新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第5章 §5.3　平面向量的數(shù)量積（含解析）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

知識梳理
1．向量的夾角
已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．
2．平面向量的數(shù)量積
已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cs θ叫做向量a與b的數(shù)量積，記作a·b.
3．平面向量數(shù)量積的幾何意義
設(shè)a，b是兩個非零向量，它們的夾角是θ，e與b是方向相同的單位向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(CD,\s\up6(→))＝b，過eq \(AB,\s\up6(→))的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作eq \(CD,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up6(—→))，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，eq \(A1B1,\s\up6(—→))叫做向量a在向量b上的投影向量．記為|a|cs θ e.
4．向量數(shù)量積的運(yùn)算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.
常用結(jié)論
1．平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有關(guān)向量夾角的兩個結(jié)論
已知向量a，b.
(1)若a與b的夾角為銳角，則a·b>0；若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0.
(2)若a與b的夾角為鈍角，則a·b0，
又a，b不共線，
所以a，b的夾角為銳角，故A錯誤；
對于B，向量a在b上的投影向量為
eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|)＝eq \f(1,2)b，B錯誤；
對于C，a－b＝(1,2)，若(a－b)∥c，
則－n＝2(m－2)，變形可得2m＋n＝4，C正確；
對于D，由2m＋n＝4，且m，n均為正數(shù)，
得mn＝eq \f(1,2)(2m·n)≤eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2m＋n,2)))2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)m＝1，n＝2時，等號成立，即mn的最大值為2，D正確．
7．(2021·全國甲卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，則k＝________.
答案－eq \f(10,3)
解析 c＝(3,1)＋(k,0)＝(3＋k,1)，a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－eq \f(10,3).
8．(2020·全國Ⅰ)設(shè)a，b為單位向量，且|a＋b|＝1，則|a－b|＝________.
答案 eq \r(3)
解析將|a＋b|＝1兩邊平方，得a2＋2a·b＋b2＝1.
∵a2＝b2＝1，
∴1＋2a·b＋1＝1，即2a·b＝－1.
∴|a－b|＝eq \r(?a－b?2)＝eq \r(a2－2a·b＋b2)
＝eq \r(1－?－1?＋1)＝eq \r(3).
9．(2022·長沙模擬)在△ABC中，BC的中點(diǎn)為D，設(shè)向量eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b.
(1)用a，b表示向量eq \(AD,\s\up6(→))；
(2)若向量a，b滿足|a|＝3，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，求eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))的值．
解 (1)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b.
(2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b))
＝eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)a·b
＝eq \f(1,2)×32＋eq \f(1,2)×3×2×cs 60°＝6，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝6.
10．(2022·湛江模擬)已知向量m＝(eq \r(3)sin x，cs x－1)，n＝(cs x，cs x＋1)，若f(x)＝m·n.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)在Rt△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若∠A＝90°，f(C)＝0，c＝eq \r(3)，CD為∠BCA的角平分線，E為CD的中點(diǎn)，求BE的長．
解 (1)f(x)＝m·n
＝eq \r(3)sin x·cs x＋cs2x－1
＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 2x－eq \f(1,2)
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))－eq \f(1,2).
令2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，
則x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)．
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)．
(2)f(C)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2C＋\f(π,6)))－eq \f(1,2)＝0，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2C＋\f(π,6)))＝eq \f(1,2)，又C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以C＝eq \f(π,3).
在△ACD中，CD＝eq \f(2\r(3),3)，
在△BCE中，
BE＝eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2－2×2×\f(\r(3),3)×\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(21),3).
11．(2022·黃岡質(zhì)檢)圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AD＝2，CD＝4，BD是圓的直徑，則eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))等于( )
A．12 B．－12
C．20 D．－20
答案 B
解析如圖所示，由題知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝2，CD＝4，
∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))·eq \(BD,\s\up6(→))
＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))
＝|eq \(AD,\s\up6(→))||eq \(BD,\s\up6(→))|cs∠BDA－|eq \(DC,\s\up6(→))||eq \(BD,\s\up6(→))|cs∠BDC
＝|eq \(AD,\s\up6(→))|2－|eq \(DC,\s\up6(→))|2＝4－16＝－12.
12．在△ABC中，已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，且eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，則△ABC為( )
A．等邊三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三邊均不相等的三角形
答案 A
解析 eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)，eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)分別為與eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))方向相同的單位向量，由平行四邊形法則可知向量eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)所在的直線為∠BAC的平分線．
因?yàn)閑q \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，
所以∠BAC的平分線垂直于BC，
所以AB＝AC.
又eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·cs∠BAC
＝eq \f(1,2)，
所以cs∠BAC＝eq \f(1,2)，∠BAC＝60°.
所以△ABC為等邊三角形．
13.(2022·濰坊模擬)如圖所示，一個物體被兩根輕質(zhì)細(xì)繩拉住，且處于平衡狀態(tài)，已知兩條繩上的拉力分別是F1，F(xiàn)2，且F1，F(xiàn)2與水平夾角均為45°，|F1|＝|F2|＝10eq \r(2) N，則物體的重力大小為________ N.
答案 20
解析如圖所示，∵|F1|＝|F2|＝10eq \r(2) N，
∴|F1＋F2|＝10eq \r(2)×eq \r(2)＝20 N，
∴物體的重力大小為20 N.
14．(2021·天津)在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點(diǎn)，DE⊥AB且交AB于點(diǎn)E，DF∥AB且交AC于點(diǎn)F，則|2eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))|的值為________；(eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))·eq \(DA,\s\up6(→))的最小值為________．
答案 1 eq \f(11,20)
解析設(shè)BE＝x，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，
∵△ABC為邊長為1的等邊三角形，DE⊥AB，
∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝eq \r(3)x，
DC＝1－2x，
∵DF∥AB，∴△DFC為邊長為1－2x的等邊三角形，DE⊥DF，
∴(2eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))2＝4eq \(BE,\s\up6(→))2＋4eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))2＝4x2＋4x(1－2x)×cs 0°＋(1－2x)2＝1，
∴|2eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))|＝1，
∵(eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))·eq \(DA,\s\up6(→))＝(eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))·(eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→)))＝eq \(DE,\s\up6(→))2＋eq \(DF,\s\up6(→))·eq \(EA,\s\up6(→))＝(eq \r(3)x)2＋(1－2x)×(1－x)＝5x2－3x＋1＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,10)))2＋eq \f(11,20)，
∴當(dāng)x＝eq \f(3,10)時，(eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))·eq \(DA,\s\up6(→))的最小值為eq \f(11,20).
15．(多選)定義一種向量運(yùn)算“?”：a?b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·b，當(dāng)a，b不共線時，,|a－b|，當(dāng)a，b共線時))(a，b是任意的兩個向量)．對于同一平面內(nèi)的向量a，b，c，e，給出下列結(jié)論，正確的是( )
A．a(chǎn)?b＝b?a
B．λ(a?b)＝(λa)?b(λ∈R)
C．(a＋b)?c＝a?c＋b?c
D．若e是單位向量，則|a?e|≤|a|＋1
答案 AD
解析當(dāng)a，b共線時，a?b＝|a－b|＝|b－a|＝b?a，當(dāng)a，b不共線時，a?b＝a·b＝b·a＝b?a，故A正確；
當(dāng)λ＝0，b≠0時，λ(a?b)＝0，(λa)?b＝|0－b|≠0，故B錯誤；
當(dāng)a＋b與c共線時，則存在a，b與c不共線，(a＋b)?c＝|a＋b－c|，a?c＋b?c＝a·c＋b·c，顯然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故C錯誤；
當(dāng)e與a不共線時，|a?e|＝|a·e|