考試要求 1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)．
知識梳理
1．?dāng)?shù)列的定義
按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項(xiàng)．
2．?dāng)?shù)列的分類
3.數(shù)列的通項(xiàng)公式
如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式．
4．?dāng)?shù)列的遞推公式
如果一個數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式．
常用結(jié)論
1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，則an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
2．在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2，n∈N*)；若an最小，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2，n∈N*)．
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列．( × )
(2)1,1,1,1，…，不能構(gòu)成一個數(shù)列．( × )
(3)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列．( × )
(4)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則對任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( √ )
教材改編題
1．若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)，則a2 023的值為( )
A．2 B．－3 C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
答案 C
解析 因?yàn)閍1＝2，an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)，
所以a2＝eq \f(1＋a1,1－a1)＝－3，
同理可得a3＝－eq \f(1,2)，a4＝eq \f(1,3)，a5＝2，…，
可得an＋4＝an，則a2 023＝a505×4＋3＝a3＝－eq \f(1,2).
2．?dāng)?shù)列eq \f(1,3)，eq \f(1,8)，eq \f(1,15)，eq \f(1,24)，eq \f(1,35)，…的通項(xiàng)公式是an＝________.
答案 eq \f(1,n?n＋2?)，n∈N*
解析 ∵a1＝eq \f(1,1×?1＋2?)＝eq \f(1,3)，
a2＝eq \f(1,2×?2＋2?)＝eq \f(1,8)，
a3＝eq \f(1,3×?3＋2?)＝eq \f(1,15)，
a4＝eq \f(1,4×?4＋2?)＝eq \f(1,24)，
a5＝eq \f(1,5×?5＋2?)＝eq \f(1,35)，
∴通過觀察，我們可以得到如上的規(guī)律，
則an＝eq \f(1,n?n＋2?)，n∈N*.
3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
答案 4n－5
解析 a1＝S1＝2－3＝－1，
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]
＝4n－5，
因?yàn)閍1也適合上式，所以an＝4n－5.
題型一 由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式
例1 (1)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若2Sn＝3an－3，則a4等于( )
A．27 B．81
C．93 D．243
答案 B
解析 根據(jù)2Sn＝3an－3，
可得2Sn＋1＝3an＋1－3，
兩式相減得2an＋1＝3an＋1－3an，
即an＋1＝3an，
當(dāng)n＝1時，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，
所以數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
所以a4＝a1q3＝34＝81.
(2)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，則an＝________.
答案 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,\f(2n－1,2n－1)，n≥2))
解析 當(dāng)n＝1時，a1＝21＝2.
∵a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①
∴a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－1(n≥2)，②
由①－②得，(2n－1)·an＝2n－2n－1＝2n－1，
∴an＝eq \f(2n－1,2n－1)(n≥2)．
顯然n＝1時不滿足上式，∴an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,\f(2n－1,2n－1)，n≥2.))
教師備選
1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋2n，則an＝________.
答案 2n＋1
解析 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3.當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1.由于a1＝3適合上式，∴an＝2n＋1.
2．已知數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，且Sn＝2an＋1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________.
答案 －2n－1
解析 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2a1＋1，
∴a1＝－1.
當(dāng)n≥2時，Sn＝2an＋1，①
Sn－1＝2an－1＋1.②
①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
即an＝2an－2an－1，
即an＝2an－1(n≥2)，
∴{an}是首項(xiàng)為a1＝－1，公比為q＝2的等比數(shù)列．
∴an＝a1·qn－1＝－2n－1.
思維升華 (1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項(xiàng)公式．
(2)Sn與an關(guān)系問題的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2n2＋n＋1，n∈N*，則an＝________.
答案 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4，n＝1，,4n－1，n≥2))
解析 根據(jù)題意，
可得Sn－1＝2(n－1)2＋(n－1)＋1.
由通項(xiàng)公式與求和公式的關(guān)系，
可得an＝Sn－Sn－1，
代入化簡得
an＝2n2＋n＋1－2(n－1)2－(n－1)－1＝4n－1.
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n＝1時，S1＝4，a1＝3，
所以S1≠a1，
所以an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4，n＝1，,4n－1，n≥2.))
(2)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則an＝________.
答案 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1，n＝1，,\f(1,n?n－1?)，n≥2))
解析 由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，
兩邊同時除以Sn＋1Sn，
得eq \f(1,Sn＋1)－eq \f(1,Sn)＝－1.
故數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))是以－1為首項(xiàng)，－1為公差的等差數(shù)列，
則eq \f(1,Sn)＝－1－(n－1)＝－n.
所以Sn＝－eq \f(1,n).
當(dāng)n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝－eq \f(1,n)＋eq \f(1,n－1)＝eq \f(1,n?n－1?)，
故an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1，n＝1，,\f(1,n?n－1?)，n≥2.))
題型二 由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式
命題點(diǎn)1 累加法
例2 在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n)))，則an等于( )
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
答案 A
解析 因?yàn)閍n＋1－an＝ln eq \f(n＋1,n)＝ln(n＋1)－ln n，
所以a2－a1＝ln 2－ln 1，
a3－a2＝ln 3－ln 2，
a4－a3＝ln 4－ln 3，
……
an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，
把以上各式分別相加得an－a1＝ln n－ln 1，
則an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2也適合，
因此an＝2＋ln n(n∈N*)．
命題點(diǎn)2 累乘法
例3 若數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan－1＝(n＋1)·an(n≥2)，則an＝________.
答案 eq \f(2,n＋1)
解析 由nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，
得eq \f(an,an－1)＝eq \f(n,n＋1)(n≥2)．
所以an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·eq \f(an－2,an－3)·…·eq \f(a3,a2)·eq \f(a2,a1)·a1＝eq \f(n,n＋1)×eq \f(n－1,n)×eq \f(n－2,n－1)×…×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)×1＝eq \f(2,n＋1)，
又a1＝1滿足上式，所以an＝eq \f(2,n＋1).
教師備選
1．在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋eq \f(1,n?n＋1?)，則通項(xiàng)公式an＝________.
答案 4－eq \f(1,n)
解析 ∵an＋1－an＝eq \f(1,n?n＋1?)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，
∴當(dāng)n≥2時，an－an－1＝eq \f(1,n－1)－eq \f(1,n)，
an－1－an－2＝eq \f(1,n－2)－eq \f(1,n－1)，
……
a2－a1＝1－eq \f(1,2)，
∴以上各式相加得，an－a1＝1－eq \f(1,n)，
∴an＝4－eq \f(1,n)，a1＝3適合上式，
∴an＝4－eq \f(1,n).
2．若{an}滿足2(n＋1)·aeq \\al(2,n)＋(n＋2)·an·an＋1－n·aeq \\al(2,n＋1)＝0，且an>0，a1＝1，則an＝________.
答案 n·2n－1
解析 由2(n＋1)·aeq \\al(2,n)＋(n＋2)·an·an＋1－n·aeq \\al(2,n＋1)＝0得
n(2aeq \\al(2,n)＋an·an＋1－aeq \\al(2,n＋1))＋2an(an＋an＋1)＝0，
∴n(an＋an＋1)(2an－an＋1)＋2an(an＋an＋1)＝0，
(an＋an＋1)[(2an－an＋1)·n＋2an]＝0，
又an>0，
∴2n·an＋2an－n·an＋1＝0，
∴eq \f(an＋1,an)＝eq \f(2?n＋1?,n)，
又a1＝1，
∴當(dāng)n≥2時，
an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a3,a2)·eq \f(a2,a1)·a1
＝eq \f(2n,n－1)×eq \f(2?n－1?,n－2)×eq \f(2?n－2?,n－3)×…×eq \f(2×3,2)×eq \f(2×2,1)×1＝2n－1·n.
又n＝1時，a1＝1適合上式，
∴an＝n·2n－1.
思維升華 (1)形如an＋1－an＝f(n)的數(shù)列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
(2)形如eq \f(an＋1,an)＝f(n)的數(shù)列，常令n分別為1,2,3，…，n－1，代入eq \f(an＋1,an)＝f(n)，再把所得的(n－1)個等式相乘，利用an＝a1·eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·…·eq \f(an,an－1)(n≥2)即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1，則an＝________.
答案 2n－1＋n
解析 ∵an＋1＝an＋2n－1＋1，
∴an＋1－an＝2n－1＋1，
∴當(dāng)n≥2時，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋a1＋n－1＝eq \f(1－2n－1,1－2)＋2＋n－1＝2n－1＋n.
又∵a1＝2滿足上式，
∴an＝2n－1＋n.
(2)(2022·莆田模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．
答案 an＝eq \f(2,n?n＋1?)
解析 由Sn＝n2an，
可得當(dāng)n≥2時，Sn－1＝(n－1)2an－1，
則an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，
即(n2－1)an＝(n－1)2an－1，
易知an≠0，故eq \f(an,an－1)＝eq \f(n－1,n＋1)(n≥2)．
所以當(dāng)n≥2時，
an＝eq \f(an,an－1)×eq \f(an－1,an－2)×eq \f(an－2,an－3)×…×eq \f(a3,a2)×eq \f(a2,a1)×a1
＝eq \f(n－1,n＋1)×eq \f(n－2,n)×eq \f(n－3,n－1)×…×eq \f(2,4)×eq \f(1,3)×1
＝eq \f(2,n?n＋1?).
當(dāng)n＝1時，a1＝1滿足an＝eq \f(2,n?n＋1?).
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq \f(2,n?n＋1?).
題型三 數(shù)列的性質(zhì)
命題點(diǎn)1 數(shù)列的單調(diào)性
例4 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－2λn(n∈N*)，則“λ0，
∴(n＋1)2－2λ(n＋1)－n2＋2λn
＝2n＋1－2λ>0，
即2n＋1>2λ對任意的n∈N*都成立，
于是有λ6，))且{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,7)，3)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,7)，3))
C．(1,3) D．(2,3)
答案 D
解析 若{an}是遞增數(shù)列，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－a>0，,a>1，,a7>a6，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1，,a2>6?3－a?－2，))
解得2…，
∴{bn}的奇數(shù)項(xiàng)中有最大值為b1＝eq \f(3,2)－eq \f(2,3)＝eq \f(5,6)>0，
∴b1＝eq \f(5,6)是數(shù)列{bn}(n∈N*)中的最大值，D正確．
13．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq \f(63,2n)，若a1·a2·…·an≤a1·a2·…·ak對n∈N*恒成立，則正整數(shù)k的值為________．
答案 5
解析 an＝eq \f(63,2n)，當(dāng)n≤5時，an>1；
當(dāng)n≥6時，ana1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…＞an>1(n∈N*)．
∴數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為a5＝2，
最小項(xiàng)為a4＝0.
(2)an＝1＋eq \f(1,a＋2?n－1?)＝1＋eq \f(\f(1,2),n－\f(2－a,2))，
已知對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，
結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋eq \f(\f(1,2),x－\f(2－a,2))的單調(diào)性，
可知5

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