新高考數(shù)學二輪復習專題六 解析幾何第一講 直線與圓綜合問題 (2份打包，原卷版+解析版）

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第一部分：知識強化
第二部分：重難點題型突破
突破一：直線傾斜角與斜率
突破二：兩條直線平行與垂直
突破三：直線方程
突破四：距離問題
突破五：圓的方程
突破六：與圓上點有關的距離最值問題
突破七：圓的切線問題
突破八：兩圓的公共弦問題
突破九：圓的弦長問題
第三部分：沖刺重難點特訓
第一部分：知識強化
1、直線斜率的坐標公式
如果直線經(jīng)過兩點，（），那么可得到如下斜率公式：
（1）當 時，直線與軸垂直，直線的傾斜角，斜率不存在；
（2）斜率公式與兩點坐標的順序無關，橫縱坐標的次序可以同時調換；
（3）當 時，斜率，直線的傾斜角，直線與軸重合或者平行。
2、兩條不重合直線平行的判定的一般結論是：
或，斜率都不存在.
3、兩條直線垂直的一般結論為：
或一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零．
4、直線方程
①直線過點和斜率（已知一點+斜率）：
②直線的斜率為且在軸上的縱截距為（已知斜率+縱截距）：
③直線在軸上的截距為，在軸上的截距為：
④直線的一般式方程：
5、直線系方程
（1）平行直線系方程
把平面內具有相同方向的直線的全體稱為平行直線系.一般地，與直線平行的直線系方程都可表示為 (其中為參數(shù)且≠C)，然后依據(jù)題設中另一個條件來確定的值.
（2）垂直直線系方程
一般地，與直線垂直的直線系方程都可表示為(其中為參數(shù)），然后依據(jù)題設中的另一個條件來確定的值.
6、點到直線的距離
平面上任意一點到直線：的距離.
7、對稱問題
（1）點關于點對稱問題(方法：中點坐標公式)
求點關于點的對稱點
由：
（2）點關于直線對稱問題（聯(lián)立兩個方程）
求點關于直線：的對稱點
①設中點為利用中點坐標公式得，將代入直線：中；
②
整理得：
（3）直線關于點對稱問題(求關于點的對稱直線，則）
方法一：在直線上找一點，求點關于點對稱的點，根據(jù)，再由點斜式求解；
方法二：由，設出的直線方程，由點到兩直線的距離相等求參數(shù).
方法三：在直線任意一點，求該點關于點對稱的點，則該點在直線上.
（4）直線關于直線對稱問題
4.1直線：（）和：（）相交,求關于直線的對稱直線
①求出與的交點
②在上任意取一點(非點），求出關于直線的對稱點
③根據(jù)，兩點求出直線
4.2直線：（）和：（）平行,求關于直線的對稱直線
①
②在直線上任取一點，求點關于直線的對稱點，利用點斜式求直線.
8、圓的標準方程
我們把方程稱為圓心為半徑為的圓的標準方程.
9、圓上的點到定點的最大、最小距離
設的方程，圓心，點是上的動點，點為平面內一點；記;
①若點在外，則;
②若點在上，則;
③若點在內，則;
10、圓的一般方程
對于方程（為常數(shù)），當時，方程叫做圓的一般方程.
①當時，方程表示以為圓心，以為半徑的圓；
②當時，方程表示一個點
③當時，方程不表示任何圖形
說明：圓的一般式方程特點：①和前系數(shù)相等（注意相等，不一定要是1）且不為0；②沒有項；③.
11、直線與圓相交
記直線被圓截得的弦長為的常用方法
（1）幾何法（優(yōu)先推薦）
①弦心距（圓心到直線的距離）
②弦長公式：
（2）代數(shù)法
直線：；圓
聯(lián)立消去“”得到關于“”的一元二次函數(shù)
弦長公式：
12、圓上點到直線的最大（?。┚嚯x
設圓心到直線的距離為，圓的半徑為
①當直線與圓相離時，圓上的點到直線的最大距離為：，最小距離為：；
②當直線與圓相切時，圓上的點到直線的最大距離為：，最小距離為：；
③當直線與圓相交時，圓上的點到直線的最大距離為：，最小距離為：；
13、圓與圓的公共弦
（1）圓與圓的公共弦
圓與圓相交得到的兩個交點，這兩點之間的線段就是兩圓的公共弦.
（2）公共弦所在直線的方程
設:
:
聯(lián)立作差得到：即為兩圓共線方程
（3）公共弦長的求法
代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求其長．
幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長．
第二部分：重難點題型突破
突破一：直線傾斜角與斜率
1．（2022·湖南·懷化市湖天中學高二階段練習）已知、，直線過點，且與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】設直線交線段于點，記點，如下圖所示：
當直線從點運動到點（不包括點）時，直線的傾斜角逐漸減小，且為鈍角，
此時直線的斜率；
當直線從點運動到點（不包括點）時直線的傾斜角逐漸增大，且為銳角，
此時直線的斜率.
綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.
故選：C.
2．（2022·遼寧·大連市第二十三中學高二期中）已知直線和以，為端點的線段相交，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【詳解】
直線恒過定點，且，，由圖可知，或.
故選：C.
3．（2022·廣東·深圳中學高二期中）已知點，，若點在線段AB上，則的取值范圍（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】設，則，
因為點在線段上，所以的取值范圍是，
故選：A.
4．（2022·四川省瀘縣第四中學高二期中（文））已知直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是________.
【答案】
【詳解】由題意，將已知轉化為直線與曲線有兩個不同的交點，
直線過定點，曲線表示圓心為原點，半徑為2的圓的上半部分（包括與軸的交點），
畫出圖形如下圖所示．
當直線，即直線與圓相切時，
則有，解得，．
結合圖形可得當直線與圓有兩個不同的交點時，則有，
∴實數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
突破二：兩條直線平行與垂直
1．（2022·江蘇南通·高二期中）是直線與直線平行的（ ）條件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既非充分又非必要
【答案】A
【詳解】若直線與直線平行，則有解得或，故當直線與直線平行時，或.
所以是直線與直線平行的充分不必要條件.
故選：A
2．（2022·湖北宜昌·高二期中）若直線：與：平行，則實數(shù)（ ）
A．2B．－2C．D．
【答案】C
【詳解】因為，：的斜率存在且，
所以：的斜率存在且，即.
故選：C
3．（2022·福建省福州第十一中學高三期中）已知，，直線與直線垂直，則的最小值是___________.
【答案】
【詳解】的法向量的法向量
兩直線垂直得，即
當且僅當時取等號.
故答案為：.
4．（2022·浙江·元濟高級中學高二期中）已知直線：，：，若，則實數(shù)_________．
【答案】－3或0
【詳解】當時，直線：，：，此時顯然，符合題意；
當時，整理可得直線：，：，
由，則，解得.
故答案為：－3或0
突破三：直線方程
1．（2022·北京四中高二期中）與直線平行，且與圓相切的直線方程為______.
【答案】或
【詳解】由圓的方程知：圓心為，半徑；
設所求直線方程為：，
則圓心到直線距離，解得：或，
所求直線方程為：或.
故答案為：或.
2．（2022·福建·晉江市季延中學高二期中）直線被圓截得的弦長為定值，則直線l的方程為_________________________．
【答案】
【詳解】圓的圓心，半徑，顯然點C的軌跡是直線，
直線，由解得，即直線l過定點，
因直線l被圓C截得的弦長為定值，則圓心C到直線l的距離為定值，因此直線l平行于圓心C的軌跡，
設直線l的方程為：，有，解得，
此時直線l與圓心C的軌跡的距離為，即直線l與圓C相交，
所以直線l的方程為.
故答案為：
3．（2022·遼寧沈陽·高二期中）直線l過點，若點到直線的距離為3，則直線的方程為______.
【答案】或
【詳解】解：當直線的斜率不存在時，直線的方程為，
此時點到直線的距離為3，符合題意；
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，
所以此時點到直線的距離為，解得，
所以直線的方程為，即.
綜上所述，直線的方程為：或.
故答案為：或.
4．（2022·廣東湛江·高三階段練習）寫出與直線垂直且和圓相切的一條直線的方程：__________．
【答案】或
【詳解】圓的圓心，半徑，設與直線垂直的直線方程為：，
依題意，，解得或，
所以所求的直線方程是或.
故答案為：或
突破四：距離問題
1．（2022·浙江·高二期中）點到直線的距離的最大值為（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【詳解】由直線，整理可得，
令，解得，
點到直線距離的最大值為點到定點的距離，則，
故選：D.
2．（2022·湖北宜昌·高二期中）函數(shù)的最小值是（ ）
A．5B．4C．D．
【答案】A
【詳解】，
則其幾何意義為點到兩定點的距離和，點表示為橫坐標上的點，作出如圖所示：
根據(jù)將軍飲馬模型，作出點關于軸對稱點，連接，交軸于點，
則，此時直線的直線方程為
令，則，故當時，.
故選：A.
3．（2022·北京工業(yè)大學附屬中學高二期中）著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微.”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：可以轉化為平面上點與點的距離.結合上述觀點，可得的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】因為，
記點、、，則，
當且僅當點為線段與軸的交點時，等號成立，即的最小值為.
故選：C.
4．（2022·福建省廈門第二中學高二階段練習）點到直線（為任意實數(shù)）的距離的最大值為 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】將直線方程整理為：，
由得：，直線恒過點，
當時，點到直線的距離最大，最大值為.
故選：B.
5．（2022·山東青島·高二期中）直線過點，和兩點到直線l的距離相等，則直線l的方程為（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】B
【詳解】依題意，得
當直線斜率不存在時，直線為，此時到直線的距離為，到直線的距離為，不滿足題意；
當直線斜率存在時，設直線為，即，
因為和兩點到直線l的距離相等，
所以，即，解得或，
所以直線為或，即或.
故選：B.
6．（2022·遼寧省康平縣高級中學高二期中）若圓M：上至少有3個點到直線l：的距離為，則k的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】圓M：的圓心，半徑
顯然一條直線過圓M的某條半徑的中點并垂直于該半徑時，圓M上恰有3點到該直線距離為圓M半徑的一半，即，
因此圓M上至少有3個點到直線l：的距離為，等價于圓心M到直線l的距離，
則有，解得或，
所以k的取值范圍是.
故選：C
7．（2022·河北·石家莊市第十八中學高二階段練習）若第一象限內的點關于直線的對稱點在直線上，則的最小值是（ ）
A．25B．C．17D．
【答案】B
【詳解】設關于直線的對稱點為，依據(jù)題意可得：
，解方程組得，又對稱點在直線上，代入可得
，且在第一象限，則，則，當且僅當時，即時，等號成立.
故選：B
8．（2022·湖北·高二階段練習）平面直角坐標系中有點，，直線經(jīng)過點，且點到直線的距離是，則直線的方程是__________．
【答案】或
【詳解】由直線經(jīng)過點，且點，，
當直線斜率不存在時，此時直線的方程為，滿足點到直線的距離是；
當直線斜率存在時，設直線方程為，轉化為，
因為點到直線的距離是，所以，解得，
此時直線的方程為．
故答案為：或.
9．（2022·河南·宜陽縣第一高級中學高二階段練習）已知直線與平行，則，間的距離為___________.
【答案】
【詳解】因為，所以且，解得，
所以，即，
所以，間的距離為.
故答案為：
10．（2022·黑龍江省饒河縣高級中學高二階段練習）已知直線，，則直線與之間的距離最大值為______.
【答案】5
【詳解】直線化簡為：，
令且，解得，，
所以直線過定點，
直線化簡為：，
令且，解得，，
所以直線過定點，，
當與直線，垂直時，直線，的距離最大，
且最大值為，
故答案為：5．
11．（2022·江蘇·蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學高二階段練習）實數(shù)滿足：，則的最小值為________
【答案】##4.5
【詳解】由題設可得，，
故，
設，，則，
即函數(shù)的圖象的點與直線上的點的連線段的平方，
而，令，則，此時對應的函數(shù)值為1，
故函數(shù)的圖象在處的切線為，
的最小值即為平行線，之間的距離，
此距離為，故的最小值為，
故答案為：
12．（2022·遼寧·東北育才學校高二階段練習）若實數(shù)，，，滿足，則的最小值為______.
【答案】2
【詳解】由，，故可理解為曲線上一點與直線上一點間的距離的平方，對于函數(shù)，令，故可得，即函數(shù)在處的切線方程為，切線方程與直線平行，則函數(shù)在處的切線方程與直線之間的距離，故的最小值為.
故答案為：2.
13．（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學高二期中）已知為直線上的動點，，則m的最小值為___________.
【答案】
【詳解】由表示到和的距離之和，
又關于直線的對稱點為，
∴到和的距離之和的最小值為與之間的距離，
∴.
故答案為：.
突破五：圓的方程
1．（2022·北京豐臺二中高三階段練習）若直線截取圓所得弦長為2，則（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【詳解】因為圓的半徑為1，直徑為2，故直線過的圓心，
故，解得.
故選：C
2．（2022·全國·高二課時練習）已知直線恒過定點P，則與圓C：有公共的圓心且過點P的圓的標準方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】直線，即，
由解得，即，圓C：的圓心，，
所以所求圓的標準方程為.
故選：B
3．（2022·安徽·合肥市第七中學高二期中）已知方程表示圓，則k的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】因為表示圓，
所以，解得，
得的取值范圍是.
故選：C
4．（2022·全國·高二課時練習）已知，則的外接圓的方程是___________．
【答案】
【詳解】解：設外接圓的方程為，
由題意得，解得，
所以的外接圓方程為.
故答案為：.
5．（2022·江西·高三階段練習（文））設圓心在直線與直線上，點在上，則的方程為______．
【答案】
【詳解】由題意解得，
設的方程為，將代入得，即，
所以的方程為，
故答案為：.
突破六：與圓上點有關的距離最值問題
1．（2022·黑龍江·綏棱縣第一中學高三階段練習）已知圓C：上的點到直線l：的最大距離為M?最小距離為m，若，則實數(shù)k的值是（ ）
A．B．1C．或1D．或1
【答案】D
【詳解】圓C：的圓心坐標為，半徑為；
直線l：化為一般式是.
由點到直線的距離公式可知，圓心到直線l：的距離為，
易知當l與圓C相切時；
當l與圓相交時，，均不合題意，故直線l與圓C必相離，
此時圓C上的點到直線l的最大距離為，最小距離為.
因為，所以，得，即，解得或.
經(jīng)檢驗直線l與圓C相離，符合題意.綜上，或.
故選：D.
2．（2022·貴州貴陽·高二階段練習）直線被圓截得的最短弦長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】圓，直線恒過點，
點在圓內，當點是圓的弦中點時，弦長最短，
圓心和點的距離，
所以最短弦長.
故選：D
3．（2022·全國·模擬預測）已知點P是曲線上的動點，則點P到直線的距離的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】由得，所以曲線C是以為圓心，的圓，因為點到直線的距離為，
所以點P到直線的距離的最大值為.
故選：B．
4．（2022·吉林吉林·高二期中）已知是圓上的一點，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】表示圓上的點到點的距離，
由可化為，則圓心為，半徑為，
點到圓心的距離為，
所以點到點的距離的最小值為，
即的最小值是.
故答案為：.
5．（2022·安徽省泗縣第一中學高二期中）直線分別與軸，軸交于兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】直線，令，得，令，得，
，
點到直線的距離為的高，
又圓的圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離為：，
所以點到直線的距離的最大值為，最小值為，
則面積為，最大值為，
最小值為，所以面積的取值范圍為，故A，B，C錯誤.
故選：D.
6．（2022·河南·民權縣第一高級中學模擬預測（文））已知圓的方程為，是圓上一動點，點，為線段的中點，則的最小值為__________.
【答案】##
【詳解】設，，點為線段的中點，有，得，
在圓上，滿足圓的方程，則有，化簡得點軌跡方程為，
點軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，如圖所示，
，所以的最小值為.
故答案為：
7．（2022·北京市第五十七中學高三階段練習）若點在半徑為1，且圓心為坐標原點的圓上，過點作圓的切線，切點為，則的最小值為___________.
【答案】
【詳解】原點，而點，有，圓O與圓C半徑分別為1，2，顯然圓O與圓C外離，
因PQ切圓C于點Q，有，因此，
當且僅當最小時，取得最小值，而點P在圓上，于是得，
所以.
故答案為：
8．（2022·湖南·衡陽市一中高二期中）已知是曲線上兩個不同的點，，則的最大值與最小值的比值是__________．
【答案】
【詳解】由，得，
，或．
當時，原方程化為，當時，原方程化為．
所以方程表示的曲線為圓P：的左半部分和圓Q：的右半部分．
畫出方程所表示的曲線如圖：
有，，，，，，，，
當、分別與圖中、兩點重合時，取最大值為6，
當、分別與圖中、、、四點中的某兩點重合時，取最小值為，
的最大值與最小值的比值是．
故答案為：
9．（2022·上海市青浦高級中學高二階段練習）一束光線從點射出，經(jīng)軸上一點反射后到達圓上一點，則的最小值為_____．
【答案】
【詳解】解：由題知：圓的圓心坐標為，半徑為，
如圖，設關于軸對稱的點為，
所以，
因為，當且僅當三點共線，
，當且僅當三點共線，
所以，，當且僅當，三點共線，三點共線時等號成立，
所以，的最小值為
故答案為：
10．（2022·貴州·高三階段練習（文））已知O是坐標原點，A，B是圓O：上兩點，且，若弦的中點為，則的最小值為___________.
【答案】
【詳解】設點，因此表示，
由，
因為，所以，因為是弦的中點，
所以，所以，
當點在線段上時，最小，
最小值為，
所以的最小值為，
故答案為：
突破七：圓的切線問題
1．（2022·江蘇連云港·高二期末）從圓外一點向圓引切線，則此切線的長為（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】C
【詳解】的圓心為，
設切點為A，半徑，如圖所示，
由切線性質知，，
則切線長．
故選: C．
2．（2022·全國·高三專題練習）已知直線是圓：的對稱軸，過點作圓的一條切線，切點為，則等于（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：圓即，圓心為，半徑為，
由題意可知過圓的圓心，
則，解得，點的坐標為，
作示意圖如圖所示：
，切點為，則，
所以．
故選：B．
3．（2022·遼寧鞍山·高二期中）過點引圓的切線，則切線的方程為（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】C
【詳解】若切線與軸垂直，則切線方程為，此時圓心到直線的距離為，合乎題意；
當切線的斜率存在時，設切線的方程為，即，
由題意可得，解得，
此時，所求切線的方程為.
綜上所述，所求切線方程為或.
故選：C.
4．（2022·四川省南充高級中學高二階段練習（理））若圓C:上任意一點關于直線的對稱點都在圓上，由點向圓作切線，則切線段長的最小值為（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【詳解】 圓，
化簡為: ，
圓的圓心坐標: ， 半徑為，
圓關于直線 對稱，
在直線上，
可得 ，即，
點與圓心的距離為，
點向圓所作切線長為 當且僅當時切線長最小，最小值為4 .
故選：C.
5．（2022·全國·高二課時練習）過點作圓的切線，則切線的方程為_________．
【答案】或
【詳解】由已知圓心，半徑.
又，所以，點在圓外.
當直線斜率不存在時，直線的方程為.
此時，圓心到直線的距離，所以直線不是圓的切線；
當直線斜率存在時，設斜率為，則直線的方程為，
整理可得，.
因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，
即，整理得，，
解得，或.
當時，直線方程為；
當時，直線方程為，化為一般式方程為.
所以切線的方程為或.
故答案為：或.
6．（2022·全國·高二課時練習）曲線與直線l：y＝k（x－2）＋4有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是________．
【答案】
【詳解】直線l過點A（2，4），又曲線的圖象是以（0，1）為圓心，2為半徑的半圓，
如圖，當直線l與半圓相切，C為切點時，圓心到直線l的距離d＝r，
即，解得.
當直線l過點B（－2，1）時，直線l的斜率為，
則直線l與半圓有兩個不同的交點時，實數(shù)k的取值范圍為.
故答案為：
突破八：兩圓的公共弦問題
1．（2022·四川·成都七中高二期中（文））圓 ?與圓?公共弦所在直線方程為___________．
【答案】
【詳解】解法一：設、為公共弦上兩點，
則，
得，
同理得，
∴ 兩圓的公共弦方程為．
解法二：直接把兩圓方程相減得為公共弦方程．
故答案為：．
2．（2022·四川成都·高二期中（文））圓與圓的公共弦長為______．
【答案】
【詳解】圓與圓的方程相減可得公共弦長所在直線的方程，即，
圓的圓心為，半徑為2，
圓心到的距離，
∴兩圓公共弦長，
故答案為：.
3．（2022·天津·耀華中學高二期中）兩圓和相交于兩點，則公共弦的長為__________.
【答案】##
【詳解】由，解得，或，
所以不妨取兩圓的交點為，
所以.
故答案為：.
4．（2022·四川省綿陽南山中學高二階段練習（理））過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB 的方程為_____．（請用直線方程的一般式作答）
【答案】
【詳解】由題設，圓心為、，則以為直徑的圓為，
所以為和的公共弦，
故直線的方程，將兩圓方程相減可得：.
故答案為：
突破九：圓的弦長問題
1．（2022·天津市第二耀華中學高三階段練習）若直線被圓截得線段的長為6，則實數(shù)的值為__________.
【答案】25
【詳解】，圓心
又根據(jù)弦長公式可得：
故答案為：25
2．（2022·四川省綿陽江油中學模擬預測（理））若直線過，且被圓截得的弦長為，則直線方程為______
【答案】或
【詳解】由，得，
所以圓的標準方程為，即圓的圓心坐標為，半徑為，
因為直線被圓截得的弦長為，
所以圓心到直線的距離為，
當斜率不存在時，直線的方程為，也符合題意；
當斜率存在時，設直線的方程為，即，
因為圓心到直線：的距離為，
所以，解得 ，
所以直線方程為 ．
即所求直線 的方程為或．
故答案為：或．
3．（2022·廣東·模擬預測）若斜率為的直線與軸交于點，與圓相交于點兩點，若，則______．
【答案】
【詳解】設點，則直線的方程為，即，
因為，的半徑為2，
故弦的弦心距為，即圓心到直線的距離為，
故，解得，即,
故,
故答案為：.
4．（2022·河南·高二階段練習（文））過點作一條直線與圓分別交于M，N兩點.若弦MN的長為，則直線MN的方程為______.
【答案】或（其他形式，只要正確亦可）
【詳解】由題意可知，直線MN的斜率存在，設其斜率為k，則直線MN的方程為，即.
若弦MN的長為，則圓心到直線MN的距離為，所以，解得.
故直線MN的方程為或，即或.
故答案為：或.
5．（2022·山西運城·高二階段練習）已知圓過平面內三點，，．
(1)求圓的標準方程；
(2)若點B也在圓上，且弦AB長為，求直線AB的方程．
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）設圓的方程為，
，解得
即，故圓的標準方程為．
（2）圓心到直線的距離，
當直線斜率不存在時，方程為：，此時，不符合題意；
當直線斜率存在時，設直線方程為：，
，解得
∴直線方程為或．
6．（2022·福建·廈門外國語學校石獅分校高二期中）已知圓:，點坐標為，為圓上動點，中點為.
(1)當點在圓上動時，求點的軌跡方程；
(2)過點的直線與的軌跡相交于兩點，且，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1），所以在圓外.
設，由于的中點是，所以，
所以，
整理得，
所以點的軌跡方程為.
（2）點的軌跡方程為，所以是以為圓心，半徑為的圓，
當直線的斜率不存在時，直線的方程為，
由，解得或，滿足.
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，
由于，，，
所以圓心到直線的距離為，
即，解得，所以直線的方程為，
即.
綜上所述，直線的方程為或.
7．（2022·北京市師達中學高二階段練習）已知圓，直線.
(1)若直線與圓交于兩點，，求的值.
(2)求證：無論取什么實數(shù)，直線與圓恒交于兩點；
(3)求直線被圓截得的最短弦長，以及此時直線的方程.
【答案】(1)
(2)證明見詳解
(3)，
【詳解】（1）依題意，圓心，
根據(jù)圓的弦長公式
解之：
（2）
由直線方程
解得定點，
又，在圓內，
無論取什么實數(shù)，直線與圓恒交于兩點得證.
（3）由弦長公式
此時
此時
綜上：
8．（2022·遼寧·本溪滿族自治縣高級中學高二階段練習）已知直線經(jīng)過直線和的交點，且與直線垂直.
(1)求直線的方程；
(2)若圓過點，且圓心在軸的負半軸上，直線被圓所截得的弦長為，求圓的標準方程.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）由已知，得解得兩直線交點為，
設直線的斜率為，因為直線與垂直，所以，解得，
所以直線的方程為，即.
（2）設圓的標準方程為，
則由題意，得
解得或（舍去），
所以，所以圓的標準方程為：.
9．（2022·山東省濟南市萊鋼高級中學高二期中）已知圓和點．
(1)過點M向圓O引切線，求切線的方程；
(2)求以點M為圓心，且被直線截得的弦長為8的圓M的方程；
【答案】(1)或
(2)
【詳解】（1）若過點M的直線斜率不存在，直線方程為：，為圓O的切線；
當切線l的斜率存在時，設直線方程為：，即，
∴圓心O到切線的距離為：，解得：
∴直線方程為：．
綜上，切線的方程為：或
（2）點到直線的距離為：，
又∵圓被直線截得的弦長為8，由垂徑定理得：，
∴
∴圓M的方程為：
10．（2022·貴州貴陽·高二階段練習）已知圓的圓心在直線上，且與直線相切于點.
(1)求圓的方程；
(2)若過點的直線被圓截得的弦的長為4，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）解：因為圓的圓心在直線上，
所以設圓心為，
又因為圓與直線相切于點，
所以，
解得，
所以圓心為，半徑為 ，
所以圓的方程；
（2）當直線的斜率不存在時：直線方程為，
圓心到直線的距離為，
所以弦長為，成立；
當直線的斜率存在時，設直線方程為，即，
圓心到直線的距離為，
所以弦長為，
解得，
所以直線方程為：，
所以直線的方程為 或.
第三部分：沖刺重難點特訓
一、單選題
1．（2022·浙江省杭州第九中學高二期中）直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：直線的斜率為，設直線的傾斜角為，且
所以，則.
故選：B.
2．（2022·浙江·杭州市源清中學高二期中）已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】直線的斜率為1，設直線的傾斜角為，則，
因為，所以.
故選:.
3．（2022·浙江大學附屬中學高二期中）已知x，y滿足，若不等式恒成立，則c的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】因為可化為，表示的是以為圓心，為半徑的圓，
可以看作是直線在軸上的截距，
當直線與圓相切時，縱截距取得最大值或最小值，
此時，解得或，所以，
又因為不等式恒成立，所以，
則c的取值范圍是.
故選：B.
4．（2022·浙江大學附屬中學高二期中）若直線與互相垂直，則實數(shù)（ ）
A．B．C．或0D．或0
【答案】D
【詳解】解：若直線與互相垂直，
則，即，解得或.
故選：D.
5．（2022·河北·任丘市第一中學高二階段練習）已知圓與圓的公共弦所在直線恒過點，且點在直線上，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由圓，圓，
兩式相減，得圓與圓的公共弦所在直線方程為：，
聯(lián)立，解得，即，，
又在直線上，
，即．
有，得．當且僅當時取等，
的取值范圍是.
故選：C．
6．（2022·河北·涉縣第一中學高三期中）過點作圓的切線，則切線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】由題可知點在圓上，，則切線的斜率為，
所以切線方程為，化簡可得.
故選：B
7．（2022·河南·馬店第一高級中學模擬預測（理））已知動點M，N分別在拋物線：和圓：上，則的最小值為（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】A
【詳解】設，則，即，
由題意可得：，
∵，
令，則在R上單調遞增，且，
當時，，當時，，
∴在上單調遞增，在上單調遞減，則，
即，，則.
故選：A.
8．（2022·湖南長沙·高二階段練習）已知直線：和圓：交于A，B兩點，則弦AB所對的圓心角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】圓的標準方程為，
圓心為，半徑，
圓心到直線的距離，
所以弦長，
在中，由余弦定理可得：
.
故選：C
9．（2022·四川·威遠中學校高二期中（文））一條光線從點射出，經(jīng)x軸反射后，與圓相切，則反射后光線所在的直線方程為（ ）
A．或B．或
C．或D．
【答案】A
【詳解】點關于x軸的對稱點為，所以反射光線經(jīng)過，
當反射光線所在直線與軸垂直時，即，
圓到直線的距離為，
因為，所以直線與圓相離，故反射光線所在直線的斜率存在，設為，
則反射光線所在直線的方程為，即，
因為反射光線與圓相切，所以，解得或，
所以反射光線所在直線的方程為，或，
整理得或.
故選：A.
10．（2022·四川省遂寧高級實驗學校高二期中（理））已知圓，圓，過圓上任意一點作圓的兩條切線、切點分別為、，則的最小值是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【詳解】解：由題意可知，圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心，半徑為2，
所以，
而，所以兩圓相離，
，要使取得最小值，
需要和越小，且越大才能取到，
設直線CM和圓交于H，G兩點（如下圖），
則的最小值是，
，，
則，
所以，
故選：C.
11．（2022·江蘇·南京市天印高級中學高二階段練習）若圓與圓關于直線對稱，圓上任意一點均滿足，其中，為坐標原點，則圓和圓的公切線有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
【答案】C
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
設圓心關于直線的對稱點為，
則有，解得，所以.
又圓的半徑，則圓的半徑，
所以圓的方程為.
設，則，.
又，則，
整理可得，，
圓的方程為，圓心，.
則圓和圓圓心距，
又，則
所以，圓和圓外切，所以兩圓的公切線有3條.
故選：C.
二、多選題
12．（2022·浙江·杭州市源清中學高二期中）已知圓，則下列說法正確的是（ ）
A．點在圓內B．圓M關于對稱
C．直線與截圓M的弦長為D．直線與圓M相切
【答案】BCD
【詳解】已知圓，則其標準方程為，
，圓心，
將點到圓心的距離，
所以，點在圓外，A選項錯誤；
將圓心代入直線，得，成立
所以直線過圓心，則圓關于直線對稱，B選項正確；
因為圓心直線的距離,
可得弦長為 ,C選項正確；
因為圓心直線的距離，
所以直線與圓相切，D選項正確；
故選：
13．（2022·浙江大學附屬中學高二期中）設動直線交圓于A，B兩點（C為圓心），則下列說法正確的有（ ）
A．直線l過定點B．當取得最大值時，
C．當最小時，其余弦值D．的取值范圍是
【答案】AD
【詳解】對于A，由，得，
由，得，
所以直線過定點，故A正確；
對于B，由可知，圓心，半徑，
當直線經(jīng)過圓心時，取得最大值，
所以，解得，故B不正確；
對于C，顯然點在圓內，設圓心到直線的距離為，則，
因為，當且僅當時，等號成立，
所以，
所以，
因為在單調遞減，在內，所以當最小時，
最大，最小，
因為的最小值為，所以此時，故C不正確；
對于D，因為，
由B知，，所以，即的取值范圍是，故D正確.
故選：AD
14．（2022·福建省南安國光中學高三階段練習）已知圓（為圓心），直線，點在直線上運動，直線分別與圓切于點．則下列說法正確的是（ ）
A．四邊形的面積最小值為
B．最短時，弦長為
C．最短時，弦直線方程為
D．直線過定點為
【答案】AB
【詳解】由圓的方程知：圓心，半徑；
對于AB，，
若取得最小值，則取得最小值，
，
當，即為圓心到直線的距離時，最小，即最小，
，，，
此時，解得：，AB正確；
對于CD，設，，
當在點處的切線斜率存在時，其斜率為，則切線方程為：，
即，
，又，
在點處的切線方程為：；
當在點處的切線斜率不存在時，即時，，則切線方程為：，滿足；
綜上所述：在點處的切線方程為；
同理可得：在點處的切線方程為；
又為兩條切線的交點，設，
則滿足，
坐標滿足方程，
當過作圓兩條切線，切點分別為時，直線方程為：，
當最小時，直線方程為：，即，
由得：，即；
此時直線方程為：，即，且此時直線不過點，C錯誤，D錯誤.
故選：AB.
三、填空題
15．（2022·吉林·長春博碩學校高二期中）在平面直角坐標系中，若直線與曲線，有兩個公共點，b的取值范圍是______.
【答案】
【詳解】解：由得，
作出圖像如下：
當直線與相切時，
，
解得，（舍去）．
滿足題意的直線夾在和之間（圖中虛線所示），
．
故答案為：．
16．（2022·山東·菏澤市定陶區(qū)明德學校（山大附中實驗學校）高二期中）在平面直角坐標系中，過軸上的點分別向圓和圓引切線，記切線長分別為、.則的最小值為__________.
【答案】
【詳解】圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為.
設點，則，
所以，的幾何意義是點到點的距離，
，
所以，的幾何意義是點到點的距離，如下圖所示：
，
當且僅當點為線段與軸的交點時，等號成立，故的最小值為.
故答案為：.
四、解答題
17．（2022·河北·涉縣第一中學高三期中）已知為雙曲線的右焦點，且點到雙曲線的一條漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)設過點的直線與雙曲線相交于點，線段的垂直平分線與軸交于點，若，求直線的方程.
【答案】(1)；
(2)或.
【詳解】（1）是雙曲線的一條漸近線方程，
則，故，
又因為，所以，即，
所以雙曲線的方程為.
（2）由題可設直線的方程為，設，，
若，則線段的垂直平分線即為軸，不滿足題意，所以；
當時，此時直線斜率為，即直線與雙曲線的漸近線平行時，此時直線與雙曲線只有一個交點，所以，則.
聯(lián)立直線與雙曲線的方程，可得，
恒成立，
根據(jù)韋達定理可得，
設線段的中點為，則，
，又，
所以線段的垂直平分線的方程為.
令，則，即，
所以，即，
即，整理得，所以或（舍去），
所以，即直線的方程為或.
18．（2022·海南·嘉積中學高二階段練習）已知拋物線，點在直線上，直線繞點旋轉，與交于，兩點.當直線垂直于軸時，.
(1)求拋物線的方程；
(2)當點為弦的中點時，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）把代入，則，
∴即，
∴拋物線的方程為：.
（2）設，，則…①，…②
②-①得：，，
∴，
則直線的方程為：，即
19．（2022·河北·任丘市第一中學高二期中）已知圓經(jīng)過點，，且______．從下列3個條件中選取一個，補充在上面的橫線處，并解答．
①與軸相切；②圓恒被直線平分；③過直線與直線的交點C．
(1)求圓的方程；
(2)求過點的圓的切線方程．
【答案】(1)任選一條件，方程都為
(2)或
【詳解】（1）解：選①，設圓的方程為，
由題意可得，解得，則圓的方程為；
選②，直線恒過，
而圓恒被直線平分，
所以恒過圓心，因為直線過定點，
所以圓心為，可設圓的標準方程為，
由圓經(jīng)過點，得，
則圓的方程為．
選③，由條件易知，
設圓的方程為，
由題意可得，解得，
則圓的方程為，即．
綜上所述，圓的方程為；
（2）解：因為，所以點P在圓外，
若直線斜率存在，設切線的斜率為，
則切線方程為，即
所以，解得．
所以切線方程為，
若直線斜率不存在，直線方程為，滿足題意．
綜上過點的圓的切線方程為或．
20．（2022·山西·晉城市第二中學校高二階段練習）已知圓，直線，，且直線和均平分圓.
(1)求圓的標準方程
(2)直線與圓相交于，兩點，且，求實數(shù)的值.
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）因為直線和均平分圓，所以直線和均過圓心，
因為，解得，所以直線和的交點坐標為，
所以圓心的坐標為，
因為圓，所以圓心坐標為，
所以，解得，
所以圓的方程為，即，
所以圓的標準方程為.
（2）由（1）得圓的標準方程為，圓心，半徑，
因為，且為等腰三角形，所以，
因為，
所以圓心到直線的距離，
根據(jù)點到直線的距離公式，
即，解得或，
所以實數(shù)的值為或.