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第十二章 機械振動　機械波
第1講　機械振動

一、簡諧運動
1．簡諧運動
(1)簡諧運動的定義：如果質(zhì)點的位移與時間的關系遵從正弦函數(shù)的規(guī)律，即它的振動圖像(x-t圖像)是一條正弦曲線，這樣的振動就是簡諧運動。
(2)平衡位置：物體在振動過程中回復力為零的位置。
(3)回復力
定義
質(zhì)點所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成正比，并且總是指向平衡位置
表達式
F＝－kx
來源
是效果力，不是性質(zhì)力；可以由某一個力提供，也可以由幾個力的合力或某個力的分力提供
2.兩種模型
(1)彈簧振子
①水平方向：如圖甲所示，回復力由彈簧的彈力提供。
②豎直方向：如圖乙所示，回復力由重力和彈簧彈力的合力提供。

(2)單擺：如圖所示，在細線的一端拴一個小球，另一端固定在懸點上，如果細線的長度不可改變，細線的質(zhì)量與小球相比可以忽略，球的直徑比擺線短得多，這樣的裝置叫作單擺。
二、簡諧運動的公式和圖像




1．表達式
動力學表達式
F＝－kx，其中“－”表示回復力與位移的方向相反
運動學表達式
x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A代表振幅，ω＝2πf代表簡諧運動振動的快慢，ωt＋φ0代表簡諧運動的相位，φ0叫作初相。
2.振動圖像
(1)從平衡位置開始計時，振動表達式為x＝Asin ωt，圖像如圖甲所示。
(2)從最大位移處開始計時，振動表達式為x＝Acos ωt，圖像如圖乙所示。

三、受迫振動和共振
1．受迫振動
定義
系統(tǒng)在周期性驅(qū)動力作用下的振動
特點
物體做受迫振動的周期(或頻率)等于驅(qū)動力的周期(或頻率)，與物體的固有周期(或頻率)無關

2．共振
(1)定義：做受迫振動的物體受到的驅(qū)動力的頻率與其固有頻率越接近，其振幅就越大，當二者相等時，振幅達到最大，這就是共振現(xiàn)象。
(2)共振曲線：如圖所示。
微點判斷　
(1)簡諧運動是勻變速運動。(×)
(2)周期、頻率是表征物體做簡諧運動快慢程度的物理量。(√)
(3)振幅等于振子運動軌跡的長度。(×)
(4)簡諧運動的回復力可以是恒力。(×)
(5)彈簧振子每次經(jīng)過平衡位置時，位移為零、動能最大。(√)
(6)單擺在任何情況下的運動都是簡諧運動。(×)
(7)物體做受迫振動時，其振動頻率與固有頻率無關。(√)

(一) 簡諧運動的規(guī)律及應用
受力特征
回復力F＝－kx，F(xiàn)(或a)的大小與x的大小成正比，方向相反
運動特征
靠近平衡位置時，a、F、x都減小，v增大；遠離平衡位置時，a、F、x都增大，v減小
能量特征
振幅越大，能量越大。在運動過程中，系統(tǒng)的動能和勢能相互轉(zhuǎn)化，機械能守恒
周期性特征
質(zhì)點的位移、回復力、加速度和速度隨時間做周期性變化，變化周期就是簡諧運動的周期T；動能和勢能也隨時間做周期性變化，其變化周期為
對稱性特征
關于平衡位置O對稱的兩點，速度的大小、動能、勢能相等，相對平衡位置的位移大小相等


[多維訓練]
1．[簡諧運動的理解]關于簡諧運動以及完成一次全振動的意義，以下說法正確的是(　 )
A．位移的方向總跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同
B．動能或勢能第一次恢復為原來的大小所經(jīng)歷的過程為一次全振動
C．速度和加速度第一次同時恢復為原來的大小和方向所經(jīng)歷的過程為一次全振動
D．物體運動方向指向平衡位置時，速度的方向與位移的方向相同；背離平衡位置時，速度方向與位移方向相反
解析：選C　回復力與位移方向相反，故加速度和位移方向相反，但速度與位移方向可以相同，也可以相反，物體運動方向指向平衡位置時，速度的方向與位移的方向相反，背離平衡位置時，速度方向與位移方向相同，A、D錯誤；一次全振動過程中，動能和勢能可以多次恢復為原來的大小，B錯誤；速度和加速度第一次同時恢復為原來的大小和方向所經(jīng)歷的過程為一次全振動，C正確。
2．[簡諧運動中各物理量的分析]一質(zhì)點做簡諧運動的振動方程是x＝2sin50πt＋cm，則(　 )
A．在0至0.02 s內(nèi)，質(zhì)點的速度與加速度方向始終相同
B．在0.02 s時，質(zhì)點具有沿x軸正方向的最大加速度
C．在0.035 s時，質(zhì)點的速度方向與加速度方向均沿x軸正方向
D．在0.04 s時，質(zhì)點所受回復力最大，速度方向沿x軸負方向
解析：選B　由振動方程可知，振幅A＝2 cm，T＝0.04 s，初相位φ＝，即t＝0時，質(zhì)點位于正向最大位移處，在0至0.01 s內(nèi)，速度與加速度方向相同，0.01 s至0.02 s內(nèi)，速度與加速度方向相反，A錯誤；在0.02 s時，質(zhì)點在負向最大位移處，具有正向最大加速度，B正確；在0.035 s時，質(zhì)點從平衡位置向最大位移處運動，速度方向沿x軸正方向，加速度方向沿x軸負方向，C錯誤；在0.04 s時，質(zhì)點回到正向最大位移處，回復力最大，速度為零，D錯誤。

模型
彈簧振子(水平)
單擺
示意圖


簡諧運動條件
①彈簧質(zhì)量要忽略
②無摩擦力等阻力
③在彈簧彈性限度內(nèi)
①擺線為不可伸縮的輕細線
②無空氣阻力等阻力
③最大擺角小于等于5°
回復力
彈簧的彈力提供
擺球重力沿與擺線垂直方向(即切向)的分力
平衡位置
彈簧處于原長處
最低點
周期
與振幅無關
T＝2π
能量轉(zhuǎn)化
彈性勢能與動能的相互轉(zhuǎn)化，機械能守恒
重力勢能與動能的相互轉(zhuǎn)化，機械能守恒


[注意]　單擺周期公式T＝2π的兩點說明：
(1)l為等效擺長，表示從懸點到擺球重心的距離。
(2)g為當?shù)刂亓铀俣取?br /> [多維訓練]
3．[彈簧振子模型](多選)彈簧振子做簡諧運動，O為平衡位置，從它經(jīng)過O點時開始計時，經(jīng)過0.3 s第一次到達點M，再經(jīng)過0.2 s第二次到達點M，則彈簧振子的周期可能為(　 )
A．0.53 s B．1.4 s C．1.6 s D．2 s
解析：選AC　如圖甲所示，若振子從O點開始向右按所示路線振動，則振子的振動周期為T1＝4×s＝1.6 s；如圖乙所示，若振子從O點開始向左按所示路線振動，令從M運動到O的時間為t，則有＋t＝，解得t＝ s，振子的振動周期為T2＝4×s≈0.53 s，A、C正確。



4．[單擺模型](2022·北京海淀區(qū)模擬)如圖所示，兩個擺長均為L的單擺，擺球A、B質(zhì)量分別為m1、m2，懸點均為O。在O點正下方0.19L處固定一小釘。初始時刻B靜止于最低點，其擺線緊貼小釘右側(cè)，A從圖示位置由靜止釋放(θ足夠小)，在最低點與B發(fā)生彈性正碰。兩擺在整個運動過程中均滿足簡諧運動條件，懸線始終保持繃緊狀態(tài)且長度不變，擺球可視為質(zhì)點，不計碰撞時間及空氣阻力，重力加速度為g。下列選項正確的是(　 )
A．若m1＝m2，則A、B在擺動過程中最大振幅之比為9∶10
B．若m1＝m2，則每經(jīng)過1.9π 時間A回到最高點
C．若m1>m2，則A與B第二次碰撞不在最低點
D．若m1m2，則碰后A球向右運動，擺長變?yōu)?.81L，B球擺回最低點后向左運動時，擺長為0.81L，所以兩擺的周期均為T″＝T＋T′＝1.9π ，即第一次在最低點碰撞后，經(jīng)過一個周期發(fā)生第二次碰撞，位置仍然在最低點，C錯誤；若m10)，質(zhì)點A位于波峰。求：
(1)從t1時刻開始，質(zhì)點B最少要經(jīng)過多長時間位于波峰；
(2)t1時刻質(zhì)點B偏離平衡位置的位移。
[解析]　(1)因波速v＝20 cm/s，波長大于20 cm，所以周期T＞1 s，又由t＝0時刻后每隔0.6 s A、B兩者偏離平衡位置的位移大小相等、方向相同，可知該波周期T＝1.2 s，該波波長λ＝vT＝24 cm，故A、B的平衡位置相距λ，從t1時刻開始，質(zhì)點B最少要經(jīng)過T＝0.8 s位于波峰。
(2)在t1時刻(t1＞0)，質(zhì)點A位于波峰，A、B平衡位置相距λ，可知質(zhì)點B偏離平衡位置的位移
yB＝y(tǒng)cos＝－0.5 cm。
[答案]　(1)0.8 s　(2)－0.5 cm




[針對訓練]
1．(2022·青島模擬)青島瀕臨黃海，是國內(nèi)著名的濱海旅游城市，長達800多km的海岸線，擁有眾多優(yōu)良海水浴場。在石老人海水浴場，某同學漂浮在海面上，水波以3 m/s的速率向著海灘傳播，該同學記錄了第1個波峰到第10個波峰通過身下的時間為18 s。下列說法正確的是(　 )

A．該同學很快就會漂流到沙灘上
B．該水波的周期為1.8 s
C．該水波的波長為6 m
D．該水波可以繞過石老人繼續(xù)傳播屬于波的干涉現(xiàn)象
解析：選C　該同學只會在平衡位置附近振動，不會隨波遷移，A錯誤；該水波的周期為T＝＝2 s，B錯誤；根據(jù)波長公式得λ＝vT＝6 m，C正確；該水波可以繞過石老人繼續(xù)傳播屬于波的衍射現(xiàn)象，D錯誤。
2.如圖所示為海洋生態(tài)自動監(jiān)測浮標，可用于監(jiān)測水質(zhì)和氣象等參數(shù)。一列水波(視為橫波)沿海面?zhèn)鞑?，在波的傳播方向上相?.5 m的兩處分別有甲、乙兩浮標，兩浮標隨波上下運動。當甲運動到波峰時，乙恰好運動到波谷，此時甲、乙之間只有一個波峰。觀察到甲從第1次到達波峰與第11次到達波峰的時間間隔為20 s，則該水波(　 )
A．振幅為4.5 m B．波長為3 m
C．頻率為2 Hz D．波速為2.25 m/s
解析：選B　根據(jù)題給條件無法得知浮標離開平衡位置的最大距離，故A錯誤；設波長為λ，則由題意可知λ＝4.5 m，解得λ＝3 m，故B正確；設周期為T，則由題意可知10T＝20 s，解得T＝2 s，所以頻率為f＝＝0.5 Hz，故C錯誤；波速為v＝＝1.5 m/s，故D錯誤。
1．波的圖像特點
(1)質(zhì)點振動nT(波傳播nλ)時，波形不變。
(2)在波的傳播方向上，當兩質(zhì)點平衡位置間的距離為nλ(n＝1,2，3，…)時，它們的振動步調(diào)總相同；當兩質(zhì)點平衡位置間的距離為(2n＋1)(n＝0,1,2，3，…)時，它們的振動步調(diào)總相反。
(3)波源質(zhì)點的起振方向決定了它后面的質(zhì)點的起振方向，各質(zhì)點的起振方向與波源的起振方向相同。
2．根據(jù)波的圖像、傳播方向判定振動方向
方法
內(nèi)容
圖像
“上下坡”法
沿波的傳播方向，“上坡”時質(zhì)點向下振動，“下坡”時質(zhì)點向上振動

“同側(cè)”法
波形圖上某點表示傳播方向和振動方向的箭頭在圖線同側(cè)

“微平移”法
將波形沿傳播方向進行微小的平移，再由對應同一x坐標的兩波形曲線上的點來判斷振動方向


[注意]　波的圖像、波的傳播方向與質(zhì)點振動方向三者之間可以互相判定。
[例2]　一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，周期為T，t＝0時的波形如圖所示。t＝時(　 )

A．質(zhì)點a速度方向沿y軸負方向
B．質(zhì)點b沿x軸正方向遷移了1 m
C．質(zhì)點c的加速度為零
D．質(zhì)點d的位移為－5 cm
[解析]　t＝時，質(zhì)點a沿y軸正方向運動到平衡位置，其速度方向沿y軸正方向，A錯誤；根據(jù)簡諧橫波的傳播特點可知，質(zhì)點只在平衡位置附近上下振動，不會隨波遷移， B錯誤；t＝時，質(zhì)點c運動到平衡位置，所受合外力為零，加速度為零，C正確；t＝時，質(zhì)點d的位移為5 cm，D錯誤。
[答案]　C





[針對訓練]
3.(2021·北京等級考)一列簡諧橫波某時刻的波形圖如圖所示。此后K質(zhì)點比L質(zhì)點先回到平衡位置。下列判斷正確的是(　 )
A．該簡諧橫波沿x軸負方向傳播
B．此時K質(zhì)點沿y軸正方向運動
C．此時K質(zhì)點的速度比L質(zhì)點的小
D．此時K質(zhì)點的加速度比L質(zhì)點的小
解析：選D　由題知K質(zhì)點比L質(zhì)點先回到平衡位置，則此時K質(zhì)點應沿y軸負方向運動，再根據(jù)“上、下坡”法可知，該波應沿x軸正方向傳播，A、B錯誤；L質(zhì)點在波谷處，則L質(zhì)點的速度為0，故此時K質(zhì)點的速度比L質(zhì)點的大，C錯誤；由于質(zhì)點在豎直方向做機械振動，根據(jù)F＝－ky＝ma，結(jié)合波動圖像可看出yL＞yK，則此時K質(zhì)點的加速度比L質(zhì)點的小，D正確。
考點(三)　根據(jù)兩時刻的波的圖像分析問題
由t時刻的波形確定t＋Δt時刻的波形
(1)如圖所示，波向右傳播Δt＝T的時間和向左傳播Δt＝T的時間，波形相同。

(2)若Δt＞T，可以采取“去整留零頭”的辦法。
[例3]　(2021·湖北高考)(多選)一列簡諧橫波沿x軸傳播，在t＝0時刻和t＝1 s時刻的波形分別如圖中實線和虛線所示。已知x＝0 處的質(zhì)點在0～1 s內(nèi)運動的路程為4.5 cm。下列說法正確的是(　 )

A．波沿x軸正方向傳播
B．波源振動周期為1.1 s
C．波的傳播速度大小為13 m/s
D．t＝1 s時，x＝6 m處的質(zhì)點沿y軸負方向運動
[解析]　由題意，x＝0處的質(zhì)點在0～1 s的時間內(nèi)通過的路程為4.5 cm，則結(jié)合題圖可知t ＝0時刻x＝0處的質(zhì)點沿y軸的負方向運動，則由質(zhì)點的振動和波的傳播方向關系可知，該波的傳播方向沿x軸的正方向，故A正確；由題意可知，t＝1 s為T，解得T＝ s，由題圖可知λ＝12 m，則v＝＝ m/s＝13 m/s，故C正確，B錯誤；由同側(cè)法可知t＝1 s時，x＝6 m處的質(zhì)點沿y軸正方向運動，故D錯誤。
[答案]　AC

[針對訓練]
4．圖中實線為一列簡諧橫波在某一時刻的波形曲線。經(jīng)過0.3 s后，其波形圖曲線如圖中虛線所示。已知該波的周期T大于0.3 s，若波是沿x軸正方向傳播的，則該波的速度大小為________m/s，周期為________s；若波是沿x軸負方向傳播的，該波的周期為________s。

解析：若波是沿x軸正方向傳播的，波形移動了15 cm，由此可求出波速和周期：
v1＝ m/s＝0.5 m/s；T1＝＝ s＝0.4 s。
若波是沿x軸負方向傳播的，波形移動了5 cm，由此可求出波速和周期：
v2＝ m/s＝ m/s；T2＝＝ s＝1.2 s。
答案：0.5　0.4　1.2
(二) 波的圖像與振動圖像的綜合應用
　1．振動圖像與波的圖像的比較
類別
振動圖像
波的圖像
圖像


物理意義
表示某質(zhì)點各個時刻的位移
表示某時刻各質(zhì)點的位移
圖像信息
(1)質(zhì)點振動周期
(2)質(zhì)點振幅
(3)各時刻質(zhì)點位移
(4)各時刻速度、加速度方向
(1)波長、振幅
(2)任意一質(zhì)點在該時刻的位移
(3)任意一質(zhì)點在該時刻的加速度方向
(4)傳播方向、振動方向的互判
圖像變化
隨時間推移，圖像延續(xù)，但已有形狀不變
隨時間推移，圖像沿傳播方向平移
形象比喻
記錄著一個人一段時間內(nèi)活動的錄像帶
記錄著許多人某時刻動作、表情的集體照片

2．求解波的圖像與振動圖像綜合問題三關鍵
(1)分清振動圖像與波的圖像。此步驟最簡單，只要看清橫坐標即可，橫坐標為x則為波的圖像，橫坐標為t則為振動圖像。
(2)看清橫、縱坐標的單位。尤其要注意單位前的數(shù)量級。
(3)找準波的圖像對應的時刻，找準振動圖像對應的質(zhì)點。
[多維訓練]
考查角度1　已知波的圖像判定質(zhì)點的振動圖像
1.(多選)一列簡諧橫波沿x軸傳播，如圖所示，實線為t1＝2 s時的波形圖，虛線為t2＝5 s時的波形圖。以下關于平衡位置在O處質(zhì)點的振動圖像，可能正確的是(　 )


解析：選AC　由題意，如果波沿x軸正方向傳播，則t2－t1＝T，且n＝0,1,2，…，當n＝0時，T＝4 s，在t1＝2 s時刻，質(zhì)點位于平衡位置且向上振動，故A正確，B錯誤；如果波沿x軸負方向傳播，則t2－t1＝T，且n＝0,1,2，…，當n＝0時，T＝12 s，在t1＝2 s時刻，質(zhì)點位于平衡位置且向下振動，故C正確，D錯誤。
考查角度2　已知質(zhì)點振動圖像判定波的圖像
2．(2022·山東等級考)(多選)一列簡諧橫波沿x軸傳播，平衡位置位于坐標原點O的質(zhì)點振動圖像如右圖所示。當t＝7 s時，簡諧波的波動圖像可能正確的是(　 )


解析：選AC　由O點的振動圖像可知，周期為T＝12 s，設原點處的質(zhì)點的振動方程為y＝Asin，則10＝20sin φ，解得φ＝，在t＝7 s時刻y7＝20sin＝－10 cm≈－17.3 cm，因7 s＝T＋T，則在t＝7 s時刻質(zhì)點沿y軸負方向振動，根據(jù)“同側(cè)法”可判斷若波向右傳播，則波形為C所示；若波向左傳播，則波形如A所示。
考查角度3　波的圖像與振動圖像的綜合應用
3．(2021年8省聯(lián)考·江蘇卷)漁船上的聲吶利用超聲波來探測遠方魚群的方位。某漁船發(fā)出的一列超聲波在t＝0時的波動圖像如圖甲所示，圖乙為質(zhì)點P的振動圖像，則(　 )

A．該波的波速為1.5 m/s
B．該波沿x軸負方向傳播
C．0～1 s時間內(nèi)，質(zhì)點P沿x軸運動了1.5 m
D．0～1 s時間內(nèi)，質(zhì)點P運動的路程為2 m
解析：選D　由題圖甲可知，該波的波長λ＝1.5×10－2 m，由題圖乙可知周期T＝1×10－5s，則該波的波速v＝＝ m/s＝1.5×103 m/s，A錯誤；由題圖乙可得，在t＝0時刻，質(zhì)點P沿y軸正方向振動，由波形的平移方式可知該波沿x軸正方向傳播，B錯誤；質(zhì)點P只在平衡位置上下振動，不沿x軸運動，C錯誤；質(zhì)點P的振幅是5×10－6 m，在0～1 s時間內(nèi)共振動了＝105個周期，運動的路程是s＝4×5×10－6×105 m＝2 m，D正確。

(三) 波的多解問題
造成波動問題多解的主要因素有：波的周期性、波的雙向性、波形的隱含性。解決該類問題一般可以按如下思路：
(1)首先找出造成多解的原因，比如考慮傳播方向的雙向性，可先假設波向右傳播，再假設波向左傳播，分別進行分析。
(2)根據(jù)周期性列式，若題目給出的是時間條件，則列出t＝nT＋Δt(n＝0,1,2，…)，若給出的是距離條件，則列出x＝nλ＋Δx(n＝0,1,2，…)進行求解。
(3)根據(jù)需要進一步求與波速v＝或v＝＝λf等有關的問題。

1．時間的周期性：時間間隔Δt與周期T的關系不明確。
2．空間的周期性：波傳播距離Δx與波長λ的關系不明確。
[例1]　(2022·長沙高三檢測)在平靜的介質(zhì)中，從波源O發(fā)出的一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，t1秒時刻的波形用實線表示，t2秒(t2>t1)時刻的波形用虛線表示。介質(zhì)中的質(zhì)點Q位于x＝18 m處，則下列說法正確的是(　 )

A．該簡諧橫波的波長可能為6 m
B．該波的波速大小一定為 m/s
C．在t1秒時刻至t2秒時刻這段時間內(nèi)，介質(zhì)中的質(zhì)點M的運動過程是由先加速、后減速兩段過程組成
D．根據(jù)圖像無法判斷質(zhì)點Q的起振方向
[解析]　由波形圖可知，波長λ＝8 m，故A錯誤；波沿x軸正方向傳播，位移為x＝nλ＋＝(8n＋4)m(n＝0,1,2,3，…)，則波速為v＝＝ m/s(n＝0,1,2，3，…)，則當n＝0時，波速為 m/s，不是一定為 m/s，故B錯誤；在t1～t2時間內(nèi)，若是在一個周期內(nèi)，則質(zhì)點M是先加速、后減速，若是包含多個周期則由多個運動階段組成，不僅是兩段過程組成，故C錯誤；t1、t2時刻不是0時刻的圖像，故無法判斷O點的起振方向，也就無法判斷質(zhì)點Q的起振方向，故D正確。
[答案]　D
[針對訓練]
1．(多選)一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，t時刻波形圖如圖中的實線所示，此時波剛好傳到P點，t＋0.6 s時刻的波形如圖中的虛線所示，a、b、c、P、Q是介質(zhì)中的質(zhì)點。下列說法正確的是(　 )

A．這列波的波速可能為50 m/s
B．質(zhì)點a在這段時間內(nèi)通過的路程一定小于30 cm
C．質(zhì)點c在這段時間內(nèi)通過的路程可能為60 cm
D．若周期T＝0.8 s，則在t＋0.5 s時刻，質(zhì)點b、P的位移相同
解析：選ACD　由波形圖可知波長λ＝40 m，且0.6 s＝nT＋T(n＝0,1,2，…)，解得周期T＝ s(n＝0,1,2，…)。當n＝0時，T＝0.8 s，波速v＝＝50 m/s，A正確。由傳播方向沿x軸正方向可知質(zhì)點a在t時刻向上運動，當n＝0時，T＝0.8 s，則質(zhì)點a在這段時間內(nèi)通過的路程小于30 cm；當n＝1時，T＝ s，質(zhì)點a在這段時間內(nèi)通過的路程大于30 cm，B錯誤。若n＝1，則T＝ s，波傳播到c點所用時間為T,0.6 s＝，質(zhì)點c振動的時間為T－T＝T，故在這段時間內(nèi)質(zhì)點c通過的路程為6A＝60 cm，C正確。若T＝0.8 s，t＋0.5 s時刻，質(zhì)點b、P的位移均為負值，大小相等，D正確。

1．傳播方向雙向性：波的傳播方向不確定。
2．振動方向雙向性：質(zhì)點振動方向不確定。
[例2]　(多選)一列簡諧橫波沿x軸傳播，已知x軸上x1＝1 m和x2＝7 m處質(zhì)點的振動圖像分別如圖甲、圖乙所示，則此列波的傳播速度可能是(　 )


A．7 m/s B．2 m/s
C．1.2 m/s D．1 m/s
[解析]　由振動圖像可知周期T＝4 s，零時刻x1處質(zhì)點在平衡位置且向下振動，而x2處質(zhì)點在正的最大位移處。①若波沿x軸正向傳播，其波形如圖甲所示，x2處質(zhì)點的平衡位置可能在A1或A2或A3…

則波長有：x2－x1＝λ(n＝0,1,2，…)，
得波速表達式v＝＝＝(n＝0,1,2，…)
當n＝0時，v＝6 m/s，當n＝1時，v＝1.2 m/s，C正確。
②若波沿x軸負向傳播，其波形如圖乙所示。

則有x2－x1＝λ(n＝0,1,2，…)，
得v＝＝＝(n＝0,1,2，…)
當n＝0時，v＝2 m/s，當n＝1時，v≈0.86 m/s，B正確。
[答案]　BC


[針對訓練]
2．(2022·福州高三調(diào)研)(多選)如圖所示，一列簡諧橫波沿x軸傳播，實線為t＝0時刻的波形圖，虛線為t＝0.6 s時刻的波形圖，已知波的周期T>0.6 s，下列說法正確的是(　 )

A．該波的波速一定是10 m/s
B．該波的波速可能是 m/s
C．t＝2.7 s時，Q點的位移一定是0
D．t＝5.1 s時，Q點的位移可能是0.2 m
解析：選BC　據(jù)圖，波長λ＝8 m，如果波向左傳播，則有T＝0.6 s(n＝0,1，2，…)，只有當n＝0時T1＝0.8 s>0.6 s，此時波速為v1＝＝10 m/s，如果波向右傳播，則有T＝0.6 s(n＝0,1，
2，…)，只有當n＝0時，T2＝2.4 s>0.6 s，此時波速為v2＝＝ m/s，故A錯誤，B正確；如果波向左傳播，則2.7 s＝3T1，Q點正好到達平衡位置，位移為零；如果波向右傳播，則2.7 s＝1T2，Q點也是正好到達平衡位置，位移為零，C正確；t＝5.1 s時，如果波向左傳播，Q點正好到達平衡位置，位移為零；如果波向右傳播，Q點也正好到達平衡位置，位移為零，故D錯誤。


在波動問題中，往往只給出完整波形的一部分，或給出幾個特殊點的振動情況，而其余信息均處于隱含狀態(tài)。這樣，波形就有多種可能情況，形成波動問題的多解。
[例3]　(2021·遼寧高考)一列沿x軸負方向傳播的簡諧橫波，t＝2 s時的波形如圖甲所示，x＝2 m處質(zhì)點的振動圖像如圖乙所示，則波速可能是(　 )

A. m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
[解析]　根據(jù)題圖乙可知t＝2 s時x＝2 m處的質(zhì)點正經(jīng)過平衡位置向下振動；又因為該波向x軸負方向傳播，結(jié)合圖甲，利用“上下坡”法可知x＝2 m為半波長的奇數(shù)倍，即有(2n－1)＝2 m，(n＝1,2,3，…)，而由圖乙可知該波的周期為T＝4 s；所以該波的波速為v＝＝ m/s，(n＝1,2,3，…)，當n＝3時可得波的速率為v＝ m/s，故A正確。
[答案]　A
[針對訓練]
3.(多選)如圖所示，一列簡諧橫波向右傳播，P、Q兩質(zhì)點平衡位置相距0.15 m。當P運動到上方最大位移處時，Q剛好運動到下方最大位移處，則這列波的波長可能是(　 )

A．0.60 m B．0.30 m
C．0.20 m D．0.10 m
解析：選BD　由題意，P、Q兩點之間的間距為＋nλ＝0.15 m(n＝0,1,2，…)，故n＝0時，λ＝0.3 m；n＝1時，λ＝0.1 m。
(四) 波的干涉、衍射、多普勒效應
[題點全練通]
1．[波的干涉條件的理解]甲、乙兩列波(無波源)在同種介質(zhì)中分別向右、向左傳播，t＝0時刻完整波的波形圖如圖所示，已知波的速度為10 m/s，下列說法正確的是(　 )

A．甲、乙兩列波相遇后會發(fā)生干涉現(xiàn)象
B．t＝0.1 s時，x＝6 m處的質(zhì)點開始向下振動
C．t＝0.35 s時，x＝7 m處質(zhì)點的位移y＝(2＋1)cm
D．甲、乙兩列波從相遇到完全分開所需時間為0.85 s
解析：選C　甲、乙兩列波的頻率不相等，兩列波相遇后不能發(fā)生干涉現(xiàn)象，A錯誤；t＝0.1 s時，甲波傳播到x＝6 m處，沿y軸正方向振動，乙波也傳播到x＝6 m處，沿y軸負方向振動，由于甲的振幅大于乙的，則在平衡位置時甲波的振動速度大于乙的，故x＝6 m處的質(zhì)點開始向上振動，B錯誤；經(jīng)過 0.35 s，甲波向右傳播3.5 m，x＝3.5 m處的質(zhì)點的振動狀態(tài)傳播至x＝7 m處，即y1＝2 cm，經(jīng)過0.35 s，乙波向左傳播3.5 m，x＝10.5 m處的振動狀態(tài)傳播至x＝7 m處，即y2＝1 cm，根據(jù)疊加原理可知，t＝0.35 s時，x＝7 m處質(zhì)點的位移y＝(2＋1)cm，C正確；t＝0.1 s時，兩列波在x＝6 m處相遇，t＝0.85 s時，兩列波在x＝7.5 m處分開，故甲、乙兩列波從相遇到完全分開所需時間為0.75 s，D錯誤。
2．[波的干涉中加強點、減弱點的判斷](1)(公式法)如圖所示，在xOy平面內(nèi)有兩個沿z軸方向(垂直xOy平面)做簡諧運動的點波源S1(1 m,0)和S2(5 m,0)，振動方程分別為zs1＝Asin 、zs2＝Asin 。兩列波的波速均為1 m/s，兩列波在點B(5 m,3 m)和點C(3 m，2 m)相遇時，分別引起B(yǎng)、C處質(zhì)點的振動總是相互(　 )

A．加強、加強 B．減弱、減弱
C．加強、減弱 D．減弱、加強
解析：選B　由于C點到兩波源的距離相等，兩列波從波源傳到C點的路程差為ΔsC＝0，為波長的整數(shù)倍，由兩波源的振動方程可知兩波的振動方向相反，所以C為振動減弱點，則A、D錯誤；兩列波從波源傳到B點的路程差為ΔsB＝ m－3 m＝2 m，由振動方程可知兩列波源的振動周期為T＝＝2 s，波長為λ＝vT＝1×2 m＝2 m，兩列波從波源傳到B點的路程差為波長的整數(shù)倍，所以B點為振動減弱點，所以B正確，C錯誤。
(2)(波形圖法)如圖所示，A、B為振幅相同的相干波源，且向外傳播過程中振幅衰減不計，圖中實線表示波峰，虛線表示波谷，則下列敘述錯誤的是(　 )

A．Q點始終處于波峰位置
B．R、S兩點始終處于靜止狀態(tài)
C．P、Q連線上各點振動始終最強
D．P點在圖中所示的時刻處于波谷，再過周期處于平衡位置
解析：選A　Q點是波峰與波峰相遇點，是振動加強點，但并不是始終處于波峰的位置，A錯誤；R、S兩點是波峰與波谷相遇點，是振動減弱點，位移為零，則始終處于靜止狀態(tài)，B正確；P、Q兩點都是振動加強點，故P、Q連線上各點振動始終最強，C正確；P點是振動加強點，在題圖所示的時刻處于波谷，再過周期處于平衡位置，D正確。
3．[波的衍射的理解]如圖所示是觀察水面波衍射的實驗裝置，AC和BD是兩塊擋板，AB是一個孔，O是波源，圖中已畫出波源所在區(qū)域波的傳播情況，每兩條相鄰波紋(圖中曲線)之間距離表示一個波長，則波經(jīng)過孔之后的傳播情況，下列描述錯誤的是(　 )

A．此時能觀察到明顯的波的衍射現(xiàn)象
B．擋板前后波紋間距離相等
C．如果將孔AB擴大，有可能觀察不到明顯的衍射現(xiàn)象
D．如果孔的大小不變，使波源頻率增大，能觀察到更明顯的衍射現(xiàn)象
解析：選D　由題圖可知，孔的尺寸與水波的波長差不多，故此時能觀察到明顯的波的衍射現(xiàn)象，故A正確；波通過孔后，波速、頻率、波長不變，則擋板前后波紋間的距離相等，故B正確；如果將孔AB擴大，若孔的尺寸遠大于水波的波長，可能觀察不到明顯的衍射現(xiàn)象，故C正確；如果孔的大小不變，使波源頻率增大，因為波速不變，根據(jù)λ＝知，波長減小，可能觀察不到明顯的衍射現(xiàn)象，故D錯誤。



4．[多普勒效應]如圖所示，在原點O處的質(zhì)點(波源)做簡諧運動，產(chǎn)生沿x軸正方向傳播的簡諧波，波速v＝20 m/s。為了接收到這列波，在x＝200 m處設有一臺接收器(圖中未標出)。已知t＝0時，波剛好傳播到x＝30 m 處，則下列說法正確的是(　 )

A．波源振動的周期為2 s
B．接收器在t＝8 s時才能接收到此波
C．x＝40 m處的質(zhì)點在t＝1 s時向上運動
D．若波源向x軸負方向移動，則在其移動過程中接收器接收到的波的頻率將小于1 Hz
解析：選D　由圖像可知，波長λ＝20 m，周期T＝＝ s＝1 s，A錯誤；接收器接收到此波所需時間為t＝＝ s＝8.5 s，B錯誤；在t＝1 s時，波向前傳播了一個波長，x＝40 m處的質(zhì)點與t＝0時x＝20 m處的質(zhì)點的振動情況一樣，而t＝0時x＝20 m 處的質(zhì)點向下運動，故x＝40 m處的質(zhì)點在t＝1 s時向下運動，C錯誤；若波源向x軸負方向移動，則接收器離波源越來越遠，根據(jù)多普勒效應可知，接收到的波的頻率變小，D正確。

[要點自悟明]
1．波的干涉中振動加強點、減弱點的判斷方法
(1)公式法
某質(zhì)點的振動是加強還是減弱，取決于該點到兩相干波源的距離之差Δr。
①當兩波源振動步調(diào)一致時
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，則振動加強；
若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，則振動減弱。
②當兩波源振動步調(diào)相反時
若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，則振動加強；
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，則振動減弱。
(2)波形圖法
在某時刻波的干涉的波形圖上，波峰與波峰(或波谷與波谷)的交點，一定是加強點，而波峰與波谷的交點一定是減弱點，各加強點或減弱點各自連接而成以兩波源為中心向外輻射的連線，形成加強線和減弱線，兩種線互相間隔，加強點與減弱點之間各質(zhì)點的振幅介于加強點與減弱點的振幅之間。
2．衍射現(xiàn)象的兩點提醒
(1)障礙物或孔的尺寸大小并不是決定衍射能否發(fā)生的條件，僅是衍射現(xiàn)象是否明顯的條件，波長越大越易發(fā)生明顯的衍射現(xiàn)象。
(2)當孔的尺寸遠小于波長時，盡管衍射十分突出，但衍射波的能量很弱，也很難觀察到波的衍射。
3．多普勒效應的成因分析
(1)接收頻率是指觀察者接收到的頻率等于觀察者在單位時間內(nèi)接收到的完全波的個數(shù)。
(2)當波源與觀察者相互靠近時，觀察者接收到的頻率變大；當波源與觀察者相互遠離時，觀察者接收到的頻率變小。

[課時跟蹤檢測]
一、立足主干知識，注重基礎性和綜合性
1．(多選)如圖所示，波源O垂直于紙面做簡諧運動，所激發(fā)的橫波在均勻介質(zhì)中向四周傳播，圖中虛線表示兩個波面。t＝0時，離O點5 m的A點開始振動；t＝1 s時，離O點10 m的B點也開始振動，此時A點第五次回到平衡位置，則(　 )
A．波的周期為0.4 s
B．波的波長為2 m
C．波速為5 m/s
D．t＝1 s時AB連線上有4個點處于最大位移
解析：選AB　根據(jù)題意可知經(jīng)過1 s，A處質(zhì)點經(jīng)過了5個0.5T，即＝2.5T＝1 s，說明T＝0.4 s，v＝5 m/s，由v＝，得λ＝2 m，A、B正確，C錯誤；根據(jù)題意，第5次經(jīng)過平衡位置，說明A、B之間有5個0.5倍的波長，即AB連線上應該有5個點處于最大位移，D錯誤。
2．(2021·天津等級考)一列沿x軸正方向傳播的簡諧橫波，傳播速度v＝10 m/s，t＝0時位于坐標原點的質(zhì)點從平衡位置沿y軸正方向運動，下列圖形中哪個是t＝0.6 s時的波形(　 )

解析：選B　由圖中可以看出該波的波長為λ＝4 m，根據(jù)v＝可知該列波的周期為T＝0.4 s，又因為t＝0時位于坐標原點的質(zhì)點從平衡位置沿y軸正方向運動，當t＝0.6 s時經(jīng)歷了1.5T，所以此時位于坐標原點的質(zhì)點從平衡位置沿y軸負方向運動，結(jié)合圖像可知B選項正確。
3.B型超聲檢查，其原理是運用高頻率聲波(超聲波)對人體內(nèi)部組織、器官反射成像，可以觀察被檢組織的形態(tài)。如圖為儀器檢測到的發(fā)送和接收的短暫超聲波脈沖圖像，其中實線為沿x軸正方向發(fā)送的超聲波脈沖，虛線為一段時間后遇到人體組織沿x軸負方向返回的超聲波脈沖。已知超聲波在人體內(nèi)的傳播速度約為1 500 m/s，下列說法正確的是(　 )
A．此超聲波的頻率約為125 Hz
B．質(zhì)點B此時刻沿y軸正方向運動
C．此時刻質(zhì)點A、B兩點加速度大小相等方向相反
D．質(zhì)點B在此時刻后的四分之一周期內(nèi)運動的路程等于4 mm
解析：選B　由題意可知，發(fā)送和接收的超聲波頻率相同，由圖像可知波長λ＝12 mm＝1.2×10－2 m，由于v＝＝fλ，可得頻率f＝，代入數(shù)據(jù)解得f＝1.25×105 Hz，A錯誤；質(zhì)點B在接收的超聲波脈沖圖像上，此脈沖沿x軸負方向傳播，由“上下坡法”可知，此時刻質(zhì)點B沿y軸正方向運動，B正確；此時刻質(zhì)點A沿y軸正方向運動，其加速度方向沿y軸負方向，質(zhì)點B沿y軸正方向運動，其加速度方向沿y軸負方向，因此質(zhì)點A和質(zhì)點B加速度大小相等，方向相同，C錯誤；此時刻質(zhì)點B的位移為2 mm，且沿y軸正方向運動，經(jīng)十二分之一周期，恰好第一次運動到波峰，所以經(jīng)四分之一周期質(zhì)點B運動的路程是s＝2 mm＋4 mm－2 mm≈2.536 mm，D錯誤。
4.一頻率為5 Hz的振源O做簡諧運動時形成的水波如圖所示。已知該波的波速為1 m/s，到振源O的距離為0.75 m和1.2 m處分別有一片可看成質(zhì)點的小樹葉P和Q，則下列說法正確的是(　 )
A．兩片樹葉的起振方向相反
B．水波的波長為0.2 m
C．Q的起振時刻比P的晚半個周期
D．當Q在波谷時，P恰好到波峰
解析：選B　兩片樹葉可看作是水波上的兩個質(zhì)點，它們的起振方向均與波源的起振方向相同，故A錯誤；已知波速為v＝1 m/s，周期T＝＝0.2 s，則水波的波長為λ＝vT＝0.2 m，故B正確；P、Q到波源的距離之差為Δx＝(1.2－0.75)m＝0.45 m＝λ，故Q的起振時刻比P的晚個周期，當Q在波谷時，P恰好到平衡位置，故C、D錯誤。
5．甲、乙兩列簡諧橫波在同一均勻介質(zhì)中傳播，甲波沿x軸正方向傳播，乙波沿x軸負方向傳播，t＝0時刻兩列波的波形圖如圖所示。已知波速v＝8 m/s，下列說法正確的是(　 )

A．波的頻率f＝0.5 Hz
B．t＝0時刻，x＝4 m與x＝8 m處的兩質(zhì)點振動方向相同
C．兩列波疊加后，x＝6 m處為振動加強點
D．在t＝0.5 s時刻，x＝5 m處的質(zhì)點第一次到達y＝－7 cm處
解析：選D　由題圖可知λ＝4 m，根據(jù)v＝λf得f＝2 Hz，故A錯誤；t＝0時刻，x＝4 m處的質(zhì)點向上振動，x＝8 m處的質(zhì)點向下振動，故B錯誤；兩列波疊加后，x＝6 m處為振動減弱點，故C錯誤；x＝5 m處為振動加強點，在t＝0.5 s時刻質(zhì)點第一次到達波谷，即y＝－7 cm處，故D正確。
6．一列沿x軸正方向傳播的簡諧橫波，其波源的平衡位置在坐標原點，波源在0～4 s內(nèi)的振動圖像如圖甲所示，已知波的傳播速度為0.5 m/s。

(1)求這列橫波的波長；
(2)求波源在4 s內(nèi)通過的路程；
(3)在圖乙中畫出t＝4 s時刻的波形圖。
解析：(1)由題圖甲可知，振幅A＝4 cm，周期T＝4 s，由于波的傳播速度為0.5 m/s，根據(jù)波長與波速關系有λ＝vT＝2 m。
(2)由(1)可知波源的振動周期為4 s，則4 s內(nèi)波源通過的路程為s＝4A＝16 cm。
(3)由題圖甲可知在t＝0時波源的起振方向向上，由于波速為0.5 m/s，則在4 s時x＝vt＝2 m，可知該波剛好傳到位置為2 m的質(zhì)點，且波源剛好回到平衡位置，且該波沿x軸正方向傳播，則根據(jù)“上下坡法”可繪制出t＝4 s時刻的波形圖如圖所示。
答案：(1)2 m　(2)16 cm　(3)見解析圖



二、強化遷移能力，突出創(chuàng)新性和應用性
7.消除噪聲污染是當前環(huán)境保護的一個重要課題，內(nèi)燃機、通風機等在排放各種高速氣體的過程中都會發(fā)出噪聲，干涉型消聲器可以用來削弱高速氣流產(chǎn)生的噪聲。干涉型消聲器的結(jié)構(gòu)及氣流運行如圖所示，產(chǎn)生的波長為λ的聲波沿水平管道自左向右傳播。在聲波到達a處時，分成兩束相干波，它們分別通過r1和r2的路程，再在b處相遇，即可達到削弱噪聲的目的。若Δr＝r2－r1，則Δr等于(　 )
A．波長λ的整數(shù)倍 B．波長λ的奇數(shù)倍
C．半波長的奇數(shù)倍 D．半波長的偶數(shù)倍
解析：選C　要想達到削弱噪聲的目的，應使兩相干波的路程差等于半波長的奇數(shù)倍，C正確。
8．(多選)圖甲中的B超成像的基本原理是探頭向人體發(fā)射一組超聲波，遇到人體組織會產(chǎn)生不同程度的反射，探頭接收到的超聲波信號由計算機處理，從而形成B超圖像。圖乙為血管探頭沿x軸正方向發(fā)送的簡諧超聲波圖像，t＝0時刻波恰好傳到質(zhì)點M。已知此超聲波的頻率為1×107 Hz。下列說法正確的是(　 )

A．血管探頭發(fā)出的超聲波在血管中的傳播速度為1.4×103 m/s
B．質(zhì)點M開始振動的方向沿y軸正方向
C．t＝1.25×10－7 s時質(zhì)點M運動到橫坐標x＝3.5×10－4 m處
D．0～1.25×10－7 s內(nèi)質(zhì)點M的路程為2 mm
解析：選AD　由題圖乙知波長λ＝14×10－2 mm＝1.4×10－4 m，由v＝λf得波速v＝1.4×10－4 m×1×107 Hz＝1.4×103 m/s，A正確；根據(jù)波動與振動方向間的關系，質(zhì)點M開始振動的方向沿y軸負方向，B錯誤；質(zhì)點M只會上下振動，不會隨波遷移，C錯誤；質(zhì)點M振動的周期T＝＝ s＝1×10－7 s，由于＝＝，質(zhì)點M在0～1.25×10－7 s內(nèi)運動的路程L＝×4A＝2 mm，D正確。
9．(多選)一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，圖甲是t＝0時刻的波形圖，圖乙和圖丙分別是x軸上某兩處質(zhì)點的振動圖像。由此可知，這兩質(zhì)點平衡位置之間的距離可能是(　 )

A. m B. m C．1 m D. m
解析：選BD　t＝0時刻題圖乙中的質(zhì)點正處于正向最大位移處，與之相對應的是波形圖中的x1＝ m＋nλ(n＝0,1,2，…)的質(zhì)點，題圖丙中的質(zhì)點正在負向處向負方向振動，根據(jù)振動方程－＝Asin ，x2＝ m＋nλ(n＝0,1,2，…)，所以這兩質(zhì)點平衡位置之間的距離可能是Δx＝|x2－x1|＝，當n＝0時，Δx＝ m，也有可能是Δx＝ m，故B、D正確，A、C錯誤。

10．(2022·南京調(diào)研)甲、乙兩列簡諧橫波分別沿x軸負方向和正方向傳播，兩波源分別位于x＝0.9 m處和x＝－0.6 m處，兩列波的波速大小相等，波源的振幅均為2 cm，兩列波在t＝0時刻的波形如圖所示，此時平衡位置在x＝－0.2 m和x＝0.1 m處的P、Q兩質(zhì)點剛要開始振動。質(zhì)點M的平衡位置在x＝0.3 m處，已知甲波的周期為0.8 s，求：

(1)乙波傳播到M質(zhì)點所需要的時間；
(2)在0～2.5 s時間內(nèi)，M質(zhì)點沿y軸正方向位移最大的時刻。
解析：(1)由題圖可知，甲波的波長為λ甲＝0.8 m，由于甲波的周期為T甲＝0.8 s
由v＝可得v＝1.0 m/s
兩波波速大小相等，由題圖可知xPM＝0.5 m
由t＝，可解得t＝0.5 s。
(2)由題圖知乙波的波長λ乙＝0.4 m，由T乙＝
可得T乙＝0.4 s
甲波使M質(zhì)點處于波峰時，應有t甲＝mT甲
解得t甲＝ s(m＝0,1,2，…)
乙波使M質(zhì)點處于波峰時，應有t乙＝(n＋2)T乙
解得t乙＝(n＋2)s(n＝0,1,2，…)
欲使兩列波相遇后M質(zhì)點位于波峰位置，
則必有t甲＝t乙，即2m－n＝2
因m、n只能取整數(shù)，故有
m＝1、n＝0時，t＝0.8 s
m＝2、n＝2時，t＝1.6 s
m＝3、n＝4時，t＝2.4 s
所以t＝0時刻后的2.5 s時間內(nèi)，M質(zhì)點沿y軸正方向位移最大的時刻分別為0.8 s、1.6 s和2.4 s。
答案：(1)0.5 s　(2)見解析

第3講　實驗：用單擺測量重力加速度的大小

一、基本原理與操作
1．原理裝置圖(如圖所示)

(1)擺角很小時，單擺做簡諧運動，周期T＝2π 。
(2)由g＝l可知，只要測出l、T即可計算當?shù)刂亓铀俣取?br /> 2．操作要領
(1)做單擺：用約1 m長的細線穿過小球上的小孔，并打一個比孔大的結(jié)，并把細線另一端固定在鐵架臺上。
(2)測擺長：用毫米刻度線測擺線長l′，用游標卡尺測小球直徑D，則擺長l＝l′＋。
(3)測周期：讓擺球偏離一個角度(不大于5°)，釋放后讓單擺自由擺動，測出單擺振動30～50次的總時間，求出周期，反復測量三次，求出周期的平均值。

二、實驗核心關鍵點
1．數(shù)據(jù)處理
公式法
將測得的幾組周期T和擺長l代入公式g＝中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即為當?shù)刂亓铀俣鹊闹?br /> 圖像法


由單擺的周期公式T＝2π 可得l＝T2，因此以擺長l為縱軸、以T2為橫軸作出的l -T2圖像是一條過原點的直線，如圖所示，求出斜率k，即可求出g值。g＝4π2k，k＝＝

2．誤差分析
(1)系統(tǒng)誤差：主要來源于單擺模型本身是否符合要求。即：懸點是否固定，擺球是否可視為質(zhì)點，球、線是否符合要求，振幅是否足夠小，擺動是圓錐擺還是在同一豎直平面內(nèi)振動以及測量哪段長度作為擺長等。
(2)偶然誤差：主要來自時間(即單擺周期)的測量。因此，要注意測準時間(周期)，要從擺球通過平衡位置開始計時，并采用倒計時計數(shù)的方法，即4,3,2,1,0,1,2，…在數(shù)“0”的同時按下秒表開始計時。不能多計或漏計振動次數(shù)。為了減小偶然誤差，應多次測量后取平均值。
3．注意事項
(1)選擇材料時應選擇細、輕又不易伸長的線，長度一般在1 m左右，小球應選用密度較大的金屬球，直徑應較小，最好不超過2 cm。
(2)單擺懸線的上端不可隨意卷在鐵架臺的桿上，應夾緊在鐵夾中，以免擺動時發(fā)生擺線下滑、擺長改變的現(xiàn)象。
(3)注意擺動時控制擺線偏離豎直方向的夾角要不大于5°。可通過估算振幅的辦法掌握。
(4)擺球振動時，要使之保持在同一個豎直平面內(nèi)，不要形成圓錐擺。
(5)計算單擺的振動次數(shù)時，應從擺球通過平衡位置時開始計時，為便于計時，可在擺球平衡位置的正下方作一標記。以后擺球每次從同一方向通過平衡位置時進行計數(shù)，且在數(shù)“0”的同時按下秒表，開始計時計數(shù)。


一、基礎考法保住分
考查點(一)　實驗原理與操作
1．(2022·青島高三調(diào)研)物理實驗小組的同學做“用單擺測量重力加速度的大小”的實驗。
(1)實驗室有如下器材可供選用：
A．長約1 m的細線　　 B．長約1 m的橡皮繩
C．直徑約2 cm的均勻鐵球 D．直徑約5 cm的均勻木球
E．停表 F．時鐘
G．最小刻度為毫米的米尺
實驗小組的同學需要從上述器材中選擇：____________________(填寫器材前面的字母)。
(2)下列振動圖像真實地描述了對擺長約為1 m的單擺進行周期測量的四種操作過程，圖中橫坐標原點O為計時起點，A、B、C均為30次全振動的圖像，已知sin 5°≈0.087，sin 15°≈0.26，這四種操作過程合乎實驗要求且誤差最小的是________。

(3)某同學利用單擺測重力加速度的大小，測得的g值與真實值相比偏大，可能的原因是________。
A．測擺長時記錄的是擺線的長度
B．開始計時時，停表過早按下
C．擺線上端未牢固地系于懸點，擺動中出現(xiàn)松動，使擺線長度增加了
D．實驗中誤將29次全振動數(shù)記為30次
解析：(1)需要選擇的器材有：長約1 m的細線，直徑約2 cm的均勻鐵球，停表(測量多次全振動的時間)，最小刻度為毫米的刻度尺(測量擺長)。
(2)單擺振動的擺角θ≤5°，當θ＝5°時單擺振動的振幅A＝lsin 5°＝0.087 m＝8.7 cm，為計時準確，在擺球擺至平衡位置時開始計時，故選A。
(3)根據(jù)單擺的周期公式推導出重力加速度的表達式g＝。將擺線的長誤認為擺長，重力加速度的測量值偏小，A錯誤；開始計時時，停表過早按下，周期的測量值大于真實值，重力加速度的測量值偏小，B錯誤；擺線上端未牢固地系于懸點，擺動中出現(xiàn)松動，使擺線長度增加了，即擺長L的測量值偏小，重力加速度的測量值偏小，C錯誤；設單擺29次全振動的時間為t，則單擺的周期T＝，若誤計為30次，則T測＝＜，即周期的測量值小于真實值，重力加速度的測量值偏大，D正確。
答案：(1)ACEG　(2)A　(3)D
2．根據(jù)單擺周期公式T＝2π ，可以通過實驗測量當?shù)氐闹亓铀俣?。如圖甲所示，將細線的上端固定在鐵架臺上，下端系一小鋼球，就做成了單擺。

(1)用游標卡尺測量小鋼球直徑，示數(shù)如圖乙所示，讀數(shù)為________ mm。
(2)以下是實驗過程中的一些做法，其中正確的有________。
a．擺線要選擇細些的、伸縮性小些的，并且盡可能長一些
b．擺球盡量選擇質(zhì)量大些、體積小些的
c．為了使擺的周期大一些，以方便測量，開始時拉開擺球，使擺線相距平衡位置有較大的角度
d．拉開擺球，使擺線偏離平衡位置不大于5°，在釋放擺球的同時開始計時，當擺球回到開始位置時停止計時，此時間間隔Δt即為單擺周期T
e．拉開擺球，使擺線偏離平衡位置不大于5°，釋放擺球，當擺球振動穩(wěn)定后，從平衡位置開始計時，記下擺球做50次全振動所用的時間Δt，則單擺周期T＝
解析：(1)該游標尺為十分度的，根據(jù)讀數(shù)規(guī)則可讀出小鋼球直徑為18 mm＋5×0.1 mm＝18.5 mm。
(2)根據(jù)用單擺測量重力加速度的實驗要求可判斷a、b、e正確。
答案：(1)18.5　(2)abe
考查點(二)　數(shù)據(jù)處理與誤差分析
3.用單擺測量重力加速度的大小的實驗裝置如圖所示。
(1)測出懸點O到小球球心的距離(擺長)l及單擺完成n次全振動所用的時間t，則重力加速度g＝________(用l、n、t表示)。
(2)下表是某同學記錄的3組實驗數(shù)據(jù)，并做了部分計算處理。
組　次
1
2
3
擺長l/cm
80.00
90.00
100.00
50次全振動時間t/s
90.0
95.5
100.5
振動周期T/s
1.80
1.91

重力加速度g/(m·s－2)
9.74
9.73


請計算出第3組實驗中的T＝______ s，g＝______ m/s2(計算結(jié)果保留兩位小數(shù))。

(3)用多組實驗數(shù)據(jù)作出T2-l圖像，也可以求出重力加速度g。已知三位同學作出的T2-l圖線的示意圖如圖中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都過原點，圖線b對應的g值最接近當?shù)刂亓铀俣鹊闹?。則相對于圖線b，下列分析正確的是________(填選項前的字母)。
A．出現(xiàn)圖線a的原因可能是誤將懸點到小球下端的距離記為擺長l
B．出現(xiàn)圖線c的原因可能是誤將49次全振動記為50次
C．圖線c對應的g值小于圖線b對應的g值
解析：(1)由T＝，T＝2π ，得g＝。
(2)T＝＝ s＝2.01 s，
g＝＝ m/s2≈9.76 m/s2。
(3)b圖線為正確圖線，a圖線與b圖線相比，測量的周期相同時，擺長短，說明測量擺長偏小，A錯誤；c圖線與b圖線相比，測量擺長相同時，周期偏小，可能出現(xiàn)的原因是多記了全振動次數(shù)，B正確；由T＝2π 得T2＝l，圖線斜率小，說明g偏大，C錯誤。
答案：(1)　(2)2.01　9.76　(3)B
二、創(chuàng)新考法不失分
創(chuàng)新角度(一)　實驗器材的創(chuàng)新
1．如圖甲所示，某學習小組在實驗室做“用單擺測量重力加速度的大小”的實驗。

(1)若用秒表測出單擺完成n次全振動所用的時間t。請寫出周期的表達式T＝________。
(2)若利用拉力傳感器記錄拉力隨時間變化的關系，由圖乙可知，該單擺的周期T＝________ s。
(3)在多次改變擺線長度測量后，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，利用計算機作出周期與擺線長度的關系(T2-L)圖線，并根據(jù)圖線擬合得到方程T2＝kL＋b，由此可知當?shù)氐闹亓铀俣萭＝________，擺球半徑r＝________(用k、b、π表示)。
[創(chuàng)新點分析]
(1)利用拉力傳感器記錄拉力隨時間變化的F-t圖像。
(2)由F-t圖像得到單擺振動的周期?！　?
解析：(1)單擺完成n次全振動所用的時間為t，則周期的表達式T＝。
(2)單擺擺動過程中，每次經(jīng)過最低點時拉力最大，每次經(jīng)過最高點時拉力最小，拉力變化的周期為1.0 s，故單擺的周期為2.0 s。
(3)根據(jù)T＝2π 得T2＝L′，知圖線的斜率k＝，因此g＝；而L′＝L＋r，圖線擬合得到方程T2＝kL＋b，因此擺球半徑r＝。
答案：(1)　(2)2.0　(3)　
創(chuàng)新角度(二)　實驗方法的創(chuàng)新
2．某同學利用單擺測量重力加速度的大小。
(1)為了使測量誤差盡量小，下列說法正確的是________。
A．組裝單擺須選用密度和直徑都較小的擺球
B．組裝單擺須選用輕且不易伸長的細線
C．實驗時須使擺球在同一豎直面內(nèi)擺動
D．擺長一定的情況下，擺的振幅盡量大
(2)如圖所示，在支架的豎直立柱上固定有擺長約1 m的單擺。實驗時，由于僅有量程為20 cm、精確度為1 mm的鋼板刻度尺，于是他先使擺球自然下垂，在豎直立柱上與擺球最下端處于同一水平面的位置做一標記點，測出單擺的周期T1；然后保持懸點位置不變，設法將擺長縮短一些，再次使擺球自然下垂，用同樣方法在豎直立柱上做另一標記點，并測出單擺的周期T2；最后用鋼板刻度尺量出豎直立柱上兩標記點之間的距離ΔL。用上述測量結(jié)果，寫出重力加速度的表達式g＝________。
[創(chuàng)新點分析]
(1)只測量擺長的改變量，沒有測量實際的擺長。
(2)通過代入消元法消去未知擺長?！　?
解析：(1)在利用單擺測重力加速度實驗中，為了使測量誤差盡量小，須選用密度大、半徑小的擺球和不易伸長的細線，擺球須在同一豎直面內(nèi)擺動，擺長一定時，振幅盡量小些，以使其滿足簡諧運動條件，故選B、C。
(2)設第一次擺長為L，第二次擺長為L－ΔL，則T1＝2π，T2＝2π ，聯(lián)立解得g＝。
答案：(1)BC　(2)
創(chuàng)新角度(三)　實驗目的的創(chuàng)新
3．(2022·泰安高三模擬)(1)在“探究單擺周期與擺長的關系”實驗中，兩位同學用游標卡尺測量小球的直徑的操作如圖甲、乙所示。測量方法正確的是________(填“甲”或“乙”)。

(2)實驗時，若擺球在垂直紙面的平面內(nèi)擺動，為了將人工記錄振動次數(shù)改為自動記錄振動次數(shù)，在擺球運動的最低點的左、右兩側(cè)分別放置一激光光源與光敏電阻，如圖丙所示。光敏電阻與某一自動記錄儀相連，該儀器顯示的光敏電阻阻值R隨時間t的變化圖線如圖丁所示，則該單擺的周期為______________。若保持懸點到小球頂點的繩長不變，改用直徑是原小球直徑2倍的另一小球進行實驗，則該單擺的周期將__________(填“變大”“不變”或“變小”)，圖丁中的Δt將__________(填“變大”“不變”或“變小”)。

[創(chuàng)新點分析]
(1)應用了光敏電阻及傳感器測量單擺的周期。
(2)從R-t圖線可知周期為2t0?！　?
解析：(1)游標卡尺應該用兩外測量爪對齊的地方測量物體，正確的是乙。
(2)一個周期內(nèi)小球兩次經(jīng)過最低點，使光敏電阻的阻值發(fā)生變化，由題圖丁可得，周期為t1＋2t0－t1＝2t0；改用直徑大的小球后，擺長變長，根據(jù)T＝2π 可知，周期變大；小球的直徑比原小球大，每次經(jīng)過最低點時小球的擋光時間變長，即Δt變大。
答案：(1)乙　(2)2t0　變大　變大
創(chuàng)新角度(四)　數(shù)據(jù)處理的創(chuàng)新
4．小明在家里做“用單擺測量重力加速度的大小”的實驗。如圖甲他找到了一塊外形不規(guī)則的小石塊代替擺球，設計的實驗步驟是：
A．將小石塊用不可伸長的細線系好，結(jié)點為N，細線的上端固定于O點；
B．用刻度尺測量ON間細線的長度l作為擺長；
C．將石塊拉開一個大約α＝5°的角度，然后由靜止釋放；
D．從石塊擺至某一位置處開始計時，測出30次全振動的總時間t，由T＝得出周期；
E．改變ON間細線的長度再做幾次實驗，記下相應的l和T；
F．根據(jù)公式g＝l，分別計算出每組l和T對應的重力加速度g，然后取平均值即可作為重力加速度的測量結(jié)果。


(1)小石塊擺動的過程中，充當回復力的是________。
A．重力
B．拉力
C．拉力沿水平方向的分力
D．重力沿圓弧切線方向的分力
(2)為使測量更加準確，步驟D中，小明應從________(填“最大位移”或“平衡位置”)處開始計時。
(3)小明用ON的長l為擺長，利用公式g＝l求出的重力加速度的測量值比真實值________(填“偏大”或“偏小”)。
(4)小紅利用小明測出的多組擺長l和周期T的值，作出T2-l圖線如圖乙所示，通過測量計算出圖線的斜率為k，由斜率k求重力加速度的表達式是g＝________。
(5)在步驟F中，有同學認為可以先將多次測量的擺長l取平均值得到，周期T取平均值得到，再代入公式g＝l，得到重力加速度g的測量結(jié)果，你認為這種做法是否正確并說明理由。
[創(chuàng)新點分析]
(1)用石塊代替小球，無法測得具體擺長，只能測出懸點到石塊頂端的長度當作“擺長”。
(2)T2-l圖像不過坐標原點，但斜率的意義不變?！　?br /> 解析：(1)石塊做簡諧運動時重力沿圓弧切線方向的分力提供回復力，故D正確，A、B、C錯誤。
(2)石塊經(jīng)過平衡位置時速度最大，在石塊經(jīng)過平衡位置時開始計時可以減小周期測量的實驗誤差。
(3)擺線懸點到石塊重心的距離是單擺擺長，擺線長度l小于單擺擺長L，由g＝l可知，用ON的長l為擺長，重力加速度的測量值比真實值偏小。
(4)設N到石塊重心的距離為r，單擺擺長L＝l＋r，由單擺周期公式T＝2π 可知：T2＝l＋，由圖示T2-l圖像可知，圖像的斜率k＝，重力加速度g＝。
(5)這種做法是錯誤的。由單擺周期公式T＝2π 可知，擺長l與周期T之間不是一次函數(shù)關系，不能求出l的平均值和T的平均值，再代入公式g＝l求出重力加速度。
答案：(1)D　(2)平衡位置　(3)偏小　(4)
(5)見解析

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