知識(shí)梳理
1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商數(shù)關(guān)系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
常用結(jié)論
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的常見變形
sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)；
cs2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)若α，β為銳角，則sin2α＋cs2β＝1.( × )
(2)若α∈R，則tan α＝eq \f(sin α,cs α)恒成立．( × )
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的條件是α為銳角．( × )
(4)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝eq \f(1,3)，則cs α＝－eq \f(1,3).( √ )
教材改編題
1．已知α是第二象限角，sin α＝eq \f(\r(5),5)，則cs α的值為 ．
答案 －eq \f(2\r(5),5)
解析 ∵sin α＝eq \f(\r(5),5)，α是第二象限角，
∴cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(5),5).
2．已知eq \f(sin α－2cs α,3sin α＋5cs α)＝－5，那么tan α的值為 ．
答案 －eq \f(23,16)
解析 由eq \f(sin α－2cs α,3sin α＋5cs α)＝－5，知cs α≠0，等式左邊分子、分母同時(shí)除以cs α，
可得eq \f(tan α－2,3tan α＋5)＝－5，解得tan α＝－eq \f(23,16).
3．化簡(jiǎn)eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)))·sin(α－π)·cs(2π－α)的結(jié)果為 ．
答案 －sin2α
解析 原式＝eq \f(sin α,cs α)·(－sin α)·cs α
＝－sin2α.
題型一 同角三角函數(shù)基本關(guān)系
例1 (1)已知cs α＝－eq \f(5,13)，則13sin α＋5tan α＝ .
答案 0
解析 ∵cs α＝－eq \f(5,13)0，cs θ0且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)P(2,3)，
故tan α＝eq \f(3,2)，則
eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α))＋sin 2α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin?－π－α?)
＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＋sin 2α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin α)
＝eq \f(－sin αcs α＋2sin αcs α,－sin αsin α)
＝－eq \f(cs α,sin α)
＝－eq \f(1,tan α)＝－eq \f(2,3).
2．若sin x＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))，則cs x·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))等于( )
A.eq \f(3,10) B．－eq \f(3,10)
C.eq \f(3,4) D．－eq \f(3,4)
答案 A
解析 易知sin x＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＝－3cs x，
所以tan x＝－3，
所以cs xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))
＝－sin xcs x＝eq \f(－sin xcs x,sin2x＋cs2x)
＝eq \f(－tan x,tan2x＋1)＝eq \f(3,10).
思維升華 (1)誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用
①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了；
②化簡(jiǎn)：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了．
(2)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用步驟
任意負(fù)角的三角函數(shù)eq \(――――――→,\s\up7(利用誘導(dǎo)公式),\s\d5(三或一))任意正角的三角函數(shù)eq \(――――――→,\s\up7(利用誘導(dǎo)公式一))0～2π內(nèi)的角的三角函數(shù)eq \(――――――→,\s\up7(利用誘導(dǎo)公式二),\s\d5(或四或五或六))銳角三角函數(shù)．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)已知cs(75°＋α)＝eq \f(1,3)，求cs(105°－α)＋sin(15°－α)＝ .
答案 0
解析 因?yàn)?105°－α)＋(75°＋α)＝180°，
(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，
所以cs(105°－α)＝cs[180°－(75°＋α)]
＝－cs(75°＋α)＝－eq \f(1,3)，
sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]
＝cs(75°＋α)＝eq \f(1,3).
所以cs(105°－α)＋sin(15°－α)＝－eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝0.
(2)(2022·鹽城南陽(yáng)中學(xué)月考)設(shè)tan(5π＋α)＝2，則eq \f(sin?－3π＋α?＋cs?α－π?,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(11,2)π))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α)))＝ .
答案 3
解析 由已知tan(5π＋α)＝tan α＝2，
eq \f(sin?－3π＋α?＋cs?α－π?,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(11,2)π))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α)))
＝eq \f(sin?π＋α?＋cs?π－α?,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))
＝eq \f(－sin α－cs α,－sin α＋cs α)
＝eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)
＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝3.
題型三 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
例3 已知f(α)＝eq \f(sin?α－3π?cs?2π－α?sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs?－π－α?sin?－π－α?).
(1)化簡(jiǎn)f(α)；
(2)若α＝－eq \f(31π,3)，求f(α)的值；
(3)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(π,2)))＝eq \f(1,5)，α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，求f(α)的值．
解 (1)f(α)＝eq \f(sin?α－3π?cs?2π－α?sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs?－π－α?sin?－π－α?)
＝eq \f(－sin α×cs α×?－cs α?,－cs α×sin α)
＝－cs α.
(2)若α＝－eq \f(31π,3)，
則f(α)＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,3)))＝－cs eq \f(π,3)＝－eq \f(1,2).
(3)由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(π,2)))＝eq \f(1,5)，
可得sin α＝－eq \f(1,5)，
因?yàn)棣痢蔱q \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，
所以cs α＝－eq \f(2\r(6),5)，
所以f(α)＝－cs α＝eq \f(2\r(6),5).
教師備選
設(shè)f(α)＝eq \f(2sin?π＋α?cs?π－α?－cs?π＋α?,1＋sin2α＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))(1＋2sin α≠0)．
(1)化簡(jiǎn)f(α)；
(2)若α＝－eq \f(23π,6)，求f(α)的值．
解 (1)f(α)＝eq \f(?－2sin α?·?－cs α?－?－cs α?,1＋sin2α＋sin α－cs2α)
＝eq \f(2sin αcs α＋cs α,2sin2α＋sin α)
＝eq \f(cs α?2sin α＋1?,sin α?2sin α＋1?)
＝eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(1,tan α).
(2)當(dāng)α＝－eq \f(23π,6)時(shí)，
f(α)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,6)))＝eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,6))))
＝eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,6))))
＝eq \f(1,tan \f(π,6))
＝eq \f(1,\f(\r(3),3))＝eq \r(3).
思維升華 (1)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形．
(2)注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響．
跟蹤訓(xùn)練3 (1)(2022·聊城模擬)已知α為銳角，且2tan(π－α)－3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，則sin α的值是( )
A.eq \f(3\r(5),5) B.eq \f(3\r(7),7) C.eq \f(3\r(10),10) D.eq \f(1,3)
答案 C
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3sin β－2tan α＋5＝0，,tan α－6sin β－1＝0.))
消去sin β，得tan α＝3，
∴sin α＝3cs α，代入sin2α＋cs2α＝1，
化簡(jiǎn)得sin2α＝eq \f(9,10)，則sin α＝eq \f(3\r(10),10)(α為銳角)．
(2)已知－π

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