的圖像與振動圖像綜合問題三關(guān)鍵
(1)分清振動圖像與波的圖像。此步驟最簡單，只要看清橫坐標即可，橫坐標為x則為波的圖像，橫坐標為t則為振動圖像。
(2)看清橫、縱坐標的單位。尤其要注意單位前的數(shù)量級。
(3)找準波的圖像對應(yīng)的時刻，找準振動圖像對應(yīng)的質(zhì)點。
[多維訓(xùn)練]
考查角度1 已知波的圖像判定質(zhì)點的振動圖像
1.(多選)一列簡諧橫波沿x軸傳播，如圖所示，實線為t1＝2 s時的波形圖，虛線為t2＝5 s時的波形圖。以下關(guān)于平衡位置在O處質(zhì)點的振動圖像，可能正確的是( )
解析：選AC 由題意，如果波沿x軸正方向傳播，則t2－t1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(3,4)))T，且n＝0,1,2，…，當(dāng)n＝0時，T＝4 s，在t1＝2 s時刻，質(zhì)點位于平衡位置且向上振動，故A正確，B錯誤；如果波沿x軸負方向傳播，則t2－t1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(1,4)))T，且n＝0,1,2，…，當(dāng)n＝0時，T＝12 s，在t1＝2 s時刻，質(zhì)點位于平衡位置且向下振動，故C正確，D錯誤。
考查角度2 已知質(zhì)點振動圖像判定波的圖像
2．(2022·山東等級考)(多選)一列簡諧橫波沿x軸傳播，平衡位置位于坐標原點O的質(zhì)點振動圖像如右圖所示。當(dāng)t＝7 s時，簡諧波的波動圖像可能正確的是( )
解析：選AC 由O點的振動圖像可知，周期為T＝12 s，設(shè)原點處的質(zhì)點的振動方程為y＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)t＋φ))，則10＝20sin φ，解得φ＝eq \f(π,6)，在t＝7 s時刻y7＝20sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,12)×7＋\f(π,6)))＝－10eq \r(3) cm≈－17.3 cm，因7 s＝eq \f(1,2)T＋eq \f(1,12)T，則在t＝7 s時刻質(zhì)點沿y軸負方向振動，根據(jù)“同側(cè)法”可判斷若波向右傳播，則波形為C所示；若波向左傳播，則波形如A所示。
考查角度3 波的圖像與振動圖像的綜合應(yīng)用
3．漁船上的聲吶利用超聲波來探測遠方魚群的方位。某漁船發(fā)出的一列超聲波在t＝0時的波動圖像如圖甲所示，圖乙為質(zhì)點P的振動圖像，則( )
A．該波的波速為1.5 m/s
B．該波沿x軸負方向傳播
C．0～1 s時間內(nèi)，質(zhì)點P沿x軸運動了1.5 m
D．0～1 s時間內(nèi)，質(zhì)點P運動的路程為2 m
解析：選D 由題圖甲可知，該波的波長λ＝1.5×10－2 m，由題圖乙可知周期T＝1×10－5s，則該波的波速v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(1.5×10－2,1×10－5) m/s＝1.5×103 m/s，A錯誤；由題圖乙可得，在t＝0時刻，質(zhì)點P沿y軸正方向振動，由波形的平移方式可知該波沿x軸正方向傳播，B錯誤；質(zhì)點P只在平衡位置上下振動，不沿x軸運動，C錯誤；質(zhì)點P的振幅是5×10－6 m，在0～1 s時間內(nèi)共振動了eq \f(1,1×10－5)＝105個周期，運動的路程是s＝4×5×10－6×105 m＝2 m，D正確。
(三) 波的多解問題
造成波動問題多解的主要因素有：波的周期性、波的雙向性、波形的隱含性。解決該類問題一般可以按如下思路：
(1)首先找出造成多解的原因，比如考慮傳播方向的雙向性，可先假設(shè)波向右傳播，再假設(shè)波向左傳播，分別進行分析。
(2)根據(jù)周期性列式，若題目給出的是時間條件，則列出t＝nT＋Δt(n＝0,1,2，…)，若給出的是距離條件，則列出x＝nλ＋Δx(n＝0,1,2，…)進行求解。
(3)根據(jù)需要進一步求與波速v＝eq \f(Δx,Δt)或v＝eq \f(λ,T)＝λf等有關(guān)的問題。
eq \a\vs4\al(類型?一? 波的周期性形成多解)
1．時間的周期性：時間間隔Δt與周期T的關(guān)系不明確。
2．空間的周期性：波傳播距離Δx與波長λ的關(guān)系不明確。
[例1] 在平靜的介質(zhì)中，從波源O發(fā)出的一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，t1秒時刻的波形用實線表示，t2秒(t2>t1)時刻的波形用虛線表示。介質(zhì)中的質(zhì)點Q位于x＝18 m處，則下列說法正確的是( )
A．該簡諧橫波的波長可能為6 m
B．該波的波速大小一定為eq \f(4,t2－t1) m/s
C．在t1秒時刻至t2秒時刻這段時間內(nèi)，介質(zhì)中的質(zhì)點M的運動過程是由先加速、后減速兩段過程組成
D．根據(jù)圖像無法判斷質(zhì)點Q的起振方向
[解析] 由波形圖可知，波長λ＝8 m，故A錯誤；波沿x軸正方向傳播，位移為x＝nλ＋eq \f(λ,2)＝(8n＋4)m(n＝0,1,2,3，…)，則波速為v＝eq \f(x,Δt)＝eq \f(8n＋4,t2－t1) m/s(n＝0,1,2，3，…)，則當(dāng)n＝0時，波速為eq \f(4,t2－t1) m/s，不是一定為eq \f(4,t2－t1) m/s，故B錯誤；在t1～t2時間內(nèi)，若是在一個周期內(nèi)，則質(zhì)點M是先加速、后減速，若是包含多個周期則由多個運動階段組成，不僅是兩段過程組成，故C錯誤；t1、t2時刻不是0時刻的圖像，故無法判斷O點的起振方向，也就無法判斷質(zhì)點Q的起振方向，故D正確。
[答案] D
[針對訓(xùn)練]
1．(多選)一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，t時刻波形圖如圖中的實線所示，此時波剛好傳到P點，t＋0.6 s時刻的波形如圖中的虛線所示，a、b、c、P、Q是介質(zhì)中的質(zhì)點。下列說法正確的是( )
A．這列波的波速可能為50 m/s
B．質(zhì)點a在這段時間內(nèi)通過的路程一定小于30 cm
C．質(zhì)點c在這段時間內(nèi)通過的路程可能為60 cm
D．若周期T＝0.8 s，則在t＋0.5 s時刻，質(zhì)點b、P的位移相同
解析：選ACD 由波形圖可知波長λ＝40 m，且0.6 s＝nT＋eq \f(3,4)T(n＝0,1,2，…)，解得周期T＝eq \f(2.4,4n＋3) s(n＝0,1,2，…)。當(dāng)n＝0時，T＝0.8 s，波速v＝eq \f(λ,T)＝50 m/s，A正確。由傳播方向沿x軸正方向可知質(zhì)點a在t時刻向上運動，當(dāng)n＝0時，T＝0.8 s，則質(zhì)點a在這段時間內(nèi)通過的路程小于30 cm；當(dāng)n＝1時，T＝eq \f(24,70) s，質(zhì)點a在這段時間內(nèi)通過的路程大于30 cm，B錯誤。若n＝1，則T＝eq \f(24,70) s，波傳播到c點所用時間為eq \f(1,4)T,0.6 s＝eq \f(7T,4)，質(zhì)點c振動的時間為eq \f(7,4)T－eq \f(1,4)T＝eq \f(3,2)T，故在這段時間內(nèi)質(zhì)點c通過的路程為6A＝60 cm，C正確。若T＝0.8 s，t＋0.5 s時刻，質(zhì)點b、P的位移均為負值，大小相等，D正確。
eq \a\vs4\al(類型?二? 波的雙向性形成多解)
1．傳播方向雙向性：波的傳播方向不確定。
2．振動方向雙向性：質(zhì)點振動方向不確定。
[例2] (多選)一列簡諧橫波沿x軸傳播，已知x軸上x1＝1 m和x2＝7 m處質(zhì)點的振動圖像分別如圖甲、圖乙所示，則此列波的傳播速度可能是( )
A．7 m/s B．2 m/s
C．1.2 m/s D．1 m/s
[解析] 由振動圖像可知周期T＝4 s，零時刻x1處質(zhì)點在平衡位置且向下振動，而x2處質(zhì)點在正的最大位移處。①若波沿x軸正向傳播，其波形如圖甲所示，x2處質(zhì)點的平衡位置可能在A1或A2或A3…
則波長有：x2－x1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(1,4)))λ(n＝0,1,2，…)，
得波速表達式v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(\f(x2－x1,n＋\f(1,4)),T)＝eq \f(6,4n＋1)(n＝0,1,2，…)
當(dāng)n＝0時，v＝6 m/s，當(dāng)n＝1時，v＝1.2 m/s，C正確。
②若波沿x軸負向傳播，其波形如圖乙所示。
則有x2－x1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(3,4)))λ(n＝0,1,2，…)，
得v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(\f(x2－x1,n＋\f(3,4)),T)＝eq \f(6,4n＋3)(n＝0,1,2，…)
當(dāng)n＝0時，v＝2 m/s，當(dāng)n＝1時，v≈0.86 m/s，B正確。
[答案] BC
[針對訓(xùn)練]
2．(多選)如圖所示，一列簡諧橫波沿x軸傳播，實線為t＝0時刻的波形圖，虛線為t＝0.6 s時刻的波形圖，已知波的周期T>0.6 s，下列說法正確的是( )
A．該波的波速一定是10 m/s
B．該波的波速可能是eq \f(10,3) m/s
C．t＝2.7 s時，Q點的位移一定是0
D．t＝5.1 s時，Q點的位移可能是0.2 m
解析：選BC 據(jù)圖，波長λ＝8 m，如果波向左傳播，則有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(3,4)))T＝0.6 s(n＝0,1，2，…)，只有當(dāng)n＝0時T1＝0.8 s>0.6 s，此時波速為v1＝eq \f(λ,T1)＝10 m/s，如果波向右傳播，則有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(1,4)))T＝0.6 s(n＝0,1，
2，…)，只有當(dāng)n＝0時，T2＝2.4 s>0.6 s，此時波速為v2＝eq \f(λ,T2)＝eq \f(10,3) m/s，故A錯誤，B正確；如果波向左傳播，則2.7 s＝3eq \f(3,8)T1，Q點正好到達平衡位置，位移為零；如果波向右傳播，則2.7 s＝1eq \f(1,8)T2，Q點也是正好到達平衡位置，位移為零，C正確；t＝5.1 s時，如果波向左傳播，Q點正好到達平衡位置，位移為零；如果波向右傳播，Q點也正好到達平衡位置，位移為零，故D錯誤。
eq \a\vs4\al(類型?三? 波形的隱含性形成多解)
在波動問題中，往往只給出完整波形的一部分，或給出幾個特殊點的振動情況，而其余信息均處于隱含狀態(tài)。這樣，波形就有多種可能情況，形成波動問題的多解。
[例3] 一列沿x軸負方向傳播的簡諧橫波，t＝2 s時的波形如圖甲所示，x＝2 m處質(zhì)點的振動圖像如圖乙所示，則波速可能是( )
A.eq \f(1,5) m/s B.eq \f(2,5) m/s
C.eq \f(3,5) m/s D.eq \f(4,5) m/s
[解析] 根據(jù)題圖乙可知t＝2 s時x＝2 m處的質(zhì)點正經(jīng)過平衡位置向下振動；又因為該波向x軸負方向傳播，結(jié)合圖甲，利用“上下坡”法可知x＝2 m為半波長的奇數(shù)倍，即有(2n－1)eq \f(λ,2)＝2 m，(n＝1,2,3，…)，而由圖乙可知該波的周期為T＝4 s；所以該波的波速為v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(1,2n－1) m/s，(n＝1,2,3，…)，當(dāng)n＝3時可得波的速率為v＝eq \f(1,5) m/s，故A正確。
[答案] A
[針對訓(xùn)練]
3.(多選)如圖所示，一列簡諧橫波向右傳播，P、Q兩質(zhì)點平衡位置相距0.15 m。當(dāng)P運動到上方最大位移處時，Q剛好運動到下方最大位移處，則這列波的波長可能是( )
A．0.60 m B．0.30 m
C．0.20 m D．0.10 m
解析：選BD 由題意，P、Q兩點之間的間距為eq \f(λ,2)＋nλ＝0.15 m(n＝0,1,2，…)，故n＝0時，λ＝0.3 m；n＝1時，λ＝0.1 m。
(四) 波的干涉、衍射、多普勒效應(yīng)
[題點全練通]
1．[波的干涉條件的理解]甲、乙兩列波(無波源)在同種介質(zhì)中分別向右、向左傳播，t＝0時刻完整波的波形圖如圖所示，已知波的速度為10 m/s，下列說法正確的是( )
A．甲、乙兩列波相遇后會發(fā)生干涉現(xiàn)象
B．t＝0.1 s時，x＝6 m處的質(zhì)點開始向下振動
C．t＝0.35 s時，x＝7 m處質(zhì)點的位移y＝(2eq \r(2)＋1)cm
D．甲、乙兩列波從相遇到完全分開所需時間為0.85 s
解析：選C 甲、乙兩列波的頻率不相等，兩列波相遇后不能發(fā)生干涉現(xiàn)象，A錯誤；t＝0.1 s時，甲波傳播到x＝6 m處，沿y軸正方向振動，乙波也傳播到x＝6 m處，沿y軸負方向振動，由于甲的振幅大于乙的，則在平衡位置時甲波的振動速度大于乙的，故x＝6 m處的質(zhì)點開始向上振動，B錯誤；經(jīng)過 0.35 s，甲波向右傳播3.5 m，x＝3.5 m處的質(zhì)點的振動狀態(tài)傳播至x＝7 m處，即y1＝2eq \r(2) cm，經(jīng)過0.35 s，乙波向左傳播3.5 m，x＝10.5 m處的振動狀態(tài)傳播至x＝7 m處，即y2＝1 cm，根據(jù)疊加原理可知，t＝0.35 s時，x＝7 m處質(zhì)點的位移y＝(2eq \r(2)＋1)cm，C正確；t＝0.1 s時，兩列波在x＝6 m處相遇，t＝0.85 s時，兩列波在x＝7.5 m處分開，故甲、乙兩列波從相遇到完全分開所需時間為0.75 s，D錯誤。
2．[波的干涉中加強點、減弱點的判斷](1)(公式法)如圖所示，在xOy平面內(nèi)有兩個沿z軸方向(垂直xOy平面)做簡諧運動的點波源S1(1 m,0)和S2(5 m,0)，振動方程分別為zs1＝Asin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πt＋\f(π,2)))、zs2＝Asin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πt－\f(π,2)))。兩列波的波速均為1 m/s，兩列波在點B(5 m,3 m)和點C(3 m，2 m)相遇時，分別引起B(yǎng)、C處質(zhì)點的振動總是相互( )
A．加強、加強 B．減弱、減弱
C．加強、減弱 D．減弱、加強
解析：選B 由于C點到兩波源的距離相等，兩列波從波源傳到C點的路程差為ΔsC＝0，為波長的整數(shù)倍，由兩波源的振動方程可知兩波的振動方向相反，所以C為振動減弱點，則A、D錯誤；兩列波從波源傳到B點的路程差為ΔsB＝eq \r(32＋42) m－3 m＝2 m，由振動方程可知兩列波源的振動周期為T＝eq \f(2π,π)＝2 s，波長為λ＝vT＝1×2 m＝2 m，兩列波從波源傳到B點的路程差為波長的整數(shù)倍，所以B點為振動減弱點，所以B正確，C錯誤。
(2)(波形圖法)如圖所示，A、B為振幅相同的相干波源，且向外傳播過程中振幅衰減不計，圖中實線表示波峰，虛線表示波谷，則下列敘述錯誤的是( )
A．Q點始終處于波峰位置
B．R、S兩點始終處于靜止狀態(tài)
C．P、Q連線上各點振動始終最強
D．P點在圖中所示的時刻處于波谷，再過eq \f(1,4)周期處于平衡位置
解析：選A Q點是波峰與波峰相遇點，是振動加強點，但并不是始終處于波峰的位置，A錯誤；R、S兩點是波峰與波谷相遇點，是振動減弱點，位移為零，則始終處于靜止狀態(tài)，B正確；P、Q兩點都是振動加強點，故P、Q連線上各點振動始終最強，C正確；P點是振動加強點，在題圖所示的時刻處于波谷，再過eq \f(1,4)周期處于平衡位置，D正確。
3．[波的衍射的理解]如圖所示是觀察水面波衍射的實驗裝置，AC和BD是兩塊擋板，AB是一個孔，O是波源，圖中已畫出波源所在區(qū)域波的傳播情況，每兩條相鄰波紋(圖中曲線)之間距離表示一個波長，則波經(jīng)過孔之后的傳播情況，下列描述錯誤的是( )
A．此時能觀察到明顯的波的衍射現(xiàn)象
B．擋板前后波紋間距離相等
C．如果將孔AB擴大，有可能觀察不到明顯的衍射現(xiàn)象
D．如果孔的大小不變，使波源頻率增大，能觀察到更明顯的衍射現(xiàn)象
解析：選D 由題圖可知，孔的尺寸與水波的波長差不多，故此時能觀察到明顯的波的衍射現(xiàn)象，故A正確；波通過孔后，波速、頻率、波長不變，則擋板前后波紋間的距離相等，故B正確；如果將孔AB擴大，若孔的尺寸遠大于水波的波長，可能觀察不到明顯的衍射現(xiàn)象，故C正確；如果孔的大小不變，使波源頻率增大，因為波速不變，根據(jù)λ＝eq \f(v,f)知，波長減小，可能觀察不到明顯的衍射現(xiàn)象，故D錯誤。
4．[多普勒效應(yīng)]如圖所示，在原點O處的質(zhì)點(波源)做簡諧運動，產(chǎn)生沿x軸正方向傳播的簡諧波，波速v＝20 m/s。為了接收到這列波，在x＝200 m處設(shè)有一臺接收器(圖中未標出)。已知t＝0時，波剛好傳播到x＝30 m 處，則下列說法正確的是( )
A．波源振動的周期為2 s
B．接收器在t＝8 s時才能接收到此波
C．x＝40 m處的質(zhì)點在t＝1 s時向上運動
D．若波源向x軸負方向移動，則在其移動過程中接收器接收到的波的頻率將小于1 Hz
解析：選D 由圖像可知，波長λ＝20 m，周期T＝eq \f(λ,v)＝eq \f(20,20) s＝1 s，A錯誤；接收器接收到此波所需時間為t＝eq \f(s,v)＝eq \f(200－30,20) s＝8.5 s，B錯誤；在t＝1 s時，波向前傳播了一個波長，x＝40 m處的質(zhì)點與t＝0時x＝20 m處的質(zhì)點的振動情況一樣，而t＝0時x＝20 m 處的質(zhì)點向下運動，故x＝40 m處的質(zhì)點在t＝1 s時向下運動，C錯誤；若波源向x軸負方向移動，則接收器離波源越來越遠，根據(jù)多普勒效應(yīng)可知，接收到的波的頻率變小，D正確。
[要點自悟明]
1．波的干涉中振動加強點、減弱點的判斷方法
(1)公式法
某質(zhì)點的振動是加強還是減弱，取決于該點到兩相干波源的距離之差Δr。
①當(dāng)兩波源振動步調(diào)一致時
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，則振動加強；
若Δr＝(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2，…)，則振動減弱。
②當(dāng)兩波源振動步調(diào)相反時
若Δr＝(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2，…)，則振動加強；
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，則振動減弱。
(2)波形圖法
在某時刻波的干涉的波形圖上，波峰與波峰(或波谷與波谷)的交點，一定是加強點，而波峰與波谷的交點一定是減弱點，各加強點或減弱點各自連接而成以兩波源為中心向外輻射的連線，形成加強線和減弱線，兩種線互相間隔，加強點與減弱點之間各質(zhì)點的振幅介于加強點與減弱點的振幅之間。
2．衍射現(xiàn)象的兩點提醒
(1)障礙物或孔的尺寸大小并不是決定衍射能否發(fā)生的條件，僅是衍射現(xiàn)象是否明顯的條件，波長越大越易發(fā)生明顯的衍射現(xiàn)象。
(2)當(dāng)孔的尺寸遠小于波長時，盡管衍射十分突出，但衍射波的能量很弱，也很難觀察到波的衍射。
3．多普勒效應(yīng)的成因分析
(1)接收頻率是指觀察者接收到的頻率等于觀察者在單位時間內(nèi)接收到的完全波的個數(shù)。
(2)當(dāng)波源與觀察者相互靠近時，觀察者接收到的頻率變大；當(dāng)波源與觀察者相互遠離時，觀察者接收到的頻率變小。
[課時跟蹤檢測]
一、立足主干知識，注重基礎(chǔ)性和綜合性
1．(2023·新課標卷)船上的人和水下的潛水員都能聽見輪船的鳴笛聲。聲波在空氣中和在水中傳播時的( )
A．波速和波長均不同 B．頻率和波速均不同
C．波長和周期均不同 D．周期和頻率均不同
解析：選A 聲波的周期和頻率由振源決定，故聲波在空氣中和在水中傳播的周期和頻率均相同，但聲波在空氣和水中傳播的波速不同，根據(jù)波速與波長關(guān)系v＝λf可知，波長也不同。故A正確，B、C、D錯誤。
2．(2023·廣東高考)漁船常用回聲探測器發(fā)射的聲波探測水下魚群與障礙物。聲波在水中傳播速度為1 500 m/s，若探測器發(fā)出頻率為1.5×106 Hz的聲波，下列說法正確的是( )
A．兩列聲波相遇時一定會發(fā)生干涉
B．聲波由水中傳播到空氣中，波長會改變
C．該聲波遇到尺寸約為1 m的被探測物時會發(fā)生明顯衍射
D．探測器接收到的回聲頻率與被探測物相對探測器運動的速度無關(guān)
解析：選B 根據(jù)多普勒效應(yīng)可知，探測器接收到的回聲頻率與被探測物相對探測器運動的速度有關(guān)，而兩列聲波發(fā)生干涉的條件是頻率相等，所以兩列聲波相遇時不一定發(fā)生干涉，故A、D錯誤；聲波由水中傳播到空氣中時，聲波的波速發(fā)生變化，頻率不變，所以波長會發(fā)生改變，故B正確；根據(jù)波長的計算公式可得λ＝eq \f(v,f)＝eq \f(1 500,1.5×106) m＝1×10－3 m，當(dāng)遇到尺寸約為1 m的被探測物時不會發(fā)生明顯衍射，故C錯誤。
3.B型超聲檢查，其原理是運用高頻率聲波(超聲波)對人體內(nèi)部組織、器官反射成像，可以觀察被檢組織的形態(tài)。如圖為儀器檢測到的發(fā)送和接收的短暫超聲波脈沖圖像，其中實線為沿x軸正方向發(fā)送的超聲波脈沖，虛線為一段時間后遇到人體組織沿x軸負方向返回的超聲波脈沖。已知超聲波在人體內(nèi)的傳播速度約為1 500 m/s，下列說法正確的是( )
A．此超聲波的頻率約為125 Hz
B．質(zhì)點B此時刻沿y軸正方向運動
C．此時刻質(zhì)點A、B兩點加速度大小相等方向相反
D．質(zhì)點B在此時刻后的四分之一周期內(nèi)運動的路程等于4 mm
解析：選B 由題意可知，發(fā)送和接收的超聲波頻率相同，由圖像可知波長λ＝12 mm＝1.2×10－2 m，由于v＝eq \f(λ,T)＝fλ，可得頻率f＝eq \f(v,λ)，代入數(shù)據(jù)解得f＝1.25×105 Hz，A錯誤；質(zhì)點B在接收的超聲波脈沖圖像上，此脈沖沿x軸負方向傳播，由“上下坡法”可知，此時刻質(zhì)點B沿y軸正方向運動，B正確；此時刻質(zhì)點A沿y軸正方向運動，其加速度方向沿y軸負方向，質(zhì)點B沿y軸正方向運動，其加速度方向沿y軸負方向，因此質(zhì)點A和質(zhì)點B加速度大小相等，方向相同，C錯誤；此時刻質(zhì)點B的位移為2eq \r(3) mm，且沿y軸正方向運動，經(jīng)十二分之一周期，恰好第一次運動到波峰，所以經(jīng)四分之一周期質(zhì)點B運動的路程是s＝2 mm＋4 mm－2eq \r(3) mm≈2.536 mm，D錯誤。
4.一頻率為5 Hz的振源O做簡諧運動時形成的水波如圖所示。已知該波的波速為1 m/s，到振源O的距離為0.75 m和1.2 m處分別有一片可看成質(zhì)點的小樹葉P和Q，則下列說法正確的是( )
A．兩片樹葉的起振方向相反
B．水波的波長為0.2 m
C．Q的起振時刻比P的晚半個周期
D．當(dāng)Q在波谷時，P恰好到波峰
解析：選B 兩片樹葉可看作是水波上的兩個質(zhì)點，它們的起振方向均與波源的起振方向相同，故A錯誤；已知波速為v＝1 m/s，周期T＝eq \f(1,f)＝0.2 s，則水波的波長為λ＝vT＝0.2 m，故B正確；P、Q到波源的距離之差為Δx＝(1.2－0.75)m＝0.45 m＝eq \f(9,4)λ，故Q的起振時刻比P的晚eq \f(9,4)個周期，當(dāng)Q在波谷時，P恰好到平衡位置，故C、D錯誤。
5．甲、乙兩列簡諧橫波在同一均勻介質(zhì)中傳播，甲波沿x軸正方向傳播，乙波沿x軸負方向傳播，t＝0時刻兩列波的波形圖如圖所示。已知波速v＝8 m/s，下列說法正確的是( )
A．波的頻率f＝0.5 Hz
B．t＝0時刻，x＝4 m與x＝8 m處的兩質(zhì)點振動方向相同
C．兩列波疊加后，x＝6 m處為振動加強點
D．在t＝0.5 s時刻，x＝5 m處的質(zhì)點第一次到達y＝－7 cm處
解析：選D 由題圖可知λ＝4 m，根據(jù)v＝λf得f＝2 Hz，故A錯誤；t＝0時刻，x＝4 m處的質(zhì)點向上振動，x＝8 m處的質(zhì)點向下振動，故B錯誤；兩列波疊加后，x＝6 m處為振動減弱點，故C錯誤；x＝5 m處為振動加強點，在t＝0.5 s時刻質(zhì)點第一次到達波谷，即y＝－7 cm處，故D正確。
6．一列沿x軸正方向傳播的簡諧橫波，其波源的平衡位置在坐標原點，波源在0～4 s內(nèi)的振動圖像如圖甲所示，已知波的傳播速度為0.5 m/s。
(1)求這列橫波的波長；
(2)求波源在4 s內(nèi)通過的路程；
(3)在圖乙中畫出t＝4 s時刻的波形圖。
解析：(1)由題圖甲可知，振幅A＝4 cm，周期T＝4 s，由于波的傳播速度為0.5 m/s，根據(jù)波長與波速關(guān)系有λ＝vT＝2 m。
(2)由(1)可知波源的振動周期為4 s，則4 s內(nèi)波源通過的路程為s＝4A＝16 cm。
(3)由題圖甲可知在t＝0時波源的起振方向向上，由于波速為0.5 m/s，則在4 s時x＝vt＝2 m，可知該波剛好傳到位置為2 m的質(zhì)點，且波源剛好回到平衡位置，且該波沿x軸正方向傳播，則根據(jù)“上下坡法”可繪制出t＝4 s時刻的波形圖如圖所示。
答案：(1)2 m (2)16 cm (3)見解析圖
二、強化遷移能力，突出創(chuàng)新性和應(yīng)用性
7.消除噪聲污染是當(dāng)前環(huán)境保護的一個重要課題，內(nèi)燃機、通風(fēng)機等在排放各種高速氣體的過程中都會發(fā)出噪聲，干涉型消聲器可以用來削弱高速氣流產(chǎn)生的噪聲。干涉型消聲器的結(jié)構(gòu)及氣流運行如圖所示，產(chǎn)生的波長為λ的聲波沿水平管道自左向右傳播。在聲波到達a處時，分成兩束相干波，它們分別通過r1和r2的路程，再在b處相遇，即可達到削弱噪聲的目的。若Δr＝r2－r1，則Δr等于( )
A．波長λ的整數(shù)倍 B．波長λ的奇數(shù)倍
C．半波長的奇數(shù)倍 D．半波長的偶數(shù)倍
解析：選C 要想達到削弱噪聲的目的，應(yīng)使兩相干波的路程差等于半波長的奇數(shù)倍，C正確。
8．(多選)圖甲中的B超成像的基本原理是探頭向人體發(fā)射一組超聲波，遇到人體組織會產(chǎn)生不同程度的反射，探頭接收到的超聲波信號由計算機處理，從而形成B超圖像。圖乙為血管探頭沿x軸正方向發(fā)送的簡諧超聲波圖像，t＝0時刻波恰好傳到質(zhì)點M。已知此超聲波的頻率為1×107 Hz。下列說法正確的是( )
A．血管探頭發(fā)出的超聲波在血管中的傳播速度為1.4×103 m/s
B．質(zhì)點M開始振動的方向沿y軸正方向
C．t＝1.25×10－7 s時質(zhì)點M運動到橫坐標x＝3.5×10－4 m處
D．0～1.25×10－7 s內(nèi)質(zhì)點M的路程為2 mm
解析：選AD 由題圖乙知波長λ＝14×10－2 mm＝1.4×10－4 m，由v＝λf得波速v＝1.4×10－4 m×1×107 Hz＝1.4×103 m/s，A正確；根據(jù)波動與振動方向間的關(guān)系，質(zhì)點M開始振動的方向沿y軸負方向，B錯誤；質(zhì)點M只會上下振動，不會隨波遷移，C錯誤；質(zhì)點M振動的周期T＝eq \f(1,f)＝eq \f(1,1×107) s＝1×10－7 s，由于eq \f(Δt,T)＝eq \f(1.25×10－7,1×10－7)＝eq \f(5,4)，質(zhì)點M在0～1.25×10－7 s內(nèi)運動的路程L＝eq \f(5,4)×4A＝2 mm，D正確。
9．(多選)一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，圖甲是t＝0時刻的波形圖，圖乙和圖丙分別是x軸上某兩處質(zhì)點的振動圖像。由此可知，這兩質(zhì)點平衡位置之間的距離可能是( )
A.eq \f(1,3) m B.eq \f(2,3) m C．1 m D.eq \f(4,3) m
解析：選BD t＝0時刻題圖乙中的質(zhì)點正處于正向最大位移處，與之相對應(yīng)的是波形圖中的x1＝eq \f(1,2) m＋nλ(n＝0,1,2，…)的質(zhì)點，題圖丙中的質(zhì)點正在負向eq \f(A,2)處向負方向振動，根據(jù)振動方程－eq \f(A,2)＝Asin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,2)×x2))，x2＝eq \f(11,6) m＋nλ(n＝0,1,2，…)，所以這兩質(zhì)點平衡位置之間的距離可能是Δx＝|x2－x1|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4,3) m±nλ))，當(dāng)n＝0時，Δx＝eq \f(4,3) m，也有可能是Δx＝eq \f(2,3) m，故B、D正確，A、C錯誤。
10．甲、乙兩列簡諧橫波分別沿x軸負方向和正方向傳播，兩波源分別位于x＝0.9 m處和x＝－0.6 m處，兩列波的波速大小相等，波源的振幅均為2 cm，兩列波在t＝0時刻的波形如圖所示，此時平衡位置在x＝－0.2 m和x＝0.1 m處的P、Q兩質(zhì)點剛要開始振動。質(zhì)點M的平衡位置在x＝0.3 m處，已知甲波的周期為0.8 s，求：
(1)乙波傳播到M質(zhì)點所需要的時間；
(2)在0～2.5 s時間內(nèi)，M質(zhì)點沿y軸正方向位移最大的時刻。
解析：(1)由題圖可知，甲波的波長為λ甲＝0.8 m，由于甲波的周期為T甲＝0.8 s
由v＝eq \f(λ甲,T甲)可得v＝1.0 m/s
兩波波速大小相等，由題圖可知xPM＝0.5 m
由t＝eq \f(xPM,v)，可解得t＝0.5 s。
(2)由題圖知乙波的波長λ乙＝0.4 m，由T乙＝eq \f(λ乙,v)
可得T乙＝0.4 s
甲波使M質(zhì)點處于波峰時，應(yīng)有t甲＝mT甲
解得t甲＝eq \f(4m,5) s(m＝0,1,2，…)
乙波使M質(zhì)點處于波峰時，應(yīng)有t乙＝(n＋2)T乙
解得t乙＝eq \f(2,5)(n＋2)s(n＝0,1,2，…)
欲使兩列波相遇后M質(zhì)點位于波峰位置，
則必有t甲＝t乙，即2m－n＝2
因m、n只能取整數(shù)，故有
m＝1、n＝0時，t＝0.8 s
m＝2、n＝2時，t＝1.6 s
m＝3、n＝4時，t＝2.4 s
所以t＝0時刻后的2.5 s時間內(nèi)，M質(zhì)點沿y軸正方向位移最大的時刻分別為0.8 s、1.6 s和2.4 s。
答案：(1)0.5 s (2)見解析
第3講 實驗：用單擺測量重力加速度的大小
一、基本原理與操作
1．原理裝置圖(如圖所示)
(1)擺角很小時，單擺做簡諧運動，周期T＝2π eq \r(\f(l,g))。
(2)由g＝eq \f(4π2,T2)l可知，只要測出l、T即可計算當(dāng)?shù)刂亓铀俣取?br>2．操作要領(lǐng)
(1)做單擺：用約1 m長的細線穿過小球上的小孔，并打一個比孔大的結(jié)，并把細線另一端固定在鐵架臺上。
(2)測擺長：用毫米刻度線測擺線長l′，用游標卡尺測小球直徑D，則擺長l＝l′＋eq \f(D,2)。
(3)測周期：讓擺球偏離一個角度(不大于5°)，釋放后讓單擺自由擺動，測出單擺振動30～50次的總時間，求出周期，反復(fù)測量三次，求出周期的平均值。
二、實驗核心關(guān)鍵點
1．?dāng)?shù)據(jù)處理
2．誤差分析
(1)系統(tǒng)誤差：主要來源于單擺模型本身是否符合要求。即：懸點是否固定，擺球是否可視為質(zhì)點，球、線是否符合要求，振幅是否足夠小，擺動是圓錐擺還是在同一豎直平面內(nèi)振動以及測量哪段長度作為擺長等。
(2)偶然誤差：主要來自時間(即單擺周期)的測量。因此，要注意測準時間(周期)，要從擺球通過平衡位置開始計時，并采用倒計時計數(shù)的方法，即4,3,2,1,0,1,2，…在數(shù)“0”的同時按下秒表開始計時。不能多計或漏計振動次數(shù)。為了減小偶然誤差，應(yīng)多次測量后取平均值。
3．注意事項
(1)選擇材料時應(yīng)選擇細、輕又不易伸長的線，長度一般在1 m左右，小球應(yīng)選用密度較大的金屬球，直徑應(yīng)較小，最好不超過2 cm。
(2)單擺懸線的上端不可隨意卷在鐵架臺的桿上，應(yīng)夾緊在鐵夾中，以免擺動時發(fā)生擺線下滑、擺長改變的現(xiàn)象。
(3)注意擺動時控制擺線偏離豎直方向的夾角要不大于5°。可通過估算振幅的辦法掌握。
(4)擺球振動時，要使之保持在同一個豎直平面內(nèi)，不要形成圓錐擺。
(5)計算單擺的振動次數(shù)時，應(yīng)從擺球通過平衡位置時開始計時，為便于計時，可在擺球平衡位置的正下方作一標記。以后擺球每次從同一方向通過平衡位置時進行計數(shù)，且在數(shù)“0”的同時按下秒表，開始計時計數(shù)。
一、基礎(chǔ)考法保住分
考查點(一) 實驗原理與操作
1．物理實驗小組的同學(xué)做“用單擺測量重力加速度的大小”的實驗。
(1)實驗室有如下器材可供選用：
A．長約1 m的細線 B．長約1 m的橡皮繩
C．直徑約2 cm的均勻鐵球 D．直徑約5 cm的均勻木球
E．停表 F．時鐘
G．最小刻度為毫米的米尺
實驗小組的同學(xué)需要從上述器材中選擇：____________________(填寫器材前面的字母)。
(2)下列振動圖像真實地描述了對擺長約為1 m的單擺進行周期測量的四種操作過程，圖中橫坐標原點O為計時起點，A、B、C均為30次全振動的圖像，已知sin 5°≈0.087，sin 15°≈0.26，這四種操作過程合乎實驗要求且誤差最小的是________。
(3)某同學(xué)利用單擺測重力加速度的大小，測得的g值與真實值相比偏大，可能的原因是________。
A．測擺長時記錄的是擺線的長度
B．開始計時時，停表過早按下
C．?dāng)[線上端未牢固地系于懸點，擺動中出現(xiàn)松動，使擺線長度增加了
D．實驗中誤將29次全振動數(shù)記為30次
解析：(1)需要選擇的器材有：長約1 m的細線，直徑約2 cm的均勻鐵球，停表(測量多次全振動的時間)，最小刻度為毫米的刻度尺(測量擺長)。
(2)單擺振動的擺角θ≤5°，當(dāng)θ＝5°時單擺振動的振幅A＝lsin 5°＝0.087 m＝8.7 cm，為計時準確，在擺球擺至平衡位置時開始計時，故選A。
(3)根據(jù)單擺的周期公式推導(dǎo)出重力加速度的表達式g＝eq \f(4π2L,T2)。將擺線的長誤認為擺長，重力加速度的測量值偏小，A錯誤；開始計時時，停表過早按下，周期的測量值大于真實值，重力加速度的測量值偏小，B錯誤；擺線上端未牢固地系于懸點，擺動中出現(xiàn)松動，使擺線長度增加了，即擺長L的測量值偏小，重力加速度的測量值偏小，C錯誤；設(shè)單擺29次全振動的時間為t，則單擺的周期T＝eq \f(t,29)，若誤計為30次，則T測＝eq \f(t,30)＜eq \f(t,29)，即周期的測量值小于真實值，重力加速度的測量值偏大，D正確。
答案：(1)ACEG (2)A (3)D
2．(2023·新課標卷)一學(xué)生小組做“用單擺測量重力加速度的大小”實驗。
(1)用實驗室提供的螺旋測微器測量擺球直徑。首先，調(diào)節(jié)螺旋測微器，擰動微調(diào)旋鈕使測微螺桿和測砧相觸時，發(fā)現(xiàn)固定刻度的橫線與可動刻度上的零刻度線未對齊，如圖(a)所示，該示數(shù)為_______mm；螺旋測微器在夾有擺球時示數(shù)如圖(b)所示，該示數(shù)為___________mm，則擺球的直徑為___________mm。
(2)單擺實驗的裝置示意圖如圖(c)所示，其中角度盤需要固定在桿上的確定點O處，擺線在角度盤上所指的示數(shù)為擺角的大小。若將角度盤固定在O點上方，則擺線在角度盤上所指的示數(shù)為5°時，實際擺角___________5°(填“大于”或“小于”)。
(3)某次實驗所用單擺的擺線長度為81.50 cm，則擺長為_________cm。實驗中觀測到從擺球第1次經(jīng)過最低點到第61次經(jīng)過最低點的時間間隔為54.60 s，則此單擺周期為___________s，該小組測得的重力加速度大小為___________m/s2。(結(jié)果均保留3位有效數(shù)字，π2取9.870)
解析：(1)測量前測微螺桿和測砧相觸時，題圖(a)的示數(shù)為d0＝0.8×0.01 mm＝0.008 mm
螺旋測微器讀數(shù)是固定刻度讀數(shù)加可動刻度讀數(shù)，題圖(b)中讀數(shù)為d1＝20.0 mm＋3.5×0.01 mm＝20.035 mm
則擺球的直徑為d＝d1－d0＝20.027 mm。
(2)角度盤的大小一定，即在規(guī)定的位置安裝角度盤，測量的擺角準確，但將角度盤固定在規(guī)定位置上方，即角度盤到懸掛點的距離變短，同樣的角度，擺線在角度盤上掃過的弧長變短，故擺線在角度盤上所指的示數(shù)為5°時，實際擺角大于5°。
(3)單擺的擺線長度為81.50 cm，則擺長為
l＝l0＋eq \f(d,2)＝81.50 cm＋eq \f(2.0027,2)cm≈82.5 cm
一次全振動單擺經(jīng)過最低點兩次，故此單擺的周期為T＝eq \f(t,\f(N,2))＝eq \f(54.60,30)s＝1.82 s
由單擺的周期表達式T＝2πeq \r(\f(l,g))，可得重力加速度
g＝eq \f(4π2l,T2)≈9.83 m/s2。
答案：(1)0.008(0.007～0.009均可) 20.035(20.034～20.036均可) 20.027(20.025～20.029均可) (2)大于 (3)82.5 1.82 9.83
考查點(二) 數(shù)據(jù)處理與誤差分析
3.用單擺測量重力加速度的大小的實驗裝置如圖所示。
(1)測出懸點O到小球球心的距離(擺長)l及單擺完成n次全振動所用的時間t，則重力加速度g＝________(用l、n、t表示)。
(2)下表是某同學(xué)記錄的3組實驗數(shù)據(jù)，并做了部分計算處理。
請計算出第3組實驗中的T＝______ s，g＝______ m/s2(計算結(jié)果保留兩位小數(shù))。
(3)用多組實驗數(shù)據(jù)作出T2-l圖像，也可以求出重力加速度g。已知三位同學(xué)作出的T2-l圖線的示意圖如圖中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都過原點，圖線b對應(yīng)的g值最接近當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊闹?。則相對于圖線b，下列分析正確的是________(填選項前的字母)。
A．出現(xiàn)圖線a的原因可能是誤將懸點到小球下端的距離記為擺長l
B．出現(xiàn)圖線c的原因可能是誤將49次全振動記為50次
C．圖線c對應(yīng)的g值小于圖線b對應(yīng)的g值
解析：(1)由T＝eq \f(t,n)，T＝2π eq \r(\f(l,g))，得g＝eq \f(4π2n2l,t2)。
(2)T＝eq \f(t,n)＝eq \f(100.5,50) s＝2.01 s，
g＝eq \f(4π2n2l,t2)＝eq \f(4×3.142×502×1,100.52) m/s2≈9.76 m/s2。
(3)b圖線為正確圖線，a圖線與b圖線相比，測量的周期相同時，擺長短，說明測量擺長偏小，A錯誤；c圖線與b圖線相比，測量擺長相同時，周期偏小，可能出現(xiàn)的原因是多記了全振動次數(shù)，B正確；由T＝2π eq \r(\f(l,g))得T2＝eq \f(4π2,g)l，圖線斜率小，說明g偏大，C錯誤。
答案：(1)eq \f(4π2n2l,t2) (2)2.01 9.76 (3)B
二、創(chuàng)新考法不失分
創(chuàng)新角度(一) 實驗器材的創(chuàng)新
1．如圖甲所示，某學(xué)習(xí)小組在實驗室做“用單擺測量重力加速度的大小”的實驗。
(1)若用秒表測出單擺完成n次全振動所用的時間t。請寫出周期的表達式T＝________。
(2)若利用拉力傳感器記錄拉力隨時間變化的關(guān)系，由圖乙可知，該單擺的周期T＝________ s。
(3)在多次改變擺線長度測量后，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，利用計算機作出周期與擺線長度的關(guān)系(T2-L)圖線，并根據(jù)圖線擬合得到方程T2＝kL＋b，由此可知當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭＝________，擺球半徑r＝________(用k、b、π表示)。
[創(chuàng)新點分析]
(1)利用拉力傳感器記錄拉力隨時間變化的F-t圖像。
(2)由F-t圖像得到單擺振動的周期。
解析：(1)單擺完成n次全振動所用的時間為t，則周期的表達式T＝eq \f(t,n)。
(2)單擺擺動過程中，每次經(jīng)過最低點時拉力最大，每次經(jīng)過最高點時拉力最小，拉力變化的周期為1.0 s，故單擺的周期為2.0 s。
(3)根據(jù)T＝2π eq \r(\f(L′,g)) 得T2＝eq \f(4π2,g)L′，知圖線的斜率k＝eq \f(4π2,g)，因此g＝eq \f(4π2,k)；而L′＝L＋r，圖線擬合得到方程T2＝kL＋b，因此擺球半徑r＝eq \f(b,k)。
答案：(1)eq \f(t,n) (2)2.0 (3)eq \f(4π2,k) eq \f(b,k)
創(chuàng)新角度(二) 實驗方法的創(chuàng)新
2．某同學(xué)利用單擺測量重力加速度的大小。
(1)為了使測量誤差盡量小，下列說法正確的是________。
A．組裝單擺須選用密度和直徑都較小的擺球
B．組裝單擺須選用輕且不易伸長的細線
C．實驗時須使擺球在同一豎直面內(nèi)擺動
D．?dāng)[長一定的情況下，擺的振幅盡量大
(2)如圖所示，在支架的豎直立柱上固定有擺長約1 m的單擺。實驗時，由于僅有量程為20 cm、精確度為1 mm的鋼板刻度尺，于是他先使擺球自然下垂，在豎直立柱上與擺球最下端處于同一水平面的位置做一標記點，測出單擺的周期T1；然后保持懸點位置不變，設(shè)法將擺長縮短一些，再次使擺球自然下垂，用同樣方法在豎直立柱上做另一標記點，并測出單擺的周期T2；最后用鋼板刻度尺量出豎直立柱上兩標記點之間的距離ΔL。用上述測量結(jié)果，寫出重力加速度的表達式g＝________。
[創(chuàng)新點分析]
(1)只測量擺長的改變量，沒有測量實際的擺長。
(2)通過代入消元法消去未知擺長。
解析：(1)在利用單擺測重力加速度實驗中，為了使測量誤差盡量小，須選用密度大、半徑小的擺球和不易伸長的細線，擺球須在同一豎直面內(nèi)擺動，擺長一定時，振幅盡量小些，以使其滿足簡諧運動條件，故選B、C。
(2)設(shè)第一次擺長為L，第二次擺長為L－ΔL，則T1＝2πeq \r(\f(L,g))，T2＝2π eq \r(\f(L－ΔL,g))，聯(lián)立解得g＝eq \f(4π2ΔL,T12－T22)。
答案：(1)BC (2)eq \f(4π2ΔL,T12－T22)
創(chuàng)新角度(三) 實驗?zāi)康牡膭?chuàng)新
3．(1)在“探究單擺周期與擺長的關(guān)系”實驗中，兩位同學(xué)用游標卡尺測量小球的直徑的操作如圖甲、乙所示。測量方法正確的是________(填“甲”或“乙”)。
(2)實驗時，若擺球在垂直紙面的平面內(nèi)擺動，為了將人工記錄振動次數(shù)改為自動記錄振動次數(shù)，在擺球運動的最低點的左、右兩側(cè)分別放置一激光光源與光敏電阻，如圖丙所示。光敏電阻與某一自動記錄儀相連，該儀器顯示的光敏電阻阻值R隨時間t的變化圖線如圖丁所示，則該單擺的周期為______________。若保持懸點到小球頂點的繩長不變，改用直徑是原小球直徑2倍的另一小球進行實驗，則該單擺的周期將__________(填“變大”“不變”或“變小”)，圖丁中的Δt將__________(填“變大”“不變”或“變小”)。
[創(chuàng)新點分析]
(1)應(yīng)用了光敏電阻及傳感器測量單擺的周期。
(2)從R-t圖線可知周期為2t0。
解析：(1)游標卡尺應(yīng)該用兩外測量爪對齊的地方測量物體，正確的是乙。
(2)一個周期內(nèi)小球兩次經(jīng)過最低點，使光敏電阻的阻值發(fā)生變化，由題圖丁可得，周期為t1＋2t0－t1＝2t0；改用直徑大的小球后，擺長變長，根據(jù)T＝2π eq \r(\f(l,g)) 可知，周期變大；小球的直徑比原小球大，每次經(jīng)過最低點時小球的擋光時間變長，即Δt變大。
答案：(1)乙 (2)2t0 變大 變大
創(chuàng)新角度(四) 數(shù)據(jù)處理的創(chuàng)新
4．小明在家里做“用單擺測量重力加速度的大小”的實驗。如圖甲他找到了一塊外形不規(guī)則的小石塊代替擺球，設(shè)計的實驗步驟是：
A．將小石塊用不可伸長的細線系好，結(jié)點為N，細線的上端固定于O點；
B．用刻度尺測量ON間細線的長度l作為擺長；
C．將石塊拉開一個大約α＝5°的角度，然后由靜止釋放；
D．從石塊擺至某一位置處開始計時，測出30次全振動的總時間t，由T＝eq \f(t,30)得出周期；
E．改變ON間細線的長度再做幾次實驗，記下相應(yīng)的l和T；
F．根據(jù)公式g＝eq \f(4π2,T2)l，分別計算出每組l和T對應(yīng)的重力加速度g，然后取平均值即可作為重力加速度的測量結(jié)果。
(1)小石塊擺動的過程中，充當(dāng)回復(fù)力的是________。
A．重力
B．拉力
C．拉力沿水平方向的分力
D．重力沿圓弧切線方向的分力
(2)為使測量更加準確，步驟D中，小明應(yīng)從________(填“最大位移”或“平衡位置”)處開始計時。
(3)小明用ON的長l為擺長，利用公式g＝eq \f(4π2,T2)l求出的重力加速度的測量值比真實值________(填“偏大”或“偏小”)。
(4)小紅利用小明測出的多組擺長l和周期T的值，作出T2-l圖線如圖乙所示，通過測量計算出圖線的斜率為k，由斜率k求重力加速度的表達式是g＝________。
(5)在步驟F中，有同學(xué)認為可以先將多次測量的擺長l取平均值得到eq \x\t(l)，周期T取平均值得到eq \x\t(T)，再代入公式g＝eq \f(4π2,T2)l，得到重力加速度g的測量結(jié)果，你認為這種做法是否正確并說明理由。
[創(chuàng)新點分析]
(1)用石塊代替小球，無法測得具體擺長，只能測出懸點到石塊頂端的長度當(dāng)作“擺長”。
(2)T2-l圖像不過坐標原點，但斜率的意義不變。
解析：(1)石塊做簡諧運動時重力沿圓弧切線方向的分力提供回復(fù)力，故D正確，A、B、C錯誤。
(2)石塊經(jīng)過平衡位置時速度最大，在石塊經(jīng)過平衡位置時開始計時可以減小周期測量的實驗誤差。
(3)擺線懸點到石塊重心的距離是單擺擺長，擺線長度l小于單擺擺長L，由g＝eq \f(4π2,T2)l可知，用ON的長l為擺長，重力加速度的測量值比真實值偏小。
(4)設(shè)N到石塊重心的距離為r，單擺擺長L＝l＋r，由單擺周期公式T＝2π eq \r(\f(L,g))可知：T2＝eq \f(4π2,g)l＋eq \f(4π2r,g)，由圖示T2-l圖像可知，圖像的斜率k＝eq \f(4π2,g)，重力加速度g＝eq \f(4π2,k)。
(5)這種做法是錯誤的。由單擺周期公式T＝2π eq \r(\f(l,g))可知，擺長l與周期T之間不是一次函數(shù)關(guān)系，不能求出l的平均值eq \x\t(l)和T的平均值eq \x\t(T)，再代入公式g＝eq \f(4π2,T2)l求出重力加速度。
答案：(1)D (2)平衡位置 (3)偏小 (4)eq \f(4π2,k)
(5)見解析
定義
質(zhì)點所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成正比，并且總是指向平衡位置
表達式
F＝－kx
來源
是效果力，不是性質(zhì)力；可以由某一個力提供，也可以由幾個力的合力或某個力的分力提供
動力學(xué)表達式
F＝－kx，其中“－”表示回復(fù)力與位移的方向相反
運動學(xué)表達式
x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A代表振幅，ω＝2πf代表簡諧運動振動的快慢，ωt＋φ0代表簡諧運動的相位，φ0叫作初相。
定義
系統(tǒng)在周期性驅(qū)動力作用下的振動
特點
物體做受迫振動的周期(或頻率)等于驅(qū)動力的周期(或頻率)，與物體的固有周期(或頻率)無關(guān)
受力特征
回復(fù)力F＝－kx，F(xiàn)(或a)的大小與x的大小成正比，方向相反
運動特征
靠近平衡位置時，a、F、x都減小，v增大；遠離平衡位置時，a、F、x都增大，v減小
能量特征
振幅越大，能量越大。在運動過程中，系統(tǒng)的動能和勢能相互轉(zhuǎn)化，機械能守恒
周期性特征
質(zhì)點的位移、回復(fù)力、加速度和速度隨時間做周期性變化，變化周期就是簡諧運動的周期T；動能和勢能也隨時間做周期性變化，其變化周期為eq \f(T,2)
對稱性特征
關(guān)于平衡位置O對稱的兩點，速度的大小、動能、勢能相等，相對平衡位置的位移大小相等
模型
彈簧振子(水平)
單擺
示意圖
簡諧運動條件
①彈簧質(zhì)量要忽略
②無摩擦力等阻力
③在彈簧彈性限度內(nèi)
①擺線為不可伸縮的輕細線
②無空氣阻力等阻力
③最大擺角小于等于5°
回復(fù)力
彈簧的彈力提供
擺球重力沿與擺線垂直方向(即切向)的分力
平衡位置
彈簧處于原長處
最低點
周期
與振幅無關(guān)
T＝2π eq \r(\f(l,g))
能量轉(zhuǎn)化
彈性勢能與動能的相互轉(zhuǎn)化，機械能守恒
重力勢能與動能的相互轉(zhuǎn)化，機械能守恒
振動類型
自由振動
受迫振動
共振
受力情況
僅受回復(fù)力
受驅(qū)動力
受驅(qū)動力
振動周期或頻率
由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，即固有周期T0或固有頻率f0
由驅(qū)動力的周期或頻率決定，即T＝T驅(qū)或f＝f驅(qū)
T驅(qū)＝T0或f驅(qū)＝f0
振動能量
振動物體的機械能不變
由產(chǎn)生驅(qū)動力的物體提供
振動物體獲得的能量最大
常見例子
彈簧振子或單擺(θ≤5°)
機械工作時底座發(fā)生的振動
共振篩、聲音的共鳴等
類別
波的干涉
波的衍射
條件
兩列波的頻率必須相同，相位差保持不變
產(chǎn)生明顯衍射的條件：障礙物或孔的尺寸比波長小或相差不多
現(xiàn)象
形成加強區(qū)和減弱區(qū)相互隔開的穩(wěn)定的干涉圖樣
波能夠繞過障礙物或孔繼續(xù)向前傳播
現(xiàn)象
觀察者接收到的頻率發(fā)生變化
條件
聲源和觀察者之間有相對運動(距離發(fā)生變化)
實質(zhì)
聲源頻率不變，觀察者接收到的頻率變化
方法
內(nèi)容
圖像
“上下坡”法
沿波的傳播方向，“上坡”時質(zhì)點向下振動，“下坡”時質(zhì)點向上振動
“同側(cè)”法
波形圖上某點表示傳播方向和振動方向的箭頭在圖線同側(cè)
“微平移”法
將波形沿傳播方向進行微小的平移，再由對應(yīng)同一x坐標的兩波形曲線上的點來判斷振動方向
類別
振動圖像
波的圖像
圖像
物理意義
表示某質(zhì)點各個時刻的位移
表示某時刻各質(zhì)點的位移
圖像信息
(1)質(zhì)點振動周期
(2)質(zhì)點振幅
(3)各時刻質(zhì)點位移
(4)各時刻速度、加速度方向
(1)波長、振幅
(2)任意一質(zhì)點在該時刻的位移
(3)任意一質(zhì)點在該時刻的加速度方向
(4)傳播方向、振動方向的互判
圖像變化
隨時間推移，圖像延續(xù)，但已有形狀不變
隨時間推移，圖像沿傳播方向平移
形象比喻
記錄著一個人一段時間內(nèi)活動的錄像帶
記錄著許多人某時刻動作、表情的集體照片
公式法
將測得的幾組周期T和擺長l代入公式g＝eq \f(4π2l,T2)中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即為當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊闹?br>圖像法
由單擺的周期公式T＝2π eq \r(\f(l,g))可得l＝eq \f(g,4π2)T2，因此以擺長l為縱軸、以T2為橫軸作出的l -T2圖像是一條過原點的直線，如圖所示，求出斜率k，即可求出g值。g＝4π2k，k＝eq \f(l,T2)＝eq \f(Δl,ΔT2)
組 次
1
2
3
擺長l/cm
80.00
90.00
100.00
50次全振動時間t/s
90.0
95.5
100.5
振動周期T/s
1.80
1.91
重力加速度g/(m·s－2)
9.74
9.73

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