題型一 平面向量在幾何中的應(yīng)用
例1 (1)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D點滿足eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，AD＝eq \r(37)，則BC的長為( )
A．3eq \r(7) B．3eq \r(6)
C．3eq \r(3) D．6
答案 A
解析 因為eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
設(shè)AB＝x，則eq \(AD2,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AC,\s\up6(→))))2，
得37＝eq \f(4,9)x2＋eq \f(4,9)×x×9cs 60°＋eq \f(1,9)×92，
即2x2＋9x－126＝0，
因為x>0，故解得x＝6，即AB＝6，
所以BC＝eq \r(AB2＋AC2－2AB·ACcs 60°)
＝eq \r(62＋92－2×6×9×\f(1,2))＝3eq \r(7).
(2)已知平行四邊形ABCD，證明：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
證明 取{eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))}為基底，設(shè)eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，
則eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(DB,\s\up6(→))＝a－b，
∴eq \(AC,\s\up6(→))2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，
eq \(DB,\s\up6(→))2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，
上面兩式相加，得eq \(AC,\s\up6(→))2＋eq \(DB,\s\up6(→))2＝2(a2＋b2)，
∴AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
思維升華 用向量方法解決平面幾何問題的步驟
平面幾何問題eq \(――→,\s\up7(設(shè)向量))向量問題eq \(――→,\s\up7(計算))解決向量問題eq \(――→,\s\up7(還原))解決幾何問題．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)(2020·全國Ⅲ)在平面內(nèi)，A，B是兩個定點，C是動點，若eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝1，則點C的軌跡為( )
A．圓 B．橢圓
C．拋物線 D．直線
答案 A
解析 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系Oxy，
設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為(－a,0)，(a,0)，點C為(x，y)，
則eq \(AC,\s\up6(→))＝(x＋a，y)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(x－a，y)，
所以eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(x－a)(x＋a)＋y·y
＝x2＋y2－a2＝1，
整理得x2＋y2＝a2＋1.
因此點C的軌跡為圓．
(2)(多選)在四邊形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＝(6,8)，且eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AD,\s\up6(→)),|\(AD,\s\up6(→))|)＝eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)，則下列結(jié)論成立的是( )
A．四邊形ABCD為菱形
B．∠BAD＝120°
C．|eq \(AC,\s\up6(→))|＝10eq \r(3)
D．|eq \(BD,\s\up6(→))|＝10eq \r(3)
答案 ABD
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＝(6,8)，
則四邊形ABCD為平行四邊形，
設(shè)m，n，p都是單位向量，m＋n＝p，
則(m＋n)2＝p2，m2＋2m·n＋n2＝p2，
1＋2m·n＋1＝1，
則m·n＝－eq \f(1,2)＝cs〈m，n〉，所以〈m，n〉＝120°，
因此由eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AD,\s\up6(→)),|\(AD,\s\up6(→))|)＝eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)知∠BAD＝120°，且AC是∠BAD的平分線，因此四邊形ABCD是菱形，而|eq \(AB,\s\up6(→))|＝10，所以|eq \(BD,\s\up6(→))|＝eq \r(3)|eq \(AB,\s\up6(→))|＝10eq \r(3)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝10.
題型二 和向量有關(guān)的最值(范圍)問題
命題點1 與平面向量基本定理有關(guān)的最值(范圍)問題
例2 (2022·廣州模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是CD的中點，點F為線段BD上的一動點，若eq \(AF,\s\up6(→))＝xeq \(AE,\s\up6(→))＋yeq \(DC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，則eq \f(2－3x,4y2＋1)的最大值為( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,4)
C．1 D．2
答案 A
解析 設(shè)BD，AE交于O，因為DE∥AB，
所以△AOB∽△EOD，所以eq \f(AO,OE)＝eq \f(AB,DE)＝2，
所以AO＝2OE，則eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AO,\s\up6(→))，
所以eq \(AF,\s\up6(→))＝xeq \(AE,\s\up6(→))＋yeq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)xeq \(AO,\s\up6(→))＋yeq \(AB,\s\up6(→))，
因為O，F(xiàn)，B三點共線，
所以eq \f(3,2)x＋y＝1，即2－3x＝2y，
所以eq \f(2－3x,4y2＋1)＝eq \f(2y,4y2＋1)＝eq \f(2,4y＋\f(1,y))，
因為x>0，y>0，
所以4y＋eq \f(1,y)≥2eq \r(4y·\f(1,y))＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)4y＝eq \f(1,y)，即y＝eq \f(1,2)時等號成立，
此時x＝eq \f(1,3)，
所以eq \f(2－3x,4y2＋1)＝eq \f(2,4y＋\f(1,y))≤eq \f(2,4)＝eq \f(1,2).
命題點2 與數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)問題
例3 (2020·新高考全國Ⅰ)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→)) 的取值范圍是( )
A．(－2,6) B．(－6,2)
C．(－2,4) D．(－4,6)
答案 A
解析 如圖，取A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則A(0,0)，B(2,0)，C(3，eq \r(3))，
F(－1，eq \r(3))．
設(shè)P(x，y)，則eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,0)，
且－1

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